Quiz Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3 Voto Finale

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1 GEOMETRIA DESCRITTIVA 9 LUGLIO 2007 Istruzioni. -) Scrivere cognome, nome, numero di matricola in stampatello negli appositi spazi. -) Trascrivere i risultati dei quiz della prima parte nell apposita tabella in questa pagina: i risultati non riportati in tale tabella non saranno valutati. -) Trascrivere la risposta alle singole domande degli esercizi della seconda parte nelle pagine bianche alla fine di ogni esercizio, motivando ogni risposta. -) Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente. -) Tempo per la prova: 120 minuti. -) Non si possono utilizzare fogli personali, appunti, libri, calcolatrici. Cognome e nome (stampatello): Matricola: 1 a b c d 4 a b c d 2 a b c d 5 a b c d 3 a b c d 6 a b c d Quiz Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3 Voto Finale 1 Typeset by AMS-TEX

2 2 GEOMETRIA DESCRITTIVA Prima Parte (Quiz) Quiz 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) Il coniugato del prodotto di due numeri complessi è il prodotto dei coniugati. b) Il modulo di un numero complesso non reale è un numero complesso non reale. c) Il reciproco di un numero complesso ha per modulo l opposto del modulo. d) Ogni potenza di un numero complesso non reale è un numero complesso non reale. Quiz 2. Sia data l equazione X = / Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) L equazione non ha soluzione. b) Esiste una soluzione X dell equazione tale che det(x) = 1. c) L equazione ha una ed una sola soluzione in R 3,3. d) L equazione ha infinite soluzioni. Quiz 3. Nello spazio ordinario S 3 con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale O ı j k sia dato il triangolo T di vertici i punti O = (0, 0, 0), A = (3, 7, 6), B = (1, 1, 1). Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) T è ottuso in O. b) T ha area 3/2. c) T è rettangolo in O. d) Il piano contenente T è perpendicolare a 3 ı 7 j + 6 k. Quiz 4. Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) Traslare un punto del piano e poi ruotarlo rispetto all origine fornisce lo stesso risultato che ruotarlo rispetto all origine e poi traslarlo. b) La traslazione in coordinate omogenee non si può rappresentare in forma matriciale. c) La traslazione di un punto nel piano R 2 è un applicazione lineare. d) Un riscalamento di fattore 1 in direzione y coincide con una riflessione rispetto all asse x.

3 GEOMETRIA DESCRITTIVA 3 Quiz 5. Nello spazio ordinario S 3 con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale O ı j k siano date le rette r : 1 + t 2 t 3 + 2t, Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) r ed s sono parallele. b) r ed s sono sghembe. c) r ed s sono coincidenti. d) r ed s hanno un punto in comune. s : 1 2t 2 + t 3 t,. Quiz 6. Siano p 0, p 1, p 2 R 2 e si consideri l inviluppo convesso X dell insieme { p 0, p 1, p 2 }. Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) X è l unico insieme convesso che contiene p 0, p 1, p 2. b) X è sempre un triangolo equilatero. c) X è l insieme delle combinazioni lineari di p 0, p 1, p 2 a coefficienti non negativi. d) X può essere un segmento.

4 4 GEOMETRIA DESCRITTIVA Esercizio 1. Sia data la matrice Seconda Parte (Esercizi) A = (1) Determinare il polinomio caratteristico di A. (2) Stabilire se esiste B R 4,1 tale che AB = 3B. (3) Determinare tutti gli autovalori di A ed i relativi autospazi. (4) A è diagonalizzabile? (5) In caso di risposta affermativa alla precedente domanda, determinare matrici P, D R 4,4 con P invertibile e D diagonale, tali che P 1 AP = D. Svolgimento dell esercizio 1.

5 Svolgimento dell esercizio 1. GEOMETRIA DESCRITTIVA 5

6 6 GEOMETRIA DESCRITTIVA Esercizio 2. (1) Dato il punto b 0 = (0, 0), determinare il punto b 1 ottenuto da b 0 mediante la traslazione di un unità lungo l asse delle ascisse e di un unità lungo l asse delle ordinate e il punto b 2 ottenuto da b 1 mediante una rotazione oraria di π 4. (2) Scrivere l equazione della curva di Bézier di secondo grado B(t) con punti di controllo b 0, b 1, b 2 come nel punto precedente. (3) Enunciare in generale la proprietà di interpolazione agli estremi per una curva di Bézier e verificarla nel caso particolare della curva B(t) del punto precedente. Svolgimento dell esercizio 2.

7 Svolgimento dell esercizio 2. GEOMETRIA DESCRITTIVA 7

8 8 GEOMETRIA DESCRITTIVA Esercizio 3. Siano date le matrici A h = , B h = h. 1 5h 2 h h + 1 (1) Determinare i ranghi di A h e (A h B h ) al variare del parametro h R. (2) Determinare i valori del parametro h R per cui l equazione matriciale A h X = B h ha un unica soluzione, ha infinite soluzioni, non ha soluzione. (3) Determinare A 1 0. (4) Risolvere l equazione matriciale A 0 X = B 0. Svolgimento dell esercizio 3.

9 Svolgimento dell esercizio 3. GEOMETRIA DESCRITTIVA 9

10 10 GEOMETRIA DESCRITTIVA Brutta.