Elaborazione numerica dei segnali

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1 Massimiliano Laddomada Marina Mondin Elaborazione numerica dei segnali 0)+)2(% %VKSQIRXSXVEXXEXSEPI^MSRI %VKSQIRXSXVEXXEXSEPI^MSRIMRQSHSTEV^MEPIS HMJJIVIRXIVMJIVMVWMEKPMETTYRXM %VKSQIRXSEGGIRREXSEPI^MSRIVMJIVMVWMEKPMETTYRXM %VKSQIRXSRSRXVEXXEXSEPI^MSRI

2 Copyright c 2007 Paravia Bruno Mondadori Editori Via Archimede, Milano Tel.: hpeitalia@pearson.com Web: Le informazioni contenute in questo libro sono state verificate e documentate con la massima cura possibile. Nessuna responsabilità derivante dal loro utilizzo potrà venire imputata agli Autori, a Paravia Bruno Mondadori Editori o a ogni persona e società coinvolta nella creazione, produzione e distribuzione di questo libro. I diritti di riproduzione e di memorizzazione elettronica totale e parziale con qualsiasi mezzo, compresi i microfilm e le copie fotostatiche, sono riservati per tutti i paesi. LA FOTO- COPIATURA DEI LIBRI È UN REATO Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n Le riproduzioni effettuate per finalità di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, corso di Porta Romana n. 108, Milano, segreteria@aidro.org e sito web <file:// Copy-editing: Bruno Lanata Grafica di copertina: Gianni Gilardoni Stampa: Tip.Le.Co. S. Bonico (PC) Tutti i marchi citati nel testo sono di proprietà dei loro detentori Printed in Italy 1 a edizione: ottobre 2007

3 Sommario Prefazione XIII 1 Concetti basilari sui segnali a tempo continuo e a tempo discreto Segnali a tempo continuo Esempio di segnale analogico: il segnale vocale Classificazione dei segnali a tempo continuo Valor medio di un segnale a tempo continuo Energia e potenza media di un segnale a tempo continuo Operazioni elementari sui segnali a tempo continuo Segnali armonici e sinusoidali Segnali analogici elementari Sviluppo in serie di Fourier Trasformata di Fourier Segnali a tempo discreto: le sequenze numeriche Classificazione dei segnali a tempo discreto Sequenze elementari Segnali armonici e sinusoidi a tempo discreto Operazioni elementari tra segnali a tempo discreto Energia e potenza media di segnali a tempo discreto Energia e potenza media di segnali analogici campionati Funzioni di correlazione di segnali a tempo discreto Un applicazione della funzione di correlazione Campionamento e quantizzazione Campionamento ideale Fenomeno dell aliasing Campionamento reale Campionamento con Sample and Hold Campionamento di segnali analogici a banda illimitata Ricostruzione del segnale: l interpolazione Quantizzazione uniforme Errore di quantizzazione

4 VIII Sommario Digitalizzazione di segnali musicali Quantizzazione e sovracampionamento Analisi in frequenza di segnali a tempo discreto Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) Condizioni di esistenza della DTFT Proprietà della DTFT Proprietà della DTFT di sequenze reali e complesse Relazioni di Parseval DTFT notevoli Concetto di banda di un segnale a tempo discreto Serie di Fourier a tempo discreto (DTFS) Trasformata di Fourier discreta (DFT) Relazione tra DTFT e DFT Valutazione della DTFT su frequenze discrete tramite la DFT Proprietà della DFT Applicazione della DFT all analisi dei segnali Algoritmi di trasformata di Fourier veloce (FFT) Algoritmi di riduzione della complessità della DFT Algoritmo FFT con decimazione nel tempo Algoritmo FFT con decimazione in frequenza Cenni sulla trasformata discreta coseno Cenni su altri algoritmi efficienti per il calcolo della DFT Analisi in frequenza di segnali a tempo continuo campionati Considerazioni introduttive DTFT di un segnale analogico aperiodico campionato Energia di segnali analogici campionati DFT di segnali analogici aperiodici campionati DFT di segnali analogici periodici Sistemi lineari e tempo invarianti a tempo discreto Classificazione dei sistemi a tempo discreto Soluzioni di equazioni alle differenze Soluzione formale dell equazione alle differenze a coefficienti costanti Risposte allo stato e all ingresso nulli Analisi tempo-frequenza dei sistemi LTI Analisi nel dominio del tempo: la risposta all impulso Analisi nel dominio della frequenza: la risposta in frequenza Risposta di un sistema LTI a esponenziali complessi Risposta di un sistema LTI a sequenze sinusoidali Risposta di un sistema LTI a sequenze periodiche Risposta in frequenza di sistemi LTI a tempo discreto descritti da equazioni alle differenze Concetto di filtraggio

5 Sommario IX 5.4 Stabilità di sistemi LTI a tempo discreto Condizioni di realizzabilità fisica Distorsione introdotta da un sistema LTI Interconnessioni di sistemi LTI Interconnessione serie di sistemi LTI Interconnessione in parallelo di sistemi LTI Interconnessione con reazione di sistemi LTI Analisi di sistemi LTI mediante DFT Tecnica di sovrapposizione e somma Tecnica della sovrapposizione ed estrazione Trasformata zeta Definizione Relazione tra DTFT e trasformata zeta Relazione tra trasformata zeta e operatori di DFT e DFS Analisi della regione di convergenza Regione di convergenza di sequenze x(n) a supporto finito Regione di convergenza di sequenze x(n) causali a supporto illimitato Regione di convergenza di sequenze x(n) anticausali a supporto illimitato Regione di convergenza di sequenze x(n) bilatere a supporto illimitato Proprietà della trasformata zeta Trasformate zeta razionali Trasformate zeta razionali di sequenze causali Inversione della trasformata zeta Metodo diretto Metodo delle divisioni successive Inversione per espansione in fratti semplici Trasformata zeta unilatera Proprietà della trasformata zeta unilatera Teorema del valore iniziale Teorema del valore finale Analisi dei sistemi LTI mediante trasformata zeta Analisi dei sistemi LTI con condizioni iniziali non nulle Impiego della trasformata zeta nella moltiplicazione tra polinomi Analisi della stabilità di sistemi LTI Realizzabilità fisica di un sistema LTI Progetto di filtri con la tecnica del posizionamento dei poli e degli zeri Sistemi inversi Sistemi LTI a fase minima

6 X Sommario Sistemi LTI passa-tutto Funzione di trasferimento di Sistemi LTI interconnessi Applicazioni della trasformata zeta all elaborazione dei segnali audio Equalizzatori audio Effetti audio digitali Tastiera a toni del telefono numerico Progetto di filtri IIR Considerazioni preliminari Prototipo di filtro analogico Prototipo di filtro analogico: il filtro di Butterworth Prototipo di filtro analogico: il filtro di Chebyshev Prototipo di filtro analogico: il filtro Ellittico Confronto tra prototipi di filtri analogici Tecniche di passaggio dal tempo continuo al tempo discreto Tecnica dell approssimazione delle derivate Tecnica dell invarianza all impulso Tecnica della trasformazione bilineare Trasformazioni spettrali tra diverse tipologie di filtro Progetto di filtri IIR mediante tecniche assistite dal calcolatore Progetto di filtri FIR Sequenze simmetriche Classificazione delle sequenze a fase lineare Relazione tra frequenze analogiche e numeriche Progetto di filtri FIR mediante tecniche a finestra Considerazioni preliminari Scelta della finestra di troncamento Finestra di Kaiser Progetto di filtri FIR con la tecnica a finestre Tecnica del campionamento della risposta in frequenza Progetto di filtri FIR ottimi Stima del numero dei coefficienti Algoritmo di Parks e McClellan Cenni ad altre tecniche di progetto Filtri FIR a mezza-banda Trasformatore di Hilbert Filtri FIR derivatori Confronto tra filtri FIR e IIR Cenni sulle tecniche di filtraggio adattativo Filtraggio adattativo: l algoritmo dei minimi quadrati Modellizzazione di un sistema LTI incognito Eliminazione dell interferenza a banda stretta in un segnale a banda larga

7 Sommario XI 9 Realizzazione di sistemi LTI a tempo discreto Considerazioni preliminari Realizzazioni circuitali di sistemi LTI di tipo FIR Realizzazioni dirette Realizzazione in cascata Realizzazione lattice Realizzazione di filtri FIR basata sulla tecnica del campionamento in frequenza Realizzazioni circuitali di sistemi LTI di tipo IIR Realizzazione diretta Realizzazione in cascata Realizzazione parallela Realizzazione lattice Realizzazione polifase Effetti della rappresentazione finita dei numeri Considerazioni preliminari Rappresentazione in virgola fissa Rappresentazione in virgola mobile Tecniche di quantizzazione di dati Effetti della quantizzazione su numeri espressi in virgola fissa Effetti della quantizzazione su numeri espressi in virgola mobile Effetti della quantizzazione in un sistema LTI su dati espressi in virgola fissa Cicli limite in sistemi LTI ricorsivi Normalizzazione delle ampiezze della sequenza di ingresso Quantizzazione dei coefficienti di un sistema LTI Sensibilità della risposta in frequenza dei sistemi LTI di tipo IIR Sensibilità della risposta in frequenza di sistemi LTI di tipo FIR Elaborazione multirate dei segnali a tempo discreto Operazioni di decimazione e di interpolazione Incremento del passo temporale: l interpolazione Riduzione del passo temporale: la decimazione Cambiamento frazionario del passo temporale Relazioni di equivalenza Architetture di sistemi LTI multirate Banco di filtri QMF A Sviluppo in serie di Fourier 425 A.1 Concetti basilari B Trasformate di Fourier 429 B.1 Introduzione B.2 Trasformata di Fourier di segnali periodici B.3 Concetto di banda di segnali analogici

8 XII Sommario C Inversione della trasformata zeta con espansione in fratti semplici 435 D Formulario 437 D.1 Espansioni in serie D.2 Proprietà delle funzioni logaritmiche ed esponenziali D.3 Fattorizzazioni principali di polinomi D.4 Relazioni trigonometriche D.5 Principali serie di funzioni e serie numeriche Acronimi 443 Bibliografia 445 Indice Analitico 449