Laboratorio di Calcolo Numerico

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1 Laboratorio di Calcolo Numerico M.R. Russo Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata A.A. 2009/2010

2 Equazioni non lineari Data una funzione consideriamo il problema di determinare i valori di x tali che Tali valori sono chiamati zeri o radici della funzione f.

3 Equazioni non lineari In generale non sono disponibili formule esplicite per la determinazione delle radici di una funzione, per esempio funzioni algebriche n>5. Si ricorre ai Metodi Iterativi, tecniche che consentono di approssimare la soluzione con un prestabilito grado di precisione. A partire da una approssimazione iniziale x0 si costruisce una successione x1, x2,... che sotto opportune ipotesi, risulta convergere alla radice cercata.

4 Equazioni non lineari Ordine di convergenza: Si dice che una successione {xi}, generata da un metodo numerico, converge ad un limite α con ordine p se esiste C>0 tale che Se p=1 la convergenza si dice lineare Se p=2 la convergenza si dice quadratica C prende il nome di fattore di convergenza Nel caso p=1 si deve necessariamente avere C<1

5 Metodi iterativi Criteri di arresto Non essendo possibile generare infinite iterate della successione, il procedimento dovrebbe arrestarsi per Non disponendo della soluzione si usa una stima di ei, si possono usare i due seguenti criteri Criterio di arresto assoluto Criterio di arresto relativo

6 Metodo di bisezione

7 Algoritmo bisezione Il metodo di bisezione costruisce una successione convergente ad Se f xn =0 allora =x n, altrimenti

8 Criterio d'arresto Il numero di iterazioni può essere impostato a-priori, in base alla tolleranza d errore ammessa, infatti al passo k-esimo si ha: Imponendo che sia Si ottiene il valore minimo di iterazioni per

9 Metodo di bisezione Il metodo di bisezione converge globalmente alla soluzione con la sola ipotesi che f sia continua nell'intervallo [a, b]. La convergenza è però lenta e questo costituisce il limite del metodo: ad ogni passo si riduce l'errore di 1/2, per ridurlo di 1/10 (1 cifra decimale) occorrono circa 3.3 passi. Una spiegazione può essere ricercata nel fatto che non si tiene conto dei valori della funzione ma soltanto dei segni.

10 Metodo di Newton Un metodo completamente diverso che sfrutta più informazioni sulla funzione f è il Metodo di Newton L'idea di base e di approssimare la funzione f data con la sua retta tangente. Dato un punto xk, si definisce il punto xk+1 come l'intersezione della retta tangente alla funzione f nel punto (xk,f(xk)) con l'asse x.

11 Metodo di Newton L'equazione della retta tangente è Se scegliamo xk+1 come quel valore di x tale per cui y(xk+1)=0, che equivale ad approssimare f(x) localmente con la retta tangente in xk ed a trovare lo zero di questa, otteniamo la formula seguente per xk+1 : Ovviamente deve essere

12 Metodo di Newton: costruzione grafica Graficamente si procede nel seguente modo: Dato un punto P(x,f(x)), si considera la tangente al grafico della funzione nel punto P e la si prolunga fino ad incontrare l asse delle ascisse, il punto di intersezione della tangente con l asse x rappresenta la nuova stima della soluzione.

13 Metodo di Newton: costruzione grafica y f(x 1 ) 1 f(x 2 ) 2 f(x 3 ) f(x 4 ) f(x 5 ) 5 x 5 4 x 4 3 x 3 x 2 x 1 x

14 Metodo di Newton Bisogna fornire un valore iniziale x0, la convergenza è garantita se x0 è abbastanza vicino alla radice, si ha convergenza locale e non globale. Alla k esima iterazione il metodo richiede due valutazioni funzionali, la funzione e la sua derivata, ma l'aumento del costo computazionale è compensato dal fatto che la convergenza (locale) è di ordine superiore al primo. In generale è quadratica per radici semplici.

15 Metodo di Newton: casi problematici La procedura del metodo può fallire quando: in una iterazione si incontra un punto stazionario di f(x), in questo caso la tangente alla curva è orizzontale ed il valore di x determinato nell iterazione successiva è infinito. Una iterazione riconduce al punto della iterazione precedete, in tal caso si entra in un ciclo infinito. y 2 1 y 1 x x 2