LOGICA DEL PRIMO ORDINE: MOTIVAZIONI, SINTASSI E INTERPRETAZIONI

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1 LOGICA DEL PRIMO ORDINE: MOTIVAZIONI, SINTASSI E INTERPRETAZIONI

2 LIMITI DEL CALCOLO PROPOSIZIONALE Nella formalizzazione di enunciati dichiarativi, gli enunciati atomici non hanno struttura (sono rappresentati da simboli proposizionali) Es: Alberto va al cinema con Bruno o va al teatro con Carlo Introduciamo 4 simboli proposizionali: AC Alberto va al cinema BC Bruno va al cinema AT Alberto va al teatro CT Carlo va al teatro Formula proposizionale: (AC BC) ˬ (AT CT)

3 LIMITI DEL CALCOLO PROPOSIZIONALE Avremmo potuto usare analogamente: Alberto va al cinema (P) Bruno va al cinema (Q) Alberto va al teatro (R) Carlo va al teatro (S) (P Q) ˬ (R S) Ma Alberto Bruno... cinema..., gli individui del nostro discorso e le relazioni tra di essi ( andare al ) scompaiono... Di conseguenza non siamo in grado di inferire che l'individuo Alberto e' lo stesso che e' coinvolto nell'azione di andare al cinema ed anche al teatro

4 LIMITI DEL CALCOLO PROPOSIZIONALE Le formule proposizionali possono descrivere relazioni logiche tra un numero finito di enunciati Anche se descriviamo un numero finito di enunciati, vorremmo poterli descrivere in modo compatto : Es: Tutti gli studenti di ISU vanno al cinema (S1 S2 S3...S141 S142)??? Es: Tutti gli studenti di LPP tranne uno...????

5 LIMITI DEL CALCOLO PROPOSIZIONALE Vorremmo esprimere proprietà di un infinità di elementi: tutti i numeri pari maggiori di due non sono primi In CP(?): ( 4 non è primo ) ( 6 non è primo )... NO! Vorremmo poter esprimere proprietà generali come se x è pari allora x+1 è dispari... e riconoscere che da esse derivano proprietà specifiche come se 4 è pari allora 5 è dispari

6 LIMITI DEL CALCOLO PROPOSIZIONALE Vorremmo esprimere proprietà di un infinità di individui: Tutti gli uomini sono mortali Socrate e' un uomo Socrate e' mortale... e riconoscere che da esse derivano proprietà specifiche per l'uomo Socrate

7 COSA CI SERVE? Un modo per riferire elementi del dominio di interesse (dominio del discorso) Un modo per esprimere proprietà di individui o relazioni tra due o più individui Un modo per quantificare una proprietà (o relazione), dicendo che vale per almeno un individuo, o per tutti gli individui

8 ESEMPIO Alberto va al cinema con Bruno o va al teatro con Carlo Dominio del discorso: le persone Alberto, Bruno e Carlo denotano persone specifiche del dominio Andare al cinema ed andare al teatro sono delle proprieta' delle persone

9 Anche se descriviamo un numero finito di enunciati, vorremmo poterli descrivere in modo compatto : Es: Tutti gli studenti di ISU vanno al cinema Es: Tutti gli studenti di LPP tranne uno... Dominio del discorso: gli studenti dell'universita' di Pisa, i corsi ISU e LPP denotano degli elementi del dominio Andare al cinema e' una proprieta' degli studenti e seguire un corso e' una relazione tra studenti e corsi Serve poi un modo per esprimere che una asserzione vale per ogni studente o per almeno uno studente

10 VERSO LA LOGICA DEL PRIMO ORDINE Presenteremo sintassi e semantica di una logica che estende il Calcolo Proposizionale. Con le formule della Logica del Primo Ordine (LP1): si possono denotare/rappresentare esplicitamente individui del discorso (usando i termini) si possono esprimere proprietà di individui e relazioni tra due o più individui (usando i predicati) si può quantificare una proprietà, dicendo che vale per almeno un individuo, o per tutti gli individui (idem per le relazioni) La semantica di una formula del LP1 è sempre un valore booleano, ma determinato in modo molto più complesso Interpretazione: dominio del discorso ed interpretazione dei simboli

11 ESEMPIO: piu' formale Alberto va al cinema con Bruno o va al teatro con Carlo Dominio del discorso: le persone Alberto, Bruno e Carlo sono termini denotano persone specifiche del dominio (costanti) Andare al cinema ed andare al teatro sono delle proprieta' delle persone espresse da predicati T() e C() ad un argomento (C(Alberto) C(Bruno) ) ˬ (T(Alberto) T(Carlo)) Tramite i predicati e le costanti si esprime il legame tra gli individui e le loro attivita' Il valore di verita' dei predicati dipende dai parametri

12 Esempi (li analizzeremo meglio in seguito) Tutti i numeri pari maggiori di due non sono primi ( x. pari(x) x > 2 primo(x) ) Dominio del discorso: gli interi (infinito) 2 e' una costante ed x una variabile x quantificatore universale (x e' una variabile) Predicati: esprimo le proprieta' di essere pari e dispari e di essere > (binario)

13 Esempi (li analizzeremo meglio in seguito) Se x è pari allora x+1 è dispari (*) ( x. pari(x) dispari(x + 1) ) (*) implica se 4 è pari allora 5 è dispari ( x. pari(x) dispari(x + 1) ) (pari(4) dispari(5)) Dominio del discorso: gli interi (infinito) 4 e 5 sono costanti ed x ed x+1 sono termini variabili x quantificatore universale Predicati ad un argomento: esprimono le proprieta' pari e dispari

14 Esempio Dominio del discorso:l'universo Socrate e' un termine costante Predicati: U() ed M() esprimono le proprieta' di esssere uomo e mortale Tutti gli uomini sono mortali : ( x. U(x) M(x)) Socrate e' un uomo : U(Socrate) Socrate e' mortale : M(Socrate)

15 ESEMPIO: corsi e studenti Dominio del discorso: gli studenti dell'universita' di Pisa, i corsi ISU e LPP denotano i rispettivi corsi nel dominio (costanti) Andare al cinema e seguire un corso sono delle proprieta' o relazioni espresse da predicati vacinema() e segue(,) Serve poi un modo per esprimere per ogni studente o esiste uno studente: quantificatore universale ed esistenziale

16 FORMALIZZAZIONE: difficile!! Usiamo anche un predicato a due argomenti = Tutti gli studenti di ISU vanno al cinema ( y. segue(y, ISU) vacinema(y) )) Tutti gli studenti di LPP tranne uno vanno al cinema ( x. (segue(x, LPP) vacinema(x)) ( y. segue(y, LPP) (x = y) vacinema(y) ))

17 LA SINTASSI DELLA LOGICA DEL PRIMO ORDINE: L ALFABETO Un alfabeto del primo ordine comprende: Un insieme V di simboli di variabile Un insieme C di simboli di costante Un insieme F di simboli di funzione, ognuno con la sua arietà (o numero di argomenti) Un insieme P di simboli di predicato, ognuno con la sua arietà (numero di argomenti) I simboli,, ˬ,, (connettivi logici) I simboli, (quantificatori) I simboli ( ) [parentesi], [virgola]. [punto]

18 LA SINTASSI DELLA LOGICA DEL PRIMO ORDINE: LA GRAMMATICA Fbf ::= Fbf Fbf Fbf Fbf Fbf Fbf Fbf Fbf Atom ~Atom Atom ::= T F Pred (Fbf) FbfQuant FbfQuant ::= ( Var.Fbf) ( Var.Fbf) Pred ::= PIde PIde (Term {, Term} ) Term ::= Const Var FIde (Term {, Term} ) dove Var V è un simbolo di variabile, Const C è un simbolo di costante, FIde F è un simbolo di funzione, e PIde P è un simbolo di predicato. Estende la grammatica del Calcolo Proposizionale con nuove produzioni

19 LA SINTASSI DELLA LOGICA DEL PRIMO ORDINE: I TERMINI Term ::= Const Var FIde (Term {, Term} ) I termini sono gli elementi del linguaggio che possono apparire come argomenti di predicati e denotano individui del dominio Ogni costante in C è un termine Ogni variabile in V è un termine Se f è un simbolo di funzione in F con arietà n e t 1,..., t n sono termini, allora f ( t 1,..., t n ) è un termine Esempi: x a x V a C g(a) g F con arietà 1 f(x,g(a)) f F con arietà 2 Notazione: I simboli di funzione binari a volte sono rappresentati con notazione infissa. Es: x + (a * g(x)) è un termine con +, * F con arietà 2

20 LA SINTASSI DELLA LOGICA DEL PRIMO ORDINE: LE FORMULE Le formule rappresentano gli enunciati dichiarativi Se p P è un simbolo di predicato con arietà n e t 1,..., t n sono termini allora p ( t 1,..., t n ) è una formula. Se p P ha arietà 0 (zero) è detto formula atomica. Corrisponde a una variabile proposizionale nel Calcolo Proposizionale, e lo scriviamo p invece di p( ) A volte usiamo notazione infissa per simboli di arietà 2 Es: x = y z f(x) con, P con arietà 2 Se P è una formula allora P è una formula Se P e Q sono formule allora P ˬ Q, P ˬ Q, P Q, P Q sono formule Se P è una formula e x V è una variabile allora ( x.p ) e ( x.p ) sono formule Se P è una formula allora anche (P) è una formula

21 OCCORRENZE DI VARIABILI LIBERE E LEGATE In una formula quantificata come ( x. P ) o ( y. P ) la sottoformula P è detta la portata del quantificatore. Significato intuitivo dei quantificatori e Una occorrenza di variabile x è legata se compare nella portata di un quantificatore x oppure x. Altrimenti è detta libera. Es: ( y. z = y x = y ( x. x = z z = y ) ) ) Portata di x? Portata di y? Occorrenze di variabili legate? Occorrenze di variabili libere?

22 FORMULE APERTE E CHIUSE Una formula che contiene occorrenze di variabili libere è detta aperta Una formula senza variabili libere è detta chiusa. Considereremo solo formule chiuse. Alle formule aperte non e' possibile assegnare una semantica ovvero un valore di verita' (le variabili infatti a cosa si riferiscono?)

23 INTERPRETAZIONI E SEMANTICA Una intepretazione assegna la semantica ad una formula chiusa fissando il significato dei simboli che compaiono: Il dominio di interesse (un insieme) A quali elementi del dominio corrispondono i simboli in C A quali funzioni sul dominio corrispondono i simboli in F A quali predicati (proprietà o relazioni) corrispondono i simboli in P Componendo i valori delle formule atomiche nelle formule composte si arriva a stabilire il valore della formula complessiva

24 INTERPRETAZIONI E SEMANTICA Rispetto ad una intepretazione: Un termine (non variabile) denota un elemento del dominio Una formula chiusa ha un valore di verita' Procedimento simile a quello del calcolo proposizionale, ma più complesso dalla necessità di calcolare funzioni e predicati, e dalla presenza dei quantificatori Componendo i valori delle formule atomiche nelle formule composte si arriva a stabilire il valore della formula complessiva

25 ESEMPIO: SEMANTICA DI FORMULA DIPENDE DA INTERPRETAZIONE Consideriamo la formula: ( x. p(x) ˬ q(x)) Intepretazione 1: Il dominio è quello degli esseri umani Il predicato p significa essere maschio Il predicato q significa essere femmina La formula è vera Interpretazione 2: Il dominio è quello dei numeri naturali Il predicato p significa essere numero primo Il predicato q significa essere numero pari La formula è falsa

26 ESEMPIO: SEMANTICA DI FORMULA APERTA Consideriamo la formula: ( x. q(x)) ˬ p(y) Intepretazione 1: Il dominio è quello degli esseri umani Il predicato p significa essere maschio Il predicato q significa essere femmina La formula è vera Interpretazione 2: Il dominio è quello dei numeri naturali Il predicato p significa essere numero primo Il predicato q significa essere numero pari La formula è falsa

27 SEMANTICA DI UNA FORMULA Non diamo una definizione formale Ci limitiamo ad introdurre la metodologia tramite un esempio Basta trattare i quantificatori in modo opportuno ed il valore di verita' si puo' calcolare in modo analogo che nel calcolo proposizionale

28 Semantica Intutitiva Data una interpretazione: I termini chiusi denotano elementi del dominio I predicati hanno un valore di verita' che dipende dal valore degli argomenti Quantificatori: dobbiamo trovare un valore del dominio che rende vera la formula (esistenziale), la formula deve essere vera per ogni valore del dominio (universale) Connettivi: il valore di verita' si determina come nel caso proposizionale (tabelle di verita')

29 ESEMPIO DI SEMANTICA: ALFABETO E INTERPRETAZIONI Sia dato l alfabeto C = {a, b, c} F = {} P = {p} V = {x, y,...} Interpretazione I 1 Dominio: le città italiane Le costanti sono Milano, Roma, Pontedera, corrispondenti a a, b e c p(x) T se x è capoluogo di provincia, F altrimenti Interpretazione I 2 Domino: l insieme di numeri naturali {5, 10, 15} Le costanti sono 5, 10, e 15 corrispondenti a a, b e c p(x) T se x è multiplo di 5, F altrimenti Interpretazione I 3 come I 2, ma Dominio: i numeri naturali

30 ESEMPIO DI SEMANTICA: VALORE DI VERITA DI FORMULE Dominio a b c p(x) I 1 città italiane Milano Roma Pontedera x capoluogo I 2 {5,10,15} x multiplo di 5 I 3 numeri naturali x multiplo di 5 Formula Valore in I 1 Valore in I 2 Valore in I 3 p(a) T T T p(b) T T T p(c) F T T p(a) p(c) F T T ( x.p(x)) T T T ( x.p(x)) F T F ( x.p(x)) ( y. p(y)) T F T

31 FORMALIZZAZIONE DI ENUNCIATI: LINEE GUIDA Per formalizzare un enunciato E dobbiamo fornire: un alfabeto A = (C, F, P, V) e un interpretazione I = (D,α) una formula del primo ordine che, per l interpretazione I, sia vera se e solo se l enunciato E è vero Finora abbiamo associato un valore di verità alle formule in modo informale: vedremo in seguito la definizione formale della semantica

32 FORMALIZZAZIONE DI ENUNCIATI: LINEE GUIDA Dato un enunciato E, per identificare l alfabeto A e l interpretazione I = (D,α): individuiamo il dominio D di cui parla l enunciato per ogni individuo d D menzionato in E, introduciamo un simbolo di costante c C e fissiamo α(c) = d per ogni operatore op menzionato in E che applicato a elementi di D restituisce un individuo di D, introduciamo un simbolo di funzione f F e fissiamo α(f) = op per ogni formula atomica, proprietà di individui o relazione tra individui R menzionata in E, introduciamo un simbolo di predicato p P e fissiamo α(p) = R

33 FORMALIZZAZIONE DI ENUNCIATI: ESEMPIO E = Tutti i numeri pari maggiori di due non sono primi Dominio: numeri naturali (o anche: numeri interi) Elementi del dominio menzionati in E: due Introduciamo la costante 2 C con α(2) = 2 Proprietà o relazioni tra naturali menzionate in E: n è pari : introduciamo pari P con arietà 1 e α(pari)(n) T se n è pari, F altrimenti n è primo : introduciamo primo P con arietà 1 e α(primo)(n) T se n è primo, F altrimenti n è maggiore di m : introduciamo > P con arietà 2 e α(n > m) T se n è maggiore di m, F altrimenti Formula: ( x. pari(x) x > 2 primo(x) )

34 FORMALIZZAZIONE DI ENUNCIATI: ESEMPIO E = Se x è pari allora il successore di x è dispari Dominio: numeri naturali Operatori sul dominio menzionati in E: successore Introduciamo il simbolo succ F con arietà 1 e α(succ)(n) = n +1. Proprietà o relazioni tra naturali menzionate in E: n è pari : introduciamo pari P come prima n è dispari : introduciamo dispari P con arietà 1 e α(dispari)(n) T se n è dispari, F altrimenti Formula: ( x. pari(x) dispari(succ(x)) )

35 FORMALIZZAZIONE DI ENUNCIATI: ESEMPIO E = Due persone sono parenti se hanno un antenato in comune Dominio: l insieme delle persone Costanti, operatori menzionati in E: nessuno Proprietà o relazioni tra persone menzionate in E: d 1 e d 2 sono parenti : introduciamo parenti P con arietà 2 e α(parenti)(d 1,d 2 ) T se d 1 e d 2 sono parenti, F altrimenti d 1 è antenato di d 2 : introduciamo antenato P con arietà 2 e α(antenato)(d 1,d 2 ) T se d 1 è antenato di d 2, F altrimenti Formula: ((" x, y. ( z. antenato(z,x) antenato(z,y)) parenti(x,y))

36 MODELLI Sia I una interpretazione e φ una formula chiusa. Se φ è vera in I diciamo che I è un modello di φ e scriviamo I φ Se Γ è un insieme di formule, con I Γ intendiamo che I è un modello per tutte le formule in Γ Se una formula è vera in almeno una interpretazione si dice che è soddisfacibile altrimenti è insoddisfacibile Se una formula è vera in tutte le interpretazioni si dice che è valida (estensione del concetto di tautologia) e scriviamo φ

37 ESEMPI Formula soddisfacibile p(a) Con D = Ν a = 44 p(x) = T se x è pari, F altrimenti Formula valida x.p(x) p(x)) Corrispondono alle tautologie Formula insoddisfacibile p(a) p(a) Corrispondono alle contraddizioni

38 CONSEGUENZA LOGICA Il concetto di conseguenza logica consente di parametrizzare la validità di una formula φ rispetto ad una teoria rappresentata da un insieme di formule Γ Diciamo che φ è una conseguenza logica di Γ e scriviamo Γ φ se e soltanto se φ è vera in tutti i modelli di Γ, ovvero tutte le interpretazioni che rendono vere le formule in Γ rendono vera anche φ