p. 3/4 COM È FATTO Sono presenti 2 scale: una scala principale incisa su un asta fissa e una scala secondaria, incisa su un corsoio mobile.

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1 p. 1/4 INFORMAZIONI Prossime lezioni Giorno Ora Dove 28/01 14:30 Laboratorio (via Loredan) 02/02 14:30 P50 08/02 14:30 P50? 09/02 14:30 P50 11/02 14:30 Laboratorio (via Loredan) 18/02 14:30 Aula informatica (Dip. di Astronomia) 22/02 14:30 P50 25/02 14:30 Aula informatica (Dip. di Astronomia)

2 p. 1/4 INFORMAZIONI Prossime lezioni Giorno Ora Dove 28/01 14:30 Laboratorio (via Loredan) 02/02 14:30 P50 08/02 14:30 P50? 09/02 14:30 P50 11/02 14:30 Laboratorio (via Loredan) 18/02 14:30 Aula informatica (Dip. di Astronomia) 22/02 14:30 P50 25/02 14:30 Aula informatica (Dip. di Astronomia) Raccolta adesioni e moduli per l utilizzo dell aula informatica presso il Dp. di Astronomia.

3 p. 2/4 IL NONIO Nelle misure di lunghezza non è possibile aumentare a piacere la sensibilità di un regolo, dato che una scala graduata troppo fitta non sarebbe leggibile.

4 p. 2/4 IL NONIO Nelle misure di lunghezza non è possibile aumentare a piacere la sensibilità di un regolo, dato che una scala graduata troppo fitta non sarebbe leggibile. Il nonio è un regolo sussidiario per aumentare la sensibilità senza ulteriori suddivisioni della scala principale.

5 p. 3/4 COM È FATTO Sono presenti 2 scale: una scala principale incisa su un asta fissa e una scala secondaria, incisa su un corsoio mobile.

6 p. 4/4 COME FUNZIONA Esempio: misurare con una precisione di 1/10 mm con una riga graduata che ha una sensibilità S=1mm 1.

7 p. 4/4 COME FUNZIONA Esempio: misurare con una precisione di 1/10 mm con una riga graduata che ha una sensibilità S=1mm 1. Si considera una lunghezza pari a N p = 9 tacche della riga (9 mm)...

8 p. 4/4 COME FUNZIONA Esempio: misurare con una precisione di 1/10 mm con una riga graduata che ha una sensibilità S=1mm 1. Si considera una lunghezza pari a N p = 9 tacche della riga (9 mm)......e si divide questa in N s = 10 parti

9 p. 5/4 COME FUNZIONA Quindi se l estremità della lunghezza l da misurare cade all interno di una divisione della riga si va a cercare la prima divisione del nonio che coincide con una della riga pricipale

10 p. 5/4 COME FUNZIONA Quindi se l estremità della lunghezza l da misurare cade all interno di una divisione della riga si va a cercare la prima divisione del nonio che coincide con una della riga pricipale In generale si considerano N p = N s 1 divisioni della scala principale ognuna di ampiezza d (es d = 1 mm) e si divide la lunghezza D = (N s 1) d del nonio in N s parti. Qualora la n-esima divisione del nonio coincide con una divisione della scala principale si ha: x = h h = nd n N s 1 d = nd N s N s

11 p. 6/4 L NONIO: FORMALISMO GENERALE Sono presenti 2 scale: una scala principale e una scala secondaria, la cui ampiezza totale è pari ad una frazione prefissata di quella principale.

12 p. 6/4 L NONIO: FORMALISMO GENERALE Sono presenti 2 scale: una scala principale e una scala secondaria, la cui ampiezza totale è pari ad una frazione prefissata di quella principale. Per costruzione vale la relazione: N s m s = N p m p

13 p. 6/4 L NONIO: FORMALISMO GENERALE Sono presenti 2 scale: una scala principale e una scala secondaria, la cui ampiezza totale è pari ad una frazione prefissata di quella principale. Per costruzione vale la relazione: N s m s = N p m p m s : Errore di sensibilità della scala secondaria (nonio).

14 p. 6/4 L NONIO: FORMALISMO GENERALE Sono presenti 2 scale: una scala principale e una scala secondaria, la cui ampiezza totale è pari ad una frazione prefissata di quella principale. Per costruzione vale la relazione: N s m s = N p m p m s : Errore di sensibilità della scala secondaria (nonio). m p : Errore di sensibilità della scala principale.

15 p. 6/4 L NONIO: FORMALISMO GENERALE Sono presenti 2 scale: una scala principale e una scala secondaria, la cui ampiezza totale è pari ad una frazione prefissata di quella principale. Per costruzione vale la relazione: N s m s = N p m p m s : Errore di sensibilità della scala secondaria (nonio). m p : Errore di sensibilità della scala principale. N s : Numero totale di divisioni di ordine più basso sulla scala secondaria.

16 p. 6/4 L NONIO: FORMALISMO GENERALE Sono presenti 2 scale: una scala principale e una scala secondaria, la cui ampiezza totale è pari ad una frazione prefissata di quella principale. Per costruzione vale la relazione: N s m s = N p m p m s : Errore di sensibilità della scala secondaria (nonio). m p : Errore di sensibilità della scala principale. N s : Numero totale di divisioni di ordine più basso sulla scala secondaria. N p : Numero di divisioni di ordine più basso sulla scala principale corrispondenti ad una escursione completa del nonio.

17 p. 7/4 IL NONIO LINEARE Posizionare il primo estremo della sbarretta coincidente con lo zero della scala principale.

18 p. 7/4 IL NONIO LINEARE Posizionare il primo estremo della sbarretta coincidente con lo zero della scala principale. Posizionare il secondo estremo coincidente con lo zero del nonio. Lo zero del nonio serve da indice per la scala principale.

19 p. 7/4 IL NONIO LINEARE Posizionare il primo estremo della sbarretta coincidente con lo zero della scala principale. Posizionare il secondo estremo coincidente con lo zero del nonio. Lo zero del nonio serve da indice per la scala principale. Trovare la prima tacca del nonio che coincide con qualunque tacca della scala principale.

20 p. 7/4 IL NONIO LINEARE Posizionare il primo estremo della sbarretta coincidente con lo zero della scala principale. Posizionare il secondo estremo coincidente con lo zero del nonio. Lo zero del nonio serve da indice per la scala principale. Trovare la prima tacca del nonio che coincide con qualunque tacca della scala principale. Sia k la tacca della scala principale ancora a contatto con l oggetto.

21 p. 7/4 IL NONIO LINEARE Posizionare il primo estremo della sbarretta coincidente con lo zero della scala principale. Posizionare il secondo estremo coincidente con lo zero del nonio. Lo zero del nonio serve da indice per la scala principale. Trovare la prima tacca del nonio che coincide con qualunque tacca della scala principale. Sia k la tacca della scala principale ancora a contatto con l oggetto. Sia n la tacca della scala del nonio che per prima coincide con una tacca delle scala principale.

22 IL NONIO LINEARE p. 8/4

23 p. 9/4 IL NONIO LINEARE Sia k = k + m la tacca della scala principale che coincide con la tacca n del nonio. Ciò significa che in l sono comprese m divisioni della scala principale.

24 p. 9/4 IL NONIO LINEARE Sia k = k + m la tacca della scala principale che coincide con la tacca n del nonio. Ciò significa che in l sono comprese m divisioni della scala principale. Sia x la lunghezza incognita, cioè la distanza tra lo zero della scala del nonio e la tacca k della scala principale.

25 p. 9/4 IL NONIO LINEARE Sia k = k + m la tacca della scala principale che coincide con la tacca n del nonio. Ciò significa che in l sono comprese m divisioni della scala principale. Sia x la lunghezza incognita, cioè la distanza tra lo zero della scala del nonio e la tacca k della scala principale. Dalla proporzione N s : N p = n : m ottengo m = N p N s n

26 p. 9/4 IL NONIO LINEARE Sia k = k + m la tacca della scala principale che coincide con la tacca n del nonio. Ciò significa che in l sono comprese m divisioni della scala principale. Sia x la lunghezza incognita, cioè la distanza tra lo zero della scala del nonio e la tacca k della scala principale. Dalla proporzione N s : N p = n : m ottengo m = N p N s n per convenienza scrivo m = νn, dove:

27 IL NONIO LINEARE Sia k = k + m la tacca della scala principale che coincide con la tacca n del nonio. Ciò significa che in l sono comprese m divisioni della scala principale. Sia x la lunghezza incognita, cioè la distanza tra lo zero della scala del nonio e la tacca k della scala principale. Dalla proporzione N s : N p = n : m ottengo m = N p N s n per convenienza scrivo m = νn, dove: ( ) Np ν = int + 1 corrisponde al numero di divisioni della scala N s principale la cui lunghezza è immediatamente superiore ad una p. 9/4

28 p. 10/4 IL NONIO LINEARE Siano l = n m s = n N p N s m p e l = νn m p La lunghezza incognita è quindi data da: x = l l = (νn s N p ) n N s m p

29 p. 10/4 IL NONIO LINEARE Siano l = n m s = n N p N s m p e l = νn m p La lunghezza incognita è quindi data da: x = l l = (νn s N p ) n N s m p L errore di sensibilità del metodo di misura consistente nell utilizzo del nonio si ottiene particolarizzando l equazione precedente per n = 1, ovvero: ( m = ν N ) p m p N s

30 p. 11/4 IL NONIO LINEARE DECIMALE Parametri ( N s ) = 10, N p = ( 9, m ) p = 1 mm Np 9 ν = int + 1 = int + 1 = 1 ( N s 10 Lettura: k + n ) m p k = 16, n = 6 Risultato: = 16.6 mm 10

31 p. 12/4 IL NONIO LINEARE DECIMALE ( Lettura: k + n ) m p k = 16, n = 0 10 Risultato: = 16.0 mm

32 p. 13/4 IL NONIO LINEARE DECIMALE ( Lettura: k + n ) m p k = 16, n = 1 10 Risultato: = 16.1 mm

33 p. 14/4 IL NONIO LINEARE DECIMALE ( Lettura: k + n ) m p k = 16, n = 2 10 Risultato: = 16.2 mm

34 p. 15/4 IL NONIO LINEARE DECIMALE ( Lettura: k + n ) m p k = 16, n = 8 10 Risultato: = 16.8 mm

35 p. 16/4 IL NONIO LINEARE DECIMALE ( Lettura: k + n ) m p k = 16, n = 9 10 Risultato: = 16.9 mm

36 p. 17/4 IL NONIO LINEARE DECIMALE ( Lettura: k + n ) m p k = 16, n = Risultato: = 17.0 mm Misuriamo ora!

37 p. 18/4 IL NONIO LINEARE VENTESIMALE In altri casi anzichè N p = N s 1 divisioni della scala principale se ne considerano N p = 2N s 1. Ad esempio nel nonio ventesimale si considerano N p = 39 divisioni della scala principale (e.g. m p = 1 mm) come lunghezza del nonio e questa viene divisa in N s = 20 parti.

38 p. 18/4 IL NONIO LINEARE VENTESIMALE In altri casi anzichè N p = N s 1 divisioni della scala principale se ne considerano N p = 2N s 1. Ad esempio nel nonio ventesimale si considerano N p = 39 divisioni della scala principale (e.g. m p = 1 mm) come lunghezza del nonio e questa viene divisa in N s = 20 parti. ν = int ( ) = = 2

39 p. 18/4 IL NONIO LINEARE VENTESIMALE In altri casi anzichè N p = N s 1 divisioni della scala principale se ne considerano N p = 2N s 1. Ad esempio nel nonio ventesimale si considerano N p = 39 divisioni della scala principale (e.g. m p = 1 mm) come lunghezza del nonio e questa viene divisa in N s = 20 parti. ν = int ( ) = = 2 L errore si sensibilità del nonio ventesimale è: ( m = ν N ) p m p = 1 N s 20 m p

40 p. 18/4 IL NONIO LINEARE VENTESIMALE In altri casi anzichè N p = N s 1 divisioni della scala principale se ne considerano N p = 2N s 1. Ad esempio nel nonio ventesimale si considerano N p = 39 divisioni della scala principale (e.g. m p = 1 mm) come lunghezza del nonio e questa viene divisa in N s = 20 parti. ν = int ( ) = = 2 L errore si sensibilità del nonio ventesimale è: ( m = ν N ) p m p = 1 N s 20 m p In generale, la variazione minima apprezzata sarà m = m p N s. Io nonio si dirà decimale, ventesimale, trentesimale, a seconda che N s = 10, N s = 20, N s = 30, ecc.

41 p. 19/4 IL NONIO LINEARE VENTESIMALE Parametri ( N s ) = 20, N p = ( 39, ) m p = 1 mm Np 39 ν = int + 1 = int + 1 = 2 N s 20 m = 1 ( 20 m p = 0.05 mm Lettura: k + n ) m p k = 16, n = Risultato: 16 + ( ) = = mm Misuriamo ora!

42 p. 20/4 IL NONIO CIRCOLARE Per costruzione: quando le estremità si toccano il bordo graduato della scala secondaria coincide con lo zero della scala principale; lo zero della scala secondaria coincide con la tacca trasversale della primaria.

43 p. 21/4 IL NONIO CIRCOLARE Operativamente per misurare con un nonio circolare si deve: Regolare la scala secondaria in modo da comprendere la lunghezza incognita.

44 p. 21/4 IL NONIO CIRCOLARE Operativamente per misurare con un nonio circolare si deve: Regolare la scala secondaria in modo da comprendere la lunghezza incognita. Lettura scala principale: in corrispondenza al bordo graduato della scala secondaria.

45 p. 21/4 IL NONIO CIRCOLARE Operativamente per misurare con un nonio circolare si deve: Regolare la scala secondaria in modo da comprendere la lunghezza incognita. Lettura scala principale: in corrispondenza al bordo graduato della scala secondaria. Lettura scala secondaria: in corrispondenza alla tacca trasversale sulla scala principale.

46 p. 21/4 IL NONIO CIRCOLARE Operativamente per misurare con un nonio circolare si deve: Regolare la scala secondaria in modo da comprendere la lunghezza incognita. Lettura scala principale: in corrispondenza al bordo graduato della scala secondaria. Lettura scala secondaria: in corrispondenza alla tacca trasversale sulla scala principale. Sia n la tacca della scala secondaria che più si avvicina alla tacca trasversale sulla scala principale.

47 p. 22/4 IL NONIO CIRCOLARE Sia x la lunghezza incognita, cioè la distanza tra lo zero della scala del nonio e la tacca n.

48 p. 22/4 IL NONIO CIRCOLARE Sia x la lunghezza incognita, cioè la distanza tra lo zero della scala del nonio e la tacca n. La lunghezza incognita è quindi data da: x = n m s = n N p N s m p

49 p. 22/4 IL NONIO CIRCOLARE Sia x la lunghezza incognita, cioè la distanza tra lo zero della scala del nonio e la tacca n. La lunghezza incognita è quindi data da: x = n m s = n N p N s m p Si noti che il nonio circolare equivalente al nonio lineare dove lo zero della secondaria coincide con l ultima tacca della primaria ancora a contatto con l oggetto.

50 p. 22/4 IL NONIO CIRCOLARE Sia x la lunghezza incognita, cioè la distanza tra lo zero della scala del nonio e la tacca n. La lunghezza incognita è quindi data da: x = n m s = n N p N s m p Si noti che il nonio circolare equivalente al nonio lineare dove lo zero della secondaria coincide con l ultima tacca della primaria ancora a contatto con l oggetto. Come prima, l errore di sensibilità del metodo di misura consistente nell utilizzo del nonio circolare si ottiene particolarizzando l equazione precedente per n = 1, ovvero: m = N p N s m p

51 p. 23/4 IL CALIBRO CENTESIMALE Parametri N s = 50, N p = 1, m p = 0.5 mm Sensibilità m = N p m p = = 0.01mm ( N s 50 Lettura: k + n ) m p k = 10, n = 24 Risultato: = 5.24 mm 50

52 p. 24/4 IL CALIBRO CENTESIMALE Parametri N s = 50, N p = 1, m p = 0.5 mm Sensibilità m = N p m p = = 0.01mm ( N s 50 Lettura: k + n ) m p k = 34, n = 25 Risultato: = mm

53 p. 25/4 IL CALIBRO CENTESIMALE Parametri N s = 50, N p = 1, m p = 0.5 mm Sensibilità m = N p m p = = 0.01mm ( N s 50 Lettura: k + n ) m p k = 41, n = 12 Risultato: = mm

54 p. 26/4 IL CALIBRO CENTESIMALE Parametri N s = 50, N p = 1, m p = 0.5 mm Sensibilità m = N p m p = = 0.01mm ( N s 50 Lettura: k + n ) m p k = 47, n = 43 Risultato: = mm 50 Misuriamo ora!

55 p. 27/4 I Esperienza: Misure di lunghezza con strumenti a sensibilità diversa SCOPO: Verificare l insorgenza di errori casuali nella misurazione di una grandezza fisica all aumentare della sensibilità dello strumento.

56 I Esperienza: Misure di lunghezza con strumenti a sensibilità diversa SCOPO: Verificare l insorgenza di errori casuali nella misurazione di una grandezza fisica all aumentare della sensibilità dello strumento. OPERAZIONI DI MISURA: 10 misurazioni di lunghezza di una stessa dimensione di un solido per mezzo di 3 diversi strumenti: righello, nonio lineare e nonio circolare (calibro). p. 27/4

57 p. 28/4 I Esperienza: Misure di lunghezza con strumenti a sensibilità diversa ELABORAZIONE DEI DATI

58 p. 28/4 I Esperienza: Misure di lunghezza con strumenti a sensibilità diversa ELABORAZIONE DEI DATI Trovare l errore di sensibilità di ciascun strumento.

59 p. 28/4 I Esperienza: Misure di lunghezza con strumenti a sensibilità diversa ELABORAZIONE DEI DATI Trovare l errore di sensibilità di ciascun strumento. Per ogni serie di misure dare la soluzione al problema della misura, nella forma L ± L.

60 p. 28/4 I Esperienza: Misure di lunghezza con strumenti a sensibilità diversa ELABORAZIONE DEI DATI Trovare l errore di sensibilità di ciascun strumento. Per ogni serie di misure dare la soluzione al problema della misura, nella forma L ± L. L = m errore di sensibilità nel caso di strumenti poco sensibili

61 p. 28/4 I Esperienza: Misure di lunghezza con strumenti a sensibilità diversa ELABORAZIONE DEI DATI Trovare l errore di sensibilità di ciascun strumento. Per ogni serie di misure dare la soluzione al problema della misura, nella forma L ± L. L = m errore di sensibilità nel caso di strumenti poco sensibili Nel caso di strumenti sufficientemente sensibili, stimare la grandezza fisica in esame con la media aritmetica e l indeterminazione della media L = σ m = σ n, dove σ = quadratico medio delle misure. np (m i m) 2 i=1 n 1 è lo scarto

62 I Esperienza: Misure di lunghezza con strumenti a sensibilità diversa ELABORAZIONE DEI DATI Trovare l errore di sensibilità di ciascun strumento. Per ogni serie di misure dare la soluzione al problema della misura, nella forma L ± L. L = m errore di sensibilità nel caso di strumenti poco sensibili Nel caso di strumenti sufficientemente sensibili, stimare la grandezza fisica in esame con la media aritmetica e l indeterminazione della media L = σ m = σ n, dove σ = quadratico medio delle misure. np (m i m) 2 i=1 n 1 è lo scarto Nell uso del calibro due possibili errori sistematici e/o accidentali: a) esercitare troppa pressione con le ganasce sull oggetto da misurare, può provocare una deformazione dell oggetto e quindi, una stima errata delle sue dimensioni reali; b) la presenza di piccoli corpi (polvere, limatura di ferro,...) porta a misure sistematicamente maggiori per dimensioni esterne e esistematicamente minori per dimensioni interne. p. 28/4

63 p. 29/4 ome svolgere una relazione di Laboratori La relazione sull esperienza fatta in laboratorio deve essere scritta supponendo che chi la legge non sappia cosa avete fatto. Quindi deve contenere tutte le informazioni necessarie a: Capire cosa volevate fare e su quale strumento, oggetto, circuito... Capire come avete fatto. Capire le misure fatte. Capire le conclusioni ed il risultato finale.

64 p. 29/4 ome svolgere una relazione di Laboratori La relazione sull esperienza fatta in laboratorio deve essere scritta supponendo che chi la legge non sappia cosa avete fatto. Quindi deve contenere tutte le informazioni necessarie a: Capire cosa volevate fare e su quale strumento, oggetto, circuito... Capire come avete fatto. Capire le misure fatte. Capire le conclusioni ed il risultato finale. Sul primo foglio scrivere un intestazione idenificativa contenente:

65 p. 29/4 ome svolgere una relazione di Laboratori La relazione sull esperienza fatta in laboratorio deve essere scritta supponendo che chi la legge non sappia cosa avete fatto. Quindi deve contenere tutte le informazioni necessarie a: Capire cosa volevate fare e su quale strumento, oggetto, circuito... Capire come avete fatto. Capire le misure fatte. Capire le conclusioni ed il risultato finale. Sul primo foglio scrivere un intestazione idenificativa contenente: Il nome dell autore e quelli del gruppo relativo.

66 p. 29/4 ome svolgere una relazione di Laboratori La relazione sull esperienza fatta in laboratorio deve essere scritta supponendo che chi la legge non sappia cosa avete fatto. Quindi deve contenere tutte le informazioni necessarie a: Capire cosa volevate fare e su quale strumento, oggetto, circuito... Capire come avete fatto. Capire le misure fatte. Capire le conclusioni ed il risultato finale. Sul primo foglio scrivere un intestazione idenificativa contenente: Il nome dell autore e quelli del gruppo relativo. La data in cui è stata eseguita l esperienza.

67 p. 29/4 ome svolgere una relazione di Laboratori La relazione sull esperienza fatta in laboratorio deve essere scritta supponendo che chi la legge non sappia cosa avete fatto. Quindi deve contenere tutte le informazioni necessarie a: Capire cosa volevate fare e su quale strumento, oggetto, circuito... Capire come avete fatto. Capire le misure fatte. Capire le conclusioni ed il risultato finale. Sul primo foglio scrivere un intestazione idenificativa contenente: Il nome dell autore e quelli del gruppo relativo. La data in cui è stata eseguita l esperienza. Il titolo dell esperienza.

68 p. 29/4 ome svolgere una relazione di Laboratori La relazione sull esperienza fatta in laboratorio deve essere scritta supponendo che chi la legge non sappia cosa avete fatto. Quindi deve contenere tutte le informazioni necessarie a: Capire cosa volevate fare e su quale strumento, oggetto, circuito... Capire come avete fatto. Capire le misure fatte. Capire le conclusioni ed il risultato finale. Sul primo foglio scrivere un intestazione idenificativa contenente: Il nome dell autore e quelli del gruppo relativo. La data in cui è stata eseguita l esperienza. Il titolo dell esperienza.

69 p. 30/4 ome svolgere una relazione di Laboratori Quindi il corpo della relazione deve comprendere:

70 p. 30/4 ome svolgere una relazione di Laboratori Quindi il corpo della relazione deve comprendere: Lo scopo della misura, eventualmente corredato da brevi richiami teorici.

71 p. 30/4 ome svolgere una relazione di Laboratori Quindi il corpo della relazione deve comprendere: Lo scopo della misura, eventualmente corredato da brevi richiami teorici. Una sintetica descrizione dell apparato sperimentale.

72 p. 30/4 ome svolgere una relazione di Laboratori Quindi il corpo della relazione deve comprendere: Lo scopo della misura, eventualmente corredato da brevi richiami teorici. Una sintetica descrizione dell apparato sperimentale. Le misure effettuate.

73 p. 30/4 ome svolgere una relazione di Laboratori Quindi il corpo della relazione deve comprendere: Lo scopo della misura, eventualmente corredato da brevi richiami teorici. Una sintetica descrizione dell apparato sperimentale. Le misure effettuate. Uno o piùgrafici e tabelle per visualizzare i dati sperimentali.

74 p. 30/4 ome svolgere una relazione di Laboratori Quindi il corpo della relazione deve comprendere: Lo scopo della misura, eventualmente corredato da brevi richiami teorici. Una sintetica descrizione dell apparato sperimentale. Le misure effettuate. Uno o piùgrafici e tabelle per visualizzare i dati sperimentali. L elaborazione dei dati con tutti i dettagli necessari alla comprensione di quanto ricavato.

75 p. 30/4 ome svolgere una relazione di Laboratori Quindi il corpo della relazione deve comprendere: Lo scopo della misura, eventualmente corredato da brevi richiami teorici. Una sintetica descrizione dell apparato sperimentale. Le misure effettuate. Uno o piùgrafici e tabelle per visualizzare i dati sperimentali. L elaborazione dei dati con tutti i dettagli necessari alla comprensione di quanto ricavato. Il risultato finale evidenziato ed eventuali conclusioni e commenti.

76 p. 31/4 RAPPRESENTAZIONE DEI DATI Quando si dispone di un alto numero di misure della stessa grandezza fisica è opportuno organizzarle in modo da rendere evidente il loro significato. Strumenti di uso frequente sono: tabelle, diagrammi a barre, istogrammi.

77 p. 31/4 RAPPRESENTAZIONE DEI DATI Quando si dispone di un alto numero di misure della stessa grandezza fisica è opportuno organizzarle in modo da rendere evidente il loro significato. Strumenti di uso frequente sono: tabelle, diagrammi a barre, istogrammi. Consideriamo, ad esempio, due sperimentatori, A e B, che abbiano effettuato ciascuno 10 misurazioni di tempo con strumenti a sensibilità diversa. I dati sono registrati nella tabella: tempo (in secondi) A B

78 p. 32/4 FREQUENZE FREQUENZA ASSOLUTA: n i numero di volte che si verifica un certo evento (dato). M j=1 n j = N Misure A Freq. ass. Misure B Freq. ass M rappresenta il numero di gruppi in cui si sono suddivise le misure (M N). M = N solo in caso di misure senza ripetizioni.

79 p. 32/4 FREQUENZE FREQUENZA ASSOLUTA: n i numero di volte che si verifica un certo evento (dato). M j=1 n j = N Misure A Freq. ass. Misure B Freq. ass M rappresenta il numero di gruppi in cui si sono suddivise le misure (M N). M = N solo in caso di misure senza ripetizioni. FREQUENZA RELATIVA: rapporto tra frequenza assoluta e il numero totale di prove (misure). f i = n i N M j=1 n j N = 1 Misure A Freq. rel. Misure B Freq. rel

80 p. 33/4 DIAGRAMMI A BARRE In ascissa i valori delle misure; in ordinata le freq. assolute o relative.

81 p. 33/4 DIAGRAMMI A BARRE In ascissa i valori delle misure; in ordinata le freq. assolute o relative. Si utilizzano quando le grandezze che possono assumere solo valori discreti.

82 Indicazione lampante: I dati di B sono molto raggruppati intorno ad un valore prossimo a 1.5 mentre i dati di A sono molto più dispersi. Qual è la serie di misure più precisa? p. 33/4 DIAGRAMMI A BARRE In ascissa i valori delle misure; in ordinata le freq. assolute o relative. Si utilizzano quando le grandezze che possono assumere solo valori discreti.

83 p. 34/4 DIAGRAMMI A BARRE Sperimentatore A: seconda serie di 100 misure. diagramma in frequenze assolute diagramma in frequenze relative

84 p. 34/4 DIAGRAMMI A BARRE Sperimentatore A: seconda serie di 100 misure. diagramma in frequenze assolute diagramma in frequenze relative I diagrammi in freq. realtive si dicono normalizzati. Sono utili per il confronto di dati diversi.

85 p. 34/4 DIAGRAMMI A BARRE Sperimentatore A: seconda serie di 100 misure. diagramma in frequenze assolute diagramma in frequenze relative I diagrammi in freq. realtive si dicono normalizzati. Sono utili per il confronto di dati diversi. All aumentare del numero delle misure il diagramma tende a diventare molto più regolare.

86 p. 34/4 DIAGRAMMI A BARRE Sperimentatore A: seconda serie di 100 misure. diagramma in frequenze assolute diagramma in frequenze relative I diagrammi in freq. realtive si dicono normalizzati. Sono utili per il confronto di dati diversi. All aumentare del numero delle misure il diagramma tende a diventare molto più regolare. Precisione di un esperimento larghezza della distribuzione di frequenza.

87 p. 35/4 ISTOGRAMMI Rappresentazione utile quando La grandezza misurata si presenta con valori discreti, però può essere trattata come continua. Il numero dei dati è grande.

88 p. 35/4 ISTOGRAMMI Rappresentazione utile quando La grandezza misurata si presenta con valori discreti, però può essere trattata come continua. Il numero dei dati è grande. Si raggruppano i dati in intervalli successivi di valori.

89 p. 35/4 ISTOGRAMMI Rappresentazione utile quando La grandezza misurata si presenta con valori discreti, però può essere trattata come continua. Il numero dei dati è grande. Si raggruppano i dati in intervalli successivi di valori. Nel caso delle misure, a causa della loro precisione finita (numero finito di cifre significative), conviene raggrupparle in M intervalli successivi di valori, la cui ampiezza non potrà mai essere inferiore alla sensibilità dello strumento. In altre parole, la più piccola ampiezza dell istogramma corrisponde alla cifra significativa più piccola apprezzabile.

90 p. 36/4 ISTOGRAMMI L asse delle ascisse suddiviso in K intervalli, detti classi di frequenza. Queste possono essere uguali o diverse.

91 p. 36/4 ISTOGRAMMI L asse delle ascisse suddiviso in K intervalli, detti classi di frequenza. Queste possono essere uguali o diverse. Frequenza: numero n i o frazione n i /N di dati compresi nell intervallo i-esimo. Se le classi sono di ampiezza diversa, le frequenze non sono direttamente confrontabili!

92 p. 36/4 ISTOGRAMMI L asse delle ascisse suddiviso in K intervalli, detti classi di frequenza. Queste possono essere uguali o diverse. Frequenza: numero n i o frazione n i /N di dati compresi nell intervallo i-esimo. Se le classi sono di ampiezza diversa, le frequenze non sono direttamente confrontabili! Densità di frequenza: rapporto tra la frequenza e l ampiezza di una classe d i = n i x i o d i = f i x i.

93 p. 36/4 ISTOGRAMMI L asse delle ascisse suddiviso in K intervalli, detti classi di frequenza. Queste possono essere uguali o diverse. Frequenza: numero n i o frazione n i /N di dati compresi nell intervallo i-esimo. Se le classi sono di ampiezza diversa, le frequenze non sono direttamente confrontabili! Densità di frequenza: rapporto tra la frequenza e l ampiezza di una classe d i = n i x i o d i = f i x i. Ad ogni classe è associato un rettangolo: la base è pari all ampiezza della classe x i (ascissa); l altezza è pari alla densità di frequenza d i (ordinata) ; l area è per costruzione la frequenza (assoluta o relativa) associata alla classe.

94 p. 37/4 OME COSTRUIRE GLI ISTOGRAMM Definire il numero K delle classi e le loro ampiezze x i, i = 1, K

95 p. 37/4 OME COSTRUIRE GLI ISTOGRAMM Definire il numero K delle classi e le loro ampiezze x i, i = 1, K In un piano catesiano porre in ascissa la variabile x evidenziando le suddivisioni delle classi; ordinata la densità di frequenza.

96 p. 37/4 OME COSTRUIRE GLI ISTOGRAMM Definire il numero K delle classi e le loro ampiezze x i, i = 1, K In un piano catesiano porre in ascissa la variabile x evidenziando le suddivisioni delle classi; ordinata la densità di frequenza.

97 p. 38/4 ISTOGR. IN FREQUENZE ASSOLUTE Ad ogni singola misura associato un rettangolo di area unitaria.

98 p. 38/4 ISTOGR. IN FREQUENZE ASSOLUTE Ad ogni singola misura associato un rettangolo di area unitaria. Area del rettangolo relativo all intervallo i-esimo pari alla frequenza assoluta n i (x i x i 1 ) h i = x h i = n i

99 p. 38/4 ISTOGR. IN FREQUENZE ASSOLUTE Ad ogni singola misura associato un rettangolo di area unitaria. Area del rettangolo relativo all intervallo i-esimo pari alla frequenza assoluta n i Area totale dell istogramma (x i x i 1 ) h i = x h i = n i x 1 h 1 + x 2 h 2 + x K h K = n 1 + n n K = N

100 p. 39/4 ISTOGR. IN FREQUENZE RELATIVE Ad ogni singola misura associato un rettangolo di area pari a 1/N

101 p. 39/4 ISTOGR. IN FREQUENZE RELATIVE Ad ogni singola misura associato un rettangolo di area pari a 1/N Area del rettangolo relativo all intervallo i-esimo pari alla frequenza realtiva n i /N (x i x i 1 ) h i = x h i = n i N

102 p. 39/4 ISTOGR. IN FREQUENZE RELATIVE Ad ogni singola misura associato un rettangolo di area pari a 1/N Area del rettangolo relativo all intervallo i-esimo pari alla frequenza realtiva n i /N (x i x i 1 ) h i = x h i = n i N Area totale dell istogramma è unitaria L istogramma si dice normalizzato. x 1 h 1 + x 2 h 2 + x K h K = n 1 N + n 2 N + nk K = 1

103 p. 39/4 ISTOGR. IN FREQUENZE RELATIVE Ad ogni singola misura associato un rettangolo di area pari a 1/N Area del rettangolo relativo all intervallo i-esimo pari alla frequenza realtiva n i /N (x i x i 1 ) h i = x h i = n i N Area totale dell istogramma è unitaria L istogramma si dice normalizzato. x 1 h 1 + x 2 h 2 + x K h K = n 1 N + n 2 N + nk K = 1 Se le classi di frequenza sono uguali h i frequenza

104 ISTOGR. IN FREQUENZE RELATIVE Ad ogni singola misura associato un rettangolo di area pari a 1/N Area del rettangolo relativo all intervallo i-esimo pari alla frequenza realtiva n i /N (x i x i 1 ) h i = x h i = n i N Area totale dell istogramma è unitaria L istogramma si dice normalizzato. x 1 h 1 + x 2 h 2 + x K h K = n 1 N + n 2 N + nk K = 1 Se le classi di frequenza sono uguali h i frequenza Se le classi di frequenza sono diverse h i densità di frequenza p. 39/4

105 p. 40/4 Un errore frequente Nel caso le classi di frequenza siano diverse occorre prestare attenzione a come si costruisce l istogramma. Le altezze dei rettangoli non scalano come le frequenze, ma come le densità di frequenza.

106 p. 40/4 Un errore frequente Nel caso le classi di frequenza siano diverse occorre prestare attenzione a come si costruisce l istogramma. Le altezze dei rettangoli non scalano come le frequenze, ma come le densità di frequenza. Consideriamo i dati ISTAT 2001 sull età della popolazione italiana.

107 p. 40/4 Un errore frequente Nel caso le classi di frequenza siano diverse occorre prestare attenzione a come si costruisce l istogramma. Le altezze dei rettangoli non scalano come le frequenze, ma come le densità di frequenza. Consideriamo i dati ISTAT 2001 sull età della popolazione italiana.

108 p. 41/4 Un errore frequente... corretto Calcoliamo l ampiezza delle classi e la densità di frequenza.

109 p. 41/4 Un errore frequente... corretto Calcoliamo l ampiezza delle classi e la densità di frequenza.

110 p. 41/4 Un errore frequente... corretto Calcoliamo l ampiezza delle classi e la densità di frequenza.

111 p. 42/4 ISTOGRAMMI: il caso Old Faithful La significatività di un istogramma dipende dalla scelta dell ampiezza delle classi di frequenza.

112 p. 42/4 ISTOGRAMMI: il caso Old Faithful La significatività di un istogramma dipende dalla scelta dell ampiezza delle classi di frequenza. Consideriamo, come esempio, la variabile durata temporale delle eruzioni del geyser Old Faithful, presso lo Yellowstone National Park.

113 p. 43/4 ISTOGRAMMI: il caso Old Faithful Le eruzioni seguono un andamento quasi regolare, quindi per motivi turistici c è interesse a studiare e prevedere quando esse si manifesteranno e quanto dureranno.

114 p. 43/4 ISTOGRAMMI: il caso Old Faithful Le eruzioni seguono un andamento quasi regolare, quindi per motivi turistici c è interesse a studiare e prevedere quando esse si manifesteranno e quanto dureranno. Lo studio statistico ha dimostrato che esistono 2 gruppi di eruzioni: eruzioni brevi ( 3 min) ed eruzioni lunghe (> 3 min).

115 p. 43/4 ISTOGRAMMI: il caso Old Faithful Le eruzioni seguono un andamento quasi regolare, quindi per motivi turistici c è interesse a studiare e prevedere quando esse si manifesteranno e quanto dureranno. Lo studio statistico ha dimostrato che esistono 2 gruppi di eruzioni: eruzioni brevi ( 3 min) ed eruzioni lunghe (> 3 min). Costruiamo l istogramma

116 p. 43/4 ISTOGRAMMI: il caso Old Faithful Le eruzioni seguono un andamento quasi regolare, quindi per motivi turistici c è interesse a studiare e prevedere quando esse si manifesteranno e quanto dureranno. Lo studio statistico ha dimostrato che esistono 2 gruppi di eruzioni: eruzioni brevi ( 3 min) ed eruzioni lunghe (> 3 min). Costruiamo l istogramma Ampiezze troppo piccole producono fluttuazioni troppo forti non significative.

117 p. 43/4 ISTOGRAMMI: il caso Old Faithful Le eruzioni seguono un andamento quasi regolare, quindi per motivi turistici c è interesse a studiare e prevedere quando esse si manifesteranno e quanto dureranno. Lo studio statistico ha dimostrato che esistono 2 gruppi di eruzioni: eruzioni brevi ( 3 min) ed eruzioni lunghe (> 3 min). Costruiamo l istogramma Ampiezze troppo piccole producono fluttuazioni troppo forti non significative. Ampiezze troppo grandi nascondono la natura bimodale dei dati (2 picchi).

118 p. 44/4 Dipendenza dalla base dell istogramma 100 misure del periodo di un pendolo con cronometro digitale S=100 s 1, ripetute in identiche condizioni.

119 p. 45/4 Come suddividere i dati in classi? La morfologia di un istogramma dipende dalla scelta delle classi.non esiste una legge rigorosa.

120 p. 45/4 Come suddividere i dati in classi? La morfologia di un istogramma dipende dalla scelta delle classi.non esiste una legge rigorosa. Se le classi sono troppo ampie caratteristiche importanti possono essere omesse.

121 p. 45/4 Come suddividere i dati in classi? La morfologia di un istogramma dipende dalla scelta delle classi.non esiste una legge rigorosa. Se le classi sono troppo ampie caratteristiche importanti possono essere omesse. Se le classi sono troppo strette l informazione può risultare poco significativa, poichè essendo poco popolate, le classi sono soggette a fluttuazioni statistiche.

122 p. 45/4 Come suddividere i dati in classi? La morfologia di un istogramma dipende dalla scelta delle classi.non esiste una legge rigorosa. Se le classi sono troppo ampie caratteristiche importanti possono essere omesse. Se le classi sono troppo strette l informazione può risultare poco significativa, poichè essendo poco popolate, le classi sono soggette a fluttuazioni statistiche. È sempre meglio effettuare dei test, variando l ampiezza delle classi per verificare la sensibilità dei dati.

123 p. 45/4 Come suddividere i dati in classi? La morfologia di un istogramma dipende dalla scelta delle classi.non esiste una legge rigorosa. Se le classi sono troppo ampie caratteristiche importanti possono essere omesse. Se le classi sono troppo strette l informazione può risultare poco significativa, poichè essendo poco popolate, le classi sono soggette a fluttuazioni statistiche. È sempre meglio effettuare dei test, variando l ampiezza delle classi per verificare la sensibilità dei dati. Generalmente il numero di classi varia tra 5 20, ma dipende dal caso specifico. Il numero degli intervalli K viene fissato, solitamente, dell ordine di N (errore quadratico medio della statistica di Poisson).

124 p. 46/4 FREQUENZA CUMULATIVA Frequenza cumulativa F(x) (assoluta o relativa), per ogni valore di x, è il numero (ass. o rel.) di volte per cui il risultato della misura è stato minore o uguale a x. F(x) = x i xn i (frequenza cumulativa ass.) o F(x) = x i xf i (frequenza cumulativa rel.)

125 p. 46/4 FREQUENZA CUMULATIVA Frequenza cumulativa F(x) (assoluta o relativa), per ogni valore di x, è il numero (ass. o rel.) di volte per cui il risultato della misura è stato minore o uguale a x. F(x) = x i xn i (frequenza cumulativa ass.) o F(x) = x i xf i (frequenza cumulativa rel.) funzione monotona non decrescente con uno scalino pari rispettivamente ad 1 o a 1/N in corrispondenza di ognuno degli N valori osservati.

126 p. 46/4 FREQUENZA CUMULATIVA Frequenza cumulativa F(x) (assoluta o relativa), per ogni valore di x, è il numero (ass. o rel.) di volte per cui il risultato della misura è stato minore o uguale a x. F(x) = x i xn i (frequenza cumulativa ass.) o F(x) = x i xf i (frequenza cumulativa rel.) funzione monotona non decrescente con uno scalino pari rispettivamente ad 1 o a 1/N in corrispondenza di ognuno degli N valori osservati. N (ass.) 0 = F( ) F(x) F(+ ) = 1 (rel.)

127 p. 47/4 REQUENZA CUMULATIVA: un esempi Consideriamo N = 100 studenti maschi dei quali si voglia studiare la distribuzione dei pesi. Massa in kg numero di studenti Le classi scelte siano M = 5 Totale 100 ( ; ; ; ; )

128 p. 47/4 REQUENZA CUMULATIVA: un esempi Consideriamo N = 100 studenti maschi dei quali si voglia studiare la distribuzione dei pesi. Massa in kg numero di studenti Le classi scelte siano M = 5 Totale 100 ( ; ; ; ; ) frequenza assoluta (in ordine di classe): numero studenti per ogni classe di pesi n i = {5, 18, 42, 27, 8}

129 p. 47/4 REQUENZA CUMULATIVA: un esempi Consideriamo N = 100 studenti maschi dei quali si voglia studiare la distribuzione dei pesi. Massa in kg numero di studenti Le classi scelte siano M = 5 Totale 100 ( ; ; ; ; ) frequenza assoluta (in ordine di classe): numero studenti per ogni classe di pesi n i = {5, 18, 42, 27, 8} frequenza relativa: frequenza assoluta divisa per il numero di dati f i = n i /N = {5/100, 18/100, 42/100, 27/100, 8/100}

130 frequenza cumulativa relativa: somma delle frequenze assolute delle varie classi divisa per il numero di dati) F(x) = {5/100, (5 + 18)/100, ( )/100, ecc.} p. 47/4 REQUENZA CUMULATIVA: un esempi Consideriamo N = 100 studenti maschi dei quali si voglia studiare la distribuzione dei pesi. Massa in kg numero di studenti Le classi scelte siano M = 5 Totale 100 ( ; ; ; ; ) frequenza assoluta (in ordine di classe): numero studenti per ogni classe di pesi n i = {5, 18, 42, 27, 8} frequenza relativa: frequenza assoluta divisa per il numero di dati f i = n i /N = {5/100, 18/100, 42/100, 27/100, 8/100}

131 REQUENZA CUMULATIVA: un esempi p. 48/4

132 p. 49/4 ISTOGRAMMA CUMULATIVO È utile per determinare quanti o quale percentuale dei dati (campione) sono al di sotto (o uguali) ad un certo valore. Ad esempio per trovare la mediana.

133 p. 49/4 ISTOGRAMMA CUMULATIVO È utile per determinare quanti o quale percentuale dei dati (campione) sono al di sotto (o uguali) ad un certo valore. Ad esempio per trovare la mediana. Vantaggi dell istogramma cumulativo 1. Le fluttuazioni risultano ridotte rispetto all istogramma: scostamenti di segno opposto si annullano sommando; 2. Non dipende dalla suddivisione in classi mentre l istogramma dipende dalla suddivisione scelta dello sperimentatore

134 p. 49/4 ISTOGRAMMA CUMULATIVO È utile per determinare quanti o quale percentuale dei dati (campione) sono al di sotto (o uguali) ad un certo valore. Ad esempio per trovare la mediana. Vantaggi dell istogramma cumulativo 1. Le fluttuazioni risultano ridotte rispetto all istogramma: scostamenti di segno opposto si annullano sommando; 2. Non dipende dalla suddivisione in classi mentre l istogramma dipende dalla suddivisione scelta dello sperimentatore Svantaggi dell istogramma cumulativo La forma di questa funzione non è utile per suggerirci ipotesi sulla distribuzione della variabile