SERIE STORICHE, TREND, MEDIE MOBILI, REGRESSIONE Andrea Prevete
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- Leonzio Martino
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1 SERIE STORICHE, TREND, MEDIE MOBILI, REGRESSIONE Andrea Prevete Una sere storca o temporale è un nseme d dat costtut da una sequenza d osservazon su un fenomeno d nteresse X, effettuate n stant (per le varabl d stock) o ntervall (per le varabl d flusso) d tempo consecutv e soltamente, anche se non necessaramente, equspazat o della stessa lunghezza. NOTA: varabl d stock e varabl d flusso Concettualmente, le varabl d stock sono grandezze economche che sono rferte ad un precso stante temporale. Il captale d'mpresa, la popolazone d un paese, l'ammontare del debto pubblco fanno, per defnzone, rfermento ad un determnato stante temporale. Le varabl d flusso, nvece, hanno senso se rferte non ad un dato momento ma ad un certo ntervallo d tempo: cas tpc sono l reddto o l volume d'affar, qual sono msurat n relazone ad un certo lasso temporale (un mese, un anno ecc.) ma rappresenta un flusso anche la varazone dello stock d captale nell'arco d un anno. Denotando con t = 1, 2,..., n l tempo, che è l crtero ordnatore delle osservazon, e con {x1, x2,..., xn} la sequenza de dat, l anals della sere temporale s propone d nterpretare l meccansmo dnamco che ha generato la sere e/o d prevedere l evoluzone futura del fenomeno, sulla base delle nformazon fornte da dat. In partcolare, un effcacssmo strumento esploratvo è la cosddetta anals grafca. I punt d coordnate (t, x(t)) per t = 1, 2,..., n vengono rappresentat su un dagramma cartesano ed unt con segment d retta, come se l fenomeno fosse stato rlevato nel tempo con contnutà. Dall anals grafca della maggor parte delle sere economche s rleva la presenza d andament regolar nella dnamca temporale del fenomeno, alcun d lungo perodo, altr d mnore durata. In partcolare s evdenza d solto la presenza d una tendenza d fondo o trend, legata all andamento d lungo perodo del fenomeno, ed una componente d natura cclca e d perodo fsso, detta stagonaltà. MEDIE MOBILI Un crtero estremamente semplce e nel contempo effcace per evdenzare l trend d una sere storca è l cosddetto metodo delle mede mobl, basato sulla sosttuzone d ogn componente della sere con la meda artmetca ottenuta con l succtato termne ed un certo numero q d suo predecessor e successor nella sere stessa. Il valore q è detto ordne della meda moble. Esempo: Consderamo la seguente sere storca
2 Se ponamo q = 1, le mede mobl centrate a tre termn s calcolano come: Il seguente grafco mostra l andamento della sere (lnea contnua) e delle mede mobl (lnea tratteggata): Una meda moble ha un azone per così dre spanante, perchè tende a rdurre le rregolartà d tpo casuale present n una sere storca (rducendone la varabltà). In questo senso resttusce la tendenza d fondo o trend. E possble utlzzare mede pù complesse della semplce meda artmetca appena ctata, che comunque rsulta estremamente effcace nella maggor parte delle applcazon. E abbastanza ovvo notare che un valore basso dell ordne della meda moble, e qund d q, accentua la fedeltà del rsultato a dat osservat, ma rende meno evdente l osservazone delle regolartà d lungo perodo e qund del trend. D altro canto all aumentare del valore d q la meda moble resttusce una sere dal comportamento sempre pù regolare. Esempo: Rcostruzone del trend per le varazon percentual trmestral del PIL con una meda moble centrata con q = 1, 2, 3, 4 (da snstra a destra e dall alto n basso).
3 REGRESSIONE LINEARE In talune stuazon è opportuno o comodo assumere che l TREND abba certe caratterstche, per esempo la forma d una retta. Il problema della sua determnazone dventa allora quello d ndvduare la retta che approssma meglo, s avvcna d pù a dat spermental. S può dmostrare che questo problema, conoscuto n statstca come regressone lneare, ha la sua soluzone pù convncente nella cosddetta retta de mnm quadrat. S ndvdua, coè, fra tutte le rette che passano fra dat spermental quella per cu è mnma la somma de quadrat degl scostament fra dat spermental e la retta stessa. Rprendamo l esempo usato per le mede mobl: Se faccamo le mede artmetche per entrambe le rghe ottenamo: t = = x = = 8. 8 Il punto (4. ; 8.) - l barcentro de dat spermental - rveste un ruolo crucale nella determnazone della succtata retta de mnm quadrat. S può, nfatt, dmostrare che la retta passa propro per questo punto. Resta da calcolare la sua pendenza, ovvero l suo coeffcente angolare. Utlzzando le opportune stratege d ottmzzazone s ottene, per m, la formula:
4 m x x t = 2 t t t Qund, facendo ancora rfermento all esempo precedente, s può procedere costruendo una tabella come quella che segue: t t = 4. x x = 8. t t x x t t = 42 t t x x = 69 m=1.64 La retta cercata ha, qund, equazone: x = 1.64(t-4.) + 8. x Sere 1 f(x)=1.64(x-4.)+8. questo è l grafco rsultante! Sere barcentro! t
5 APPROFONDIMENTI In realtà per comprendere la caratterstche d una sere storca, soprattutto quando questa esprme valor economc, occorre pensare ad ogn sngolo dato x(t) come somma d almeno tre component: x(t) = T(t) + S(t) + A(t) dove T è la parte d valore esprmente l trend della sere, S la cosddetta stagonaltà, A la componente casuale. Per evdenzare solo T(t), ossa solo l trend) occorre e basta procedere con mede mobl d ordne elevato, qund con q suffcentemente grande. Se, nvece, è mportante rlevare l movmento cclco che chamamo stagonaltà s può procedere così: Rcostruamo (n forma prelmnare) n ogn stante t l trend T(t) con una opportuna meda moble. La dfferenza tra la sere osservata e la meda moble (che rappresenta la rcostruzone del trend) c fornsce le component stagonale ed accdentale : x(t) T(t) = S(t) + A(t) per ogn t = 1,..., n Isolamo, qund, la stagonaltà rcostruendo la componente S() rferta a cascuno de sottoperod ( = 1, 2,..., s) del perodo stagonale s attraverso una meda artmetca, po aggustata (che elmna A(t)).
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