ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2017/2018. Esercizi 5

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1 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2017/2018 Esercizi 5 Valutazioni di operazioni finanziarie e titoli obbligazionari Esercizio 1. Un investimento è descritto dal seguente cash-flow: Scadenze Importi a) Dopo aver scritto il DCF (discounted cash-flow), determinare qual è tra i seguenti il TIR di tale operazione finanziaria: a) 12% b) 13% c) 14% d) 15% b) Si stabilisca il sovraprofitto attuale dell investimento rispetto ad un impiego bancario al costo-opportunità del 10% nelle ipotesi che la cifra iniziale di 5000e sia: i) finanziata interamente con mezzi propri; ii) coperta per il 30% da un finanziamento bancario della durata di 2 anni con rimborso globale alla scadenza al tasso del 20%. c) Si determini la prima quota di periodo del VAN nel caso ii) del precedente punto b) adottando i capitali residui ricorsivi e usando un TIR (nella forma giá espressa in percentuale) approssimato per difetto sulla seconda cifra decimale, sapendo che è compreso tra l 11, 3% e l 11, 4%. Soluzione. a) Abbiamo che G(x) = x (1 + x) , ponendo x = 0, 14 (1 + x) 3 si ottiene G(0, 14) = 0, quindi il TIR è x = 14%. b) i) In tal caso bisogna calcolare il VAN al costo opportunità pari al 10%, quindi: VAN(10%) = , (1, 1) (1, 1) 3 = 374, 15 > 0, 1

2 2 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA quindi il sovraprofitto (attuale) dell operazione al costo-opportunità del 10% è circa pari a 374 euro. ii) L investimento iniziale è descritto dal seguente cash-flow: (a 0, a 1, a 2, a 3 ) = ( 5000, 1700, 2560, 2280). Il costo iniziale di 5000e viene coperto per il 30% da un finanziamento bancario della durata di 2 anni con rimborso globale alla scadenza al tasso del 20%, quindi f 0 = , 3 = 1500e; f 2 = f 0 (1, 2) 2 = 1500 (1, 2) 2 = 2160e. Allora il finanziamento è descritto dal seguente cash-flow: (f 0, f 1, f 2, f 3 ) = (1500, 0, 2160, 0). Abbiamo così un nuova operazione finanziaria descritta dal seguente cash-flow: (a 0 + f 0, a 1 + f 1, a 2 + f 2, a 3 + f 3 ) = ( 3500, 1700, 400, 2280), con discounted cash-flow G 1 (x) = x (1 + x) Dunque dobbiamo calcolare il VAN al costo opportunità pari al 10% sul capitale proprio, ossia l APV (adjusted present value): VAN(10%) = , (1, 1) (1, 1) 3 = 89, 031 > 0, il che significa che il nuovo sovraprofitto (attuale) è pari a circa 89 euro, abbssandosi rispetto al caso del solo capitale proprio di circa 285 euro. c) Il discounted cash-flow dell operazione finanziaria come da ii) punto b), chiamato G 1 (x), é appunto dato da G 1 (x) = (1 + x) (1 + x) Dobbiamo testare il segno di G 1 (x) buttandovi dentro valori ragionevoli di x, compresi, secondo l aiuto dato nella domanda stessa, tra 11, 3% e 11, 4%. Se ad esempio inserite x = 11, 36%, risulterá G 1 (11, 36%) > 0, mentre con x = 11, 37%, risulterá G 1 (11, 37%) < 0, pertanto la soluzione richiesta é proprio x = 11, 36%.

3 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 3 Allora, la prima quota di periodo del VAN con capitali residui in forma ricorsiva é data dalla formula semplificata g 1 (i) = w 0(x i), (1 + i) ove si ricordi che i = 10%, per cui si ha che g 1 = 43, 27. Esercizio 2. Un risparmiatore acquista un titolo che offre 5e tra 6 mesi e 105e alla scadenza tra un anno e mezzo. Al momento dell acquisto, il rendimento è r = 3%. Si determini: (1) il prezzo del titolo; (2) gli outstanding capitals w 0, w 1 e w 2, relativi rispettivamente al momento dell acquisto, all epoca t 1 = 6 mesi e t 2 = 1 anno e mezzo, ove w 1 (non standard) sia il valore di mercato del titolo dopo 6 mesi, supponendo che, dopo 6 mesi, il rendimento sia r 1 = 4%; (3) i rendimenti x 1 e x 2 dell investimento relativi rispettivamente ai soli primi sei mesi e all anno successivo; (4) il VAN al costo opportunità pari al 3, 5%, deducendo se convenga aderire a tale investimento o meno. Soluzione. (1) Il prezzo del titolo P (0, r) è dato dall attualizzazione dei frutti al tasso di mercato esistente al momento dell acquisto, ossia P (0, r) = 2 s=1 a s (1 + r) t = s 1 + r (1 + r) 3 105, 37, ove t 1 = 0, 5, t 2 = 1, 5, a 1 = 5 e a 2 = 105. (2) Gli outstanding capitals w 0 e w 2 sono sempre dati rispettivamente da a 0 e 0; per trovare w 1, invece, bisogna calcolare P (1/2, r 1 ), ossia il prezzo del titolo all epoca t 1 = 1/2, con rendimento dato da r 1 = 4%. In base a quanto detto sopra, si ha che P (1/2, r 1 ) = a 2 = w 1 100, r 1 (3) Attenzione ora ai tassi di rendimento dei due periodi relativi ai primi sei mesi e all anno successivo. Se ricordiamo la formula generale del regime composto, quando si investe un capitale C a tasso (nel nostro caso, interpretabile come rendimento) i per una durata pari a t, il montante finale M a cui si ha diritto é M = C(1 + i) t. Pertanto, se voglio ricavare il rendimento i, ottengo ( M ) 1/t i = (1) C

4 4 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA In base alla suddetta equazione, quindi, partendo con l analisi del rendimento x 1, relativo al periodo che va da t 0 = 0 a t 1 = 0, 5, si ha che t = t 1 t 0 = 0, 5, il capitale iniziale C coincide con il capitale residuo w 0, mentre il montante finale é pari al capitale residuo w 1 sommato alla cedola a 1. In conclusione, applicando l Eq.(1), si ha che ( x a1 + w ) = w 0 Se ora inseriamo i valori trovati in precedenza al posto di a 1, w 0 e w 1, si trova che x 1 = 1, 12%. Analogamente, per quello che riguarda il rendimento x 2, relativo al periodo che va da t 1 = 0, 5 a t 2 = 1, 5, si ha che t = t 2 t 1 = 1, il capitale iniziale C coincide con il capitale residuo w 1, mentre il montante finale é pari al capitale residuo w 2 sommato alla cedola a 2. In conclusione, applicando l Eq.(1), si ha che x 2 = a 2 + w 2 w 1 In questo caso, essendo w 2 = 0, troviamo che x 2 = a 2 w 1 Se invece di inserire al posto di w 1 il valore numerico approssimato pari a 100, 96, mettete la formula trovata al punto (2), ossia w 1 = a 2 /(1 + r 1 ), troverete il seguente risultato esatto: x 2 = a 2 a 2 (1+r 1 ) 1 = r 1 = 4%. Il risultato del 4% vi sarebbe comunque uscito, anche se leggermente approssimato, se al posto di w 1 aveste sostituito il valore numerico 100, 96. (4) Infine, il VAN è il DCF del titolo calcolato al tasso x = 3, 5%, ossia G(0, 035) = P (0, r) + a 1 a + 2 0, 736 < 0, 1, 035 (1, 035) 3 quindi non conviene aderire. Esercizio 3. Un titolo paga cedole annue pari a 3e dopo uno e due anni, mentre il terzo anno paga 103e complessive. Per tale titolo è assicurato, al momento attuale, un rendimento pari al 3%. Calcolare il corso tel quel del titolo. Soluzione. Abbiamo che DCF(x) = C tq x + 3 (1 + x)

5 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 5 Poiché il rendimento del 3% è il TIR dell investimento, abbiamo che C tq + 3 1, (1, 03) (1, 03) 3 = 0 da cui otteniamo che il corso tel quel del titolo è C tq = 3 1, (1, 03) (1, 03) 3 = 100e