Quaderni del Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Parma. Ottobre 1996 n. 152

Transcript

1 Quadrni dl Dipartimnto di Matmatica Univrsità dgli Studi di Parma Francsca Fiornzi GLI ALBERI SRADICATI BINARI COME CONCETTO ESSENZIALE PER LA DESCRIZIONE DEI MODELLI DI EAB Ottobr 1996 n

2 2 Francsca Fiornzi GLI ALBERI SRADICATI BINARI COME CONCETTO ESSENZIALE PER LA DESCRIZIONE DEI MODELLI DI EAB SOMMARIO Si dimostra ch gli albri sradicati binari, oltr a dscrivr l classi di quivalnza scondo la rlazion di distanza finita in un modllo non-standard dlla toria EAB, sono tutt sol tali classi, ovvro: comunqu prso un albro sradicato binario, sist un modllo di EAB nl qual compar (a mno di isomorfismi) com class di quivalnza. INTRODUZIONE Com chiarito in [S1], [S2] d in [F] (la cui lttura è indispnsabil pr la comprnsion dl prsnt lavoro), gli albri sradicati binari (o clan binari) sono introdotti pr studiar l classi di quivalnza risptto alla rlazion di distanza finita ni modlli non-standard dlla toria lmntar dgli albri binari EAB. Com dimostrato in [F], infatti, ogni tal class è, a mno di isomorfismi, un albro sradicato binario; risulta inoltr ch ogni clan di spttralità priodica compar, com class di quivalnza, in ogni modllo di EAB. In [F], tuttavia, riman aprto il sgunt problma: dato un clan binario sist almno un modllo di EAB in cui compaia com class di quivalnza? Lo scopo dl prsnt lavoro è qullo provar (mdiant il Torma di Compattzza) ch tal problma ha risposta affrmativa, confrmando così la congttura suggrita in [S1] scondo cui il conctto di clan è qullo corrtto pr la dscrizion di modlli nonstandard di EAB. Si ricordi ch gli lmnti non-standard di un modllo * di EAB sono gli lmnti ch non appartngono all albro binario libro. In [F] abbiamo provato ch un lmnto è non-standard s solo s sta in coda ad un ramo complto (1) ovvro s è strttamnt 1 Si dic ramo complto ogni catna massimal di.

3 3 maggior di ogni lmnto di un ramo complto. Inoltr, du lmnti ch appartngono alla stssa class di quivalnza maggiorano lo stsso ramo complto. Ricordiamo poi ch ogni ramo complto è dtrminato da una succssion binaria vicvrsa. Più prcisamnt, s f: {0,1} è una succssion sist una d una sola funzion (2) h f : R tal ch posto h f (0) = 0 h f (n+1) = σ f (n) (h f (n)) (n ); C f = df h f [ ] l insim C f risulta ssr un ramo complto. Inoltr ogni ramo complto C è dlla forma C f pr una opportuna ( unica) f {0,1}. In [F] (3) si è provato ch risulta dunqu ovvio ch EAB ( x)( x 0 (!y)(x y x y )); EAB ( x)(!y)((x 0 y 0) ( x 0 (x y x y ))). Estndiamo quindi EAB con il simbolo funzional π mdiant l assioma dfinitorio ( x)((x 0 π(x) 0) ( x 0 (x π(x) x π(x) ))); con tal dfinizion abbiamo in sostanza stso la funzion di prdcssor dfinita in [F] anch all lmnto 0. Torma 1 - Sia C un ramo complto sia s: {0,1}; sistono allora un modllo numrabil * di EAB d un lmnto α di R* tali ch α > C spc(α) = s. DIMOSTRAZIONE Sia f: {0,1} tal ch C = C f sia (a n ) n la succssion dgli lmnti di C: a n = h f (n) (n ); si considri la succssion (T n ) n di trmini costanti di EAB dfinita da (4) T 0 = 0 2 L notazioni si discostano lggrmnt da qull ch si sono utilizzat in [F]. 3 Cfr. [F], Torma 3.1.7, p. 91.

4 4 T n+1 = T n + 1 f (n) (n ). Sia il linguaggio ottnuto da EAB arricchndolo con una nuova costant α: = EAB {α} sia l insim di assiomi ottnuti aggiungndo ad EAB gli nunciati T n < α (n ) π n+1 (α) + 1 s(n) π n (α) (n ). Mostriamo ch la toria ( finito di ; sist allora n, ) è finitamnt cornt. Sia infatti Γ un sottoinsim tal ch Γ ov si ottin aggiungndo ad EAB gli nunciati T h < α (h n) π h+1 (α) + 1 s(h) π h (α) (h < n). Si considri la succssion s: {0,1} dfinita da s(h) = s(n - h) (h n) s(h) = s(h) (h > n); posto x = df h s (n + 1), si considri la struttura ch sia spansion di al linguaggio tal ch α = a n+1 + x. La struttura è un modllo di (, ) infatti siccom si ha ch Si ossrvi ch T h < α a h < a n+1 + x (h n) a h a n (h n) T h < α a n < a n + σ f (n) (0) + x (h n). ρ(α ) = ρ(a n+1 ) + ρ(x) = n ρ(x) > n quindi, pr ogni h < n, l lmnto π h+1 (α ) è dfinito; si ha allora 4 Si vda la dimostrazion dl Torma di [F].

5 5 ovvro πh+1 (α) + 1 s(h) π h (α) σ s(h) (π h+1 (a n+1 + x)) = π h (a n+1 + x) (h < n) da cui πh+1 (α) + 1 s(h) π h (α) g(π h (a n+1 + x)) = s(h) (h < n). Pr induzion su h < n proviamo ch S h = 0 si ha ch π h (a n+1 + x) = a n+1 + h s (n h) π h (a n+1 + x) = a n+1 + x = a n+1 + h s (n + 1) = a n+1 + h s (n h) S l assrto val pr h d è h + 1 < n, si ha ch π h+1 (a n+1 + x) = π(π h (a n+1 + x)) = π(a n+1 + h s (n h)) = π(a n+1 + σ s(n-h) (h s (n - h))) π h+1 (a n+1 + x) = π(σ s(n-h) (a n+1 + h s (n - h))) = a n+1 + h s (n - h) = a n+1 + h s (n (h + 1)). Si ha dunqu ch, pr ogni h < n, g(π h (a n+1 + x)) = g(a n+1 + h s (n h)) = g(σ s(n-h) (a n+1 + h s (n - h))) = s(n - h) = s(h). Dunqu è un modllo di (, ); pr il Torma di Compattzza la toria ( a,a ) risulta ssr cornt. Essndo poi un linguaggio finito si ha, pr il Torma di Löwnhim-Skolm, ch la toria ha un modllo numrabil ; posto α = df α si ha ovvro Inoltr ovvro da cui Sia ora a n < α (n ) C < α. πn+1 (α) + 1 s(n) π n (α) (n ) σ s(n) (π n+1 (α)) = π n (α) (n ) g(π n (α)) = s(n) (n ). * = df ; si ha ch * è un modllo numrabil di EAB pr il Torma di Coincidnza in R* sist un lmnto α di spttro s ch sta in coda a C. Com consgunza dl Torma 1 si ha il

6 6 Torma 2 - Sia C un ramo complto sia un albro sradicato binario; sist allora un modllo * di EAB ch è numrabil in cui compar, com class di quivalnza, in coda a C. DIMOSTRAZIONE Sia infatti s = Spc( ), sia * il modllo di EAB di cui al Torma 1 sia α un lmnto di R* di spttro s; la class [α] è un albro sradicato binario di spttralità s d è quindi, pr il Torma 33 di [S2], isomorfa a. I risultati sposti sono utili pr rispondr anch ad un altro problma rimasto aprto in [F] (5) : il fatto ch in * compaia un lmnto con spttro non priodico implica ch la cardinalità dll insim dgli lmnti con spttro non priodico sia più ch numrabil? Pr quanto dimostrato, tal qusito ha risposta ngativa dato ch sistono modlli numrabili di EAB in cui compaiono lmnti con spttro non priodico. 5 Cfr. [F], p. 141.

7 7 BIBLIOGRAFIA [F] FRANCESCA FIORENZI, Modlli non-standard dlla Toria Elmntar dgli Albri Binari, Tsi di Laura, Dipartimnto di Matmatica dll Univrsità di Parma, Luglio [S1] MARIO SERVI, Albro binario classificazion di clan binari (numri naturali binari numri intri binari), Quadrno n. 112 dl Dipartimnto di Matmatica dll Univrsità di Parma, Giugno [S2] MARIO SERVI, Classificazion di clan binari, Quadrno n. 113 dl Dipartimnto di Matmatica dll Univrsità di Parma, Giugno Stampato in proprio dal Dipartimnto di Matmatica dll Univrsità dgli Studi di Parma in Via M. D Azglio 85/A, Parma, admpiuti gli obblighi di cui all articolo 1 dl D. L. 31 agosto 1946 n. 660.