Costruzioni geometriche: perché gli origami battono la riga ed il compasso. Francesco Veneziano

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1 Costruzioni geometriche: perché gli origami battono la riga ed il compasso. Francesco Veneziano 5 agosto 2008

2 I problemi classici della geometria euclidea Quadratura del cerchio Costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio assegnato.

3 I problemi classici della geometria euclidea Quadratura del cerchio Costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio assegnato. Trisezione dell angolo Costruire un angolo avente ampiezza pari ad un terzo di quella di un angolo assegnato.

4 I problemi classici della geometria euclidea Quadratura del cerchio Costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio assegnato. Trisezione dell angolo Costruire un angolo avente ampiezza pari ad un terzo di quella di un angolo assegnato. Duplicazione del cubo Costruire un cubo avente volume doppio di quello di un cubo assegnato.

5 I problemi classici della geometria euclidea Quadratura del cerchio Costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio assegnato. Trisezione dell angolo Costruire un angolo avente ampiezza pari ad un terzo di quella di un angolo assegnato. Duplicazione del cubo Costruire un cubo avente volume doppio di quello di un cubo assegnato. Costruzione dei poligoni regolari Costruire tutti i poligoni regolari.

6 Le regole del gioco Il primo matematico a considerare valide solo le costruzioni con riga e compasso fu Oenopide ( a.c.).

7 Le regole del gioco Il primo matematico a considerare valide solo le costruzioni con riga e compasso fu Oenopide ( a.c.). Dati due punti possiamo tracciare la retta che li congiunge. Dati due punti possiamo tracciare la circonferenza che ha centro in uno di essi e passa per il secondo. Date due rette possiamo trovare la loro intersezione. Data una retta e una circonferenza possiamo trovare le loro intersezioni Date due circonferenze possiamo trovare le loro intersezioni.

8 Le regole del gioco Il primo matematico a considerare valide solo le costruzioni con riga e compasso fu Oenopide ( a.c.). Dati due punti possiamo tracciare la retta che li congiunge. Dati due punti possiamo tracciare la circonferenza che ha centro in uno di essi e passa per il secondo. Date due rette possiamo trovare la loro intersezione. Data una retta e una circonferenza possiamo trovare le loro intersezioni Date due circonferenze possiamo trovare le loro intersezioni. La riga di Euclide non è graduata. Il compasso di Euclide non conserva le distanze tra un utilizzo ed il successivo.

9 Diversi punti di vista Per i greci la geometria era la vera matematica, e l aritmetica era interpretata in senso geometrico.

10 Diversi punti di vista Per i greci la geometria era la vera matematica, e l aritmetica era interpretata in senso geometrico. Noi vogliamo impiegare l algebra per investigare la geometria.

11 Punti costruibili e numeri costruibili Un punto è costruibile se è ottenibile a partire da un segmento unitario con un numero finito di passi euclidei.

12 Punti costruibili e numeri costruibili Un punto è costruibile se è ottenibile a partire da un segmento unitario con un numero finito di passi euclidei. Un numero reale è costruibile se è ascissa di un punto costruibile.

13 Punti costruibili e numeri costruibili Un punto è costruibile se è ottenibile a partire da un segmento unitario con un numero finito di passi euclidei. Un numero reale è costruibile se è ascissa di un punto costruibile. C = {x R il punto (x, 0) è costruibile}

14 Punti costruibili e numeri costruibili Un punto è costruibile se è ottenibile a partire da un segmento unitario con un numero finito di passi euclidei. Un numero reale è costruibile se è ascissa di un punto costruibile. C = {x R il punto (x, 0) è costruibile} Il punto (a, b) è costruibile a, b C

15 Le proprietà algebriche dei punti costruibili 0 C x C x C x, y C x + y C

16 Le proprietà algebriche dei punti costruibili 0 C x C x C x, y C x + y C 1 C x C, x 0 1 x C x, y C xy C

17 Le proprietà algebriche dei punti costruibili 0 C x C x C x, y C x + y C 1 C x C, x 0 1 x C x, y C xy C x C x C

18 Moltiplicazione

19 Inverso

20 Radice quadrata

21 Non c è altro Retta per i punti (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) (x x 1 )(y 2 y 1 ) = (y y 1 )(x 2 x 1 )

22 Non c è altro Retta per i punti (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) (x x 1 )(y 2 y 1 ) = (y y 1 )(x 2 x 1 ) Circonferenza con centro in (x 1, y 1 ) e raggio r (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2 = r 2

23 Non c è altro Retta per i punti (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) (x x 1 )(y 2 y 1 ) = (y y 1 )(x 2 x 1 ) Circonferenza con centro in (x 1, y 1 ) e raggio r (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2 = r 2 Intersezione delle rette A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ( C2 B 1 C 1 B 2, A ) 2C 1 A 1 C 2 A 1 B 2 A 2 B 1 A 1 B 2 A 2 B 1

24 Non c è altro Intersezioni della retta Ax + By + C = 0 e della circonferenza (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2 = r 2 ( B 2 x 1 ABy 1 AC ± B A 2 + B 2, A2y 1 ABx 1 BC A ) A 2 + B 2 = r 2 (A 2 + B 2 ) (Ax 1 + By 1 + C) 2

25 Non c è altro Intersezioni delle circonferenze (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2 = r 2 1 e (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 = r 2 2 ( (x 1 x 2 )(r 2 1 r 2 2 x x 2 2 ) + (x 1 + x 2 )(y 1 y 2 ) 2 ± (y 1 y 2 ) 2(x 1 x 2 ) 2 + 2(y 1 y 2 ) 2, (y 1 y 2 )(r 2 1 r 2 2 y y 2 2 ) + (y 1 + y 2 )(x 1 x 2 ) 2 (x 1 x 2 ) 2(x 1 x 2 ) 2 + 2(y 1 y 2 ) 2 = [(x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 (r 1 r 2 ) 2 ][(x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 (r 1 + r 2 ) 2 ] )

26 Non c è altro Intersezioni delle circonferenze (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2 = r 2 1 e (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 = r 2 2 ( (x 1 x 2 )(r 2 1 r 2 2 x x 2 2 ) + (x 1 + x 2 )(y 1 y 2 ) 2 ± (y 1 y 2 ) 2(x 1 x 2 ) 2 + 2(y 1 y 2 ) 2, (y 1 y 2 )(r 2 1 r 2 2 y y 2 2 ) + (y 1 + y 2 )(x 1 x 2 ) 2 (x 1 x 2 ) 2(x 1 x 2 ) 2 + 2(y 1 y 2 ) 2 = [(x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 (r 1 r 2 ) 2 ][(x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 (r 1 + r 2 ) 2 ] ) x C x si può scrivere usando i numeri razionali, le quattro operazioni e la radice quadrata

27 Una condizione necessaria Diciamo che un numero è algebrico se è soluzione di un polinomio a coefficienti razionali.

28 Una condizione necessaria Diciamo che un numero è algebrico se è soluzione di un polinomio a coefficienti razionali. x C x è un numero algebrico

29 Una condizione necessaria Diciamo che un numero è algebrico se è soluzione di un polinomio a coefficienti razionali. x C x è un numero algebrico 2 x = + 3 x 2 = x 4 = (x 4 5) 2 = 24 x 8 10x = 0

30 La quadratura del cerchio è impossibile Il problema della quadratura del cerchio è risolvibile π C

31 La quadratura del cerchio è impossibile Il problema della quadratura del cerchio è risolvibile π C π è trascendente (Lindemann, 1882)

32 Il grado di un campo Q( 2) = {a + b 2 a, b Q} Q( 2, 3) = {a + b 2 + c 3 + d 6 a, b, c, d Q} = {a + b 3 a, b Q( 2)} Se F K sono campi, il grado di F su K ([F : K]) è il minimo numero di paramentri in K necessari per descrivere un elemento di F (la dimensione di F come spazio vettoriale su K) Se F K E allora [F : K] [K : E] = [F : E]

33 Il grado di un numero algebrico Il grado di un numero algebrico α è il grado del polinomio di grado minimo di cui α è radice. Se α è un numero algebrico di grado d, Q(α) = {a 0 + a 1 α + a 2 α a d 1 α d 1 a 0,..., a d 1 Q} è un campo, e [Q(α) : Q] = d

34 Un altra condizione necessaria x C il grado del polinomio minimo di x è una potenza di 2.

35 La duplicazione del cubo è impossibile Il problema della duplicazione del cubo è risolvibile 3 2 C

36 La duplicazione del cubo è impossibile Il problema della duplicazione del cubo è risolvibile 3 2 C Il polinomio minimo di 3 2 è x 3 2

37 La duplicazione del cubo è impossibile Il problema della duplicazione del cubo è risolvibile 3 2 C Il polinomio minimo di 3 2 è x 3 2 Il grado di 3 2 è 3

38 Un nuovo poligono regolare Il poligono regolare con n lati è costruibile l angolo 2π n costruibile è

39 Un nuovo poligono regolare Il poligono regolare con n lati è costruibile l angolo 2π n costruibile Un angolo θ è costruibile cos θ è costruibile è

40 Un nuovo poligono regolare Il poligono regolare con n lati è costruibile l angolo 2π n costruibile Un angolo θ è costruibile cos θ è costruibile è cos 2π 3 = 1 2 cos 2π 5 = 5 1 4

41 Un nuovo poligono regolare Il poligono regolare con n lati è costruibile l angolo 2π n costruibile Un angolo θ è costruibile cos θ è costruibile è cos 2π 3 = 1 2 cos 2π 5 = cos 2π 17 = (Gauss, 1796)

42 Un nuovo poligono regolare Il poligono regolare con n lati è costruibile l angolo 2π n costruibile Un angolo θ è costruibile cos θ è costruibile è cos 2π 3 = 1 2 cos 2π 5 = cos 2π 17 = (Gauss, 1796) Qual è il grado di cos 2π n?

43 I primi di Fermat cos 2π n ha grado ϕ(n) = {1 k n k ed n sono coprimi}

44 I primi di Fermat cos 2π n ha grado ϕ(n) = {1 k n k ed n sono coprimi} L n-agono regolare è costruibile n = 2 k p 1,..., p r dove p 1,..., p r sono numeri primi distinti della forma p = 2 j + 1

45 I primi di Fermat cos 2π n ha grado ϕ(n) = {1 k n k ed n sono coprimi} L n-agono regolare è costruibile n = 2 k p 1,..., p r dove p 1,..., p r sono numeri primi distinti della forma p = 2 j j + 1 è primo j = 2 h Gli unici numeri primi di questa forma noti sono 3, 5, 17, 257, 65537

46 La trisezione dell angolo cos(3θ) = 4 cos 3 θ 3 cos θ

47 La trisezione dell angolo cos(3θ) = 4 cos 3 θ 3 cos θ L angolo α è trisecabile è possibile esprimere le soluzioni dell equazione cos α = 4x 3 3x usando solo il numero cos α, i numeri razionali, le quattro operazioni e la radice quadrata.

48 La trisezione dell angolo cos(3θ) = 4 cos 3 θ 3 cos θ L angolo α è trisecabile è possibile esprimere le soluzioni dell equazione cos α = 4x 3 3x usando solo il numero cos α, i numeri razionali, le quattro operazioni e la radice quadrata. Alcuni angoli si possono trisecare, ma l angolo generico no.

49 Senza mani! Teorema di Poncelet-Steiner Ogni costruzione eseguibile con riga e compasso si può eseguire con la sola riga, purché sia dato anche un cerchio col suo centro. Data una circonferenza non è possibile trovare il suo centro con la sola riga.

50 Senza mani! Teorema di Poncelet-Steiner Ogni costruzione eseguibile con riga e compasso si può eseguire con la sola riga, purché sia dato anche un cerchio col suo centro. Data una circonferenza non è possibile trovare il suo centro con la sola riga. Teorema di Mohr Mascheroni Ogni costruzione eseguibile con riga e compasso si può eseguire col solo compasso.

51 Trisezione col metodo di Archimede Si usa una riga graduata

52 Gli assiomi degli origami 1. Dati due punti p 1 e p 2 esiste un unica piega che passa per entrambi. 2. Dati due punti p 1 e p 2 esiste un unica piega che porta p 1 in p 2

53 Gli assiomi degli origami 3 Date due linee l 1 e l 2 esiste una piega che porta l 1 in l 2 4 Dato un punto p 1 e una linea l 1 esiste un unica piega perpendicolare a l 1 passante per p 1

54 Gli assiomi degli origami 5 Dati due punti p 1 e p 2 e una linea l 1 esiste una piega che porta p 1 su l 1 e passa per p 2 7 Dato un punto p 1 e due linee l 1 e l 2 esiste una piega che porta p 1 su l 1 ed è perpendicolare a l 2

55 Gli assiomi degli origami 6 Dati due punti p 1 e p 2 e due linee l 1 e l 2 esiste una piega che porta p 1 su l 1 e p 2 su l 2 Questo assioma non è eseguibile con riga e compasso. È equivalente a trovare la retta tangente simultaneamente a due parabole. È equivalente alla soluzione delle equazioni di terzo grado.

56 Trisezione con gli origami

57 Trisezione con gli origami

58 Trisezione con gli origami

59 Tutti i triangoli sono isosceli

60 Tutti i triangoli sono isosceli