Analisi dei segnali campionati
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- Benedetto Ventura
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1 Analisi dei segnali ampionati - 1 Analisi dei segnali ampionati 1 - Il teorema del ampionamento Campionamento ideale Il ampionamento (sampling) di un segnale analogio s( onsiste nel prenderne solo i valori s(it ) in orrispondenza a istanti ben preisi (it ) detti istanti di ampionamento. Per esaminare le proprietà fondamentali è utile riferirsi al aso ideale in ui il ampionamento è effettuato impiegando un treno di impulsi matematii. Sia dunque s( un generio segnale nel tempo, on spettro S(f) limitato in banda fino alla frequenza f M (Fig.1.1). In Fig.1.1 si è adottata la rappresentazione bilatera dello spettro (alle frequenze positive e negative). Fig Segnale a banda limitata. Sia inoltre ( un treno di impulsi matematii, di durata infinita, iasuno on area unitaria (Fig.1.2), equispaziati dell intervallo di ampionamento T (e on frequenza f =1/T ). Il suo spettro C(f) risulta, ome è noto, una sequenza di impulsi in frequenza. Fig Impulsi matematii di ampionamento: rappresentazione nel tempo e in frequenza. Per i segnali s( e (, potremo srivere la seguente orrispondenza fra tempo e frequenza: s( S( f ) ( = i= δ( t it ) C( f ) = f k= δ( f kf ) (1.1) 27, Niola Loi Misure Elettrihe
2 Analisi dei segnali ampionati - 2 Il ampionamento ideale onsiste nel moltipliare il segnale s( per il treno di impulsi (: i= s ( = s( ( = s( δ( t it ) = s( it ) δ( t it ) (1.2) i= Per determinare lo spettro del segnale ampionato è suffiiente riordare he al prodotto algebrio nel tempo orrisponde il prodotto di onvoluzione in frequenza: s( ( S( f ) C( f ) (1.3) Pertanto la trasformata di Fourier del segnale ampionato risulta: k= S ( f ) = S( f ) f δ( f kf ) = f S( f kf ) (1.4) k= Quindi lo spettro del segnale ampionato (Fig.1.3) è formato dalle replihe dello spettro del segnale originario S(f), traslate su frequenze multiple della frequenza di ampionamento f. Inoltre le ordinate di tali replihe risultano tutte moltipliate per un fattore di sala pari a f. Fig Segnale ampionato e suo spettro. Osservando lo spettro del segnale ampionato, risulta evidente he, affinhè non esistano sovrapposizioni fra le diverse replihe, è suffiiente he il periodo di ripetizione in frequenza sia maggiore o al più uguale a 2f M : 1 f = 2 fm (1.5) T Il filtro di riostruzione Se la frequenza di ampionamento f è maggiore almeno del doppio della massima frequenza f M ontenuta nel segnale, eseguendo il filtraggio della sequenza di impulsi on un filtro passabasso H R (f), he abbia una risposta piatta da a f M e risposta nulla per f >(f - f M ), si riottiene in usita il segnale originario s(, in quanto se ne isola lo spettro S(f) in banda base (Fig.1.4). Fig Il filtro di riostruzione. 27, Niola Loi Misure Elettrihe
3 Analisi dei segnali ampionati - 3 Per il orretto ripristino delle ampiezze, il guadagno del filtro di riostruzione entro la banda piatta ( f M ) deve essere ostante e pari a H = 1/f. Aliasing Se vieversa f < 2f M, ossia i ampioni sono troppo radi, non è possibile riottenere il segnale originario in alun modo, a ausa della sovrapposizione delle replihe he rea un disturbo da spettro adiaente. Tale fenomeno è detto aliasing (Fig.1.5A). Fig A) Distorsione di aliasing; B) Riostruzione on filtro passa-basso ideale. Di partiolare interesse è il aso limite in ui f = 2f M (Fig.1.5B): in tal aso la riostruzione è anora possibile on un filtro passa-basso ideale senza he vi sia alterazione dello spettro originario in banda base ( f M ). In queste ondizioni si ha il minimo valore teorio per la frequenza di ampionamento, ui orrisponde il massimo intervallo temporale fra i ampioni: 1 1 T = = (1.6) f 2 f M Le funzioni interpolanti La risposta del filtro passa basso-ideale alla sequenza di impulsi matematii di valore s(it ) riprodue dunque il segnale originario s(. D altra parte un filtro passa-basso ideale, he ha la funzione di trasferimento pari ad H per f = ( f M ) e zero altrove, ha la risposta impulsiva: sin(2πf M h( = ( H 2 fm ) (1.7) (2πf M Consegue he, adottando la massima veloità di ampionamento onsentita (f =2f M ) e faendo il guadagno H = 1/f = 1/2f M, il segnale s( può esprimersi direttamente ome somma delle risposte h( del filtro a iasuno degli impulsi ostituenti la sequenza: sin[ πf ( t it )] s = s( it ) = s( it ) sin[ πf [ πf ( t it )] ( t it )] ( i= i= (1.8) La funzione sin(πf = [sin(πf ]/[πf t], he onsente di riostruire il segnale s( dalla onosenza dei suoi ampioni s(it ), è detta funzione interpolante o di ampionamento. La riostruzione del segnale s( avviene mediante il ontributo di tutte le funzioni sin relative a tutti i ampioni he formano la sequenza, tranne he negli istanti di ampionamento. Un interpretazione grafia di questo fatto è fornita nella Fig.1.6, dove è rappresentata la sovrapposizione delle funzioni sin relative a tre ampioni. 27, Niola Loi Misure Elettrihe
4 Analisi dei segnali ampionati - 4 Fig Riostruzione del segnale ampionato. Prefiltraggio Spesso i segnali hanno un ontenuto armonio piuttosto esteso, ma le omponenti armonihe a frequenza più alta sono di entità insignifiante. In tali asi è utile ompiere un filtraggio he ridue la banda del segnale f M a quella realmente signifiativa f M. In tal modo la riduzione della massima frequenza del segnale da f M a f M onsente l uso di frequenze di ampionamento più basse ed evita il fenomeno di aliasing. Il filtro antialiasing è di norma presente in tutti gli stadi di ingresso dei sistemi di misura digitali a ampionamento. Il ampionamento in pratia Gli impulsi matematii utilizzati per dimostrare il teorema del ampionamento non sono evidentemente utilizzabili in pratia e ostituisono solo un mezzo analitio. Se il fine della proedura di ampionamento è quello di onosere i valori s(it ) del segnale originario s( in preisi istanti di tempo (it ), dovremo riorrere a iruiti elettronii idonei a questo sopo. Nei asi pratii il ampionamento di un segnale viene realizzato on il iruito di sample & hold he rileva il valore del segnale analogio ogni T seondi. Il valore ampionato viene mantenuto per il tempo neessario al onvertitore AD per effettuare la onversione in forma numeria. Se si rispetta il vinolo imposto dal teorema del ampionamento, i ampioni ottenuti in tal modo sono omunque suffiienti a onosere esattamente (a parte il rumore di quantizzazione, he non dipende dal ampionamento) tutta l informazione ontenuta nel segnale. La riostruzione in pratia Anhe il proesso di riostruzione, esaminato in preedenza on le funzioni interpolanti, non può in pratia riorrere a impulsi matematii né a funzioni sin indefinitamente estese. D altra parte, presenta notevole interesse pratio nel aso in ui si debba produrre un segnale analogio s(, partendo da una sequenza di numeri s(it ) he ne rappresentano i ampioni, presi ogni T seondi. Il ampo di appliazione pratia di tale tenia si ha nei generatori programmabili di segnali. Tali strumenti sono in grado di generare fisiamente dei segnali di tensione, on una forma d onda nota (sinusoidale, triangolare, quadra, e.) ma anhe arbitraria. In essi si determina il valore numerio di iasun ampione del segnale he si vuole generare, tramite una funzione matematia oppure una tabella. I valori dei ampioni osì ottenuti vengono quindi attribuiti agli impulsi elementari di una sequenza. Questi impulsi elementari possono essere di varia forma, ottimizzata per speifihe appliazioni, ma tipiamente sono rettangolari, oppure delle sin on durata limitata. Gli impulsi attraversano il suessivo filtro passa-basso (di riostruzione) he isola le omponenti in banda base, approssimando in tal modo il segnale desiderato. 27, Niola Loi Misure Elettrihe
5 Analisi dei segnali ampionati Tronamento del segnale Distorsione di leakage L analisi di Fourier è un metodo ben noto per ottenere informazioni sullo spettro di un segnale e può essere impiegata anhe su segnali ampionati. Tuttavia oorre soffermari su aluni aspetti partiolari e mettere in evidenza alune onsiderazioni importanti. Si è già visto he l analisi di Fourier si applia formalmente a segnali di durata infinitamente estesa e pertanto anhe la sequenza dei ampioni he rappresenta il segnale in forma disreta dovrà essere teoriamente di lunghezza infinita. Tale ipotesi non è realizzabile nella pratia, tuttavia può essere approssimata quando si tratti di segnali di durata molto estesa rispetto all intervallo di ampionamento. In generale, on riferimento a un proesso di ampionamento reale, la sequenza dei ampioni avrà neessariamente un inizio e una fine, e pertanto il numero dei ampioni a disposizione sarà in numero finito. Per esaminare il problema è utile onsiderare il segnale di durata limitata ome una porzione del segnale generio s(, prelevata attraverso una opportuna finestra temporale w(, detta anhe finestra di tronamento o di osservazione window. L effetto del tronamento sul segnale si può rappresentare nel seguente modo: s w ( = s( w( (2.1) La trasformata di Fourier del segnale tronato risulta dalla onvoluzione degli spettri: S w ( f ) = S( f ) W ( f ) (2.2) La onvoluzione della trasformata S(f) del segnale on la trasformata W(f) della finestra di tronamento introdue un nuovo tipo di distorsione, detta di dispersione (leakage). In pratia, se lo spettro del segnale originario S(f) ontiene delle transizioni nette, ad esempio omponenti armonihe impulsive ome nel aso di un segnale periodio nel tempo, tali transizioni vengono smussate e lo spettro del segnale periodio tronato si disperde in frequenza, tanto più quanto più è stretta la finestra di tronamento. Si onsideri, per fissare le idee, un segnale sinusoidale s( di ampiezza A e frequenza f. Il suo spettro bilatero S(f) presenta due impulsi matematii di area A/2 alle frequenze ±f : A A s( = Aos2πft S( f ) = δ( f + f) + δ( f f) (2.3) 2 2 La funzione oseno ha spettro di fase nullo, quindi S(f) è reale. Supponiamo ora di tronare il segnale on una finestra rettangolare w( di durata T w. La trasformata di Fourier W(f) della finestra rettangolare è del tipo sin(x)/x: sin πftw w( = 1 rett ( W ( f ) = 1 T w w (2.4) πft Pertanto, lo spettro del segnale sinusoidale tronato è dato dalla onvoluzione dei due spettri: S w A ( f ) = W ( f ) S( f ) = W ( f ) δ( f + 2 A A = W ( f + f) + W ( f f) 2 2 w A f) + δ( f 2 f) = (2.5) 27, Niola Loi Misure Elettrihe
6 Analisi dei segnali ampionati - 6 e produe l effetto rappresentato in Fig.2.1. L entità della dispersione in frequenza dell impulso matematio originario dipende dalla durata T w della finestra di osservazione e dal suo andamento temporale. In partiolare l andamento nel tempo della finestra di tronamento w( determina l ampiezza dei lobi laterali della dispersione e risulta quindi direttamente responsabile della auratezza on ui viene stimato lo spettro del segnale tronato. Sotto questo aspetto, onreti vantaggi possono essere ottenuti utilizzando finestre temporali non rettangolari, ma on transizione più graduale delle estremità (smoothing windows), per esempio on il profilo punteggiato in Fig.2.1. Le fineste temporali on le estremità non brushe, sono infatti aratterizzate da spettri on lobi laterali e ode meno pronuniati. Fig Dispersione dello spettro per un segnale sinusoidale tronato. Segnale ampionato e tronato Si onsideri ora il ampionamento di un segnale tronato, osservato attraverso la finestra rettangolare w( di durata T w =NT, essendo N il numero di impulsi onsiderati e T l intervallo di ampionamento. In tale ipotesi il segnale ampionato e tronato sarà individuato dagli N ampioni: s( it ) ( i =,1, 2,..., N 1) (2.6) e può essere analitiamente rappresentato nella forma (vedi Fig.2.2): N 1, w( = s( it ) δ( t it ) i= s (2.7) La trasformata di Fourier della sequenza di ampioni risulta, appliando la proprietà di traslazione nel tempo: S N 1 j2π f it, w( f ) = s( it ) e (2.8) i= Questa espressione ostituise un altro modo di rappresentare lo spettro a replihe di un segnale ampionato. Tale spettro può essere inteso ome una serie di funzioni esponenziali, nel dominio della frequenza, pesate on le ampiezze dei vari ampioni. Si osserva he lo spettro del segnale ampionato e tronato risulta anora una funzione ontinua nella frequenza (vedi Fig.2.2), formata da replihe dello spettro in banda base. Tuttavia a ausa del tronamento del segnale nel tempo, sarà in generale presente nello spettro in banda base una distorsione più o meno pronuniata di leakage. 27, Niola Loi Misure Elettrihe
7 Analisi dei segnali ampionati - 7 In onseguenza di questo fatto naserà anhe una distorsione di aliasing nel repliare lo spettro. Si vedano in Fig.2.2 le ode delle replihe in S,w (f). Fig Segnale ampionato e tronato. 3 - Analisi per segnali periodii ampionati e tronati Trasformata disreta di Fourier (DFT) Dal punto di vista della onosenza dell informazione sullo spettro di un segnale ampionato e tronato (quindi aratterizzato da N numeri) sarebbe strettamente suffiiente onosere l andamento dello spettro solo nell intervallo di ripetizione in frequenza ( f ). La trasformata disreta di Fourier (Disrete Fourier Transform, DFT) onsente di valutare il ontenuto armonio in tale intervallo mediante un numero N di omponenti disrete. Il passaggio a una rappresentazione disreta dello spettro risulta onettualmente semplie, osservando he la sequenza finita di N ampioni nel tempo può essere onsiderata appartenente a una suessione di sequenze di periodo T w =NT he si ripetono indefinitamente dando luogo a un segnale periodio s,p ( on frequenza f w =1/T w (Fig.3.1). Fig Corrispondenza fra sequenze nel tempo e nella frequenza. Lo spettro S,p (f) della sequenza di ampioni repliata nel tempo on periodo T w, risulta allora 27, Niola Loi Misure Elettrihe
8 Analisi dei segnali ampionati - 8 uno spettro a righe, spaziate di f w =1/T w. In definitiva, la ripetizione dello spettro in frequenza dipende dal ampionamento nel tempo, osì ome il ampionamento in frequenza è dovuto alla periodiità del segnale nel tempo. Il legame di trasformazione fra i ampioni nel tempo s i =s(it ) e i ampioni in frequenza S k =S(kf w ) è dato dalla trasformata disreta diretta e inversa di Fourier. Definizioni della DFT Poihé le trasformazioni disrete di Fourier (diretta e inversa) oinvolgono solo ampioni (sia nel dominio del tempo he della frequenza) vengono definite in forma normalizzata rispetto a variabili indipendenti di tipo adimensionale: pertanto la variabile tempo diventa l indie i, mentre la variabile frequenza diventa l indie k. La definizione delle omponenti armonihe a frequenze multiple di f w, ioè multiple di f /N, è la seguente: S k = N 1 i= s( it ) e j2 π ( k f w )( i T ) = N 1 i= s( it ) e 2π j k i N on f w = f N (3.1) In pratia, di tutte le possibili omponenti armonihe di ordine k, solo le prime N/2 sono signifiative e portano informazione. Le suessive N/2 armonihe sono speulari (omplesse e oniugate) rispetto alla frequenza f /2 (detta frequenza di folding o di ripiegamento). Spesso si definise, per omodità, l operatore: W = 2π j N e Quindi la trasformata disreta di Fourier (DFT) risulta, in forma ompatta: N 1 k i Sk = si W ( k =,1, 2,... N 1) i= In modo analogo viene definita la trasformata inversa (IDFT): (3.2) (3.3) N 1 1 = k i si Sk W ( i =,1, 2,... N 1) (3.4) N = k Si osservi infine he taluni Autori adottano altre definizioni per la trasformazione diretta e inversa, per esempio sambiando il segno meno all esponente di W, oppure sambiando il fattore 1/N, fra le due definizioni. Ciò non ambia il senso della trasformazione. Utilizzando la tipia struttura di queste relazioni sono stati messi a punto algoritmi effiienti per il alolo veloe delle diverse omponenti armonihe tramite DFT. Qualora il numero di ampioni risulti una potenza di due, gli algoritmi FFT (Fast Fourier Transform) risultano partiolarmente utili e sono ormai onsolidati nell analisi armonia dei segnali tramite elaboratore o miroproessori dediati. DFT di segnali periodii I segnali periodii sono di partiolare interesse pratio. In tali asi, l analisi armonia mediante DFT rihiede una erta autela, soprattutto in relazione alla selta della finestra di tronamento e al fatto he la frequenza di ampionamento sia o meno sinronizzata on la frequenza fondamentale del segnale da analizzare. Per omprendere tali aspetti, si onsideri, ome esempio, un segnale sinusoidale di frequenza 27, Niola Loi Misure Elettrihe
9 Analisi dei segnali ampionati - 9 f e si supponga he venga ampionato alla frequenza f suffiiente a garantire il rispetto del teorema del ampionamento. Riferiamoi inizialmente alla Fig.3.2 e osserviamo he: La finestra di osservazione T w ontiene un numero intero m di periodi T del segnale da analizzare. In partiolare nell esempio si ha: m = 6 e pertanto T w = mt = 6T. Detto N il numero totale di ampioni he adono in tale finestra di osservazione T w, la frequenza di ampionamento risulta: f = 1/T = N/T w = Nf w = Nf /m. In partiolare, nell esempio si ha: N = 24 ampioni e pertanto f = 24f w = (24/6)f = 4f. In tal aso, ripetere la finestra di osservazione T w indefinitamente nel tempo, signifia riprodurre in forma esatta la funzione periodia. Fig Spettro di una sinusoide ampionata e tronata: T w = 6T e T = 4T. E infatti il alolo della DFT per le diverse omponenti kf w fornise omponenti tutte nulle tranne proprio l unia omponente armonia effettivamente presente alla frequenza f = 6f w, ome rappresentato nello spettro di Fig.3.2. Si onsideri ora un seondo esempio, rappresentato in Fig.3.3, dove la finestra di osservazione T w non risulta un multiplo intero m del periodo T e supponiamo T w = mt = 6,5T. Fig Spettro di una sinusoide ampionata e tronata: T w = 6,5T e T = (24/6,5)T. Per agevolare il onfronto dei due esempi, la durata di osservazione T w è stata assunta uguale nei due asi, pertanto risultano anhe uguali gli step f w = 1/T w nel dominio della frequenza. In orrispondenza di tali punti saranno presenti i valori alolati on la DFT. Supponiamo inoltre he nel tempo T w si prelevino anora N = 24 ampioni. Allora la frequenza di ampionamento risulta: f = 24f w = (24/6,5)f = 3,692f. In pratia risulta he, on le ipotesi fatte, la frequenza di ampionamento f è uguale a quella 27, Niola Loi Misure Elettrihe
10 Analisi dei segnali ampionati - 1 del aso preedente, ma è ambiato il suo rapporto on la frequenza f del segnale sinusoidale. La finesta di osservazione ontiene 6,5 periodi T del segnale. In questo aso, la ripetizione nel tempo del segnale ampionato e tronato non riprodurrà esattamente la funzione periodia originaria, on una onseguente distorsione nello spettro. Questo fatto trova risontro nella DFT, he evidenzierà, in tal aso, omponenti armonihe non presenti nello spettro del segnale periodio originario, ome si vede in Fig.3.3. Conlusione Per onludere l analisi di questo esempio, si onsideri infine la Fig.3.4. La finestra di osservazione ha anora durata T w mentre vengono prelevati N = 26 ampioni. In tal aso, la frequenza di ampionamento è f = 26f w = (26/6,5)f = 4f ma le ose non ambiano, on riferimento alla dispersione delle righe spettrali, ome si osserva nella Fig.3.4. Dall esame dei semplii asi riportati, si onlude he, per una orretta analisi armonia di segnali periodii mediante DFT, riveste partiolare importanza la selta della finestra di tronamento e il fatto he la frequenza di ampionamento sia sinronizzata on la frequenza fondamentale del segnale da analizzare. Fig Spettro di una sinusoide ampionata e tronata: T w = 6,5T e T = (26/6,5)T. Qualora non si riesa a rendere la finestra di osservazione esattamente multipla del periodo del segnale, un modo per limitare l inonveniente può essere quello di impiegare finestre molto ampie rispetto al periodo della fondamentale e soprattutto del tipo on transizione graduale delle estremità (smoothing windows). Per onludere, oorre anora riordare he: Il onetto di armonihe si riferise a ondizioni di regime; quindi il segnale deve essere stazionario, per ottenere risultati aurati nell uso della DFT. La forma d onda non deve ontenere frequenze interarmonihe, ioè omponenti on frequenze he non sono multipli interi della frequenza fondamentale. 27, Niola Loi Misure Elettrihe
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