Ottimo del consumatore. a.a. 2008/2009. Dott. Laura Vici

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Ottimo del consumatore. a.a. 2008/2009. Dott. Laura Vici"

Transcript

1 Ottimo del consumatore a.a. 2008/2009 Dott. Laura Vici Esercitazioni: giovedì 9:00-11:00, Aula A, Via Berti Pichat, 6 Ricevimento: giovedì 13:00-15:00 Dipartimento di Scienze Economiche- Strada Maggiore, 45 Studion Home page: Esercitazione IV Versione 22/10/2008 OBIETTIVI: dopo un breve ripasso dei concetti di curva di indifferenza, saggio marginale di sostituzione (SMS) e vincolo di bilancio, in questa sezione vengono analizzati i metodi di massimizzazione dell utilità sotto il vincolo di bilancio, tecnica che consente di determinare il paniere ottimale di consumo.

2 La teoria del consumatore La teoria del consumatore è quella branca dell economica che si occupa di spiegare come i consumatori allocano il proprio reddito per l acquisto di beni e serivizi, in modo da massimizzare la propria utilità. Il problema principale di un consumatore è quello di disporre di un reddito limitato da suddividere tra l acquistodibenidiversi,ossiaperl acquistodelpanieredibeni 1 chegliassicurailmaggiorevantaggio. Pertanto gli elementi da considerare per risolvere il problema del consumatore sono due: - le preferenze del consumatore rispetto ai beni(la funzione di utilità da massimizzare). - la disponibilità finanziaria e i prezzi dei beni(il vincolo di bilancio da rispettare). Assunzioni Il presupposto della teoria del consumatore è che gli individui siano razionali e coerenti. Inoltre, per semplificare lo studio, si suppone implicitamente che il consumatore disponga di completa informazione. Inoltre, la teoria del consumatore si fonda su una serie di assunzioni: Completezza: Le preferenze dei consumatori sono complete se i consumatori sono in grado di confrontare e classificare tutti i possibili panieri, indipendentemente dal prezzo. Ad esempio, dati due panieri A e B, il consumatorepuòpreferireaab(esiindicacona B)oppurepuòpreferireBadA(esiindicacon A B),oessereindifferentetraiduepanieri(esiindicaconA B). Transitività: DatitrepanieriA,BeC,seunconsumatorepreferisceAaBeBaC,allorapreferisceAaC(A B eb C= A C). Non sazietà: Il consumatore preferisce sempre una quantità maggiore a una quantità minore di un bene. Pertanto, anchesedipoco,"più"èsemprepreferitoa"meno". Convessità: Le curve di indifferenza sono convesse. Ciò implica un saggio marginale di sostituzione decrescente (questa ipotesi ci sarà più chiara tra qualche istante). Utilità e funzione di utilità In economia, per rappresentare il livello di soddisfazione di un consumatore si ricorre al concetto di utilità e alla funzione di utilità. Il termine utilità indica quel valore numerico che rappresenta la soddisfazione che il consumatore trae dal consumo di un determinato paniere. Una funzione di utilità è quindi una funzione che assegna a ciascun paniere(,,...,x n )uncertolivellodiutilitàu=f(,,...,x n ). In generale, non esiste un metodo oggettivo per misurare la soddisfazione di un individuo o il livello di benessere che egli trae dal consumo di panieri diversi. L utilità ci consente di classificare i panieri ma non 1 Un paniere dibenièunalista diquantità diuno o più beni. 2

3 di stimare di quanto uno sia preferito all altro. Per questo motivo, una funzione di utilità che classifica i paniericonsideratiinterminidisoddisfazionedecrescenteèdettafunzione di utilità ordinale. 2 Ciò implica che i valori attribuiti all utilità siano arbitrari e che sia possibile confrontare la soddisfazione a livello individuale ma non interpersonale. Curve di indifferenza e saggio marginale di sostituzione(sms) Ma come rappresentare graficamente le preferenze di un consumatore? Consideriamo un sistema di assi cartesiani in cui sull asse delle ascisse viene rappresentata la quantità di unbene,,mentresull assedelleordinateunaltrobene. Ognipuntosulquadrantepositivorappresenta unpanieredatodallacombinazionediquantitàdeibeni e. Graficamente le preferenze sono rappresentate ricorrendo alle cosiddette curve di indifferenza. Una curva di indifferenza è il luogo geometrico che rappresenta tutte le combinazioni di panieri di beni che offrono al consumatore lo stesso livello di soddisfazione. In tal senso, lungo una curva di indifferenza si individua la misura in cui un individuo è disposto a sostituire un bene con un altro(si veda il saggio marginale di sostituzione), mantenendo costante il livello di utilità. utilità. Ogni paniere di mercato è attraversato da una curva di indifferenza a cui si associa un certo livello di Un insieme di curve di indifferenza è chiamato mappa di indifferenza(figura 1) e individua i) combinazioni di beni che lungo la stessa curva garantiscono la stessa utilità e ii) combinazioni di beni che giacciono su curve di indifferenza diverse e che garantiscono diversa utilità. Una mappa di indifferenza fornisce le stesse informazioni di una funzione di utilità. Le curve di indifferenza quindi permettono di confrontare graficamente panieri diversi guardando a che curva appartiene ciascun paniere. Si tenga presente che: le curve di indifferenza più esterne identificano livelli di utilità più elevati; le curve di indifferenza non si possono intersecare; lecurvediindifferenzahannopendenzanegativa (sené né sono"mali"); 3 le curve di indifferenza sono convesse e, quindi, il saggio marginale di sostituzione è decrescente spostandosilungolacurvadiindifferenzaversodestra. 4 2 Questasicontrapponeallafunzionediutilitàcardinale chemisuradiquantosiaeffettivamentepreferitounpaniererispetto a un altro alternativo. 3 Lapendenzanegativaègiustificatadalfattocheseunmaggiorconsumodiciascunbeneaccrescel utilitàdelconsumatore, il mantenimento di uno stesso livello di utilità richiede che all aumento del consumo di un bene sia associata una riduzione del consumo dell altro bene. 4 Infatti,sel ammontaredelconsumodiun bene,ad esempio,èelevato, ilconsumatoreèdisposto arinunciare agrandi quantità dello stesso bene pur di incrementare anche di poco l ammontare del bene. Al contrario, quando il consumo del bene è ridotto,perincrementare ilconsumodi sièdispostiasacrificaresolouna piccola quantitàdi. 3

4 U=f(, ) U U 3 U 1 U 2 Figura 1: Mappa di indifferenza Il saggio marginale di sostituzione esprime il grado di sostituibilità tra il consumo di due beni sulla base delle preferenze personali del consumatore. Più precisamente, il saggio marginale di sostituzione(sms) èlaquantitàdiunbeneacuiilconsumatoreèdispostoarinunciareperottenereunaunitàaggiuntivadiun altro bene. Tra due beni, il saggio marginale non può che essere negativo poiché rappresenta la quantità di un bene acuisièdispostiarinunciare ( )peravereunaumentodiun unitàdiunaltrobene erappresenta lapendenzadellacurvadiindifferenzanelpuntoincuivienecalcolato( / ). IlSMSdiminuisceamanoamanochecisispostaversodestralungolacurvadiindifferenza(datal ipotesi di convessità delle curve di indifferenza). Curve di indifferenza speciali Abbiamovistocheseduebenisonosostituti,alloraquandoaumentailprezzodiunbeneaumentalaquantità domandata dell altro bene. Se due beni sono sostituti perfetti, il loro saggio marginale di sostituzione è una costanteelecurvediindifferenzachedescrivonoiltrade-off traiduebenisonolineari(figura2). 4

5 U 4 U 3 U 2 U 1 Figura 2: Curve di indifferenza di beni sostituti Inoltre abbiamo visto che due beni sono complementari se all aumento del prezzo di un bene diminuisce la quantità domandata dell altro bene. Se due beni sono complementi perfetti, il saggio marginale di sostituzione assume due possibili valori, ossia zero o infinito. Le relative curve di indifferenza formano un angolo retto (Figura3). 4 3 U 4 U 3 2 U 2 1 U Figura 3: Curve di indifferenza di beni complementari Ineconomiaesistonodeibenicheproduconoeffettinegativieperiqualiunaquantitàminoreèmegliodi una quantità maggiore(i cosiddetti beni negativi o"mali"). Sono esempi di mali l inquinamento, il rumore, ecc. Le relative curve di indifferenza hanno pendenza positiva(figura 4). 5

6 Figura4: Curvediindifferenzadiunbene( )eun"male"( ) Il vincolo di bilancio Come è già stato detto, per risolvere il problema di ottimo del consumatore è necessario considerare due elementi fondamentali: le preferenze del consumatore(appena trattate) e il vincolo di bilancio. Ilvincolo di bilancioèilvincoloacuièsoggettoilconsumatoredatoilsuoredditolimitato. Consideriamodue beni, e, i rispettivi prezzi, p 1 e p 2, eil redditodel consumatore, R. Il vincolo di bilancio può essere rappresentato da una retta, la cosiddetta retta di bilancio. La retta di bilancio è il luogo geometrico di tutte le combinazioni di e per cui la spesa totale è uguale al reddito. In altri termini, lungo la retta di bilancio si individuano tutti i panieri di beni il cui acquisto esaurisce il reddito del consumatore. Formalmente, p 1 +p 2 =R (1) chepossiamoriscriverecomequantitàdelbene infunzionedelbene : = R p 2 p 1 p 2 (2) ( Scritto in questo modo, si può immediatamente notare che la pendenza della retta di bilancio è pari a p1 p 2 ),ossiailprezzorelativodeiduebeni. Essoindicailtassoacuisipuòsostituireunbeneconunaltro, lasciando invariata la spesa complessiva. Sinotichesetuttoilredditoèdestinatoalconsumodelbene (percui =0)allorailconsumatore puòacquistarer/p 1 unitàdelbene(intercettaorizzontaledellarettadibilancio);setuttoilredditoviene spesoperacquistaresolamenteilbene (quindi =0),allorailconsumatorepuòacquistareR/p 2 unità del bene(intercetta verticale della retta di bilancio). Ovviamente il consumatore può scegliere di consumare qualsiasicombinazioneintermediadeibeni e lungolaretta. Qualsiasipanieresopralarettadibilancio 6

7 del consumatore non è raggiungibile, mentre ogni paniere sotto la retta di bilancio garantisce un utilità minore di quella garantita dai panieri che rispettano il vincolo di bilancio(non è una scelta razionale). Se si verifica una delle seguenti circostanze, la retta di bilancio si sposta: Un aumento del reddito R(Figura 5a) comporta uno spostamento parallelo verso l esterno del vincolo di bilancio (pertanto l inclinazione del vincolo di bilancio rimane invariato, non essendo cambiati i prezzi dei beni). Unaumentodelprezzodiunbene,adesempiodelbene (Figura5c),aparitàdiredditoedelprezzo dell altrobene,causaunariduzionedelconsumodelbene. Intalcaso,l intercettaorizzontalenonsi modifica(casoincuituttoilredditoèspesonell acquistodelbene ),mentreilvincolodibilanciosi sposta,ruotandoversol internoefacendopernosulpunto(,0). Viceversa,nelcasodiunariduzione del prezzo la retta di bilancio ruota verso l esterno facendo perno sull intercetta orizzontale. Analogamente,unaumentodelprezzodelbene (Figura5b),aparitàdiredditoedelprezzodell altro bene,causaunariduzionedelconsumodelbene. Intalcaso,l intercettaverticalenonsimodifica (casoincuituttoilredditoèspesonell acquistodelbene ),mentreilvincolodibilanciosisposta, ruotando verso l interno e facendo perno sul punto (0, ). Viceversa, nel caso di una riduzione del prezzo la retta di bilancio ruota verso l esterno facendo perno sull intercetta verticale. Rx 2 p 2 + R+ p 1 - p 1 + p 2 - Figura 5: Spostamenti della retta di bilancio dovuti alla variazione del reddito o dei prezzi dei beni La scelta ottima del consumatore Una volta compresi i due elementi che costituiscono il problema del consumatore(le preferenze e il vincolo delle risorse), possiamo ora affrontare come il consumatore sceglie quanto acquistare di ciascun bene. 7

8 L obiettivo del consumatore è quello di massimizzare l utilità(ossia la soddisfazione che si trae dal consumodiunpaniere),datoilredditodicuidispone. La scelta ottimale deve soddisfare due condizioni: i) il paniere scelto deve giacere sulla retta di bilancio. In altri termini, tutto il reddito disponibile deve essere speso per l acquisto dei beni che costituiscono il paniere ottimale; ii) il consumatore sceglie quella combinazioni di beni che massimizza la propria utilità. Ciò significa che il paniere scelto deve essere posizionato sulla curva di indifferenza più esterna possibile. Mettendo insieme queste due condizioni, si ottiene la soluzione al problema di ottimizzazione del consumatore. Graficamente, ciò corrisponde ad individuare quel punto in cui la curva di indifferenza più esterna tocca la retta di bilancio. In generale, i panieri bilanciati(costituiti da combinazioni di diversi beni) sono preferiti e corrispondono alle cosiddette"soluzioni interne". In tal caso, la curva di indifferenza è tangente alla retta di bilancio, ossia leduecurvehannolastessapendenzaesitoccanoinunsolopunto. U=f(, ) x* 2 E* U 3 U 2 U 1 x* 1 Figura6: Curvediindifferenzadiunbene( )eunmale( ) Dato che la pendenza della retta di bilancio è data dal rapporto tra i prezzi dei due beni con segno negativo( p 1 /p 2 ),mentrelapendenzadellacurvadiindifferenzaèdatadalsaggiomarginaledisostituzione (SMS),lasoddisfazionedelconsumatoreèmassimaquandoilsaggiomarginaledisostituzionetra e invaloreassoluto( SMS x1, )èugualealrapportatraiprezzideiduebeni(p 1 /p 2 ): SMS = p 1 p 2 (3) Ciò corrisponde ad affermare che il beneficio marginale(o utilità marginale) è uguale al costo marginale (rapporto tra i prezzi) associato al consumo di una unità aggiuntiva di bene. 8

9 L utilità marginale misura la maggior soddisfazione che si trae dal consumo di un unità addizionale di un bene. Se la variazione della quantità del bene è infinitesimale, l utilità marginale corrisponde alla derivata dell utilità complessiva del consumatore rispetto alla quantità del bene. In generale, l utilità marginale è decrescente poiché all aumentare del consumo di un bene, l ulteriore soddisfazione che si trae dal consumo di unità aggiuntive diminuisce. Si dimostra che il saggio marginale di sostituzione è uguale al rapporto tra l utilità marginale di e l utilitàmarginaledi. SMS= u = u(, )/ (4) u u(, )/ Quindi, la soddisfazione del consumatore è massima quando SMS= u = p 1 u = p 1 (5) u p 2 u p 2 Fanno eccezione le cosiddette "soluzioni d angolo" in cui la curva di indifferenza più esterna tocca il vincolo di bilancio in una delle sue intercette (ma le due curve non sono tangenti) e il paniere ottimale è costituitodaunsolobene( nelcasoincuilacurvadiindifferenzapiùesternatoccailvincolodibilancio nelpuntodiintercettaorizzontaleo selacurvadiindifferenzapiùesternatoccailvincolodibilancionel puntodiintercettaverticale). IntalcasoilSMSdelconsumatorenonèugualealrapportotraiprezzi(si veda l esercizio 7). Ottimizzazione vincolata Formalmente, il problema del consumatore può essere scritto nel modo seguente: maxu(, ) (6), s.t. p 1 +p 2 =R (7) Per risolvere questo problema di ottimizzazione vincolata si può ricorrere a tre metodi alternativi: il metodo della tangenza, il metodo di sostituzione e il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. A) Metodo della tangenza tra curva di indifferenza e vincolo di bilancio Abbiamovistoche,datalafunzionediutilitàu(, ),lapendenzadiunasuagenericacurvadiindifferenza è data dal saggio marginale di sostituzione(sms): SMS = u = u(, )/ (8) u u(, )/ 9

10 La condizione di tangenza tra la retta di bilancio e la curva di indifferenza implica l uguaglianza tra il SMSeilrapportotraiprezzi: u(,) / = p 1 (9) u(, )/ p 2 Attraverso il metodo di tangenza, il problema di ottimo vincolato del consumatore si riduce alla soluzionediunsistemadidueequazioni(la(7)ela(9))indueincognite, e. Risolvendoilsistemadiequazionisiindividuanolescelteottimalidiconsumox 1 ex 2. B) Metodo di sostituzione E possibile risolvere il problema di massimizzazione vincolata esplicitando il vincolo di bilancio rispetto a uno dei due beni, ad esempio, in funzione dell altro bene ( ) e del reddito (R) e successivamente, sostituendo l espressione ottenuta nella funzione obiettivo: ( )= R p 2 p 1 p 2 (10) maxu(, )= max u( ; R p 1 ) (11),, p 2 p 2 Attraversolasostituzionenellafunzionediutilitàdelvincoloscrittoinformaesplicita (,R),siottiene un problema di massimizzazione non vincolata. Pertanto,perrisolveretaleproblema,èsufficientedifferenziarerispettoa eporreilrisultatougualea zero. Risolvendol equazionerispettoa ecombinandolaalvincolodibilanciosiottengonoivaloriottimali deibeni(x 1,x 2). C) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange Dato il problema di ottimo vincolato descritto dalla (6), il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si basa sulla costruzione di una funzione ausiliaria da massimizzare, chiamata Lagrangiana: L=u(, ) λ(p 1 +p 2 R). (12) La nuova variabile λ è chiamata moltiplicatore di Lagrange e moltiplica il vincolo scritto in forma implicita. 5 IlteoremadiLagrangeaffermacheunasceltaottima(x 1,x 2 )devesoddisfareleseguenticondizioni del primo ordine: L = u(x 1,x 2) λp 1 =0 L = u(x 1,x 2 ) λp 2 =0 L λ =p 1x 1+p 2 x 2 R=0 5 IlmoltiplicatorediLagrangeλrappresentalavariazionedell utilitàcheconseguedaunallentamentodelvincolo. Inquesto contesto di massimizzazione dell utilità del consumatore, il moltiplicatore di Lagrange corrisponde all utilità marginale del reddito. 10

11 Con questo metodo si ottiene un sistema formato da tre equazioni in tre incognite da cui si ricavano i valoriottimalix 1 ex 2. Le curve prezzo-consumo, reddito-consumo e la curva di Engel Unavariazionedelprezzodiunbene,aparitàdiredditoedelprezzodel altrobene,spingeilconsumatorea scegliere un diverso paniere di mercato. Se si uniscono con una linea i panieri che massimizzano l utilità del consumatore in corrispondenza di diversi livelli di prezzo si ottiene la curva di prezzo-consumo, disegnata nelpianocartesiano{, }. Talecurvamostracomecambiailpanierechemassimizzal utilitàalvariare delprezzodiunodeiduebeni. Lostessocomportamento,seriportatonelpianocartesiano{x i,p i }doveiè il beneil cui prezzocambia, individualacurvadi domandadiquel bene. Quindi, lacurva di domanda individuale esprime la relazione tra la quantità di un bene acquistata da un consumatore e il suo prezzo. Una variazione del reddito, mantenendo costanti i prezzi, induce i consumatori a scegliere panieri di mercato differenti. Se si uniscono con una linea tutti i panieri che massimizzano l utilità del consumatore al variare del reddito, si ottiene la curva di reddito-consumo, disegnata nel piano cartesiano {, }. Tale curva mostra come cambia il paniere che massimizza l utilità al variare del reddito del consumatore. Lostessocomportamento,seriportatonelpianocartesiano{x i,r},doveièunodeiduebeniconsiderati, individua la curva di Engel. Pertanto, la curva di Engel esprime la relazione tra la quantità domandata di unbeneeillivellodiredditodelconsumatore. SelacurvadiEngelhapendenzapositiva,ilbeneèunbenenormale(ilconsumatoreaumentailconsumo di quel bene all aumentare del suo reddito). Se ha pendenza negativa è un bene inferiore(all aumentare del reddito, il consumatore riduce il consumo di quel bene). Inoltre,selacurvadiEngelcresceinmanieradecrescente,ilbene è di prima necessità;secrescein manieracrescente ilbene è di lusso. 6 6 Sinotilacorrelazione trala forma delle curvediengeleilvalore dell elasticità della domandaalreddito. 11

12 prezzo-consumo reddito-consumo p 1 R p 1 R Curva di domanda Curva di Engel Figura 7: Curve di prezzo-consumo, di reddito-consumo, di Engel e di domanda 12

13 . Esercizi proposti ESERCIZIO1. Siconsideriunconsumatorelecuipreferenzetraduebeni e sonorappresentatedallafunzione diutilitàu(,) =/4 1 x 3/4 2. IlconsumatoredisponediunredditoR=800. Iprezzidimercatodei duebenisono,rispettivamente,p 1 =2ep 2 =4. a) Si determini analiticamente la scelta ottima del consumatore. b) Si rappresenti graficamente il problema. SOLUZIONE: (a) L individuo sceglierà quella combinazione di beni che massimizza la propria utilità, rispettando il vincolo di bilancio a cui è soggetto. In termini più generali, possiamo scrivere il problema del consumatore in questo modo: maxu( ) = /4 x 1 x 3/4 2 2 s.t. 800 = 2 +4 Come abbiamo visto, il problema può essere risolto in tre modi: (a1) Metodo di sostituzione Possiamoesplicitare dalvincolodibilancioesostituire l espressione cosìottenutanellafunzioneobiettivo da massimizzare, in modo da trasformare il problema da ottimo vincolato a ottimo libero: = = u(, ) = /4 1 x 3/4 2 u( )=/4 1 ( ) 3/4 Otteniamounafunzionediutilitàinunasolavariabile. Pertrovareilvaloredi chemassimizzala funzione di utilità dati i prezzi dei due beni e il reddito, dobbiamo calcolare la derivata prima e porla uguale a zero: du = 1 dx 4 x 3/4 1 ( ) 3/4 + 3 ( 1 ) /4 1 ( ) 1/4 =0 Siottienex 1 =100. Perdeterminarelaquantitàottimaledi possiamosostituire nelvincolodibilancio,datiiprezzie ilredditodelconsumatore. Daciòsiricavax 2=

14 Ne consegue che il paniere ottimale che massimizza l utilità del consumatore contiene 100 unità del bene e150unitàdelbene. 7 (a2) UguaglianzatraSMSerapportotraiprezzi Per applicare questo metodo è necessario seguire tre fasi: I) Determinare il SMS (pendenza della curva di indifferenza in valore assoluto). In valore assoluto, il saggiomarginaledisostituzionetraduebenièparialrapportotraleutilitàmarginali: 8 SMS = u(, )/ u(, )/ = 1 4 x( 3/4) 1 x 3/ x1/4 1 x ( 1/4) 2 = 1 3 II) Determinare il rapporto tra i prezzi(pendenza del vincolo di bilancio in valore assoluto): p 1 p 2 = 2 4 III) Uguagliare SMS e rapporto tra i prezzi (condizione di ottimo o di tangenza - questa uguaglianza impone che nel punto di ottimo la curva d indifferenza più esterna sia tangente al vincolo di bilancio, ossia che le due curve abbiano la medesima pendenza): SMS = p 1 1 = 2 p IV)Mettereasist vincolodibilancioconl equazionecheuguagliailsmseilrapportotraiprezzi erisolvereilsistemadidueequazioniindueincognite. Inquestomodosiottengonolequantitàdeibeni che compongono il paniere ottimale. { 1 3 = 2 { 4 800=2 +4 (a3) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange = =2 +4 ( 3 2 x ) x { 1 =100 1 x 2=150 Questo metodo richiede che venga impostata una particolare funzione ausiliaria da massimizzare, chiamata Lagrangiana. Questa funzione fonde in un unica formula il vincolo di bilancio scritto in forma implicita e la funzione da massimizzare(o minimizzare): L = u( ) λ[p 1 +p 2 R] L = /4 1 x 3/4 2 λ[ ] 7 Per verificare che il paniere effettivamente massimizzi e non minimizzi l utilità del consumatore è necessario ricorrerealladerivatasecondadellafunzionediutilitàrispettoa. Seladerivataseconda d2 u 0allorasihaun d 1 massimo. Nel caso in questione, la derivata seconda assume sempre segno negativo e quindi il paniere trovato è un massimo. Verificatelo! { [ } d 2 u 3 = d 16 x (7/4) 1 ( ) 3/ x (7/4) 1 ( ) 3/ x1/4 1 ( ) ]<0 5/4 1 8 Si ricordi che l utilità marginale di un bene è data dalla derivata parziale della funzione di utilità rispetto alla quantità del bene considerato. 14

15 Per risolvere il problema è necessario determinare le cosiddette condizioni del primo ordine (note anche come F.O.C.oC.P.O.), ossiacalcolare lederivateparzialidellalagrangianarispettoa,,λeporle uguale a zero: L = x( 3/4) 1 x 3/4 2 2λ=0 L = x1/4 1 x ( 1/4) 2 4λ=0 L λ = =0 Esplicitando λ dalle prime due condizioni del primo ordine e combinando le due equazioni, si ottiene un unicaequazioneindueincognite( e ). L =0 λ= 1 8 x 3/4 1 x 3/4 2 L =0 λ= 3 16 x1/4 1 x 1/ x 3/4 1 x 3/4 2 = 3 16 x1/4 1 x 1/4 2 = 3 2 Successivamente, mettendo a sistema la relazione così ottenuta con il vincolo di bilancio, è possibile determinareivaloriottimalidix 1 ex 2. { = 3 2 x { 1 x 1 = =2 +4 x 2=150 (b) Graficamente, il problema può essere così raffigurato U= 1/4 3/4 150 E* U 3 U 2 SMS= 1/3 ( / ) U Figura ES1 1/2 ESERCIZIO2. Unconsumatorehafunzionediutilitàu(,) = convincolodibilanciop 1 +p 2 =m. Si chiede di determinare le funzioni di domanda ottimale per entrambi i beni, sapendo che m=10000 euro,p 1 =40ep 2 =80. (A.M.) 15

16 Utilizzando le regole delle derivate parziali, otteniamo per prima cosa il SMS, dato da: SMS= u(, )/ u(, )/ =. Dalla condizione di tangenza tra curva di indifferenza e vincolo di bilancio troviamo: = p 1 p 2 = = 1 2 (13) Possiamo quindi costruire un sistema tra (13) ed il vincolo di bilancio, che, sostituendo gli opportuni valori numerici,diventa =10000: = 1 x =10000 { x2 = =10000 = = { = =10000 { x 2 =62.5 x 1=125 Lasceltaottimaledelconsumodeiduebenicorrispondequindiax 1 =125ex 2 =62.5. ESERCIZIO3. Datalafunzionediutilitàu(,) = 1,calcolareladomandaottimaledeiduebenisapendoche l individuodispone di unredditomonetario m=3600 eche p 1 =30ep 2 =60. (A.M.) -Soluzione: x 1=80,x 2=20. ESERCIZIO4. Data la funzione di utilità u(, ) = 2, determinare le funzioni di domanda ottimale sapendo chem=80euro,p 1 =20ep 2 =10. (A.M.)-Soluzione: x 1 =2,x 2 =4. ESERCIZIO5. Lafunzionediutilitàdiunconsumatoreèdatadau(, )=x α 1 α 2 convincolodibilanciop 1 + p 2 =m. Determinare le funzioni di domanda ottimale per entrambi i beni. Quale proprietà delle funzioni Cobb-Douglas possibile utilizzare? (A.M.) In questo caso è possibile sfruttare le proprietà delle funzioni di utilità Cobb-Douglas con esponenti la cuisommaèuno. Ilconsumatoredecidequindidiallocareunafrazionefissadelsuoredditoalconsumo dei due beni, e tale frazione è data proprio dagli esponenti della funzione di utilità. La soluzione è quindi data da x 1=a m p 1 e x 2=(1 a) m p 2 ESERCIZIO 6. Curve di Engel LepreferenzediMariosonoespressedallaseguentefunzionediutilità:u(, )=. Iprezzidei duebeniammontanorispettivamenteap 1 =5ep 2 =10. 16

17 a)sidetermininolecurvediengelperiduebeni. b) e sonobeninormalioinferiori? SOLUZIONE: Una curva di Engel è una funzione che mette in relazione il consumo di un singolo bene con il reddito a disposizione del consumatore. In particolare, essa indica come varia la quantità domandata al variare del reddito,datiiprezzip 1 ep 2 : = f(r) = g(r) In questo caso, le variabili da considerare non sono più quantità e prezzo ma quantità e reddito. Per determinare e disegnare le curve di Engel è necessario imporre la condizione di ottimo del consumatore ( SMS =p 1 /p 2 ) e metterla a sistema con il vincolo di bilancio. L unica differenza rispetto ai casi trattati in precedenza è che, in questo contesto, il reddito rimane incognito(non è specificato numericamente, essendo unavariabile). = =R Dallaprimaequazionesiricavailvaloredi infunzionedi (o,alternativamentedi infunzionedi ) elosisostituiscenelvincolodibilancio,inmododaottenereun equazioneincuicompaionounicamente e R(oalternativamente,ivaloridi er). = 1 x =R = Da questo sistema si possono ricavare le curve di Engel: { x1 = R 10 = R 20 { x1 =2 20 =R Poichè entrambe le funzioni sono lineari e crescenti in R, i beni sono normali: al crescere del reddito aumenta la quantità domandata. 17

18 R Figura ES6 x ESERCIZIO 7. Funzione di utilità lineare e beni sostituti (L.V.) Pino consuma i beni e e dispone di un reddito di R = 100. Le sue preferenze sono descritte dallaseguentefunzionediutilità: u(, )=2 +8. Ilprezzodimercatodelbene ammontaa p 2 =8. a)sideterminiilsmsesispieghilarelazionecheintercorretraiduebeni. b)cosasuccedesep 1 =4 c)cosasuccedesep 1 =2 d)cosasuccedesep 1 =1 SOLUZIONE: a) Per conoscere la natura di e è necessario capire quale tipo di preferenze sia associato alla curva d indifferenzadelconsumatore. Esplicitandolafunzionediutilitàrispettoa,siricavalamappadellecurve d indifferenza: = 1 8 u(, ) 1 4. In questo caso, l insieme delle rette aventi inclinazione pari a 1 4 rappresenta, in corrispondenza dei diversi valori della funzione di utilitàu(, ), la mappa delle curve d indifferenza e i beni in questione sono beni sostituti. Per definire la domanda di e bisogna fare attenzione perché, in generale, con funzioni di utilità lineari e beni perfetti sostituti si presentano soluzioni d angolo. Infatti, la condizione di tangenza è generalmente violata poiché il SMS, ossia la pendenza della curva di indifferenza, è costante ed è raro che coincida con la pendenza del vincolo di bilancio, p 1 /p 2. Il questo caso, il saggio marginale di sostituzione 18

19 ammontaasms= Ciòsignificacheilnostroconsumatore,qualechesiaillivellodiconsumo,èdisposto ascambiareun unitàdelbene perunquartounitàdi. Dettoinaltritermini,ilconsumatoreèindifferente tra il consumo di 1 unità di e il consumo 4 unità di. Il rapporto tra i prezzi p 1 /p 2 rappresenta la pendenza del vincolo di bilancio. Pertanto, se il vincolo di bilancio è più ripido delle curve di indifferenza ( p 1 /p 2 > SMS ), allora Pino sceglieràdiconsumaresolo (l intercettaverticaleèilpuntocheappartienealvincolodibilanciochetocca la curva di indifferenza più esterna e quindi garantisce l utilità maggiore nel rispetto del vincolo di bilancio). Se, invece, il vincolo di bilancio è meno ripido delle curve di indifferenza ( p 1 /p 2 < SMS ), allora il consumatore preferirà consumare solo perché l intercetta orizzontale è quel punto appartenente al vincolo di bilanciochetoccalacurvadiindifferenzapiùesterna. Intalcaso,Pinovalutapiùilbene rispettoaquanto viene valutato dal mercato e quindi acquisterà solo tal bene, nel rispetto del reddito disponibile. Infine, se la pendenza della curva di indifferenza e del vincolo di bilancio sono identiche, le due rette coincidono. In tal caso si sovrappongono ed esistono infiniti punti di ottimo(tutti i punti sulla retta di bilancio). Pertanto, in presenza di funzioni di utilità lineari, la funzione di domanda dei beni si può desumere a seconda dellarelazionetrasms ep 1 /p 2. Se p 1 /p 2 < SMS vieneacquistatosoloilbene ; Se p 1 /p 2 > SMS vieneacquistatosoloilbene ; Se p 1 /p 2 = SMS tuttiipuntisullarettadibilanciosonosoluzionidiottimo. Nel caso specifico: b) p 1 /p 2 = 4 8 > SMS = 1 4 =0; =12,5 c) p 1 /p 2 = 2 8 = SMS = 1 4 tuttelecombinazionidi, chegiaccionosulvincolodibilancio d) p 1 /p 2 = 1 8 < SMS = 1 4 =100; =0 9 Potetecalcolareilsaggiomarginaledisostituzionemettendoarapportol utilitàmarginaledi el utilitàmarginaledix 2. 19

20 u(, )=a +b Figura ES7 ESERCIZIO 8. Funzioni maxmin e beni complementari Unindividuodisponedellaseguentefunzionediutilitàu(, )=min{2, }. a) Si disegni la mappa delle curve di indifferenza e si descrivano le caratteristiche di questa struttura delle preferenze. b) Si determini la scelta ottimale quando i prezzi e il reddito destinato all acquisto di questi due beni sono,rispettivamente,p 1 =p 2 =5eR=100. c)comevarialasceltaottimasep 2 =5,aparitàdituttoilresto? d)cosasuccedeseu(, )=min{, }? SOLUZIONE: a) La funzione d utilità assegnata dice che, data una qualunque combinazione dei due beni, ciò che è rilevante èilrapporto1:2deiduebeni: avereadesempio =2e =4dàalconsumatorelastessautilitàdiavere =2e =10. Sitrattadunquedibeniperfettamentecomplementari. Tipicoesempioèlabicicletta( ) eleruote( ). Graficamente le curve d indifferenza saranno a forma di L. Per il consumatore sarà ottimale collocarsi lungo un qualsiasi punto della curva che passa per i vertici delle curve di indifferenza(più schiacciate verticalmente). Un qualsiasi altro punto comporterebbe l acquisto di unità del bene inutili(ad esempio non serve acquistare 4 ruote e 1 bicicletta!). Per il consumatore è quindi ottimale collocarsi lungo la retta =2 ; tutti gli altri punti contengono quantità inutili di o di. Nel punto d angolo la funzione di utilità non è derivabile e non possiamo utilizzare la condizione usuale di ottimo data dalla tangenza tra curva di indifferenza e vincolo di bilancio. 20

21 b)perstabilirelasceltaottimale,accantoallacondizionediottimo2 = dobbiamoconsiderareilvincolo dibilancioche,datoilcasospecifico,èparia: 5 +5 =100. Ponendoasistemaledueequazionisiricava x 1= 20 3 ex 2= c) Se il prezzo di è pari a2, a parità di struttura delle preferenze, il punto di ottimo dato da2 = rimarràinvariatomailnuovovincolosarà:5 +2 =100. Daciòsiricavax 1= ex 2= Sinoti comeunadiminuzionedelprezzodi determiniunamaggioredomandaottimaledientrambiibeni(perché sono complementari). d)lafunzioned utilitàassegnata,u(, )=min{, },diceche,dataunaqualunquecombinazionedei duebeni,ciòcheèrilevanteèlaquantitàminimatraidue: avereadesempio = =2dàalconsumatore lastessautilitàdiavere =2e =50. Sitrattadunquedibeniperfettamentecomplementari. Graficamente le curve d indifferenza saranno a forma di L. Per il consumatore sarà ottimale collocarsi lungo un qualsiasi punto della curva che passa per i vertici delle curve di indifferenza(della bisettrice del primo quadrante nel caso specifico). Un qualsiasi altro punto comporterebbe l acquisto di unità del bene inutili(ad esempio non serve acquistare 12 scarpe sinistre e 2 destre!). I consumatori danno uguale peso ad entrambi i beni(es. scarpa destra e scarpa sinistra). =2 = Figura ES8 ESERCIZIO 9 Effetti di una variazione di prezzo sulla domanda (A.M.) Lafunzionedidomandadibenzinadiunconsumatoreèpariax b =1000+ m 10p b conm= Il prezzo iniziale è pari a p b = 1 al litro, ma, a fronte di un rincaro esso aumenta fino a p b = 1,2 al litro. Trovate la variazione complessiva della domanda dovuta all aumento del prezzo. Che tipo di bene stiamo considerando? SOLUZIONE: Per prima cosa possiamo calcolare il valore della domanda iniziale e quello della domanda finale: x b = =2500litri (14)

22 x b= =2250litri (15) 10 1,2 Dalla differenza tra(15) e(14) si ottiene la variazione complessiva della domanda causata dalla variazione di prezzo: x b =x b x b = 250litri Ilbeneinquestioneèordinarioperchéladomandaècalataafrontediunaumentodelprezzo. ALTRI ESERCIZI Esercizi 1-4 e 13-16, capitolo V(C.L.). 22

Le preferenze e la scelta

Le preferenze e la scelta Capitolo 3: Teoria del consumo Le preferenze e la scelta 1 Argomenti trattati in questo capitolo Usiamo le preferenze dei consumatori per costruire la funzione di domanda individuale e di mercato Studiamo

Dettagli

Ipotesi sulle preferenze

Ipotesi sulle preferenze La teoria delle scelte del consumatore La teoria delle scelte del consumatore Descrive come i consumatori distribuiscono i propri redditi tra differenti beni e servizi per massimizzare il proprio benessere.

Dettagli

La scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3)

La scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3) La scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3) L'INSIEME OPPORTUNITÁ E IL VINCOLO DI BILANCIO Un paniere di beni rappresenta una combinazione di beni o servizi Il vincolo di bilancio o retta

Dettagli

Capitolo 20: Scelta Intertemporale

Capitolo 20: Scelta Intertemporale Capitolo 20: Scelta Intertemporale 20.1: Introduzione Gli elementi di teoria economica trattati finora possono essere applicati a vari contesti. Tra questi, due rivestono particolare importanza: la scelta

Dettagli

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Corso di Scienza Economica (Economia Politica) prof. G. Di Bartolomeo Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo Scelta

Dettagli

Il comportamento del consumatore

Il comportamento del consumatore Il comportamento del consumatore Le preferenze del consumatore I vincoli di bilancio La scelta del consumatore Preferenze rivelate Utilità marginale e scelta del consumatore 1 Teoria del comportamento

Dettagli

Capitolo 3. Il comportamento del consumatore. Temi da discutere. Il comportamento del consumatore. Il comportamento del consumatore

Capitolo 3. Il comportamento del consumatore. Temi da discutere. Il comportamento del consumatore. Il comportamento del consumatore Temi da discutere Capitolo 3 Il comportamento del consumatore L utilità marginale Il comportamento del consumatore Due applicazioni che illustrano l importanza della teoria economica del consumatore sono:

Dettagli

Lezione 5. Argomenti. Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore

Lezione 5. Argomenti. Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore Lezione 5 Argomenti Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore 5.1 PREESSA Nonostante le preferenze portino a desiderare quantità crescenti di beni, nella realtà gli individui non sono

Dettagli

Economia Politica Prof. Paolo Di Giannatale

Economia Politica Prof. Paolo Di Giannatale Università degli Studi di Teramo Corso di Laurea in Scienze del Turismo e dell'organizzazioni delle Manifestazioni Sportive Economia Politica Prof. Paolo Di Giannatale A. A. 2011/2012 1 Le scelte del consumatore

Dettagli

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:

Dettagli

Capitolo 26: Il mercato del lavoro

Capitolo 26: Il mercato del lavoro Capitolo 26: Il mercato del lavoro 26.1: Introduzione In questo capitolo applichiamo l analisi della domanda e dell offerta ad un mercato che riveste particolare importanza: il mercato del lavoro. Utilizziamo

Dettagli

Discuteremo di. Domanda individuale e domanda di mercato. Scelta razionale

Discuteremo di. Domanda individuale e domanda di mercato. Scelta razionale Discuteremo di. La determinazione dell insieme delle alternative all interno del quale sceglie il consumatore La descrizione e la rappresentazione delle sue preferenze Come si determina la scelta ottima

Dettagli

Vincolo di bilancio del consumatore, paniere ottimo

Vincolo di bilancio del consumatore, paniere ottimo Microeconomia, Esercitazione 2 (26/02/204) Vincolo di bilancio del consumatore, paniere ottimo Dott. Giuseppe Francesco Gori Domande a risposta multipla ) Antonio compra solo due beni, sigarette e banane.

Dettagli

Scelte in condizioni di rischio e incertezza

Scelte in condizioni di rischio e incertezza CAPITOLO 5 Scelte in condizioni di rischio e incertezza Esercizio 5.1. Tizio ha risparmiato nel corso dell anno 500 euro; può investirli in obbligazioni che rendono, in modo certo, il 10% oppure in azioni

Dettagli

Microeconomia Lez. 2-3

Microeconomia Lez. 2-3 Microeconomia Lez. 2-3 Corso di Economia e Organizzazione aziendale prof. Barbara Scozzi bscozzi@poliba.it Teoria tradizionale della domanda Studia il comportamento dei consumatori relativamente a decisioni

Dettagli

Il comportamento del consumatore

Il comportamento del consumatore Capitolo 3 Il comportamento del consumatore A.A. 203-204 Microeconomia - Cap. 3 Questo file (con nome cap_03.pdf) può essere scaricato da siti e file elearning.moodle2.unito.it/esomas/course/ view.php?id=25

Dettagli

La Minimizzazione dei costi

La Minimizzazione dei costi La Minimizzazione dei costi Il nostro obiettivo è lo studio del comportamento di un impresa che massimizza il profitto sia in mercati concorrenziali che non concorrenziali. Ora vedremo la fase della minimizzazione

Dettagli

Economia Applicata ai sistemi produttivi. 06.05.05 Lezione II Maria Luisa Venuta 1

Economia Applicata ai sistemi produttivi. 06.05.05 Lezione II Maria Luisa Venuta 1 Economia Applicata ai sistemi produttivi 06.05.05 Lezione II Maria Luisa Venuta 1 Schema della lezione di oggi Argomento della lezione: il comportamento del consumatore. Gli economisti assumono che il

Dettagli

Capitolo 5: Preferenze

Capitolo 5: Preferenze Capitolo 5: Preferenze 5.1: Introduzione Le preferenze individuali alla base dell analisi dei capitoli 3 e 4 vengono rappresentate graficamente da curve di indifferenza parallele in direzione verticale

Dettagli

Note di matematica per microeconomia

Note di matematica per microeconomia Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme

Dettagli

ESEMPI DI DOMANDE per la prova scritta dell esame di Microeconomia. Una sola delle cinque risposte fornite per ogni domanda è giusta.

ESEMPI DI DOMANDE per la prova scritta dell esame di Microeconomia. Una sola delle cinque risposte fornite per ogni domanda è giusta. ESEMPI DI DOMANDE per la prova scritta dell esame di Microeconomia. Una sola delle cinque risposte fornite per ogni domanda è giusta. TEORIA DEL CONSUMO prima parte (Varian, capp. 1-7) 1. Antonio compra

Dettagli

La scelta in condizioni di incertezza

La scelta in condizioni di incertezza La scelta in condizioni di incertezza 1 Stati di natura e utilità attesa. L approccio delle preferenza per gli stati Il problema posto dall incertezza riformulato (state-preference approach). L individuo

Dettagli

Capitolo 23: Scelta in condizioni di incertezza

Capitolo 23: Scelta in condizioni di incertezza Capitolo 23: Scelta in condizioni di incertezza 23.1: Introduzione In questo capitolo studiamo la scelta ottima del consumatore in condizioni di incertezza, vale a dire in situazioni tali che il consumatore

Dettagli

Parte II - Microeconomia

Parte II - Microeconomia 76 3.3 DL ONETTO DI UTILITÀ RDINLE LL TEORI DEL- L UTILITÀ ORDINLE La teoria economica neoclassica ha sviluppato due diversi approcci per risolvere il problema di scelta del consumatore: l utilità cardinale;

Dettagli

CAPITOLO 5. La teoria della domanda

CAPITOLO 5. La teoria della domanda CAPITOLO 5 La teoria della domanda 1 La curva prezzo- consumo La curva prezzo- consumo del bene x: congiunge i panieri o.mi in corrispondenza dei diversi livelli di prezzo del bene x (mantenendo costan8

Dettagli

Basi di matematica per il corso di micro

Basi di matematica per il corso di micro Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione

Dettagli

Capitolo 22: Lo scambio nel mercato dei capitali

Capitolo 22: Lo scambio nel mercato dei capitali Capitolo 22: Lo scambio nel mercato dei capitali 22.1: Introduzione In questo capitolo analizziamo lo scambio nel mercato dei capitali, dove si incontrano la domanda di prestito e l offerta di credito.

Dettagli

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente

Dettagli

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ icroeconomia Douglas Bernheim, ichael Whinston Copyright 009 The cgraw-hill Companies srl COE ASSIIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ Supponiamo che il reddito mensile di Elena sia pari a Y e sia interamente

Dettagli

I costi. Costi economici vs. costi contabili

I costi. Costi economici vs. costi contabili I costi Costi economici vs. costi contabili I costi economici connessi alla produzione di una certa quantità di output Y includono tutte le spese per i fattori produttivi. In altre parole, i costi economici

Dettagli

Capitolo 5. La teoria della domanda. Soluzioni delle Domande di ripasso

Capitolo 5. La teoria della domanda. Soluzioni delle Domande di ripasso Capitolo 5 La teoria della domanda Soluzioni delle Domande di ripasso 1. La curva prezzo-consumo mostra l insieme dei panieri ottimi di due beni, diciamo X e Y, corrispondenti a diversi livelli del prezzo

Dettagli

Microeconomia, Esercitazione 3 Effetto reddito, sostituzione, variazione compensativa, domanda di mercato, surplus del consumatore.

Microeconomia, Esercitazione 3 Effetto reddito, sostituzione, variazione compensativa, domanda di mercato, surplus del consumatore. Microeconomia, Esercitazione 3 Effetto reddito, sostituzione, variazione compensativa, domanda di mercato, surplus del consumatore. Dott. Giuseppe Francesco Gori Domande a risposta multipla ) Se nel mercato

Dettagli

Esercitazione del 5/10/09

Esercitazione del 5/10/09 Esercitazione del 5/10/09 A cura di Giuseppe Gori (giuseppe.gori@unibo.it) Corso di Microeconomia, Docente Luigi Marattin 1 Esercizi. 1.1 Le curve di domanda e di offerta in un dato mercato sono date da:

Dettagli

Scelta fra lavoro e tempo libero con un po di matematica e qualche esercizio Appendice al capitolo 3 Mario

Scelta fra lavoro e tempo libero con un po di matematica e qualche esercizio Appendice al capitolo 3 Mario Scelta fra lavoro e tempo libero con un po di matematica e qualche esercizio Appendice al capitolo 3 Mario Mario frequenta la facoltà di Biologia dell Università di Vattelapesca. Vuole avere un buon voto

Dettagli

5.4 Risposte alle domande di ripasso

5.4 Risposte alle domande di ripasso 34 Capitolo 5 5.4 Risposte alle domande di ripasso 1. Poiché in seguito all applicazione dell imposta la benzina diventerà comunque relativamente più costosa rispetto ad altri beni, i consumatori tenderanno

Dettagli

ECONOMIA DEL LAVORO. Lezioni di maggio (testo: BORJAS) L offerta di lavoro

ECONOMIA DEL LAVORO. Lezioni di maggio (testo: BORJAS) L offerta di lavoro ECONOMIA DEL LAVORO Lezioni di maggio (testo: BORJAS) L offerta di lavoro Offerta di lavoro - Le preferenze del lavoratore Il luogo delle combinazioni di C e L che generano lo stesso livello di U (e.g.

Dettagli

Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni

Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni 25.1: Introduzione In questo capitolo la teoria economica discussa nei capitoli 23 e 24 viene applicata all analisi dello scambio del rischio nel

Dettagli

EQUILIBRIO ECONOMICO GENERALE PROF. MATTIA LETTIERI

EQUILIBRIO ECONOMICO GENERALE PROF. MATTIA LETTIERI EQUILIBRIO ECONOMICO GENERALE PROF. MATTIA LETTIERI Indice 1 EQUILIBRIO ECONOMICO GENERALE ------------------------------------------------------------------------------ 3 2 L EQUILIBRIO ECONOMICO GENERALE

Dettagli

Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni

Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni 25.1: Introduzione In questo capitolo la teoria economica discussa nei capitoli 23 e 24 viene applicata all analisi dello scambio del rischio nel

Dettagli

5 Risparmio e investimento nel lungo periodo

5 Risparmio e investimento nel lungo periodo 5 Risparmio e investimento nel lungo periodo 5.1 Il ruolo del mercato finanziario Il ruolo macroeconomico del sistema finanziario è quello di far affluire i fondi risparmiati ai soggetti che li spendono.

Dettagli

Corso di Macroeconomia. Il modello IS-LM. Appunti

Corso di Macroeconomia. Il modello IS-LM. Appunti Corso di Macroeconomia Il modello IS-LM Appunti 1 Le ipotesi 1. Il livello dei prezzi è fisso. 2. L analisi è limitata al breve periodo. La funzione degli investimenti A differenza del modello reddito-spesa,

Dettagli

1 a Esercitazione: soluzioni

1 a Esercitazione: soluzioni 1 a Esercitazione: soluzioni Monica Bonacina (monica.bonacina@unibocconi.it) & Stefania Migliavacca (Stefania.Migliavacca@enicorporateuniversity.eni.it) Corso di Microeconomia A-K & L-Z, a.a. 2009-2010

Dettagli

ELASTICITÀ. Sarebbe conveniente per il produttore aumentare ulteriormente il prezzo nella stessa misura del caso

ELASTICITÀ. Sarebbe conveniente per il produttore aumentare ulteriormente il prezzo nella stessa misura del caso Esercizio 1 Data la funzione di domanda: ELASTICITÀ Dire se partendo da un livello di prezzo p 1 = 1.5, al produttore converrà aumentare il prezzo fino al livello p 2 = 2. Sarebbe conveniente per il produttore

Dettagli

MINIMIZZAZIONE DEI COSTI

MINIMIZZAZIONE DEI COSTI Università degli studi di MACERATA Facoltà di SCIENZE POLITICHE ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA A.A. 2009/2010 MINIMIZZAZIONE DEI COSTI Fabio CLEMENTI E-mail: fabio.clementi@univpm.it Web: http://docenti.unimc.it/docenti/fabio-clementi

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Ripasso di microeconomia ECONOMIA E FINANZA PUBBLICA. Teoria del consumatore. Lezione n. 1. Teoria del consumatore. Le preferenze.

Ripasso di microeconomia ECONOMIA E FINANZA PUBBLICA. Teoria del consumatore. Lezione n. 1. Teoria del consumatore. Le preferenze. Università degli Studi di erugia Corso di Laurea Magistrale in Scienze della olitica e dell'mministrazione Lezione n. Riasso di microeconomia CONOMI FINNZ ULIC nza Caruso Le referenze Come i consumatori

Dettagli

COSTI, RICAVI E PROFITTI

COSTI, RICAVI E PROFITTI COSTI, RICAVI E PROFITTI L obiettivo dell impresa è la massimizzazione dei profitti. I profitti sono dati dalla differenza tra i ricavi e i costi. Al variare della quantità prodotta, q, variano sia i costi

Dettagli

Domande a scelta multipla 1

Domande a scelta multipla 1 Domande a scelta multipla Domande a scelta multipla 1 Rispondete alle domande seguenti, scegliendo tra le alternative proposte. Cercate di consultare i suggerimenti solo in caso di difficoltà. Dopo l elenco

Dettagli

2 a Esercitazione: soluzioni

2 a Esercitazione: soluzioni 2 a Esercitazione: soluzioni A cura di Monica Bonacina Corso di Microeconomia A-K, a.a. 202-203 La maggior parte dei quesiti riportati di seguito è tratta da temi d esame. De nizioni. Si de niscano sinteticamente

Dettagli

Gli input sono detti anche fattori di produzione: terra, capitale, lavoro, materie prime.

Gli input sono detti anche fattori di produzione: terra, capitale, lavoro, materie prime. LA TECNOLOGIA Studio del comportamento dell impresa, soggetto a vincoli quando si compiono scelte. La tecnologia rientra tra vincoli naturali e si traduce nel fatto che solo alcuni modi di trasformare

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Esercitazione. Capp. 1-5

Esercitazione. Capp. 1-5 Esercitazione Capp. 1-5 Esercizio 1 Elencate e spiegate sinteticamente: 1. I principi che regolano le scelte individuali 2. I principi che regolano l interazione tra gli individui Risposta: 1. Quattro

Dettagli

CAPITOLO TERZO LE PREFERENZE DEL CONSUMATORE E LA FUNZIONE DI UTILITÀ

CAPITOLO TERZO LE PREFERENZE DEL CONSUMATORE E LA FUNZIONE DI UTILITÀ CAPITL TERZ LE PREFERENZE DEL CNSUMATRE E LA FUNZINE DI UTILITÀ SMMARI: 3. Le preferenze. - 3. Le curve di indifferenza. - 3.. L inclinazione negativa della curva di indifferenza. - 3.. Altre forme delle

Dettagli

Economia del Lavoro 2010

Economia del Lavoro 2010 Economia del Lavoro 2010 Capitolo 1-3 Offerta di lavoro -Le preferenze del lavoratore 1 Offerta di lavoro Le preferenze del lavoratore Il comportamento dell offerta di lavoro è analizzato dagli economisti

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto:

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto: PROBLEMA 1. Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE ECONOMICHE. Corso di MATEMATICA per l ECONOMIA. Esercizi per la Teoria del Consumatore

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE ECONOMICHE. Corso di MATEMATICA per l ECONOMIA. Esercizi per la Teoria del Consumatore CORSO DI LAUREA IN SCIENZE ECONOMICHE Corso di MATEMATICA per l ECONOMIA Esercizi per la Teoria del Consumatore 1) Loredana spende parte del suo reddito nell acquisto di scatolette di cibo per gatti, destinate

Dettagli

Equilibrio Economico Generale ed Economia del Benessere

Equilibrio Economico Generale ed Economia del Benessere Equilibrio Economico Generale ed Economia del enessere lessandro Scopelliti Università di Reggio Calabria e University of Warwick alessandro.scopelliti@unirc.it 1 EQUILIRIO ECONOMICO GENERLE E ECONOMI

Dettagli

MICROECONOMIA La teoria del consumo: Alcuni Arricchimenti. Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza

MICROECONOMIA La teoria del consumo: Alcuni Arricchimenti. Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza MICROECONOMIA La teoria del consumo: Alcuni Arricchimenti Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza 1 Dotazioni iniziali Il consumatore dispone ora non di un dato reddito monetario ma di un ammontare

Dettagli

I COSTI PROF. MATTIA LETTIERI

I COSTI PROF. MATTIA LETTIERI I COSTI ROF. MATTIA LETTIERI Indice 1. LE FUNZIONI DI COSTO --------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2. I COSTI DELL IMRESA NEL BREVE ERIODO

Dettagli

REGOLAZIONE (E TASSAZIONE OTTIMALE) DI UN MONOPOLIO CON PIÙ LINEE DI PRODUZIONE

REGOLAZIONE (E TASSAZIONE OTTIMALE) DI UN MONOPOLIO CON PIÙ LINEE DI PRODUZIONE REGOLAZIONE (E TASSAZIONE OTTIMALE) DI UN MONOPOLIO CON PIÙ LINEE DI PRODUZIONE Nella Sezione 16.5 abbiamo visto come un regolatore che voglia fissare il prezzo del monopolista in modo da minimizzare la

Dettagli

Lezione 3 Esercitazioni

Lezione 3 Esercitazioni Lezione 3 Esercitazioni Forlì, 26 Marzo 2013 Teoria della produzione Esercizio 1 Impiegando un fattore produttivo (input) sono stati ottenuti i livelli di produzione (output) riportati in tabella. Fattore

Dettagli

Esercizi su domanda e offerta. 24 novembre 2010

Esercizi su domanda e offerta. 24 novembre 2010 Esercizi su domanda e offerta 24 novembre 2010 Domande Domanda 1* Cosa si intende per spesa totale di un consumatore per un dato bene? Descrivete come essa varia quando il prezzo del bene considerato aumenta

Dettagli

Le componenti della domanda aggregata

Le componenti della domanda aggregata Le componenti della domanda aggregata Lezione 3 Lezione 3 Economia Politica - Macroeconomia 1 Le componenti della domanda aggregata Ricordiamole: Consumo (C) Investimento (I) Spesa Pubblica (G) Ricordiamo

Dettagli

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una

Dettagli

CBM a.s. 2012/2013 PROBLEMA DELL UTILE DEL CONSUMATORE CON IL VINCOLO DEL BILANCIO

CBM a.s. 2012/2013 PROBLEMA DELL UTILE DEL CONSUMATORE CON IL VINCOLO DEL BILANCIO CM a.s. /3 PROLEMA DELL TILE DEL CONSMATORE CON IL VINCOLO DEL ILANCIO Il consumatore è colui che acquista beni er destinarli al rorio consumo. Linsieme dei beni che il consumatore acquista rende il nome

Dettagli

Microeconomia A-K, Prof Giorgio Rampa a.a. 2011-2012. Svolgimento della prova scritta di Microeconomia AK del 19 settembre 2012

Microeconomia A-K, Prof Giorgio Rampa a.a. 2011-2012. Svolgimento della prova scritta di Microeconomia AK del 19 settembre 2012 Svolgimento della prova scritta di Microeconomia AK del 19 settembre 2012 A DEFINIZIONI - Si definiscano sinteticamente i termini anche con l ausilio, qualora necessario, di formule e grafici. 1. Beni

Dettagli

I mercati dei beni e i mercati finanziari: il modello IS-LM. Assunzione da rimuovere. Investimenti, I

I mercati dei beni e i mercati finanziari: il modello IS-LM. Assunzione da rimuovere. Investimenti, I I mercati dei beni e i mercati finanziari: il modello IS-LM Assunzione da rimuovere Rimuoviamo l ipotesi che gli Investimenti sono una variabile esogena. Investimenti, I Gli investimenti delle imprese

Dettagli

Scelte in condizione di incertezza

Scelte in condizione di incertezza Scelte in condizione di incertezza Tutti i problemi di decisione che abbiamo considerato finora erano caratterizzati dal fatto che ogni possibile scelta dei decisori portava a un esito certo. In questo

Dettagli

CAPITOLO SECONDO RICHIAMI DI MICROECONOMIA

CAPITOLO SECONDO RICHIAMI DI MICROECONOMIA CAPITOLO SECONDO RICHIAMI DI MICROECONOMIA SOMMARIO: 2.1 La domanda. - 2.2 Costi, economie di scala ed economie di varietà. - 2.2.1 I costi. - 2.2.2 Le economie di scala. - 2.2.3 Le economie di varietà.

Dettagli

Capitolo V. I mercati dei beni e i mercati finanziari: il modello IS-LM

Capitolo V. I mercati dei beni e i mercati finanziari: il modello IS-LM Capitolo V. I mercati dei beni e i mercati finanziari: il modello IS-LM 2 OBIETTIVO: Il modello IS-LM Fornire uno schema concettuale per analizzare la determinazione congiunta della produzione e del tasso

Dettagli

Scelte intertemporali e decisioni di risparmio

Scelte intertemporali e decisioni di risparmio CAPITOLO 4 Scelte intertemporali e decisioni di risparmio Esercizio 4.1. Tizio deve decidere la spesa per consumo corrente, c 0, e quella per consumo futuro,. Le sue preferenze sono rappresentate dalla

Dettagli

Esempi di funzione. Scheda Tre

Esempi di funzione. Scheda Tre Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.

Dettagli

La Massimizzazione del profitto

La Massimizzazione del profitto La Massimizzazione del profitto Studio del comportamento dell impresa, soggetto a vincoli quando si compiono scelte. Ora vedremo un modello per analizzare le scelte di quantità prodotta e come produrla.

Dettagli

Esercitazione 9 Dott.ssa Sabrina Pedrini 29/04/2015. Domande a risposta multipla

Esercitazione 9 Dott.ssa Sabrina Pedrini 29/04/2015. Domande a risposta multipla Esercitazione 9 Dott.ssa Sabrina Pedrini 29/04/2015 Domande a risposta multipla 1) Il primo teorema dell economia del benessere sostiene che: a) L equilibrio competitivo dipende dal potere contrattuale

Dettagli

Domanda individuale e domanda di mercato

Domanda individuale e domanda di mercato 2 Domanda individuale e domanda di mercato Che cosa vedremo in questo capitolo? La determinazione dell insieme delle alternative all interno del quale sceglie il consumatore. La descrizione e la rappresentazione

Dettagli

TEST FINANZA OTTOBRE 2013

TEST FINANZA OTTOBRE 2013 TEST FINANZA OTTOBRE 03. Si consideri la funzione f ( ) ln( e ). Determinare l espressione corretta della derivata seconda f ( ). e f( ) ( e ) A B f( ) e f( ) ln ( e ) C D f( ). Dati i tre vettori (, 3,

Dettagli

Geometria analitica di base (prima parte)

Geometria analitica di base (prima parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una

Dettagli

Capitolo 8. La massimizzazione del profitto e l offerta concorrenziale. F. Barigozzi Microeconomia CLEC 1

Capitolo 8. La massimizzazione del profitto e l offerta concorrenziale. F. Barigozzi Microeconomia CLEC 1 Capitolo 8 La massimizzazione del profitto e l offerta concorrenziale F. Barigozzi Microeconomia CLEC 1 Argomenti trattati nel capitolo I mercati in concorrenza perfetta La massimizzazione del profitto

Dettagli

Master della filiera cereagricola. Impresa e mercati. Facoltà di Agraria Università di Teramo. Giovanni Di Bartolomeo Stefano Papa

Master della filiera cereagricola. Impresa e mercati. Facoltà di Agraria Università di Teramo. Giovanni Di Bartolomeo Stefano Papa Master della filiera cereagricola Giovanni Di Bartolomeo Stefano Papa Facoltà di Agraria Università di Teramo Impresa e mercati Parte prima L impresa L impresa e il suo problema economico L economia studia

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

Indice. 1 Il settore reale --------------------------------------------------------------------------------------------- 3

Indice. 1 Il settore reale --------------------------------------------------------------------------------------------- 3 INSEGNAMENTO DI ECONOMIA POLITICA LEZIONE VI IL MERCATO REALE PROF. ALDO VASTOLA Indice 1 Il settore reale ---------------------------------------------------------------------------------------------

Dettagli

Domanda e Offerta - Elasticità Dott. ssa Sabrina Pedrini

Domanda e Offerta - Elasticità Dott. ssa Sabrina Pedrini Microeconomia, Esercitazione 1 (19/02/2015) Domanda e Offerta - Elasticità Dott. ssa Sabrina Pedrini Domande a risposta multipla 1) Siamo di fronte a uno shock positivo di offerta se: a) in corrispondenza

Dettagli

Lezione 7 (BAG cap. 5)

Lezione 7 (BAG cap. 5) Lezione 7 (BAG cap. 5) I mercati dei beni e i mercati finanziari: il modello IS-LM Corso di Macroeconomia Prof. Guido Ascari, Università di Pavia 1. Il mercato dei beni e la curva IS L equilibrio sul mercato

Dettagli

della funzione obiettivo. Questo punto dovrebbe risultare chiaro se consideriamo una generica funzione:

della funzione obiettivo. Questo punto dovrebbe risultare chiaro se consideriamo una generica funzione: Corso di laurea in Economia e finanza CLEF) Economia pubblica ************************************************************************************ Una nota elementare sulla ottimizzazione in presenza di

Dettagli

Economia, Corso di Laurea Magistrale in Ing. Elettrotecnica, A.A. 2013-2014. Prof. R. Sestini SCHEMA DELLE LEZIONI DELLA QUARTA SETTIMANA

Economia, Corso di Laurea Magistrale in Ing. Elettrotecnica, A.A. 2013-2014. Prof. R. Sestini SCHEMA DELLE LEZIONI DELLA QUARTA SETTIMANA Economia, Corso di Laurea Magistrale in Ing. Elettrotecnica, A.A. 2013-2014. Prof. R. Sestini SCHEMA DELLE LEZIONI DELLA QUARTA SETTIMANA SURPLUS del CONSUMATORE E utile poter disporre di una misura monetaria

Dettagli

ESERCITAZIONI per il corso di ECONOMIA DELL ARTE E DELLA CULTURA 1 1 MODULO (prof. Bianchi) a.a. 2007-2008

ESERCITAZIONI per il corso di ECONOMIA DELL ARTE E DELLA CULTURA 1 1 MODULO (prof. Bianchi) a.a. 2007-2008 ESERCITAZIONI per il corso di ECONOMIA DELL ARTE E DELLA CULTURA 1 1 MODULO (prof. Bianchi) a.a. 2007-2008 A. Il modello macroeconomico in economia chiusa e senza settore pubblico. A.1. Un sistema economico

Dettagli

PROBLEMI DI SCELTA. Problemi di. Scelta. Modello Matematico. Effetti Differiti. A Carattere Continuo. A più variabili d azione (Programmazione

PROBLEMI DI SCELTA. Problemi di. Scelta. Modello Matematico. Effetti Differiti. A Carattere Continuo. A più variabili d azione (Programmazione 1 PROBLEMI DI SCELTA Problemi di Scelta Campo di Scelta Funzione Obiettivo Modello Matematico Scelte in condizioni di Certezza Scelte in condizioni di Incertezza Effetti Immediati Effetti Differiti Effetti

Dettagli

I COSTI NEL BREVE PERIODO

I COSTI NEL BREVE PERIODO Capitolo 10 Costi COSTI Occorre collegare la produzione dell impresa ai costi sostenuti per realizzarla, sia nel breve, sia nel lungo periodo Si tratta di scegliere la combinazione ottimale dei fattori

Dettagli

Modello neoclassico per la specializzazione internazionale: Heckscher-Ohlin

Modello neoclassico per la specializzazione internazionale: Heckscher-Ohlin Corso di Politica Economica Europee Stefano Papa spapa@uniroma1.it Modello neoclassico per la specializzazione internazionale: Heckscher-Ohlin Facoltà di Economica Università di Roma Sapienza Da produttività

Dettagli

Capitolo 10 Costi. Robert H. Frank Microeconomia - 5 a Edizione Copyright 2010 - The McGraw-Hill Companies, srl

Capitolo 10 Costi. Robert H. Frank Microeconomia - 5 a Edizione Copyright 2010 - The McGraw-Hill Companies, srl Capitolo 10 Costi COSTI Per poter realizzare la produzione l impresa sostiene dei costi Si tratta di scegliere la combinazione ottimale dei fattori produttivi per l impresa È bene ricordare che la categoria

Dettagli

OFFERTA DI LAVORO [Borjas 1.1-1.7]

OFFERTA DI LAVORO [Borjas 1.1-1.7] OFFERTA DI LAVORO [Borjas 1.1-1.7] hi lavora nel mercato? dipende, offerta di lavoro varia tra tipi di persona (uomini/donne, giovani/adulti) tra Paesi (configurazioni diverse) nel tempo (al variare delle

Dettagli

Lezione 2: Teoria del commercio internazionale: Heckscher-Ohlin

Lezione 2: Teoria del commercio internazionale: Heckscher-Ohlin Corso di Economia e Politica economica nei mercati globali S. Papa spapa@unite.it Lezione 2: Teoria del commercio internazionale: Heckscher-Ohlin Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo

Dettagli

2 + (σ2 - ρσ 1 ) 2 > 0 [da -1 ρ 1] b = (σ 2. 2 - ρσ1 σ 2 ) = (σ 1

2 + (σ2 - ρσ 1 ) 2 > 0 [da -1 ρ 1] b = (σ 2. 2 - ρσ1 σ 2 ) = (σ 1 1 PORTAFOGLIO Portafoglio Markowitz (2 titoli) (rischiosi) due titoli rendimento/varianza ( μ 1, σ 1 ), ( μ 2, σ 2 ) Si suppone μ 1 > μ 2, σ 1 > σ 2 portafoglio con pesi w 1, w 2 w 1 = w, w 2 = 1- w 1

Dettagli

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Docente: DI LISCIA F. Materia: MATEMATICA CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Insiemi numerici: numeri naturali, proprietà delle operazioni aritmetiche; Potenze e loro proprietà; Criteri di divisibilità;

Dettagli

Il modello generale di commercio internazionale

Il modello generale di commercio internazionale Capitolo 6 Il modello generale di commercio internazionale [a.a. 2013/14] adattamento italiano di Novella Bottini (ulteriore adattamento di Giovanni Anania) 6-1 Struttura della presentazione Domanda e

Dettagli

Modelli di Ottimizzazione

Modelli di Ottimizzazione Capitolo 2 Modelli di Ottimizzazione 2.1 Introduzione In questo capitolo ci occuperemo più nel dettaglio di quei particolari modelli matematici noti come Modelli di Ottimizzazione che rivestono un ruolo

Dettagli

0. Piano cartesiano 1

0. Piano cartesiano 1 0. Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato di due assi (che per ragioni pratiche possiamo scegliere ortogonali). Il punto in comune ai due assi è detto origine, e funziona da origine

Dettagli

Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi

Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi Microeconomia venerdì 29 febbraio 2008 La struttura della lezione

Dettagli

1 a Esercitazione: testo

1 a Esercitazione: testo 1 a Esercitazione: testo Monica Bonacina (monica.bonacina@unibocconi.it) & Stefania Migliavacca (Stefania.Migliavacca@enicorporateuniversity.eni.it) Corso di Microeconomia A-K & L-Z, a.a. 2009-2010 Questa

Dettagli