3+2 =0.6) e B vincente a 1 contro 4 ( 1

Transcript

1 Esempio 23 (Sul teorema delle probabilità totali) 6 Consideriamo una gara in cui ci sono tra i vari concorrenti due italiani e precisamente i concorrenti A e B e indichiamo i seguenti eventi E A = vince il concorrente A, E B = vince il concorrente B. Quale è la probabilità di vittoria italiana? Supponiamo che l individuo 0 che tenga il banco valuti uguale a 0.60 la probabilità di vittoria del concorrente A (p A =0.60) e a 0.20 la probabilità di vittoria del concorrente B, ecioèdiaa vincente a 3 contro 2 ( =0.6) e B vincente a 1 contro 4 ( =0.2). Allora è necessario che valuti la probabilità di vittoria italiana uguale a 0.80, ovvero che dia l Italia vincente a 4 contro 1. Infatti, un competitore che compri a 0.60 euro un buono che vince 1 euro se vince A, e un buono a 0.20 euro che vince 1 euro se vince B, spende in tutto 0.80 euro ed ha un insieme di due buoni che vince 1 euro in caso di vittoria italiana (vince A o B). L individuo che tiene il banco e ha valutato uguale a 0.60 e 0.20 le probabilità di vittoria di A edib, e si è cioè impegnato ad accettare scommesse col pubblico su queste basi, si è con ciò implicitamente impegnato ad accettare scommesse sulla vittoria italiana sulla base di una probabilita uguale a = 0.80, ha cioe implicitamente valutato uguale a 0.80 la probabilitaà di vittoria italiana. (L individuo ha applicato il teorema delle probabilità totali P (E A _ E B )=P (E A )+P (E B ), E A E B = ;). Se, invece, egli non comprendesse, e, senza rispettare il teorema delle probabilità totali, valutasse la probabilità di vittoria italiana a 0.75 allora accadrebbe che se un 6 Sul significato soggettivo della probabilità G. Sanfilippo - CdP pag. 87

2 competitore scommettesse 1 euro (a favore) nel caso di vittoria italiana, 1 euro contro la vittoria di A e 1 euro contro la vittoria di B, allora avrebbe intascato 5 eurocent (0.05) e sarebbe libero da ogni altro impegno perchè le eventuali vincite e perdite si compensano in ogni caso. Infatti, scommettere 1 euro a favore di vittoria italiana con probabilità 0.75 significa che 1, EA _ E si è disposti a pagare 0.75 per ricevere B vero, 0, E c A ^ Ec B vero. Scommettere 1 euro contro A con probabilità 0.6 e 1 euro contro B con probabilità 0.2 significa rispettivamente che 1, EA vero, si è disposti a ricevere 0.6 per pagare 0, E c A falso, 1, EB vero, si è disposti a ricevere 0.2 per pagare 0, E c B falso. Poichè E A ed E B sono incompatibili, si ha E A _ E B = E A + E B. Quindi il guadagno aleatorio sarà G = ( E A _ E B 0.75) ( E A 0.6) ( E B 0.2) = = E A + E B 0.75 E A +0.6 E B +0.2 =0.05, cioè un unico valore positivo per tutti i possibili risultati della gara (incoerenza). G. Sanfilippo - CdP pag. 88

3 Riportiamo nella Figura 21 come vanno calcolate le probabilità (a partire dalle pseudo probabilità) nelle scommesse a quota fissa. Fonte: AAMS Figura 20: Probabilità nelle scommesse a quota fissa. G. Sanfilippo - CdP pag. 89

4 Figura 21: Probabilità e gratta e vinci. Fonte AAMS G. Sanfilippo - CdP pag. 90

5 Coerenza e proprietà della probabilità Verifichiamo che le tre Proprietà fondamentali della probabilità P1. P (E) 0, per ogni evento E; P2. P ( ) = 1 ; P3. se AB = ;, allorap (A _ B) =P (A) +P (B). sono condizioni necessarie per la coerenza. Sia E un evento, ricordiamo che il guadagno aleatorio associato alla valutazione P (E) =p, èdatoda G = S(1 p), E vero ps, E falso. La condizione di coerenza Min G Max Gapple0, 8S 6= 0 diventa S(1 p)( ps) = p(1 p)s 2 apple 0, che è soddisfatta se e solo se 0 apple p apple 1. Pertanto la Proprietà P1 è condizione necessaria (ma anche su ciente) per la coerenza di G. Sanfilippo - CdP pag. 91

6 una valutazione di probabilità su un evento. Se E =,siha Min G = Max G = G = S(1 p). La condizione di coerenza S(1 p) S(1 p) apple 0, 8S 6= 0 ovvero S 2 (1 p) 2 apple 0 8S 6= 0richiede G = S(1 p) =0, per ogni S 6= 0. Pertanto, la condizione di coerenza richiede p = P ( ) = 1, ovvero la Proprietà P2 è condizione necessaria per la coerenza. Essa è anche su ciente, infatti P ( ) = 1 è una valutazione coerente poichè implica G =0per ogni S. Analogamente si prova che condizione necessaria e su valutazione su un evento impossibile è P (;) =0. ciente per la coerenza di una Per quanto riguarda la dimostrazione della necessità della proprietà additiva (P3) consideriamo dapprima una partizione di, costituita da n eventi {H 1,...,H n }, di probabilità p 1,...,p n e dimostriamo che condizione necessaria per la coerenza di p 1,...,p n è c h e p 1 + p p n =1. (In realtà la condizione è anche su ciente) G. Sanfilippo - CdP pag. 92

7 Il guadagno totale relativo ad n scommesse simultanee sugli eventi H 1,...,H n, con importi S 1,...,S n,è G = S 1 ( H 1 p 1 )+ + S n ( H n p n ). Poichè H H n =1,perS 1 = = S n = S si ottiene Min G = Max G = G = = S[1 (p p n )]. Per la condizione di coerenza, dev essere G =0. Allora, segue p p n =1, ovvero P (H 1 )+ + P (H n )=1. (15) Dim. che la proprietà additiva è condizione necessaria per la coerenza: dati due eventi incompatibili A, B, per la partizione {A _ B, (A _ B) c } deve essere soddisfatta la condizione P (A _ B) +P [(A _ B) c ]=1. D altra parte, per la partizione {A, B, (A _ B) c } deve valere P (A) +P (B) +P [(A _ B) c ]=1, da cui si ottiene : P (A _ B) =P (A) +P (B). (16) G. Sanfilippo - CdP pag. 93

8 La formula (16) nel caso di n eventi E 1,...,E n (Teorema delle probabilità totali) a due a due incompatibili diventa P (E 1 _ _E n )=P (E 1 )+ + P (E n ). (17) Dimostrate le proprietà fondamentali del calcolo classico delle probabilità, ne scende che tutti i risultati di tale calcolo non sono che conseguenze della definizione che abbiamo data della coerenza. Un individuo che nel giudicare delle probabilità di certi eventi contraddice un teorema del calcolo delle probabilità non è coerente: un competitore potrebbe scommettere con lui assicurandosi la vincita a colpo sicuro. 7 Osservazione 1 (criterio classico di valutazione) Se in un dato esperimento aleatorio si hanno m casi possibili C 1,...,C m giudicati ugualmente probabili, poichè P (C 1 )+ + P (C m )=1, segue P (C k )= 1 m, k =1,...,m. 7 Bruno de Finetti, Sul significato soggettivo delle probabilità, Fundamenta Mathematica (1931), pp G. Sanfilippo - CdP pag. 94

9 Allora, considerato un evento E con r casi favorevoli, ad esempio E = C 1 _ _C r, dalla formula ( 17) si ottiene P (E) =P (C 1 )+ + P (C r )= r m, cioè la probabilità di E è pari al rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili. G. Sanfilippo - CdP pag. 95

10 Costituenti. Osserviamo che ^ = echee _ E c =, 8 E. Sfruttando tali relazioni, considerati due eventi A, B, si possono determinare i costituenti o casi elementari, eliminando le intersezioni impossibili dallo sviluppo della seguente espressione: (A _ A c ) ^ (B _ B c )= (AB _ AB c _ A c B _ A c B c (18) ). In generale, data una famiglia F n = {E 1,...,E n },icasipossibili, C 1,...,C m, con m apple 2 n, si ottengono dallo sviluppo della seguente espressione (eliminando le intersezioni impossibili) (E 1 _ E c 1 ) ^ (E 2 _ E c 2 ) ^ ^(E n _ E c n )=C 1 _ C 2 _ _C m dove C k = E 1 E 2 E n, k =1, 2,...,m apple 2n, dove E i = E i, oppure E i = Ec i. G. Sanfilippo - CdP pag. 96

11 G. Sanfilippo - CdP pag. 97

12 Esempio 24 (Costituenti) Dati 2 eventi A, B con A B si hanno i seguenti costituenti (vedi Figura 22) Infatti l intersezione AB c = ;. C 1 = AB C 2 = A c B C 3 = A c B c. A B Ω Figura 22: A B G. Sanfilippo - CdP pag. 98

13 Esercizio 11 Supponiamo di e ettuare il lancio di un dado. Consideriamo gli eventi: A = Esce il numero 2, B = Esce un numero pari. Calcolare i costituenti relativi alla famiglia F = {A, B}. Esercizio 12 Dati 3 eventi A, B, C con A e C incompatibili e B C. Calcolare i costituenti relativi alla famiglia F = {A, B, C}. Esercizio 13 Da un urna contenente 5 palline bianche e 3 nere si e ettuano 2 estrazioni senza restituzione. Sia A l evento la 1 a pallina estratta è bianca e B l evento la 2 a pallina estratta è bianca. Calcolare, in relazione a ciascun evento, il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, confrontando i valori ottenuti per A e B. G. Sanfilippo - CdP pag. 99

14 Esempio 25 Con riferimento a una data partita di calcio tra la Roma el Inter, si considerino gli eventi: A : la Roma a cinque minuti dal termine della gara è in vantaggio sull Inter; B : la Roma vince la partita; C : la Roma a cinque minuti dal termine della gara è in svantaggio sull Inter. I casi possibili relativi agli eventi A, B, C, tenendo conto che A e C sono incompatibili e quindi che gli eventi ABC e AB c C risultano impossibili, sono i seguenti: C 1 = ABC c,cioèa e B veri e C falso; vale a dire: la Roma a cinque minuti dal termine della gara è in vantaggio sull Inter e vince la partita. C 2 = A c BC, cioèa falso e B e C veri; vale a dire: la Roma a cinque minuti dal termine della gara è in svantaggio sull Inter e vince la partita. C 3 = A c BC c,cioèa e C falsi e B vero; vale a dire: a cinque minuti dal termine della gara le squadre sono in parità e la Roma vince la partita. C 4 = AB c C c,cioèa vero e B e C falsi; vale a dire: la Roma a cinque minuti dal termine della gara è in vantaggio sull Inter e non vince la partita. C 5 = A c B c C,cioè A e B falsi e C vero; vale a dire: la Roma a cinque minuti dal termine della gara è in svantaggio sull Inter e non vince la partita. C 6 = A c B c C c,cioè A, B e C falsi; vale a dire: a cinque minuti dal termine della gara le squadre sono in parità e la Roma non vince la partita. Si ha A = ABC c _ AB c C c, B = C 1 _ C 2 _ C 3, C = C 2 _ C 5. G. Sanfilippo - CdP pag. 100