Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva 2012, matematicamente.it
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1 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it PROBLEMA Un trapezio isoscele è circoscritto ad una semicirconferenza di raggio, in modo che la base maggiore contenga il diametro.. Si calcoli, in funzione dell ampiezza del suo angolo acuto, l area della superficie del trapezio, controllando che risulta: cos S sin. Si studi la funzione S e si tracci il suo grafico nell intervallo, mettendo in evidenza la parte di grafico compatibile con i dati del problema.. Si scelga a caso un punto all interno del trapezio e si determini la probabilità p che tale punto risulti interno al semicerchio inscritto. Si studi la funzione p e si tracci il suo grafico nell intervallo. Si calcoli il valore medio della funzione p nell intervallo. Punto Consideriamo la figura sottostante. RISOLUZIONE
2 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Sia HAD ˆ con. Il triangolo AKO è rettangolo in K, pertanto a norma del teorema sui KO triangoli rettangoli KO AO sin AO e la base sin sin maggiore del trapezio misura AB AO ; anche il triangolo sin AHD è rettangolo in H pertanto applicando il toerema sui triangoli DH rettangoli DH AH tan AH. Di conseguenza la tan tan base minore misura cos DC OH AO AH e la sin tan sin superficie del trapezio vale cos DC AB DH sin sin cos S. sin Punto cos Studiamo la funzione S in, sin Dominio: sin pertanto il dominio è,, ; cos Intersezione ascisse: la funzione S non si annulla mai in sin quanto l equazione cos non presenta soluzioni reali dal momento che il coseno è una funzione limitata tale per cui cos ; Intersezioni ordinate: non ci sono intersezioni con l asse delle ordinate in quanto non appartiene al dominio;
3 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Simmetrie: la funzione è dispari in quanto cos cos S S ed è periodica di periodo sin sin T ; Positività: poichè il numeratore della funzione è sempre positivo in quanto il coseno è una funzione limitata tale per cui, la funzione sarà positiva se il denominatore sarà positivo e quindi quando sin, ; Asintoti verticali: lim f, lim f, lim f, lim f pertanto le rette,, sono asintoti verticali; Asintoti orizzontali: non ha senso calcolarli in quanto il dominio è,, ; Asintoti obliqui: non ha senso calcolarli in quanto il dominio è,, ; cos Crescenza e decrescenza: la derivata prima è S' per sin cui il numeratore è positivo se cos e il denominatore è sempre positivo nel dominio,, ; all interno del dominio 5,, la disequazione cos è verificata per. Il quadro dei segni è di seguito riportato: cos sin minimo massimo
4 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Dal grafico dei segni della derivata prima deduciamo che la funzione presenta un minimo relativo in m, ed un massimo relativo in 5 M,. Concavità e convessità: la derivata seconda è pari a cos cos S'' da cui deduciamo che la funzione rivolge sin concavità verso l alto negli intervalli in cui sin e verso il basso negli intervalli in cui sin, pertanto verso l alto in, e verso il basso in, e non vi sono flessi. Il grafico è di seguito presentato. Compatibilmente con i dati del problema, la parte di grafico è quella per cui ed è di seguito presentata.
5 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Punto L area del semicerchio di raggio unitario è pertanto la probabilità p è data dal rapporto dell area del semicerchio e dell area del trapezio: p sin. cos cos sin sin Studiamo la funzione p in,. cos Dominio: poichè cos R, deduciamo che il dominio è, ; Intersezione ascisse: sin p sin k, k Z quindi nessuno cos 5
6 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it zero cade nel dominio pertanto non vi sono intersezioni con l asse delle ascisse; Intersezioni ordinate: non ci sono intersezioni con l asse delle ordinate in quanto non appartiene al dominio, ; Simmetrie: la funzione è dispari in quanto sin sin p p ed è periodica di cos cos periodo T ; Positività: poichè il denominatore della funzione è sempre positivo in quanto il coseno è una funzione limitata tale per cui cos, la funzione sarà positiva se il numeratore sarà positivo e quindi quando sin ; poiché nell intervallo, il seno è non negativo, deduciamo che la funzione è non negativa in tutto il dominio; Asintoti verticali: lim p, lim p pertanto non vi sono asintoti verticali; Asintoti orizzontali: non ha senso calcolarli in quanto il dominio è, ; Asintoti obliqui: non ha senso calcolarli in quanto il dominio è, ; cos Crescenza e decrescenza: la derivata prima è p' cos per cui il numeratore è positivo se cos e il denominatore è sempre positivo nel dominio, ; all interno del dominio, la 6
7 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it disequazione cos è verificata per,. Il quadro dei segni è di seguito riportato: cos cos + - massimo Dal grafico dei segni della derivata prima deduciamo che la funzione presenta un massimo relativo in M,. 6 Concavità e convessità: la derivata seconda è pari a cos p' ' ; poiché sia il seno che il coseno sono positivi in sin, deduciamo che la funzione volge concavità verso il basso in, e non vi sono flessi. Il grafico è di seguito presentato. 7
8 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Punto Il valore medio è pari a sin sin VM p d d d cos cos ln cos ln 8
9 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it PROBLEMA Si consideri la funzione: f arctan. Si studi tale funzione e si tracci il suo grafico, su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oy.. Si verifichi che i tre punti di flesso di sono allineati e si scriva l equazione della retta alla quale essi appartengono.. Si scrivano le equazioni delle tangenti inflessionali, si dimostri che due di esse sono parallele e si calcoli la loro distanza.. Si calcoli l area della superficie piana, delimitata dalla curva, dall asse e dalle rette di equazione e. RISOLUZIONE Punto Studiamo la funzione f arctan Dominio: R; Intersezione ascisse: f arctan arctan e tale equazione la si può studiare o per via grafica trovando i punti di intersezione della funzione y arctan con la funzione y oppure si può notare che la funzione f arctan è strettamente crescente nel dominio in quanto ha derivata prima f ' e inoltre lim f e lim f pertanto a norma del teorema degli zeri, : f f e data la 9
10 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it stretta crescenza questa radice è unica. Poichè da un controllo diretto si nota subito che f, deduciamo che l unica intersezione con l asse delle ascisse è ; Intersezioni ordinate: f ; Simmetrie: è una funzione dispari in quanto f arctan arctan f ; Positività: f arctan arctan ; se grafichiamo entrambe le funzioni y arctan e y in un unico sistema di riferimento cartesiamo, possiamo notare che f come di seguito mostrato. Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è R; Asintoti orizzontali: lim f e y sono asintoti orizzontali; lim Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto f per cui le rette f lim ;
11 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Crescenza e decrescenza: la derivata prima come già detto precedentemente è f ' per cui la funzione è strettamente crescente in tutto R; Concavità e convessità: la derivata seconda è f '' e risulta essere positiva in,, e negativa in,,, pertanto la funzione volge concavità verso l alto in,, e,, e presenta tre flessi di cui verso il basso in F,, F, a tangente obliqua e F, a tangente orizzontale; infatti in si annulla anche la derivata prima e non si annulla la derivata terza il cui calcolo si lascia al lettore. Il grafico è di seguito presentato: Punto I tre punti di flesso sono allineati lungo la retta di equazione y.
12 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Punto La tangente inflessionale in, F ha equazione y. La tangente inflessionale in, F ha equazione m y dove ' f m e cioè y. La tangente inflessionale in, F ha equazione m y dove ' f m e cioè y. Quindi le tangenti inflessionali in, F e, F, avendo lo stesso coefficiente angolare, sono parallele e per calcolarne la distanza basta calcolare ad esempio la distanza di, F da y ; l equazione della retta y in forma implicita è y pertanto la distanza di, F da essa è 5 5 d.
13 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Punto L area richiesta è di seguito raffigurata in grigio. Essa vale d S arctan ; applicando l integrazione per parti si ha: ln ln ln ln arctan arctan arctan arctan d d d d S
14 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it QUESTIONARIO Quesito Si divida il segmento in due parti AC e CB, in modo che, costruito su AC il quadrato ACDE e su CB il triangolo equilatero CBF, sia minima l area del pentagono ABFDE. Consideriamo la figura sottostante. K F E D A C Poniamo BC, AC a con a. L area del pentagono ABFDE è la somma dell area del quadrato ACDE, del triangolo equilatero CBF e del triangolo scaleno DCF. L area del quadrato ACDE è SACDE a, l area del triangolo equilatero CBF è S CBF mentre il triangolo scaleno DCF ha la base DC che CB a misura a e l altezza KF che misura e pertanto ha area a S DCF. Quindi a 7a S ABFDE a a con H B
15 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it a ; tale area non è altro che una parabola con concavità rivolta verso l alto, pertanto il minimo è raggiunto nell ascissa del vertice 7a 7 min a e l area minima vale S a min Quesito Data la funzione: f sin log sin 5, per per,, si provi che è continua, ma non derivabile, nel punto =. Calcoliamo il limite destro lim sin logsin logsin ; esso può essere scritto come lim e si presenta nella forma indeterminata sin pertanto applicando il teorema di De l Hopital si ha cos logsin sin cos sin lim lim lim di cos cos sin sin conseguenza la funzione è continua in. Per la derivabilità calcoliamo la derivata prima della funzione f sin logsin : cos cos f ' cos logsin sin cos logsin sin cos
16 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it e valutiamola per : cos lim cos logsin log cos pertanto lim f ' e di conseguenza la funzione non è derivabile in. Quesito Si scriva l equazione della tangente al diagramma della funzione log e f nel punto P,? Il logaritmo presente nella funzione è da intendersi in base e, pertanto in seguito lo indicheremo con ln. La tangente ha equazione y m con m f '. Per calcolarne la derivata scriviamo la funzione ln e f ln come e ln lnlne f e e la cui derivata prima è lnlne f ' e lne ln e ln e lne ln e ln e ln e ln ln ln pertanto m f ' e e e e ln di conseguenza la tangente ha equazione y. e 6
17 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Quesito La superficie piana S, delimitata dalla curva di equazione y tan e dall'asse nell'intervallo, è la base di un solido, le cui sezioni, ottenute con piani perpendicolari all'asse, sono tutte triangoli equilateri. Si calcoli il volume di. S tan pertanto il volume del solido so ottiene integrando la superficie Ogni sezione è un triangolo equilatero di area S V in tan, : Sd tan d tan tan sin cos cos ln tan d sin d cos ln tan ln cos cos tan cos d d 7
18 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Quesito 5 Mentre corre con una velocità costante attraverso il deserto, montando il suo fido cammello, un capo tuareg vede la cima di una grande palma e dirige direttamente verso di essa. Al primo avvistamento la cima della palma si presentava con un angolo di elevazione di ; venti minuti più tardi l angolo di elevazione misura 9. Quanti minuti sono ancora necessari al tuareg per raggiungere l albero? Consideriamo la figura seguente. Con riferimento alla figura soprastante, sia la distanza percorsa in minuti, y la distanza da percorrere e h l altezza della palma. Dall ipotesi di velocita costante si deduce che se la distanza è stata percorsa in y minuti la distanza y sarà percorsa in t minuti. D altra parte il triangolo ACD è rettangolo pertanto h y tan9 ytan da y tan9 tan9 tan y tan cui y tan y tan tan9 tan e in conclusione il tempo da percorrere ancora è y tan t 5,8 minuti. tan 9 tan 8
19 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Quesito 6 a Si determinino i coefficienti dell equazione y perché la curva b rappresentativa ammetta asintoto di equazione y. L asintoto obliquo ha equazione y m q con a b a m lim lim b a a ab b ab a b a q lim lim lim b b b b b b. a b Imponendo il sistema si ottiene a b a b a b a a pertanto la curva con asintoto b b a obliquo y ha equazione y e corrisponde alla retta di equazione y ( l asintoto stesso) privata del suo punto di ascissa. a b e 9
20 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Quesito 7 Tenuto conto che: cos log d sin si calcoli un approssimazione di log, utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati. cos Innanzitutto proviamo che log d. Si ha sin cos d sin ln sin ln. Come metodo di integrazione numerica, utilizziamo il metodo dei trapezi. Si suddivide l intervallo, in intervalli di ampiezza h mediante i 5 punti,,,, cui corrispondono i valori della funzione y f cos cos cos 8 y f 8 sin sin cos 8
21 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it y cos f, sin cos cos cos 8. y f, 8 sin sin cos 8 y f L area approssimata è cos y y d y y y sin, con un errore ε n b a n ma f '' a,b in cui la derivata seconda è f '' in, è assunto per ma f '' ma f '', cos 56, ; il massimo di f '' sin e vale ma f '', pertanto l errore commesso è ε n,. Infatti il valore reale di log è ,69 e la differenza tra il valore approssimato e quello reale è,6995,69,6,.
22 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Quesito 8 Sia C la curva d equazione y, e sia G la curva simmetrica di C rispetto all asse y. Qual è l equazione di G? L equazione della curva G simmetrica di C rispetto all asse delle ordinate è y y G C Quesito 9 Si determini la probabilità che nel lancio di due dadi si presenti come somma un numero dispari. Lanciando 5 volte i due dadi, qual è la probabilità di ottenere come somma un numero dispari almeno due volte? Lanciando una coppia di dadi non truccati, le possibili combinazioni di risultati sono 6 6 con distribuzione equa di risultati con somma pari o dispari, pertanto la probabilità che nel lancio di due dadi si presenti come somma un numero dispari è p. La probabilità di ottenere un risultato X dispari k volte in n lanci è dato dalla
23 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it distribuzione binomiale k n k p p k n k X P, pertanto la probabilità richiesta è !! 5! X P X P X P Quesito Si scelga a caso un punto all interno di un parallelogramma, avente i lati lunghi rispettivamente 8m e 6m e gli angoli acuti di. Si determini la probabilità che la sua distanza da ogni vertice sia maggiore di m. Consideriamo la figura seguente. Con riferimento alla figura, possiamo ricavare la probabilità richiesta come rapporto tra l area della figura ottenuta sottraendo al parallelogramma i settori circolari AGF, HBK, JCL, DNM e l area del parallelogramma stesso, avendo appurato che tali settori non si sovrappongono (nel caso dei settori centrati in A e C la cosa è abbastanza evidente, mentre nel caso dei vertici B e D bisogna verificare che la loro distanza sia maggiore di, cosa che, se pur di poco, è vera..). I settori nei vertici di hanno un area ciascuno pari a / del cerchio di raggio, cioè complessivamente un area pari a
24 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it m, quelli nei vertici di 5 hanno un area 6 ciascuno pari a 5/ del cerchio di raggio, cioè complessivamente 5 un area pari a m. L area del parallelogramma è 6 pari a 6 8sin m, pertanto la probabilità richiesta è p 7,6%. 6
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