MODELLO MATEMATICO DELLA MACCHINA AD INDUZIONE A ROTORE AVVOLTO IN REGIME COMUNQUE VARIABILE. Ezio Santini SAPIENZA Università di Roma

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1 ODEO AEAICO DEA ACCHINA AD INDUZIONE A OOE AVVOO IN EGIE COUNQUE VAIABIE Ezo Santn SAPIENZA Unetà oma Equazon namche ella macchna ancona S pena n coneazone una macchna ancona tfae a otoe aolto, a eempo a una coppa pol, el tpo quella appeentata n Fg... Il cao peo n eame è aolutamente geneale, n quanto è empe poble paae a un aolgmento a gabba a un aolgmento aolto equalente; nolte, quala a l numeo pol, è empe poble etemnae un aolgmento equalente a una ola coppa pol. tatoe ' tafeo ' ' ' otoe ' ' Fg.. Uno chema motoe ancono tfae con otoe aolto, una coppa pol, una caa pe polo e pe fae. Pe ognuno e e aolgment (te tatoe e te otoe) è poble cee una equazone elettca el tpo: k (t ) k k k (t ) (t ) ; k,6 (.) equazone (.) è el tutto geneale e anche toppo nota pe eee cua; n ea, k(t) appeenta l anamento ella tenone a cap el k-emo aolgmento n funzone el tempo, k(t) la coente e k(t) l fluo concatenato, empe nel k-emo aolgmento. Oamente, k è la Ezo Santn a macchna ancona n egme comunque aable 7..7 pagna 7

2 Ezo Santn a macchna ancona n egme comunque aable 7..7 pagna 7 etenza ell aolgmento teo, eentualmente penente alla fequenza nel cao coent paate. Nel cao n eame un motoe ancono tfae, l equazone (.) può eee ettaglata come egue: (.) Nella (.), l pece nca ganezze fete allo tatoe, e l pece nca ganezze fete al otoe (è oo che, a meno ca patcola, le te etenze tatoe aanno lo teo aloe, e analogamente pe quanto guaa le etenze tatoe; coneeanno pecò una etenza tatoe e una otoe ). In foma compatta, la (.) può eee ctta come: (..a) Il fluo concatenato con l geneco aolgmento è ato alla omma e contbut e flu auto e mutua nuzone, che poono eee epe n funzone egl analogh coeffcent: (.) Nell effettuae le eate tempoal ncate al econo membo ella (.), è neceao tenee peente eguent punt: Come noto, nel cao aazone nel tempo elle ganezze elettomagnetche, la tbuzone ella coente ne conutto non è unfome (tante pe tante) ma aable a punto a punto. D coneguenza, le pete ohmche ne conutto aumentano petto al cao tbuzone unfome (n coente contnua). Se efnce la etenza come l appoto ta le pete ohmche e l quaato ella coente, tale aloe è fotemente penente alla tbuzone ella coente e qun aable con ea.

3 Ezo Santn a macchna ancona n egme comunque aable 7..7 pagna 7 - a meno ella aazone fluo concatenato outa alla peenza anotope magnetche aocate a non unfome affacco geometco elle tuttue tatoche e otoche petto al tafeo, le mutue nuttanze ta aolgment allogat ulle tea tuttua (tatoe e otoe) poono eee coneate cotant; - tacuano la non lneatà e ccut magnetc, la aazone e paamet nutt con l tempo è outa oltanto alla aazone ella pozone elata ta tatoe e otoe. A fn una maggoe nte, l equazone (.) può eee ctta come egue: (.4) Pe quanto peceentemente ettaglato, appae eente che la aazone ella matce petto al tempo è nulla, e analogamente euce pe la matce ; pe quanto guaa le matc =, ha che : (.5) Nella (.5), l aca angolae appeenta la pozone el otoe petto alla pozone femento, mente nca la eloctà angolae el otoe teo, coneato come copo go oggetto oltanto a otazon. In accoo con quanto lecalmente table nella letteatua tecnca ntenazonale, poà: G (.6) Non aà nutle qu coae che, n bae a elementa egole calcolo matcale, un opeatoe calae applcato a una matce opea u tutt gl element ella matce tea. A eempo, l opeazone a[b] mplca la moltplcazone ello calae a pe ogn elemento ella matce [B]; analogamente, l opeazone /[C] mplca la eazone petto alla aable ogn elemento ella matce [C].

4 Sulla bae quanto ettaglato, la eata petto al tempo el fluo concatenato con e aolgment può eee ctta come: G G (.7) Il compleo elle equazon elettche, epeo alle (.) e alla ua contopate ntetca (.a), ene qun a eee appeentato come egue: G G (.8) In foma etemamente ntetca, la (.8) può eee ctta come: I G (.9) Nella (.8) compaono otto aabl tato: le e coent, la eloctà angolae el otoe e la pozone angolae quet ultmo. a pozone angolae non compae n foma eplcta, ma pe l tamte e alo elle matc e che penono alla pozone angolae el otoe, e G nolte pe l fatto che la eloctà angolae è la eata ella pozone angolae petto al tempo. Pe gl lupp futu ella tattazone è mpotante ottolneae che l temne a econo membo ella (.9), può eee ctto come: G, che compae G G (.) Due ulteo equazon ffeenzal alle eate onae poono eee ctte. a pma epme appunto l appoto etente ta la pozone angolae e la eloctà angolae: (.) e la econa è l epeone el econo pncpo ella namca pe l moto ccolae: Ezo Santn a macchna ancona n egme comunque aable 7..7 pagna 4 7

5 J em (.) Nella (.), J appeenta l momento neza el otoe (e elle mae otant eentualmente a eo gamente collegate, qual a eempo quelle una pompa azonata al motoe); em è la coppa elettomagnetca, outa alla nteazone ta camp magnetc tatoe e otoe, la coppa caco. É oamente neceao epmee la coppa motce n funzone e paamet macchna e elle aabl tato. A queto copo, cone l blanco enegetco che ece l appoto ella macchna con l eteno. In un nteallo tempo, la macchna camba con l eteno: - enega elettca el tpo (t) (t) ; - enega meccanca ; - enega temca el tpo. Inolte, la quanttà enega magnetca mmagazznata nel tema magnetco (el tpo ½ ) aa nell nteallo tempo, econo una legge che aà etemnata nel eguto queto paagafo. ale aazone può eee calcolata come: Wmagn Wmagn (.) Come oo, l pncpo coneazone ell enega chee che la omma tutte le aazon enega a pa a zeo. S ha qun, pemoltplcano la (.9) pe l temne : I G (.4) Come oo, l temne a pmo membo ella (.4) appeenta l enega elettca cambata con l eteno; l pmo temne a econo membo è l enega pata pe effetto Joule, mente l econo e tezo temne appeentano la omma ell enega meccanca e ella aazone Il pece nca tapozone ell opeatoe matcale (ettoe, matce) cu l pece è applcato. Ezo Santn a macchna ancona n egme comunque aable 7..7 pagna 5 7

6 enega magnetca. Al fne calcolae l enega meccanca, è peentamente neceao calcolae la aazone enega magnetca. A ttolo eempo cone un tema ue nutto mutuamente accoppat. enega magnetca a e aocata può eee ctta: W magn (.5) a eata tale enega magnetca petto al tempo ale: W magn (.6) a (.5) può eee ctta n foma ntetca: Wmagn (.7) E eano petto al tempo ha: W magn (.8) È facle efcae che la (.8) conce con la (.6). Inolte, teneno peente la (.), la (.8) può eee ctta: W magn G (.9) Sottueno la (.9) nella (.4) ha: W (.) magn G Ezo Santn a macchna ancona n egme comunque aable 7..7 pagna 6 7

7 ultmo temne a econo membo è oamente l enega meccanca che nel tempo ene cambata alla macchna con l eteno. coano che elettomagnetca: em, ha pe la coppa G (.) D coneguenza, l tema equazon ffeenzal alle eate onae che ece l compotamento namco ella macchna ancona tfae n eame è l eguente: J I G G (.) Pe mot legat alla ntegazone al pao elle equazon ffeenzal alle eate onae, la (.) può eee ctta n foma eplcta: I J G G (.) Nella (.), le ganezze ngeo ono la tenone applcata e la coppa caco; le aabl tato ono le e coent, la pozone angolae el otoe e la eloctà quet ultmo, mente paamet ono la matce elle nuttanze, quella elle etenze, quella ella eata pazale elle nuttanze e l momento neza. ntegazone elle (.), con le oppotune conzon nzal, pemette la etemnazone ello tato ella macchna n ogn poble conzone funzonamento. Ezo Santn a macchna ancona n egme comunque aable 7..7 pagna 7 7