STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 5

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1 STATISTICA ESERCITAZIONE 5 Dott. Giuseppe Padolfo 28 Ottobre 203 VARIABILITA IN TERMINI DI DISPERSIONE DA UN CENTRO Cetro Me o μ La dispersioe viee misurata come sitesi delle distaze tra le uità statistiche e il cetro. La distaza tra uità e cetro è chiamata scarto (o scostameto). Scarto medio semplice: x i cetro Scarto medio semplice: x i cetro 2 Scarto semplice medio dalla Me: S Me x i Me x i Me i x i Me i Scarto quadratico medio da μ: S μ 2 σ x i μ 2 x i μ 2 i x i μ 2 i Variaza: σ 2 x i μ 2 Il umeratore della variaza è chiamato deviaza: x i μ 2

2 Se usiamo la mediaa come misura di cetro e utilizzo la mediaa (e o la media) degli scarti tra x i e Me ottego u idice chiamato media absolute deviatio: MAD mediaa ( x i Me ) Esercizio La seguete tabella riporta la distribuzioe della variabile X per 50 uità statistiche. Calcoliamo lo scarto quadratico medio. X i Totale 50 Soluzioe Calcoliamo iazitutto la media aritmetica della variabile X: μ X (30 0) ,86 Ora occorre calcolare le differeze tra le modalità e la media aritmetica: X i (x i μ X ) , , , , ,4 Totale 50 σ 50 7, ( 0,86) (3,4) (5,4) (25,4) 2 0

3 ,07 3,9 La variaza è uguale a 94,07. La deviaza, ivece, è uguale a Esercizio 2 Calcolare la media absolute deviatio (MAD) i base ai segueti dati: Soluzioe Ordiiamo la serie: La mediaa è 9. Calcoliamo le distaze x i Me : Ordiiamo i valori: La mediaa è 3. Quidi MAD 3. VARIABILITA IN TERMINI DI CAMPO DI VARIAZIONE L idice più semplice da calcolare è il campo di variazioe R: R x max x mi Duque il campo di variazioe di ua serie di valori ordiati i seso crescete è semplicemete la differeza tra il valore più grade e quello più piccolo. U itervallo di variazioe alterativo è il campo di variazioe iterquartile IQR: IQR Q 3 Q Ovvero la differeza tra il terzo e il primo quartile di ua distribuzioe. Proprietà degli idici di variabilità: ) U idice di variabilità o è mai egativo 2) U idice è uguale a zero se e solo se tutte le osservazioi so uguali (questa proprietà o è soddisfatta dai campi di variazioe)

4 3) Deve crescere al crescere della disuguagliaza tra i valori osservati (o vale per i campi di variazioe) I caso di trasformazioi lieari il coefficiete di traslazioe o ha effetto sulla variabilità. Casi particolari di trasformazioe: ) Cetratura Y X μ X Se poiamo a e b μ X μ Y aμ X + b μ X μ X 0 2) Stadardizzazioe Y X μ X σ X X σ X μ X σ X μ Y 0 σ Y 2 Duque ua variabile stadardizzata ha media e variaza. Esercizio 3 La tabella seguete riporta i dati relativi al umero di impiegati di 0 imprese. Numero di impiegati i Totale 00 Determiare: ) Campo di variazioe 2) Il campo di variazioe iterquartile

5 3) Lo scarto quadratico medio Soluzioe ) Il campo di variazioe ) Il campo di variazioe iterquartile Iazitutto calcoliamo le frequeza assolute cumulate: Numero di impiegati i N i Totale 00 Q 3 x x 75,75 9 Q x + 4 x 25,25 3 IQR Q 3 Q Questo valore idica che il 50% delle imprese aalizzate hao u umero di impiegati compreso i u itervallo di ampiezza 6. 3) Scarto quadratico medio σ x i μ X 2 i

6 Calcoliamo la media μ X μ X (8 4) ,94 La seguete tabella permette il calcolo Numero di impiegati i N i (x i μ X ) (x i μ X ) 2 (x i μ X ) 2 i ,94 24,4 732, ,94 3,76 56, ,06 0,004 0, ,06,2 3, ,06 25, , , ,06 0,2 404,84 Totale σ 2047, Mediamete il umero di impiegati delle 00 imprese i esame differisce dal valore medio di 4,525 impiegati. Esercizio 4 La distribuzioe del reddito auo i euro per 000 persoe è la seguete: Classi di reddito i [000, 5000) 00 [5000, 5000) 400 [5000, 35000) 300 [35000, 75000) 200 Si determii lo scarto quadratico medio del reddito.

7 Soluzioe Calcoliamo la media aritmetica Classi di reddito i x i x i i [000, 5000) [5000, 5000) [5000, 35000) [35000, 75000) Totale μ X 000 x i i Per calcolare lo scarto quadratico medio occorre completare la tabella: Classi di reddito i x i x i i x i μ 2 X x i μ 2 X i [000, 5000) [5000, 5000) [5000, 35000) [35000, 75000) Totale σ 000 x i μ X 2 i ,625 Esercizio 5 Per verificare se le vedite soo determiate dalla posizioe del prodotto sullo scaffale è stato cosiderato u campioe di 2 puti vedita. Nella tabella seguete soo riportate le vedite per ciascu puto vedita alla fie del periodo di prova:

8 Posizioe Frotale Cetrale Posteriore Soluzioe Media totale Variaza totale μ tot 5,0833 σ X 2 2 x i μ X , , Media gruppi: μ Frotale x ifrotale 5,75 μ Cetrale x icetrale 4 μ Posteriore x ifrotale 5,5 Variaza estera (o tra gruppi): 2 σ est μ i μ 2 i 2 5,75 5, , ,5 5, , Variaza itera (o etro i gruppi): 2 σ it G J x ij μ i 2 2 { 8 5, , , , , , , ,5 2 } 73,75 2 6,45833 Verifica proprietà della decomposizioe della variaza: 2 2 σ est + σ it 0, , ,743056