2 Capitolo Logaritmi ed esponenziali

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1 Cpitolo Logritmi ed esponenzili.1. L funzione esponenzile e l funzione logritmo In questo prgrfo voglimo generlizzre il concetto di potenz. Prtimo dll simbologi intuitiv di espressioni come, che indicno il prodotto di fttori uguli. Grzie ll vlidità delle seguenti proprietà: 1. m n = m+n, m,n N, R,. m : n = m n, m,n N, R,. m n = m n, m,n N, R, si dà significto nche scritte per niente intuitive come (che signific moltiplicre - fttori uguli?) o 7 0. In prticolre, si ssume l vlidità di queste ltre proprietà:. n = 1, n N, R\ 0 n { } 5. 0 =1, R\ { 0} Quindi si dà significto solo ll espressione 0 0. Utilizzndo i rdicli si dà significto espressioni come, in prticolre vle quest ultim proprietà: m 6. n = n m, m,n N, R + Come si vede, in questo cso, non bbimo dto significto molti ltri simboli, come per esempio ( ) 5, dto che il corrispondente rdicle 5 non è un numero rele. È vero però che bbimo eliminto nche espressioni che invece hnno significto, come ( ) 5 = 5 ( ). Però non possimo definire un espressione second che il rdicndo si positivo o negtivo e l indice si un frzione riducibile o no, con denomintore pri o dispri e così vi. Adesso voglimo dre significto nche simboli come, π. Per fre ciò utilizzimo lo stesso procedimento che si us per i rdicli di rdicndi che non sono potenze multiple dell indice, ossi con procedimenti di pprossimzione. 56 Cpitolo

2 esempio è 1,1156, considerimo le se- Che signific? Poiché un vlore pprossimto di guenti potenze: 1 = 1 1, = 7 10 = 5 = 5 7, ,1 100 = = , ,1 = = 11 1,1 = = = , = ,66511 Come si vede, mn mno che ndimo vnti ottenimo numeri che hnno sempre più cifre uguli fr loro, pertnto possimo dire che un pprossimzione estt ll second cifr decimle di è,66. Ciò perché queste cifre si trovno si nell ultim che nell penultim pprossimzione. Possimo llor porre l seguente definizione: Dicimo potenz rele di bse positiv ed esponente rele il processo di pprossimzione delle potenze rzionli dell bse, in cui gli esponenti sono pprossimzioni rzionli successive dell esponente. Risult interessnte studire l ndmento dell cosiddett curv esponenzile, cioè di y = x. esempio In figur rppresentimo le due curve esponenzili y = x,y = 1 x y 1/ x x x Logritmi ed esponenzili 57

3 Osservimo che entrmbe pssno per il punto (0, 1), dopodiché hnno comportmento simmetrico. Ossi y = x cresce velocemente per vlori positivi di x, mentre tende zero per vlori negtivi. Vicevers y = 1 x positivi di x e cresce rpidmente per vlori negtivi. tende zero per vlori L espressione crescit esponenzile viene spesso ust nche nel linguggio comune ed indic ppunto qulcos che ument in modo esgerto. esempio Se considerimo le successive potenze di, vedimo che già 10 =1.0>1.000, per cui 0 = ( 10 ) >10 6 e così vi. Ossi rddoppire l sciss provoc un umento di più di volte dell ordint. Un interessnte e importnte ppliczione degli esponenzili si h nell cosiddett cpitlizzzione compost, ossi nell impiego di un cpitle un certo interess nnuo, in modo che l interesse però non veng pgto ll su mturzione m veng ggiunto l cpitle per essere liquidto ll scdenz del prestito, che deve essere superiore l periodo dell interesse. esempio Investimo un somm di ,00 e un tsso nnuo del %, per 5 nni in regime di cpitlizzzione compost. Qule srà il cpitle mturto ll scdenz? Costruimo l seguente tbell: Periodo Cpitle Interesse Totle ,00 0, ,00 = , ,00 0, ,00 = , ,00 0, ,00 = 18, , ,7 0, ,7 = 7, , , ,09 = 7, ,7 Indicndo con C 0 il cpitle di e l tempo 0 e con C n il cpitle l tempo n, vremmo nche potuto scrivere nel modo seguente: C 1 =C 0 +0,0 C 0 =C 0 ( 1+0,0)=1,0 C 0 ; C =C 1 +0,0 C 1 =C 1 1,0=1,0 C 0 ; C =C +0,0 C =C 1,0=1,0 C 0 ; C =C +0,0 C =C 1,0=1,0 C 0 ; C 5 =C +0,0 C =C 1,0=1,0 5 C Cpitolo

4 Generlizzndo il precedente esempio si prov fcilmente il seguente risultto: TEOREMA 1 Un cpitle C 0 investito per un tempo n, l tsso percentule i, ll scdenz produce un cpitle pri C n = C 0 ( 1+i ) n. Come si vede, l cpitlizzzione compost è un interessnte esempio di crescit esponenzile. Risult prticolrmente utile considerre un cpitlizzzione in cui l interesse è il reciproco del tempo. si vvicin d un nu- T EOREMA All umentre di n, l espressione 1+ 1 n mero, che si indic con e, che vle circ,718. n esempio Considerimo l seguente tbell, in cui bbimo clcolto lcuni vlori di 1+ 1 n : n n 1+ 1 n n 10, , , , All umentre di n ottenimo vlori sempre più vicini fr loro e con il vlore riportto per il numero e nel teorem. Spesso risult importnte risolvere equzioni in cui l incognit è un esponente. esempio Voglimo spere dopo qunti nni un certo cpitle, investito in regime di cpitlizzzione compost con un tsso nnuo del %, rddoppierà. Dobbimo quindi risolvere l equzione: C 0 =C 0 ( 1,0 ) n =1,0 n Potremmo lvorre con un procedimento di pprossimzioni successive, sostituendo ll esponente lcuni vlori, ottenendo l seguente tbell: Bisognno quindi lmeno 18 nni. n 1,0n 10 1,8 15 1, , ,95 18,0 Logritmi ed esponenzili 59

5 Considerto il precedente esempio ponimo l seguente definizione. L soluzione dell equzione esponenzile b x =, >0, b 1,b>0, si chim logritmo in bse b di rgomento. Il logritmo in bse b di rgomento si indic con log b. L soluzione del problem posto nel precedente esempio è log 1,0. esempio Abbimo imposto che bse e rgomento sino positivi per qunto detto sull potenz esponente rele. Invece l scelt di escludere il numero 1 dlle possibili bsi dipende dl ftto che l equzione 1 x = non h soluzione se 1 e h infinite soluzioni invece se = 1. Per l stess definizione di logritmo vle l seguente identità: Teorem Si h: log (b) = b I logritmi verificno delle semplici proprietà che sono un estensione delle proprietà delle potenze. TEOREMA Vlgono le seguenti proprietà: 1. log b ( c) =log b ( )+log b ( c). logb c =log b. log b c = c log b log b ( c) esempio Abbimo log ( )=5, perché: = 5. D ltro cnto possimo nche scrivere: log ( )=log ( 8)=log ( )+log ( 8)=log ( )+log ( )=+=5 6 log ( )=log =log ( 6) log =log ( 6 ) log ( 1 )=6 1=5 5 log ( )=log = 5 log ( )= 5 =5 60 Cpitolo

6 L esempio ci suggerisce di enuncire i seguenti risultti: TEOREMA 5 Si h: 1. log b k b h. log b ( 1) = 0 = h k Il logritmo è un concetto nto intorno ll fine del 1500, per semplificre clcoli prticolrmente complessi, proprio grzie lle proprietà enuncite nel Teorem. Gli studiosi preprrono delle tvole in cui si potevno trovre vlori pprossimti dei vri logritmi e vicevers degli ntilogritmi, ossi degli rgomenti di cui si conoscev un dto logritmo. Essendo le bsi infinite, ovvimente non si potevno costruire infinite tvole, m furono scelte due bsi privilegite, cioè 10, per ovvie rgioni sull notzione decimle dei numeri, e quel numero e. Il logritmo in bse 10 di rgomento si indic con log(). Il logritmo in bse e di rgomento si indic con ln() ed è detto logritmo neperino. Ai giorni nostri le tvole sono stte sostituite dlle clcoltrici tscbili di tipo scientifico. esempio Se voglimo clcolre log(15), second dell clcoltrice ust, possimo o scrivere 15 e digitre il tsto denominto log o vicevers prim premere log e quindi digitre 15. In ogni cso ottenimo un numero pprossimto con un numero di cifre dipendente dll clcoltrice, lmeno 8 in genere, che è 1, Allo stesso modo si procede volendo clcolre ln(7), usndo però il tsto ln, ottenendo circ 1, L clcoltrice quindi risolve fcilmente i nostri problemi di pprossimzione, non riesce però determinre, con un solo comndo, logritmi con bsi diverse d 10 e d e. Per ovvire l problem possimo usre il seguente risultto. TEOREMA 6 Si h: log b ( ) = log c ( ) log c ( b) Il precedente risultto ci permette di clcolre logritmi in qulsisi bse. Logritmi ed esponenzili 61

7 esempio Per clcolre log 7 ( 1), possimo usre un delle seguenti due formule: log ( 7) log 1 log 7 ( 1)= 1 =ln ln 7 Ovvimente i risultti intermedi srnno diversi, m il risultto finle coinciderà log ( 1) log 7 0,8509,797,0899 ln( 1) ln( 7),8118 1,9591,797 Il logritmo in bse 10 ci permette di stbilire qunte cifre h l rgomento. esempio Visto che il logritmo è l esponente d ssegnre ll bse per ottenere l rgomento ovvimente vremo 9 < < < log() < Cioè i numeri l cui prte inter è di due cifre decimli hnno un logritmo decimle che h prte inter ugule 1. Allo stesso modo vremo: 99 < < < log() < e più in generle: 10 n 1< <10 n+1 n< <n+1 Non è difficile rendersi conto delle seguenti proprietà. TEOREMA 7 Si h: > 0 se ( >1 b >1) ( 0 < <1 0 < b <1) log b ( ) < 0 se ( >1 0 < b <1) ( 0 < <1 b >1 ) Il precedente risultto non è ltro che un versione dell cosiddett regol dei segni, secondo cui il prodotto di due numeri reli è positivo solo se entrmbi i numeri hnno lo stesso segno; negtivo solo se hnno segno contrrio. In questo cso, quindi il confronto è con lo zero, invece per il logritmi il confronto deve frsi con 1 (perché b 0 =1), quindi il logritmo è positivo solo se bse e rgomento sono ordinti rispetto l numero 1 llo stesso modo, negtivo se in modo diverso. 6 Cpitolo

8 esempio Studimo i grfici dell funzione logritmo l vrire dell bse. Tenuto conto di qunto già visto per le curve esponenzili risult semplice cpire che nche in questo cso vremo due diversi tipi di grfico: y log 1/ (x) 1 log (x) x 0 1 Le due curve si incontrno ovvimente nel punto di coordinte (1; 0). Se l bse è mggiore di 1 si ottengono curve crescenti positive per rgomenti mggiori di 1 e negtive per gli ltri; se l bse è minore di 1 e sempre positiv, invece l situzione è oppost. Logritmi ed esponenzili Esercizi svolti 1 1 Voglimo stbilire per quli vlori di x l espressione seguente rppresent un numero rele: log x 1 ( x x 1) Il logritmo è definito solo per bsi e rgomenti positivi e bsi diverse d 1, pertnto dobbimo risolvere il seguente sistem: x 1>0 x 1 1 x x 1>0 Logritmi ed esponenzili 6

9 Abbimo perciò: x > 1 x x < x > 6 6 che fornisce il seguente grfico delle soluzioni: Pertnto l espressione h significto nell insieme dei numeri reli solo per x >. 6 Voglimo semplificre l seguente espressione: 5 16 log 8 Possimo seguire due diversi pprocci, innnzitutto, cerchimo di esprimere l rgomento come unic potenz dell bse, cioè 8: 1 5 = 5 = 5 ( 5 ) = 61 5 = 61 0 A questo punto bbimo log =x e, pplicndo l definizione di logritmo, il vlore di x: 8 x = 61 0 x = 61 0 x = x = Cpitolo

10 In lterntiv, vremmo potuto pplicre le proprietà stbilite dl Teorem : 5 16 log 8 = 1 log = 1 log log 8 = = 1 log 5 8+log 8 ( 16) log 8 = 1 log 8( )+ 1 5 log 8( ) log 8 ( 5 ) = = 1 log 8+ 5 log 8 5 log 8 = log 8 = = Spendo che log b 1 =5, determinre il vlore di log 1/ ( b )+ log b Per sfruttre il dto noto trsformimo entrmbi gli ddendi dell espressione in logritmi con l stess bse del dto: 1 1 log 1/ ( b )+ log b = log ( b log ) log 1/ log b = log log b + log b = + log b = + log b = log b log b Abbimo clcolto i logritmi in cui bse e rgomento sono potenze di usndo l proprietà 1 del Teorem 5. Per clcolre gli ltri logritmi usimo l ipotesi: 1 log b =5 Pertnto: log b log b 5 =b 1 10 =b 1 b= 10 = log ( 0 ) log ( ) = =5+ 5 = 9 5. Un cpitle inizile di e è investito in un obbligzione che pg un interesse nnuo del,75%, in regime di cpitlizzzione compost. Se l inflzione nnu è medimente del 1,5% nnuo, dopo 15 nni qule srà il vlore rele del cpitle finle? Clcolimo intnto il cpitle finle mturto: , ,99. Logritmi ed esponenzili 65

11 Però l inflzione h decrementto ogni cpitle di un vlore percentule pri : (1 0,015) 15 0,8155 Infine il cpitle dopo 15 nni h un vlore che, in termini del cpitle investito, è diventto: 15.01,99 0, , 5 Un coltur btteric è inizilmente formt d 1.58 btteri, spendo che il numero dei btteri rddoppi ogni 1 secondi, determinre dopo qunto tempo il numero dei btteri srà di lmeno 5 milirdi. L legge di crescit, in termini del numero inizile dei btteri e del periodo di tempo, è: t 1 N (t )=N o Quindi vremo: t t t 1 log t 1 log 59, Cioè dopo circ 59 secondi. Logritmi ed esponenzili Esercizi proposti 1 Le risposte estte sono riportte fine cpitolo. Stbilire per quli vlori di x l espressione riportt rppresent un numero rele ; b) log 5x+8 ( x +6x ) ; c) log x ( 5x x ) 1 ) log 11x+ 5x x 11 ) log 1 5x ( x +x ); b) log x 1 ( x +x +); c) log x 7 ( x +5x ) ) log 1 x ( x 7x 11); b) log 5x+ ( 5x x 1); c) log 1x+7 x +x Semplificre le seguenti espressioni 5 15 ) log ; b) log 16 5 ) log ; b) log Cpitolo ; c) log ; c) log

12 9 6 ) log ; b) log ; c) log Determinre il vlore delle seguenti espressioni sotto le ipotesi ssegnte 7 log ( b ) log 1/b 8 log b 9 log 5 1/ b 7 log 1 b, con log log 1 b, con log, con log 1 1 = b ( b )= 1 b 10 1 log ( b ) 5 log b, con log ( b )=6 11 log b +8 log 1 b 5 Risolvere i seguenti problemi =, con 1 log =7 b 1 Un coltur btteric è inizilmente formt d.18 btteri, spendo che il numero dei btteri triplic ogni 18 secondi, determinre dopo qunto tempo il numero dei btteri srà di lmeno 5 milirdi. 1 Un coltur btteric è inizilmente formt d.78 btteri, spendo che il numero dei btteri divent di lmeno 5 milirdi dopo 1 secondi, determinre il tsso di crescit l secondo. 1 L popolzione di un città ument in medi del % l nno, determinre dopo qunto tempo rddoppi di numero. 15 L popolzione di un città rddoppi di numero dopo circ 18 nni, determinre il tsso di crescit nnule, supposto costnte. 16 Per stimre l età di un reperto fossile si us misurre l percentule dell isotopo C 1 in esso presente, dto che nel momento in cui l orgnismo muore ess cominci diminuire in modo che ogni 5.70 nni si dimezz. Se in un certo fossile si è rilevto che tle percentule, rispetto d un orgnismo vivente, è del 1,%, possimo stimre che il detto orgnismo è morto qunti nni f circ? 17 Se un certo fossile h circ.578 nni, qunt percentule di C 1, rispetto d un orgnismo vivente, contiene? 18 Un certo isotopo ogni x nni si dimezz. Se in un certo fossile di.150 nni f si è rilevto che tle percentule, rispetto d un orgnismo vivente, è del 1,15%, possimo stimre che x è circ? Logritmi ed esponenzili 67

13 19 L spirin viene elimint di reni in rgione del 50% del frmco presente ogni ½ or. Dopo qunto tempo nel corpo è rimsto il 10% dell spirin inizilmente somministrt? 0 Un cpitle inizile di e è investito in un obbligzione che pg un interesse nnuo del.75%, che viene però ggiunto l cpitle. Se l inflzione nnu è medimente del 1,8% nnuo, dopo 0 nni qule srà il vlore rele del cpitle finle?.. Risoluzione di equzioni e disequzioni esponenzili e logritmiche Abbimo già risolto qulche semplice equzione esponenzile. In questo prgrfo considereremo ltre equzioni e nche disequzioni. Le equzioni riconducibili ll form f ( x) = b g( x), con e b numeri reli positivi diversi tr loro e tli che nessuno dei due è potenz dell ltro, si risolvono ricorrendo i logritmi. esempio Risolvere x+1 = 5x. Nessun delle due bsi è riconducibile ll ltr, pertnto non possimo risolvere uguglindo gli esponenti. Allor estrimo il logritmo di entrmbi i membri in un bse picere, per esempio in bse : log ( x+1 )=log ( 5x ) x +1= ( 5x ) log x 5 log ( ) = 1 log x = 1 log 5 log Avremmo potuto nche lvorre estrendo i logritmi in bse o in qulsisi ltr bse, per esempio l bse 10 per fcilitre il clcolo pprossimto del risultto con l clcoltrice: log ( x+1 )=log ( 5x ) ( x +1) log = ( 5x ) log x log 5 log ( ) = log ( ) log ( ) x = log ( ) log log 5 log x = log ( ) log ( 9) log ( 18) x = 0,867 log ( 8) log ( ) 8 log Vedimo qulche ltro esempio di equzioni esponenzili. 68 Cpitolo

14 esempio Risolvere 5 x 5 x 1=0. In questo cso bst porre 5 x =y, per ottenere l seguente equzione di secondo grdo y y 1=0, le cui soluzioni reli sono: y = 1± 5 Ovvimente in questo cso si ccetternno solo l soluzione positiv, cioè solo y = 1+ 5, ottenendo così l equzione esponenzile immedit: 5 x = x =log 5 Per qunto rigurd le disequzioni esponenzili dobbimo ricordre il grfico delle curve esponenzili per usre gli stessi procedimenti delle equzioni. esempio Risolvere x 1 >5. Fcilmente bbimo: log ( x 1 )>log ( 5) x 1>log ( 5) x > log Un piccolo cmbimento si h invece per l seguente disequzione: x 1 >5. Inftti, sempre tenendo conto delle curve esponenzili vremo: 1 log x 1 >log 5 x 1<log 1/ ( 5) x < log 5 1/ +1 Vle il seguente teorem. TEOREMA 8 L disequzione f ( x ) > b equivle ll disequzione f x se > 1 e ll disequzione f ( x) <log ( b), se invece è 0< < 1. >log ( b) Anche le equzioni logritmiche si risolvono cercndo di ricvre d esse equzioni equivlenti di tipo lgebrico. Logritmi ed esponenzili 69

15 esempio Risolvere log 5 ( x 1)+log 5 ( x )= log 5 7x 1. Applichimo le proprietà di somm e di potenz dei logritmi: log 5 ( x 1) ( x ) =log 5 ( 7x 1) Pssimo quindi dll uguglinz fr i logritmi quell fr i rispettivi rgomenti, vendo le bsi uguli: ( x 1) ( x )= ( 7x 1) x x x +=9x 1x +1 7± 09 5x 7x =0 x = 90 A differenz delle equzioni esponenzili, in questo cso dovremmo verificre che le soluzioni ottenute sino ccettbili, dto che potrebbero rendere negtivi uno o più degli rgomenti dei logritmi presenti nell equzione di prtenz. Visti i vlori ottenuti è più semplice, ed nche consiglibile frlo prim di risolvere l equzione, studire i vlori ccettbili: x >1 x 1>0 x >0 x > x >1 7x 1>0 x > 1 7 Pertnto, poiché nessuno dei due vlori ottenuti è mggiore di 1, possimo dire che l equzione logritmic è priv di soluzioni reli. Anche per le disequzioni logritmiche vlgono uguli considerzioni dipendenti dll relzione che h l bse con il numero 1. TEOREMA 9 L disequzione log [ f (x)] >log g ( x) equivle ll disequzione f(x) > g (x) se > 1 e ll disequzione f(x) < g (x), se invece è 0 < < Cpitolo

16 Logritmi ed esponenzili Esercizi svolti 1 x x 1 Risolvere l equzione esponenzile =. 81 x Ci ccorgimo fcilmente che tutte le potenze hnno un bse che è potenz di, pertnto riscrivimo tutto in bse : x = 5 ( ) x x+1 x+1 6x 6 x 1 = 5 Applichimo le proprietà delle potenze l primo membro, ottenendo un sol potenz: 6x +0x+8 +6x 6 x 1 x+1 = 5 x+1 = 5 A questo punto pssimo dll equzione esponenzile ll equzione lgebric che coinvolge gli esponenti: 6x +0x +8 x +1 Non ci sono soluzioni reli. =5 6x +5x + =0 Δ=5 6 <0 x +1 Risolvere l equzione esponenzile x = x. L equzione è ovvimente priv di soluzioni. Inftti, per x 1, si h: x x > x. Invece per x < 1, il primo membro è comunque positivo, mentre il secondo è negtivo, dto che x <. Risolvere l equzione esponenzile 7 x +9 x+1 7=0. Stvolt non possimo ricondurre l equzione ll uguglinz di due potenze con ugule bse. Allor scrivimo: 7 x x =0 7 x +7 x+ 7=0 7 x +7 x 7 7=0 9 7 x + 7 x 7=0 Ponimo 7 x = y 7 x = y, ottenendo l equzione di II grdo: 9 y +y 7=0 Risolvimol: y = 171± 9.1+ = 9 171± = 171±17 9 = Poiché y rppresent un esponenzile l soluzione negtiv non è ccettbile. Logritmi ed esponenzili 71

17 L soluzione, pertnto, si ottiene nel modo seguente: 7 x = 1 9 7x =7 x = Risolvere il sistem: x =8 x+y 9 x+y = 5 y Osservimo che entrmbe le equzioni si possono ricondurre d equzioni esponenzili in cui mbo i membri sono potenze dell stess bse. Scrivimo llor: x = x+y x+y x = +x+y = 5 5 y x+ y = 5+5 y Possimo llor sostituire il sistem precedente con il seguente che mette in gioco solo gli esponenti: x =+ x + y x =+ y x =+ y x =+ y x = x +y =5+5y ( + y )+y =5+5y 6+y =5+5y y =1 y =1 Verifichimo l correttezz del risultto. =8 +1 =8 8 5 =8 5 = = 5 1 = 10 5 = 5 = 5 5 Risolvere l equzione logritmic log 7 ( x ) log 7 ( x +x )+log 7 ( +5x )=0. Imponimo l condizione di reltà degli rgomenti: x >0 x < x +x >0 1<x < +5x >0 x > 5 <x < 5 7 Cpitolo

18 Adesso pplichimo le proprietà dei logritmi ll equzione di prtenz: log 7 ( x )+log 7 ( +5x )=log 7 ( x +x ) log 7 ( x ) ( +5x ) =log x +x ( x ) ( +5x )= x +x 9x 6x 10=0 x = 1 11 Entrmbe le soluzioni sono ccettbili. 6 Risolvere l disequzione esponenzile x+1 x 1+>0. Riscrivimo l disequzione in form più comod i nostri scopi: x x +>0 Adesso ponimo z = x, ottenendo l disequzione lgebric: z z +>0 5 6 z > z <1 5 Ritornimo ll disequzione esponenzile: x < 1 5. Tenuto conto che l bse è minore di 1 vremo: 1 x >log 5 7 Risolvere l disequzione logritmic log 1 ( x )+log 1 ( x +1)>log 1 ( 5 x ). Applichimo le proprietà dei logritmi: log 1 ( x ) ( x +1) >log 5 x 1 Pssimo ll disequzione fr gli rgomenti e imponimo l condizione di reltà: x < x >0 x < x +1>0 x > 1 x > 1 5 x >0 x < 5 x < 5 ( x ) ( x +1)<5 x x +5x 1<0 x < x > 1<x < 5 1 Logritmi ed esponenzili 7

19 8 Risolvere il sistem: log ( xy )= log x y =1 Applichimo l definizione di logritmo: 10 = x y 10= x y Il sistem è lgebrico: 1.000= x y 1.000=10 y 100= y 10= y x =10y x =10y x =10y x =100 Non bbimo considerto l soluzione negtiv dell prim equzione perché, ovvimente, gli rgomenti del logritmo debbono essere tutti positivi. Verifichimo l correttezz del risultto. log ( )= log 100 log ( =1 )= log ( 10)=1 Logritmi ed esponenzili Esercizi proposti 1 Le risposte estte sono riportte fine cpitolo. Risolvere le seguenti equzioni esponenzili 1 ) ) ) x 1 5 5x 8 7x =6 ; b) 5 x x 1 7 Cpitolo 6x+1 7 x = ; b) 7x 1 16 x =18 ; b) x 7 5 5x+ 15 x+15 =65 ; c) x x 1 6 5x 1 =1 ; c) 11x x+ =65 ; c) 5 x+1 1x x =16 6 x 1 5x+ 9 7 x = 81 x ) x+ x 1 1=0 ; b) x+1 9 x 1 5=0 ; c) 6 x +6 x+1 7=0 x x =196 6 x 1 5 ) 5 x 1 +5 x+1 =0 ; b) 7 x+1 9 x 8=0 ; c) x+ 16 x 11=0 6 ) 9 x+1 5 x =0 ; b) 8 x+1 8 x 1 =0 ; c) 6 x 1 6 x+ 1=0

20 Risolvere le seguenti disequzioni esponenzili 7 ) x 1 x 1 >81 ; b) x ) x x 1 < 16 x+1 9 ; b) 8 x 1 <16x 1 ; c) 1 9 ) x 1 1 x 8 16 ; b) 5 7x+ ; c) 5 x+ 5 5 x ; c) x+1 9 x+ 7 x x x 1 16 x ) 6 x+1 6 x ; b) 1 x+1 1 x 1 0 ; c) x x ) x x ; b) x 8 9 x +1>0 ; c) x +8 x 1 1<0 6 Senz risolvere le seguenti equzioni esponenzili, spiegre perché esse sono prive di soluzioni reli 1 8 x = x 5 1 x = x 1 1 x+ + x = x+1 Risolvere i seguenti sistemi di equzioni esponenzili x+y 9= x y x+y =6 8 x =16 x y 5 x+ y =15 5 y 7 x y =9 x = y 1 8 x+y 1 x+1 9= y +1 y 1 += x 1 5 x+1 1=5 y 5 y +1 +1=5 x x+y + x y = y +1 1= x 1 Logritmi ed esponenzili 75

21 Risolvere le seguenti equzioni logritmiche 1 log ( 5x +) log ( 9x 1)+log ( 5 7x )=0 log 5 ( 6x ) log 5 ( x 9)+log 5 ( 5+7x )=0 log 1 ( x 1) log 1 ( x 1)+log 1 ( x )=0 log 5 ( 5x 6) log 5 ( x 16)+log 5 ( 5+7x )=0 5 log 11 ( 7x )+log 11 ( x 5)+log 11 ( 8x )=0 Risolvere i seguenti sistemi di equzioni logritmiche log ( x )+log ( y )=1 log ( x ) log ( y )= log ( xy )= x log y = log ( xy )= x log y =1 log 5 ( x + y )= log 7 ( x y )= log x ( y )= log y ( x )= 1 log x ( y )= log y ( x +1)=1 Risolvere le seguenti disequzioni logritmiche log 17 ( 5x +1) log 17 ( x x 1)>log 17 ( +x ) log 1/ ( 1x +) log 1/ ( 7x 1)<log 1 ( 7x ) log /5 ( x )>log /5 ( x )+log /5 ( 1+x ) 5 log ( 1x ) log ( x )+log ( 5+x ) 0 76 Cpitolo

22 Logritmi ed esponenzili Verific finle Di seguito proponimo lcuni test, di vrie tipologie, per stbilire il grdo di pprendimento degli rgomenti svolti questo cpitolo. Ogni tipologi h un punteggio ssocito, per un totle di 100 punti, se si ottiene un punteggio inferiore 60 vuol dire che risulterà opportuno riprendere uno o più degli rgomenti proposti. Le risposte estte sono riportte fine cpitolo. Quesiti scelt multipl con più risposte estte (1 punto per ogni rispost estt, 1 punto di penlità per ogni rispost errt, 5 punti se si forniscono solo tutte le risposte estte) Per ogni quesito trccire un segno nell pposito qudrtino sulle scelte corrette. 1 Quli fr le seguenti potenze hnno un vlore superiore 5? A C B π D ( 5) 5 π 1 E π Impiegndo un cpitle l tsso composto i per n nni, il cpitle rddoppi. Quli fr i seguenti vlori di i e di n sono ccettbili? A i = %, n = 15 C B i =,95%, n = 18 D i =,5%, n = 0 E i =,75%, n = 5 i =,%, n = Quli fr i seguenti logritmi rppresentno numeri interi? A log 6 B log C log 8 E log 5/ D log 1/ Quli fr le seguenti uguglinze sono corrette? 16 5 A log ( b c )=log c b B log ( b) log b ( )=1 Logritmi ed esponenzili 77

23 Verific finle C log Logritmi ( n )= m ed m n esponenzili D log b+c =log ( b)+log ( c) E log b log b ( c) log c ( )=1 Verific finle 5 Quli fr i seguenti numeri sono negtivi? 1 A log C log 1 B log D log 0, 0,6 E log 6, 0,1 Quesiti scelt multipl con un sol rispost estt (5 punti per ogni rispost corrett) Per ogni quesito trccire un segno nell pposito qudrtino sull unic scelt corrett. 6 Qunto vle ( log )? A 1 C E Nessuno è corretto B D 7 Per quli x reli log x ( x ) è un numero rele? A x > 0 C x > 1 E Nessuno è corretto B x 1 D x 1 8 Se b = llor b è: A 1/ B 1 C D E Non si può determinre senz ltre informzioni Nessuno è corretto 78 Cpitolo

24 Verific finle 9 Qule Logritmi delle seguenti scritture verific le eventuli soluzioni reli dell equzione log ( x +1 Verific finle ed ) log esponenzili ( x )=log ( x )? A 1<x < C x < E Nessuno è corretto B 1<x < D x < 1 10 L impliczione b > c b>c è corrett A R C >0 E Nessuno è corretto B >1 D <1 Quesiti rispost numeric (10 punti per ogni rispost estt) Rispondere con un numero lle seguenti domnde. 11 e e con un precisione l secondo decimle è:... 1 A qule tsso un cpitle investito in regime di cpitlizzzione compost, rddoppi in 0 nni? Dre l rispost con cifre decimli... 1 Un certo nucleo rdiottivo dimezz l su rdiottività ogni 1 giorni, dopo un nno qunt rdiottività è rimst?... 1 Qunto vle log ( b ) log b ( )? Un coltur di btteri, ogni 100 ore divent k volte quello che er, se dopo ore l coltur è diventt di circ.05 btteri, qunto vle ll incirc k?... Logritmi ed esponenzili 79

25 RISPOSTE ESATTE CAPITOLO Logritmi ed esponenzili Test di ccertmento dei prerequisiti B E B C D B C D E B D D E Esercizi proposti.1. L funzione esponenzile e l funzione logritmo 1 ) x > ) x 1 5 ) x > ; b) x > ; c) x < 5 <x < 1 x < 5 ; b) x ; b) x 6 1 <x <; c) x 8 x > 7 <x <1 6 5 x > ; c)x > 8 ) ; b) ; c) 1 5 ) ; b) ; c) ) 1 55 ; b) 18 ; c) Cpitolo

26 circ secondi 1 circ,65% 1 circ 5 nni 15 circ,9% 16 circ 9.61 nni 17 circ 5,1% 18 circ nni 19 circ 1 or e 0 minuti 0 circ 15.97,09 e.. Risoluzione di equzioni e disequzioni esponenzili e logritmiche Nei seguenti risultti si può sostituire ll bse del logritmo qulsisi vlore positivo e diverso d 1 1 ) ) ; b) ) ± 1 6±5 09 ;b) ;c) 8 5± 105 7±.89 ; c) 10 10± 19 1± 157 ; b) ; c) 7 6 Logritmi ed esponenzili 81

27 ) log 5 ± b ; b) log b ( 9± 61) log b log b ( ) ; log b log b ( ) c) log ( 18.1 ) log b b 5 ) log b log b 6 log b log b 5 log b ; b) log 7± 17 b log b 7 6 ) log b log b ; b) log b ( ) 7 log b ; log b log b c) log b log b 6 7 ) x < x > ; b)x ; c) x 0 ;c) log 8± 5 b log b 8 ) x < 1 x > c) 1.5 ;b)1 <x < x >1+ ; x < x > ) x x >1; b) <x 0 x >; c) x 1<x 10 ) x log 6 b log b ( 5) ; b)x log ( 1) log b b ( 6) log b ( 61) ; log b ( 6) log b ( 1) c) x log ( ) log 6.80 b b log b ( 5) log b ( 6) ) x log 5/ ; b) x <log 7/8 ; c)x < Cpitolo

28 15 x = 8, y = x =, y = 7 17 x = 11 19, y = Identità 19 Impossibile 0 x =log,y =log x =log,y =log + 1± 17 1 x = 8 1± 19 x = 8 9± 9 x = 6 17±.19 x = ± x = 56 6 x = 1.000,y = Nessun soluzione rele 18 8 x = 18,y = 9 x = 67,y = Identità 1 x = 1+ 5,y = + 5 x > 1+ 5 Logritmi ed esponenzili 8

29 <x < <x 1 86 Verific finle B D B C A B C B E A E C E D A B 15,15,5 circ 1,8% 6 1,15 8 Cpitolo