Una Libreria di Algebra Lineare per il Calcolo Scientifico

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1 Una Libreria di Algebra Lineare per il Calcolo Scientifico

2 Introduzione Il Lavoro di Tesi Introduzione al Metodo Ridurre l Occupazione di Memoria Metodo di Memorizzazione degli Elementi Risultati Attesi Verifica delle Performance

3 Il Lavoro di Tesi Introduzione La risoluzione di sistemi lineari ormai è una pratica molto comune Sistemi di grandi dimensioni, però, possono creare problemi di occupazione di memoria

4 Il Lavoro di Tesi Il Lavoro di Tesi Lo scopo del lavoro di tesi è stato lo sviluppo di una libreria di software matematico in Fortran e C in aritmetica reale e complessa in singola e doppia precisione per la risoluzione efficiente, dal punto di vista dell occupazione di memoria, di sistemi densi di equazioni lineari, tramite il metodo di Wassing.

5 Introduzione al Metodo Ridurre l Occupazione di Memoria Metodo di Memorizzazione degli Elementi Questo metodo consente di risolvere sistemi lineari utilizzare 1 4 della memoria necessaria a metodi classici (Gauss) Questo guadagno di occupazione di memoria è ottenuto tramite il non richiedere la memorizzazione esplicita della matrice dei coefficienti un metodo opportuno di memorizzazione degli elementi

6 Introduzione al Metodo Ridurre l Occupazione di Memoria Metodo di Memorizzazione degli Elementi Il problema da risolvere è Ax = b Il metodo di Wassing costruisce una nuova matrice: [ ] A T Z = b T che viene fattorizzata LU [ ] A T Z = b T = da cui [ L 0 l T 1 x T = l T L 1 ] [ U 0 T ] ˆLÛ

7 Introduzione al Metodo Ridurre l Occupazione di Memoria Metodo di Memorizzazione degli Elementi Noto che la soluzione è x T = l T L 1 si osservi che ˆL = [ L 0 l T 1 ] [ ˆL 1 = L 1 0 l T L 1 1 ] I primi n elementi dell ultima riga di ˆL contengono la soluzione x T È quindi possibile calcolare solo la matrice ˆL, e non anche Û, per ottenere la soluzione al nostro problema iniziale.

8 Introduzione al Metodo Ridurre l Occupazione di Memoria Metodo di Memorizzazione degli Elementi I passi che devono essere svolti per risolvere il sistema lineare sono i seguenti: 1. i = 2, 3,..., n, n + 1 z i1 = z i1 /z k = 2, 3,..., n, 2.1 i = k, k + 1,..., n, n + 1 k 1 z ik = z ik + z ij z jk j=1 2.2 i = k + 1, k + 2,..., n, n + 1 z ik = z ik /z kk 2.3 j = 1, 2,..., k 1 e i = k + 1, k + 2,..., n, n + 1 z ij = z ij + z ik z kj 3. Il vettore soluzione, sarà x j = z n+1,j j = 1, 2,..., n

9 Introduzione al Metodo Ridurre l Occupazione di Memoria Metodo di Memorizzazione degli Elementi Il metodo può essere facilmente generalizzato al caso di più termini noti AX = B con A n n e X, B n m costruendo la matrice Z come [ ] A T Z = B T Inoltre, la complessità risulta di O( 2 3 n3 ), uguale, cioè, al metodo di Gauss

10 Introduzione al Metodo Ridurre l Occupazione di Memoria Metodo di Memorizzazione degli Elementi Ridurre l Occupazione di Memoria Vediamo ora come sono organizzati i dati necessari all applicazione del metodo di Wassing. Verrà presentato un esempio di un sistema lineare 3 3, mostrando quali elementi della matrice Z sono necessari nei vari passi. Nei grafici vengono usate le convenzioni che le aree evidenziate indicano degli elementi che non sono mai stati utilizzati gli spazi barrati, invece, indicano elementi non più necessari nel proseguio dell algoritmo

11 Introduzione al Metodo Ridurre l Occupazione di Memoria Metodo di Memorizzazione degli Elementi Contenuto della matrice Z al passo 1 Al termine del passo 1 si ha bisogno di memorizzare solo gli elementi sottodiagonali della prima colonna della matrice Z

12 Introduzione al Metodo Ridurre l Occupazione di Memoria Metodo di Memorizzazione degli Elementi Contenuto della matrice Z al passo 2 Al termine del passo 2 si devono memorizzare gli elementi sottodiagonali della seconda colonna e gli elementi omologhi sulla prima colonna un elemento precedentemente memorizzato non sarà più utilizzato

13 Introduzione al Metodo Ridurre l Occupazione di Memoria Metodo di Memorizzazione degli Elementi Contenuto della matrice Z al passo 3 Al termine del terzo ed ultimo passo, devono essere memorizzati solo gli elementi sull ultima riga, la quale contiene il vettore soluzione x T altri 2 elementi non verranno più utilizzati

14 Introduzione al Metodo Ridurre l Occupazione di Memoria Metodo di Memorizzazione degli Elementi Ridurre l Occupazione di Memoria In precedenza, si è evidenziato come alcuni elementi non venissero più utilizzati per il proseguio dell algoritmo. Allora, eliminando questi elementi memorizzando solo quelli necessari in un vettore invece che in una matrice è possibile ridurre l occupazione di memoria ad di memoria, contro le consuete n 2 (n + 1)2 4 locazioni

15 Introduzione al Metodo Ridurre l Occupazione di Memoria Metodo di Memorizzazione degli Elementi Metodo di Memorizzazione degli Elementi La matrice Z viene memorizzata, per colonne, all interno di un vettore: Z1 Z2 Zi dove, appunto, Zi rappresenta l i-esima colonna di Z. In questo modo, le operazioni vengono eseguite su elementi contigui in memoria, e risultano dunque ottimizzate.

16 Risultati Attesi Verifica delle Performance La valutazione di performance ed accuratezza dei codici numerici sviluppati è stata una parte fondamentale del lavoro di tesi: è preferibile utilizzare un codice performante un codice poco accurato è inutile

17 Risultati Attesi Verifica delle Performance Risultati Attesi Vediamo quali risoltati possiamo attenderci dal metodo di Wassing: a causa dei molti spostamenti di dati in memoria, ci si aspetta che le performance siano minori del metodo di Gauss (utilizzato nelle routine LAPACK), sebbene la complessità risulti la stessa ci si attende, però, che l accuratezza del metodo sia confrontabile con quella di altri metodi

18 Risultati Attesi Verifica delle Performance Verifica delle Performance La verifica delle performance è stata eseguita facendo variare la dimensione del sistema tra n = 250 ed n = 2000 con incrementi di 250 il linguaggio di programmazione il tipo di dato I risultati sono stati confrontati con le routine LAPACK GESV, per matrici dei coefficienti generali POSV, per matrici dei coefficienti simmetriche e definite positive

19 Risultati Attesi Verifica delle Performance Confronto del Metodo di Wassing con GESV Fortran: Confronto metodo di Wassing con pivoting con GESV 2.8 Real Double Precision 2.6 Complex Double Complex 2.4 Rapporto con GESV Dimensione della matrice

20 Risultati Attesi Verifica delle Performance Confronto tra le Implementazioni Fortran e C C vs F: Confronto sul metodo di Wassing con pivoting Real Double Precision Complex Double Complex Rapporto C / F Dimensione della matrice

21 Risultati Attesi Verifica delle Performance Una caratteristica fondamentale di un codice numerico è la sua accuratezza Risulta, pertanto, necessario stimare l accuratezza del codice sviluppato Per far questo si è utilizzato il vettore errore: err = x ˆx la differenza tra la soluzione calcolata e quella esatta

22 Risultati Attesi Verifica delle Performance Stima dell Accuratezza Il sistema lineare utilizzato per la verifica dell accuratezza era tale per cui la soluzione esatta fosse nota per via algebrica e composta da tutti 1 Per stimare l accuratezza si sono utilizzati due indicatori: la norma 2 pesata 1 n n i=1 err 2 i = err 2 n la norma infinito max i=1,...,n x i ˆx i = err

23 Risultati Attesi Verifica delle Performance La verifica dell accuratezza è stata eseguita facendo variare la dimensione del sistema tra n = 100 ed n = 2000 con incrementi di 100 il linguaggio di programmazione il tipo di dato I risultati sono stati confrontati con quelli della routine LAPACK GESV

24 Risultati Attesi Verifica delle Performance Norma 2 Pesata ; Numeri Reali in S.P. Norma 2 Wassing e Lapack (Real) x Wassing Lapack Norma 2 "pesata" Dimensione della matrice

25 Risultati Attesi Verifica delle Performance Norma 2 Pesata ; Numeri Reali in D.P. Norma 2 Wassing e Lapack (Double Precision) x Wassing Lapack Norma 2 "pesata" Dimensione della matrice

26 Risultati Attesi Verifica delle Performance Norma 2 pesata ; Numeri Complessi in S.P. Norma 2 Wassing e Lapack (Complex) x Wassing 8 Lapack 7 Norma 2 "pesata" Dimensione della matrice

27 Risultati Attesi Verifica delle Performance Norma 2 pesata ; Numeri Complessi in D.P. Norma 2 Wassing e Lapack (Double Complex) x Wassing Lapack Norma 2 "pesata" Dimensione della matrice

28 È possibile diminuire di un fattore 4 l occupazione di memoria pagando, al massimo, il raddoppio del tempo di esecuzione del codice. L accuratezza nel risolvere sistemi lineari, inoltre, rimane paragonabile a quella di metodi classici, come l eliminazione di Gauss.