Lezione 1.2 Corso di Statistica. Francesco Lagona

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1 Lezione 1.2 Corso di Statistica Francesco Lagona Università Roma Tre F. Lagona 1 / 19

2 Outline 1 Word clouds 2 Distribuzioni di frequenze: variabili continue 3 Entropia 4 Frequenze cumulate

3 Word clouds il discorso di Mattarella F. Lagona 3 / 19

4 Distribuzioni di frequenze: variabili continue il caso delle variabili continue esempio: differenza (in minuti) tra il tempo di arrivo effettivo e quello dichiarato dall ente ferroviario di n = 50 treni ad una stazione: poichè quasi tutte le modalità appaiono una sola volta, la distribuzione di frequenze non è una buona sintesi della distribuzione unitaria F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 4 / 19

5 Distribuzioni di frequenze: variabili continue suddivisione in classi e distribuzioni di frequenze classe n k f k p k [ 10, 6) [ 6, 2) [ 2, 2) [2, 6) [6, 10] classe n k f k p k [ 10, 8) [ 8, 6) [ 6, 4) [ 4, 2) [ 2, 0) [0, 2) [2, 4) [4, 6] [6, 8] F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 5 / 19

6 Distribuzioni di frequenze: variabili continue densità caso delle frequenze assolute classe n k A k h k = n k A k [ 10, 6) [ 6, 2) [ 2, 2) [2, 6) [6, 10] caso delle frequenze relative classe f k A k h k = f k A k [ 10, 6) [ 6, 2) [ 2, 2) [2, 6) [6, 10] F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 6 / 19

7 Distribuzioni di frequenze: variabili continue istogramma minuti di ritardo densità minuti F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 7 / 19

8 Distribuzioni di frequenze: variabili continue ampiezza delle classi ampiezza classe = 2 ampiezza classe = 1 densità densità minuti minuti ampiezza classe = 0.5 ampiezza classe = 0.01 densità densità minuti minuti F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 8 / 19

9 Distribuzioni di frequenze: variabili continue istogramma nel caso delle frequenze assolute, l area dell istogramma è uguale alla dimensione n della popolazione rilevata: h k = n k A k n k = A k h k area istogramma = A 1 h 1 + A 2 h A K h K area istogramma = n 1 + n n K = n nel caso delle frequenze relative, l area dell istogramma è uguale ad 1: h k = f k A k f k = A k h k area istogramma = A 1 h 1 + A 2 h A K h K area istogramma = f 1 + f f K = 1 F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 9 / 19

10 Entropia entropia data una distribuzione di frequenze relative x 1 x 2... x K f 1 f 2... f K la sua entropia è data da dove log e è il logaritmo naturale K H = f k log e f k k=1 y = log e x e y = x F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 10 / 19

11 Entropia entropia: esempio data la tabella classe f k log f k f k log f k [ 10, 6) [ 6, 2) [ 2, 2) [2, 6) [6, 10] la sua entropia è data da H = 1.29 F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 11 / 19

12 Entropia indice di entropia relativa consideriamo una distribuzione di frequenze relative con K modalità quando tutta la distribuzione è concentrata su un unica modalità: H = 1 log 1 = 0 quando tutte le modalità compaiono con la stessa frequenza (distribuzione uniforme): ( 1 H = K log 1 K K log 1 ) K = K 1 K log 1 K = ( log(k)) = log K l indice di entropia varia tra 0 (minima entropia o massima concentrazione) e log K (massima entropia o equidistribuzione) l indice di entropia relativa H rel = H log K F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 12 / 19

13 Entropia età maschi femmine maschi femmine F. Lagona 13 / 19 Residenti in Italia per classi di età

14 Entropia piramidi delle età età maschi residenti nell anno 1861 femmine F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 14 / 19

15 Entropia piramidi delle età età maschi residenti nell anno 1991 femmine F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 15 / 19

16 Frequenze cumulate distribuzione delle frequenze cumulate le frequenze cumulate hanno senso compiuto solo nel caso in cui la variabile rilevata sia almeno qualitativa ordinabile le frequenze assolute cumulate N k si ottendono cumulando le frequenze assolute n k le frequenze relative cumulate F k si ottendono cumulando le frequenze relative f k ad esempio x k n k N k f k F k S SS D F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 16 / 19

17 Frequenze cumulate funzione di ripartizione la funzione di ripartizione è una funzione a scalini, con punti di discontinuità in corrispondenza delle modalità e salti di ampiezza pari alle corrispondenti frequenze relative caso 1: variabile qualitativa ordinabile (i salti sono equidistanti) caso 2: variabile quantitativa discreta (i salti si trovano in corrispondenza delle modalità numeriche) F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 17 / 19

18 Frequenze cumulate caso 1: variabili ordinali x k n k N k f k F k S SS D funzione di ripartizione F(x) S SS D F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 18 / 19

19 Frequenze cumulate caso 2: variabili quantitative discrete x k n k N k f k F k funzione di ripartizione F(x) modalita F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 19 / 19