2 Capitolo Logaritmi ed esponenziali

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "2 Capitolo Logaritmi ed esponenziali"

Transcript

1 Cpitolo Logritmi ed esponenzili.1. L funzione esponenzile e l funzione logritmo In questo prgrfo voglimo generlizzre il concetto di potenz. Prtimo dll simbologi intuitiv di espressioni come, che indicno il prodotto di fttori uguli. Grzie ll vlidità delle seguenti proprietà: 1. m n = m+n, m,n N, R,. m : n = m n, m,n N, R,. m n = m n, m,n N, R, si dà significto nche scritte per niente intuitive come (che signific moltiplicre - fttori uguli?) o 7 0. In prticolre, si ssume l vlidità di queste ltre proprietà:. n = 1, n N, R\ 0 n { } 5. 0 =1, R\ { 0} Quindi si dà significto solo ll espressione 0 0. Utilizzndo i rdicli si dà significto espressioni come, in prticolre vle quest ultim proprietà: m 6. n = n m, m,n N, R + Come si vede, in questo cso, non bbimo dto significto molti ltri simboli, come per esempio ( ) 5, dto che il corrispondente rdicle 5 non è un numero rele. È vero però che bbimo eliminto nche espressioni che invece hnno significto, come ( ) 5 = 5 ( ). Però non possimo definire un espressione second che il rdicndo si positivo o negtivo e l indice si un frzione riducibile o no, con denomintore pri o dispri e così vi. Adesso voglimo dre significto nche simboli come, π. Per fre ciò utilizzimo lo stesso procedimento che si us per i rdicli di rdicndi che non sono potenze multiple dell indice, ossi con procedimenti di pprossimzione. 56 Cpitolo

2 esempio è 1,1156, considerimo le se- Che signific? Poiché un vlore pprossimto di guenti potenze: 1 = 1 1, = 7 10 = 5 = 5 7, ,1 100 = = , ,1 = = 11 1,1 = = = , = ,66511 Come si vede, mn mno che ndimo vnti ottenimo numeri che hnno sempre più cifre uguli fr loro, pertnto possimo dire che un pprossimzione estt ll second cifr decimle di è,66. Ciò perché queste cifre si trovno si nell ultim che nell penultim pprossimzione. Possimo llor porre l seguente definizione: Dicimo potenz rele di bse positiv ed esponente rele il processo di pprossimzione delle potenze rzionli dell bse, in cui gli esponenti sono pprossimzioni rzionli successive dell esponente. Risult interessnte studire l ndmento dell cosiddett curv esponenzile, cioè di y = x. esempio In figur rppresentimo le due curve esponenzili y = x,y = 1 x y 1/ x x x Logritmi ed esponenzili 57

3 Osservimo che entrmbe pssno per il punto (0, 1), dopodiché hnno comportmento simmetrico. Ossi y = x cresce velocemente per vlori positivi di x, mentre tende zero per vlori negtivi. Vicevers y = 1 x positivi di x e cresce rpidmente per vlori negtivi. tende zero per vlori L espressione crescit esponenzile viene spesso ust nche nel linguggio comune ed indic ppunto qulcos che ument in modo esgerto. esempio Se considerimo le successive potenze di, vedimo che già 10 =1.0>1.000, per cui 0 = ( 10 ) >10 6 e così vi. Ossi rddoppire l sciss provoc un umento di più di volte dell ordint. Un interessnte e importnte ppliczione degli esponenzili si h nell cosiddett cpitlizzzione compost, ossi nell impiego di un cpitle un certo interess nnuo, in modo che l interesse però non veng pgto ll su mturzione m veng ggiunto l cpitle per essere liquidto ll scdenz del prestito, che deve essere superiore l periodo dell interesse. esempio Investimo un somm di ,00 e un tsso nnuo del %, per 5 nni in regime di cpitlizzzione compost. Qule srà il cpitle mturto ll scdenz? Costruimo l seguente tbell: Periodo Cpitle Interesse Totle ,00 0, ,00 = , ,00 0, ,00 = , ,00 0, ,00 = 18, , ,7 0, ,7 = 7, , , ,09 = 7, ,7 Indicndo con C 0 il cpitle di e l tempo 0 e con C n il cpitle l tempo n, vremmo nche potuto scrivere nel modo seguente: C 1 =C 0 +0,0 C 0 =C 0 ( 1+0,0)=1,0 C 0 ; C =C 1 +0,0 C 1 =C 1 1,0=1,0 C 0 ; C =C +0,0 C =C 1,0=1,0 C 0 ; C =C +0,0 C =C 1,0=1,0 C 0 ; C 5 =C +0,0 C =C 1,0=1,0 5 C Cpitolo

4 Generlizzndo il precedente esempio si prov fcilmente il seguente risultto: TEOREMA 1 Un cpitle C 0 investito per un tempo n, l tsso percentule i, ll scdenz produce un cpitle pri C n = C 0 ( 1+i ) n. Come si vede, l cpitlizzzione compost è un interessnte esempio di crescit esponenzile. Risult prticolrmente utile considerre un cpitlizzzione in cui l interesse è il reciproco del tempo. si vvicin d un nu- T EOREMA All umentre di n, l espressione 1+ 1 n mero, che si indic con e, che vle circ,718. n esempio Considerimo l seguente tbell, in cui bbimo clcolto lcuni vlori di 1+ 1 n : n n 1+ 1 n n 10, , , , All umentre di n ottenimo vlori sempre più vicini fr loro e con il vlore riportto per il numero e nel teorem. Spesso risult importnte risolvere equzioni in cui l incognit è un esponente. esempio Voglimo spere dopo qunti nni un certo cpitle, investito in regime di cpitlizzzione compost con un tsso nnuo del %, rddoppierà. Dobbimo quindi risolvere l equzione: C 0 =C 0 ( 1,0 ) n =1,0 n Potremmo lvorre con un procedimento di pprossimzioni successive, sostituendo ll esponente lcuni vlori, ottenendo l seguente tbell: Bisognno quindi lmeno 18 nni. n 1,0n 10 1,8 15 1, , ,95 18,0 Logritmi ed esponenzili 59

5 Considerto il precedente esempio ponimo l seguente definizione. L soluzione dell equzione esponenzile b x =, >0, b 1,b>0, si chim logritmo in bse b di rgomento. Il logritmo in bse b di rgomento si indic con log b. L soluzione del problem posto nel precedente esempio è log 1,0. esempio Abbimo imposto che bse e rgomento sino positivi per qunto detto sull potenz esponente rele. Invece l scelt di escludere il numero 1 dlle possibili bsi dipende dl ftto che l equzione 1 x = non h soluzione se 1 e h infinite soluzioni invece se = 1. Per l stess definizione di logritmo vle l seguente identità: Teorem Si h: log (b) = b I logritmi verificno delle semplici proprietà che sono un estensione delle proprietà delle potenze. TEOREMA Vlgono le seguenti proprietà: 1. log b ( c) =log b ( )+log b ( c). logb c =log b. log b c = c log b log b ( c) esempio Abbimo log ( )=5, perché: = 5. D ltro cnto possimo nche scrivere: log ( )=log ( 8)=log ( )+log ( 8)=log ( )+log ( )=+=5 6 log ( )=log =log ( 6) log =log ( 6 ) log ( 1 )=6 1=5 5 log ( )=log = 5 log ( )= 5 =5 60 Cpitolo

6 L esempio ci suggerisce di enuncire i seguenti risultti: TEOREMA 5 Si h: 1. log b k b h. log b ( 1) = 0 = h k Il logritmo è un concetto nto intorno ll fine del 1500, per semplificre clcoli prticolrmente complessi, proprio grzie lle proprietà enuncite nel Teorem. Gli studiosi preprrono delle tvole in cui si potevno trovre vlori pprossimti dei vri logritmi e vicevers degli ntilogritmi, ossi degli rgomenti di cui si conoscev un dto logritmo. Essendo le bsi infinite, ovvimente non si potevno costruire infinite tvole, m furono scelte due bsi privilegite, cioè 10, per ovvie rgioni sull notzione decimle dei numeri, e quel numero e. Il logritmo in bse 10 di rgomento si indic con log(). Il logritmo in bse e di rgomento si indic con ln() ed è detto logritmo neperino. Ai giorni nostri le tvole sono stte sostituite dlle clcoltrici tscbili di tipo scientifico. esempio Se voglimo clcolre log(15), second dell clcoltrice ust, possimo o scrivere 15 e digitre il tsto denominto log o vicevers prim premere log e quindi digitre 15. In ogni cso ottenimo un numero pprossimto con un numero di cifre dipendente dll clcoltrice, lmeno 8 in genere, che è 1, Allo stesso modo si procede volendo clcolre ln(7), usndo però il tsto ln, ottenendo circ 1, L clcoltrice quindi risolve fcilmente i nostri problemi di pprossimzione, non riesce però determinre, con un solo comndo, logritmi con bsi diverse d 10 e d e. Per ovvire l problem possimo usre il seguente risultto. TEOREMA 6 Si h: log b ( ) = log c ( ) log c ( b) Il precedente risultto ci permette di clcolre logritmi in qulsisi bse. Logritmi ed esponenzili 61

7 esempio Per clcolre log 7 ( 1), possimo usre un delle seguenti due formule: log ( 7) log 1 log 7 ( 1)= 1 =ln ln 7 Ovvimente i risultti intermedi srnno diversi, m il risultto finle coinciderà log ( 1) log 7 0,8509,797,0899 ln( 1) ln( 7),8118 1,9591,797 Il logritmo in bse 10 ci permette di stbilire qunte cifre h l rgomento. esempio Visto che il logritmo è l esponente d ssegnre ll bse per ottenere l rgomento ovvimente vremo 9 < < < log() < Cioè i numeri l cui prte inter è di due cifre decimli hnno un logritmo decimle che h prte inter ugule 1. Allo stesso modo vremo: 99 < < < log() < e più in generle: 10 n 1< <10 n+1 n< <n+1 Non è difficile rendersi conto delle seguenti proprietà. TEOREMA 7 Si h: > 0 se ( >1 b >1) ( 0 < <1 0 < b <1) log b ( ) < 0 se ( >1 0 < b <1) ( 0 < <1 b >1 ) Il precedente risultto non è ltro che un versione dell cosiddett regol dei segni, secondo cui il prodotto di due numeri reli è positivo solo se entrmbi i numeri hnno lo stesso segno; negtivo solo se hnno segno contrrio. In questo cso, quindi il confronto è con lo zero, invece per il logritmi il confronto deve frsi con 1 (perché b 0 =1), quindi il logritmo è positivo solo se bse e rgomento sono ordinti rispetto l numero 1 llo stesso modo, negtivo se in modo diverso. 6 Cpitolo

8 esempio Studimo i grfici dell funzione logritmo l vrire dell bse. Tenuto conto di qunto già visto per le curve esponenzili risult semplice cpire che nche in questo cso vremo due diversi tipi di grfico: y log 1/ (x) 1 log (x) x 0 1 Le due curve si incontrno ovvimente nel punto di coordinte (1; 0). Se l bse è mggiore di 1 si ottengono curve crescenti positive per rgomenti mggiori di 1 e negtive per gli ltri; se l bse è minore di 1 e sempre positiv, invece l situzione è oppost. Logritmi ed esponenzili Esercizi svolti 1 1 Voglimo stbilire per quli vlori di x l espressione seguente rppresent un numero rele: log x 1 ( x x 1) Il logritmo è definito solo per bsi e rgomenti positivi e bsi diverse d 1, pertnto dobbimo risolvere il seguente sistem: x 1>0 x 1 1 x x 1>0 Logritmi ed esponenzili 6

9 Abbimo perciò: x > 1 x x < x > 6 6 che fornisce il seguente grfico delle soluzioni: Pertnto l espressione h significto nell insieme dei numeri reli solo per x >. 6 Voglimo semplificre l seguente espressione: 5 16 log 8 Possimo seguire due diversi pprocci, innnzitutto, cerchimo di esprimere l rgomento come unic potenz dell bse, cioè 8: 1 5 = 5 = 5 ( 5 ) = 61 5 = 61 0 A questo punto bbimo log =x e, pplicndo l definizione di logritmo, il vlore di x: 8 x = 61 0 x = 61 0 x = x = Cpitolo

10 In lterntiv, vremmo potuto pplicre le proprietà stbilite dl Teorem : 5 16 log 8 = 1 log = 1 log log 8 = = 1 log 5 8+log 8 ( 16) log 8 = 1 log 8( )+ 1 5 log 8( ) log 8 ( 5 ) = = 1 log 8+ 5 log 8 5 log 8 = log 8 = = Spendo che log b 1 =5, determinre il vlore di log 1/ ( b )+ log b Per sfruttre il dto noto trsformimo entrmbi gli ddendi dell espressione in logritmi con l stess bse del dto: 1 1 log 1/ ( b )+ log b = log ( b log ) log 1/ log b = log log b + log b = + log b = + log b = log b log b Abbimo clcolto i logritmi in cui bse e rgomento sono potenze di usndo l proprietà 1 del Teorem 5. Per clcolre gli ltri logritmi usimo l ipotesi: 1 log b =5 Pertnto: log b log b 5 =b 1 10 =b 1 b= 10 = log ( 0 ) log ( ) = =5+ 5 = 9 5. Un cpitle inizile di e è investito in un obbligzione che pg un interesse nnuo del,75%, in regime di cpitlizzzione compost. Se l inflzione nnu è medimente del 1,5% nnuo, dopo 15 nni qule srà il vlore rele del cpitle finle? Clcolimo intnto il cpitle finle mturto: , ,99. Logritmi ed esponenzili 65

11 Però l inflzione h decrementto ogni cpitle di un vlore percentule pri : (1 0,015) 15 0,8155 Infine il cpitle dopo 15 nni h un vlore che, in termini del cpitle investito, è diventto: 15.01,99 0, , 5 Un coltur btteric è inizilmente formt d 1.58 btteri, spendo che il numero dei btteri rddoppi ogni 1 secondi, determinre dopo qunto tempo il numero dei btteri srà di lmeno 5 milirdi. L legge di crescit, in termini del numero inizile dei btteri e del periodo di tempo, è: t 1 N (t )=N o Quindi vremo: t t t 1 log t 1 log 59, Cioè dopo circ 59 secondi. Logritmi ed esponenzili Esercizi proposti 1 Le risposte estte sono riportte fine cpitolo. Stbilire per quli vlori di x l espressione riportt rppresent un numero rele ; b) log 5x+8 ( x +6x ) ; c) log x ( 5x x ) 1 ) log 11x+ 5x x 11 ) log 1 5x ( x +x ); b) log x 1 ( x +x +); c) log x 7 ( x +5x ) ) log 1 x ( x 7x 11); b) log 5x+ ( 5x x 1); c) log 1x+7 x +x Semplificre le seguenti espressioni 5 15 ) log ; b) log 16 5 ) log ; b) log Cpitolo ; c) log ; c) log

12 9 6 ) log ; b) log ; c) log Determinre il vlore delle seguenti espressioni sotto le ipotesi ssegnte 7 log ( b ) log 1/b 8 log b 9 log 5 1/ b 7 log 1 b, con log log 1 b, con log, con log 1 1 = b ( b )= 1 b 10 1 log ( b ) 5 log b, con log ( b )=6 11 log b +8 log 1 b 5 Risolvere i seguenti problemi =, con 1 log =7 b 1 Un coltur btteric è inizilmente formt d.18 btteri, spendo che il numero dei btteri triplic ogni 18 secondi, determinre dopo qunto tempo il numero dei btteri srà di lmeno 5 milirdi. 1 Un coltur btteric è inizilmente formt d.78 btteri, spendo che il numero dei btteri divent di lmeno 5 milirdi dopo 1 secondi, determinre il tsso di crescit l secondo. 1 L popolzione di un città ument in medi del % l nno, determinre dopo qunto tempo rddoppi di numero. 15 L popolzione di un città rddoppi di numero dopo circ 18 nni, determinre il tsso di crescit nnule, supposto costnte. 16 Per stimre l età di un reperto fossile si us misurre l percentule dell isotopo C 1 in esso presente, dto che nel momento in cui l orgnismo muore ess cominci diminuire in modo che ogni 5.70 nni si dimezz. Se in un certo fossile si è rilevto che tle percentule, rispetto d un orgnismo vivente, è del 1,%, possimo stimre che il detto orgnismo è morto qunti nni f circ? 17 Se un certo fossile h circ.578 nni, qunt percentule di C 1, rispetto d un orgnismo vivente, contiene? 18 Un certo isotopo ogni x nni si dimezz. Se in un certo fossile di.150 nni f si è rilevto che tle percentule, rispetto d un orgnismo vivente, è del 1,15%, possimo stimre che x è circ? Logritmi ed esponenzili 67

13 19 L spirin viene elimint di reni in rgione del 50% del frmco presente ogni ½ or. Dopo qunto tempo nel corpo è rimsto il 10% dell spirin inizilmente somministrt? 0 Un cpitle inizile di e è investito in un obbligzione che pg un interesse nnuo del.75%, che viene però ggiunto l cpitle. Se l inflzione nnu è medimente del 1,8% nnuo, dopo 0 nni qule srà il vlore rele del cpitle finle?.. Risoluzione di equzioni e disequzioni esponenzili e logritmiche Abbimo già risolto qulche semplice equzione esponenzile. In questo prgrfo considereremo ltre equzioni e nche disequzioni. Le equzioni riconducibili ll form f ( x) = b g( x), con e b numeri reli positivi diversi tr loro e tli che nessuno dei due è potenz dell ltro, si risolvono ricorrendo i logritmi. esempio Risolvere x+1 = 5x. Nessun delle due bsi è riconducibile ll ltr, pertnto non possimo risolvere uguglindo gli esponenti. Allor estrimo il logritmo di entrmbi i membri in un bse picere, per esempio in bse : log ( x+1 )=log ( 5x ) x +1= ( 5x ) log x 5 log ( ) = 1 log x = 1 log 5 log Avremmo potuto nche lvorre estrendo i logritmi in bse o in qulsisi ltr bse, per esempio l bse 10 per fcilitre il clcolo pprossimto del risultto con l clcoltrice: log ( x+1 )=log ( 5x ) ( x +1) log = ( 5x ) log x log 5 log ( ) = log ( ) log ( ) x = log ( ) log log 5 log x = log ( ) log ( 9) log ( 18) x = 0,867 log ( 8) log ( ) 8 log Vedimo qulche ltro esempio di equzioni esponenzili. 68 Cpitolo

14 esempio Risolvere 5 x 5 x 1=0. In questo cso bst porre 5 x =y, per ottenere l seguente equzione di secondo grdo y y 1=0, le cui soluzioni reli sono: y = 1± 5 Ovvimente in questo cso si ccetternno solo l soluzione positiv, cioè solo y = 1+ 5, ottenendo così l equzione esponenzile immedit: 5 x = x =log 5 Per qunto rigurd le disequzioni esponenzili dobbimo ricordre il grfico delle curve esponenzili per usre gli stessi procedimenti delle equzioni. esempio Risolvere x 1 >5. Fcilmente bbimo: log ( x 1 )>log ( 5) x 1>log ( 5) x > log Un piccolo cmbimento si h invece per l seguente disequzione: x 1 >5. Inftti, sempre tenendo conto delle curve esponenzili vremo: 1 log x 1 >log 5 x 1<log 1/ ( 5) x < log 5 1/ +1 Vle il seguente teorem. TEOREMA 8 L disequzione f ( x ) > b equivle ll disequzione f x se > 1 e ll disequzione f ( x) <log ( b), se invece è 0< < 1. >log ( b) Anche le equzioni logritmiche si risolvono cercndo di ricvre d esse equzioni equivlenti di tipo lgebrico. Logritmi ed esponenzili 69

15 esempio Risolvere log 5 ( x 1)+log 5 ( x )= log 5 7x 1. Applichimo le proprietà di somm e di potenz dei logritmi: log 5 ( x 1) ( x ) =log 5 ( 7x 1) Pssimo quindi dll uguglinz fr i logritmi quell fr i rispettivi rgomenti, vendo le bsi uguli: ( x 1) ( x )= ( 7x 1) x x x +=9x 1x +1 7± 09 5x 7x =0 x = 90 A differenz delle equzioni esponenzili, in questo cso dovremmo verificre che le soluzioni ottenute sino ccettbili, dto che potrebbero rendere negtivi uno o più degli rgomenti dei logritmi presenti nell equzione di prtenz. Visti i vlori ottenuti è più semplice, ed nche consiglibile frlo prim di risolvere l equzione, studire i vlori ccettbili: x >1 x 1>0 x >0 x > x >1 7x 1>0 x > 1 7 Pertnto, poiché nessuno dei due vlori ottenuti è mggiore di 1, possimo dire che l equzione logritmic è priv di soluzioni reli. Anche per le disequzioni logritmiche vlgono uguli considerzioni dipendenti dll relzione che h l bse con il numero 1. TEOREMA 9 L disequzione log [ f (x)] >log g ( x) equivle ll disequzione f(x) > g (x) se > 1 e ll disequzione f(x) < g (x), se invece è 0 < < Cpitolo

16 Logritmi ed esponenzili Esercizi svolti 1 x x 1 Risolvere l equzione esponenzile =. 81 x Ci ccorgimo fcilmente che tutte le potenze hnno un bse che è potenz di, pertnto riscrivimo tutto in bse : x = 5 ( ) x x+1 x+1 6x 6 x 1 = 5 Applichimo le proprietà delle potenze l primo membro, ottenendo un sol potenz: 6x +0x+8 +6x 6 x 1 x+1 = 5 x+1 = 5 A questo punto pssimo dll equzione esponenzile ll equzione lgebric che coinvolge gli esponenti: 6x +0x +8 x +1 Non ci sono soluzioni reli. =5 6x +5x + =0 Δ=5 6 <0 x +1 Risolvere l equzione esponenzile x = x. L equzione è ovvimente priv di soluzioni. Inftti, per x 1, si h: x x > x. Invece per x < 1, il primo membro è comunque positivo, mentre il secondo è negtivo, dto che x <. Risolvere l equzione esponenzile 7 x +9 x+1 7=0. Stvolt non possimo ricondurre l equzione ll uguglinz di due potenze con ugule bse. Allor scrivimo: 7 x x =0 7 x +7 x+ 7=0 7 x +7 x 7 7=0 9 7 x + 7 x 7=0 Ponimo 7 x = y 7 x = y, ottenendo l equzione di II grdo: 9 y +y 7=0 Risolvimol: y = 171± 9.1+ = 9 171± = 171±17 9 = Poiché y rppresent un esponenzile l soluzione negtiv non è ccettbile. Logritmi ed esponenzili 71

17 L soluzione, pertnto, si ottiene nel modo seguente: 7 x = 1 9 7x =7 x = Risolvere il sistem: x =8 x+y 9 x+y = 5 y Osservimo che entrmbe le equzioni si possono ricondurre d equzioni esponenzili in cui mbo i membri sono potenze dell stess bse. Scrivimo llor: x = x+y x+y x = +x+y = 5 5 y x+ y = 5+5 y Possimo llor sostituire il sistem precedente con il seguente che mette in gioco solo gli esponenti: x =+ x + y x =+ y x =+ y x =+ y x = x +y =5+5y ( + y )+y =5+5y 6+y =5+5y y =1 y =1 Verifichimo l correttezz del risultto. =8 +1 =8 8 5 =8 5 = = 5 1 = 10 5 = 5 = 5 5 Risolvere l equzione logritmic log 7 ( x ) log 7 ( x +x )+log 7 ( +5x )=0. Imponimo l condizione di reltà degli rgomenti: x >0 x < x +x >0 1<x < +5x >0 x > 5 <x < 5 7 Cpitolo

18 Adesso pplichimo le proprietà dei logritmi ll equzione di prtenz: log 7 ( x )+log 7 ( +5x )=log 7 ( x +x ) log 7 ( x ) ( +5x ) =log x +x ( x ) ( +5x )= x +x 9x 6x 10=0 x = 1 11 Entrmbe le soluzioni sono ccettbili. 6 Risolvere l disequzione esponenzile x+1 x 1+>0. Riscrivimo l disequzione in form più comod i nostri scopi: x x +>0 Adesso ponimo z = x, ottenendo l disequzione lgebric: z z +>0 5 6 z > z <1 5 Ritornimo ll disequzione esponenzile: x < 1 5. Tenuto conto che l bse è minore di 1 vremo: 1 x >log 5 7 Risolvere l disequzione logritmic log 1 ( x )+log 1 ( x +1)>log 1 ( 5 x ). Applichimo le proprietà dei logritmi: log 1 ( x ) ( x +1) >log 5 x 1 Pssimo ll disequzione fr gli rgomenti e imponimo l condizione di reltà: x < x >0 x < x +1>0 x > 1 x > 1 5 x >0 x < 5 x < 5 ( x ) ( x +1)<5 x x +5x 1<0 x < x > 1<x < 5 1 Logritmi ed esponenzili 7

19 8 Risolvere il sistem: log ( xy )= log x y =1 Applichimo l definizione di logritmo: 10 = x y 10= x y Il sistem è lgebrico: 1.000= x y 1.000=10 y 100= y 10= y x =10y x =10y x =10y x =100 Non bbimo considerto l soluzione negtiv dell prim equzione perché, ovvimente, gli rgomenti del logritmo debbono essere tutti positivi. Verifichimo l correttezz del risultto. log ( )= log 100 log ( =1 )= log ( 10)=1 Logritmi ed esponenzili Esercizi proposti 1 Le risposte estte sono riportte fine cpitolo. Risolvere le seguenti equzioni esponenzili 1 ) ) ) x 1 5 5x 8 7x =6 ; b) 5 x x 1 7 Cpitolo 6x+1 7 x = ; b) 7x 1 16 x =18 ; b) x 7 5 5x+ 15 x+15 =65 ; c) x x 1 6 5x 1 =1 ; c) 11x x+ =65 ; c) 5 x+1 1x x =16 6 x 1 5x+ 9 7 x = 81 x ) x+ x 1 1=0 ; b) x+1 9 x 1 5=0 ; c) 6 x +6 x+1 7=0 x x =196 6 x 1 5 ) 5 x 1 +5 x+1 =0 ; b) 7 x+1 9 x 8=0 ; c) x+ 16 x 11=0 6 ) 9 x+1 5 x =0 ; b) 8 x+1 8 x 1 =0 ; c) 6 x 1 6 x+ 1=0

20 Risolvere le seguenti disequzioni esponenzili 7 ) x 1 x 1 >81 ; b) x ) x x 1 < 16 x+1 9 ; b) 8 x 1 <16x 1 ; c) 1 9 ) x 1 1 x 8 16 ; b) 5 7x+ ; c) 5 x+ 5 5 x ; c) x+1 9 x+ 7 x x x 1 16 x ) 6 x+1 6 x ; b) 1 x+1 1 x 1 0 ; c) x x ) x x ; b) x 8 9 x +1>0 ; c) x +8 x 1 1<0 6 Senz risolvere le seguenti equzioni esponenzili, spiegre perché esse sono prive di soluzioni reli 1 8 x = x 5 1 x = x 1 1 x+ + x = x+1 Risolvere i seguenti sistemi di equzioni esponenzili x+y 9= x y x+y =6 8 x =16 x y 5 x+ y =15 5 y 7 x y =9 x = y 1 8 x+y 1 x+1 9= y +1 y 1 += x 1 5 x+1 1=5 y 5 y +1 +1=5 x x+y + x y = y +1 1= x 1 Logritmi ed esponenzili 75

21 Risolvere le seguenti equzioni logritmiche 1 log ( 5x +) log ( 9x 1)+log ( 5 7x )=0 log 5 ( 6x ) log 5 ( x 9)+log 5 ( 5+7x )=0 log 1 ( x 1) log 1 ( x 1)+log 1 ( x )=0 log 5 ( 5x 6) log 5 ( x 16)+log 5 ( 5+7x )=0 5 log 11 ( 7x )+log 11 ( x 5)+log 11 ( 8x )=0 Risolvere i seguenti sistemi di equzioni logritmiche log ( x )+log ( y )=1 log ( x ) log ( y )= log ( xy )= x log y = log ( xy )= x log y =1 log 5 ( x + y )= log 7 ( x y )= log x ( y )= log y ( x )= 1 log x ( y )= log y ( x +1)=1 Risolvere le seguenti disequzioni logritmiche log 17 ( 5x +1) log 17 ( x x 1)>log 17 ( +x ) log 1/ ( 1x +) log 1/ ( 7x 1)<log 1 ( 7x ) log /5 ( x )>log /5 ( x )+log /5 ( 1+x ) 5 log ( 1x ) log ( x )+log ( 5+x ) 0 76 Cpitolo

22 Logritmi ed esponenzili Verific finle Di seguito proponimo lcuni test, di vrie tipologie, per stbilire il grdo di pprendimento degli rgomenti svolti questo cpitolo. Ogni tipologi h un punteggio ssocito, per un totle di 100 punti, se si ottiene un punteggio inferiore 60 vuol dire che risulterà opportuno riprendere uno o più degli rgomenti proposti. Le risposte estte sono riportte fine cpitolo. Quesiti scelt multipl con più risposte estte (1 punto per ogni rispost estt, 1 punto di penlità per ogni rispost errt, 5 punti se si forniscono solo tutte le risposte estte) Per ogni quesito trccire un segno nell pposito qudrtino sulle scelte corrette. 1 Quli fr le seguenti potenze hnno un vlore superiore 5? A C B π D ( 5) 5 π 1 E π Impiegndo un cpitle l tsso composto i per n nni, il cpitle rddoppi. Quli fr i seguenti vlori di i e di n sono ccettbili? A i = %, n = 15 C B i =,95%, n = 18 D i =,5%, n = 0 E i =,75%, n = 5 i =,%, n = Quli fr i seguenti logritmi rppresentno numeri interi? A log 6 B log C log 8 E log 5/ D log 1/ Quli fr le seguenti uguglinze sono corrette? 16 5 A log ( b c )=log c b B log ( b) log b ( )=1 Logritmi ed esponenzili 77

23 Verific finle C log Logritmi ( n )= m ed m n esponenzili D log b+c =log ( b)+log ( c) E log b log b ( c) log c ( )=1 Verific finle 5 Quli fr i seguenti numeri sono negtivi? 1 A log C log 1 B log D log 0, 0,6 E log 6, 0,1 Quesiti scelt multipl con un sol rispost estt (5 punti per ogni rispost corrett) Per ogni quesito trccire un segno nell pposito qudrtino sull unic scelt corrett. 6 Qunto vle ( log )? A 1 C E Nessuno è corretto B D 7 Per quli x reli log x ( x ) è un numero rele? A x > 0 C x > 1 E Nessuno è corretto B x 1 D x 1 8 Se b = llor b è: A 1/ B 1 C D E Non si può determinre senz ltre informzioni Nessuno è corretto 78 Cpitolo

24 Verific finle 9 Qule Logritmi delle seguenti scritture verific le eventuli soluzioni reli dell equzione log ( x +1 Verific finle ed ) log esponenzili ( x )=log ( x )? A 1<x < C x < E Nessuno è corretto B 1<x < D x < 1 10 L impliczione b > c b>c è corrett A R C >0 E Nessuno è corretto B >1 D <1 Quesiti rispost numeric (10 punti per ogni rispost estt) Rispondere con un numero lle seguenti domnde. 11 e e con un precisione l secondo decimle è:... 1 A qule tsso un cpitle investito in regime di cpitlizzzione compost, rddoppi in 0 nni? Dre l rispost con cifre decimli... 1 Un certo nucleo rdiottivo dimezz l su rdiottività ogni 1 giorni, dopo un nno qunt rdiottività è rimst?... 1 Qunto vle log ( b ) log b ( )? Un coltur di btteri, ogni 100 ore divent k volte quello che er, se dopo ore l coltur è diventt di circ.05 btteri, qunto vle ll incirc k?... Logritmi ed esponenzili 79

25 RISPOSTE ESATTE CAPITOLO Logritmi ed esponenzili Test di ccertmento dei prerequisiti B E B C D B C D E B D D E Esercizi proposti.1. L funzione esponenzile e l funzione logritmo 1 ) x > ) x 1 5 ) x > ; b) x > ; c) x < 5 <x < 1 x < 5 ; b) x ; b) x 6 1 <x <; c) x 8 x > 7 <x <1 6 5 x > ; c)x > 8 ) ; b) ; c) 1 5 ) ; b) ; c) ) 1 55 ; b) 18 ; c) Cpitolo

26 circ secondi 1 circ,65% 1 circ 5 nni 15 circ,9% 16 circ 9.61 nni 17 circ 5,1% 18 circ nni 19 circ 1 or e 0 minuti 0 circ 15.97,09 e.. Risoluzione di equzioni e disequzioni esponenzili e logritmiche Nei seguenti risultti si può sostituire ll bse del logritmo qulsisi vlore positivo e diverso d 1 1 ) ) ; b) ) ± 1 6±5 09 ;b) ;c) 8 5± 105 7±.89 ; c) 10 10± 19 1± 157 ; b) ; c) 7 6 Logritmi ed esponenzili 81

27 ) log 5 ± b ; b) log b ( 9± 61) log b log b ( ) ; log b log b ( ) c) log ( 18.1 ) log b b 5 ) log b log b 6 log b log b 5 log b ; b) log 7± 17 b log b 7 6 ) log b log b ; b) log b ( ) 7 log b ; log b log b c) log b log b 6 7 ) x < x > ; b)x ; c) x 0 ;c) log 8± 5 b log b 8 ) x < 1 x > c) 1.5 ;b)1 <x < x >1+ ; x < x > ) x x >1; b) <x 0 x >; c) x 1<x 10 ) x log 6 b log b ( 5) ; b)x log ( 1) log b b ( 6) log b ( 61) ; log b ( 6) log b ( 1) c) x log ( ) log 6.80 b b log b ( 5) log b ( 6) ) x log 5/ ; b) x <log 7/8 ; c)x < Cpitolo

28 15 x = 8, y = x =, y = 7 17 x = 11 19, y = Identità 19 Impossibile 0 x =log,y =log x =log,y =log + 1± 17 1 x = 8 1± 19 x = 8 9± 9 x = 6 17±.19 x = ± x = 56 6 x = 1.000,y = Nessun soluzione rele 18 8 x = 18,y = 9 x = 67,y = Identità 1 x = 1+ 5,y = + 5 x > 1+ 5 Logritmi ed esponenzili 8

29 <x < <x 1 86 Verific finle B D B C A B C B E A E C E D A B 15,15,5 circ 1,8% 6 1,15 8 Cpitolo

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. Ersmo Modic ersmo@glois.it www.glois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero

Dettagli

POTENZA CON ESPONENTE REALE

POTENZA CON ESPONENTE REALE PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Esponenzili e ritmi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7 Non sono definite:

Dettagli

B8. Equazioni di secondo grado

B8. Equazioni di secondo grado B8. Equzioni di secondo grdo B8.1 Legge di nnullmento del prodotto Spendo che b0 si può dedurre che 0 oppure b0. Quest è l legge di nnullmento del prodotto. Pertnto spendo che (-1) (+)0 llor dovrà vlere

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI Esponenzili e logritmi ESPONENZIALI E LOGARITMI Potenze Fino d or si sono definite le potenze d esponenete intero e rzionle (si positivi che negtivi). Ripssimo le definizioni e i concetti che li rigurdno:

Dettagli

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo: Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri

Dettagli

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così: Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo

Dettagli

Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è tutto R ;

Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è tutto R ; CAPITOLO ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI Teori in sintesi Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z. + Sono definite:

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele Esponenzili e ritmi L potenz è definit: se, per ogni R se, per tutti e soli gli R se, per tutti e soli gli Z. Sono definite: 7 7. Non sono definite:.

Dettagli

Corso di Analisi: Algebra di Base. 4^ Lezione. Radicali. Proprietà dei radicali. Equazioni irrazionali. Disequazioni irrazionali. Allegato Esercizi.

Corso di Analisi: Algebra di Base. 4^ Lezione. Radicali. Proprietà dei radicali. Equazioni irrazionali. Disequazioni irrazionali. Allegato Esercizi. Corso di Anlisi: Algebr di Bse ^ Lezione Rdicli. Proprietà dei rdicli. Equzioni irrzionli. Disequzioni irrzionli. Allegto Esercizi. RADICALI : Considerto un numero rele ed un numero intero positivo n,

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Prof Emnuele ANDRISANI Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se 0, per tutti e soli gli Z Esponenzili e ritmi Sono definite:

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI E LOGARITMI RICHIAMI DI TEORIA dom f Im f grfico Funzioni esponenzili y=^ con > Funzioni esponenzili y=^ con

Dettagli

1 Equazioni e disequazioni di secondo grado

1 Equazioni e disequazioni di secondo grado UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA - Fcoltà di Frmci e Medicin - Corso di Lure in CTF 1 Equzioni e disequzioni di secondo grdo Sino 0, b e c tre numeri reli noti, risolvere un equzione di secondo

Dettagli

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non

Dettagli

Algebra» Appunti» Disequazioni esponenziali

Algebra» Appunti» Disequazioni esponenziali MATEMATICA & FISICA E DINTORNI Psqule Spiezi Algebr» Appunti» Disequzioni esponenzili DEFINIZIONE Si definisce disequzione esponenzile ogni disequzione nell qule l incognit è presente nell esponente di

Dettagli

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le Sched Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI L funzione esponenzile Assegnto un numero rele >0, si dice funzione esponenzile in bse l funzione Grfici dell funzione esponenzile Se = l funzione esponenzile è costnte:

Dettagli

Funzione esponenziale

Funzione esponenziale Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Funzione esponenzile Abbimo studito le progressioni geometriche ed bbimo visto che ci sono molte situzioni reli in cui il modello mtemtico sottostnte è

Dettagli

Teoria in pillole: logaritmi

Teoria in pillole: logaritmi Teori in pillole: logritmi EQUAZIONI ESPONENZIALI Un'equzione si dice esponenzile qundo l'incognit compre soltnto nell'esponente di un o più potenze. L'equzione esponenzile più semplice (elementre) è del

Dettagli

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo Lure triennle in Scienze dell Ntur.. 2009/200 Regole di Clcolo In queste note esminimo lcune conseguenze degli ssiomi reltivi lle operzioni e ll ordinmento nell insieme R dei numeri reli. L obiettivo principle

Dettagli

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata . Teoremi per eseguire operzioni con i iti in form determint Vedimo dunque i teoremi che consentono il clcolo dei iti, ttrverso i quli si riconducono le situzioni rticolte semplici operzioni lgebriche

Dettagli

Equazioni di 2 grado. Definizioni Equazioni incomplete Equazione completa Relazioni tra i coefficienti della equazione e le sue soluzioni Esercizi

Equazioni di 2 grado. Definizioni Equazioni incomplete Equazione completa Relazioni tra i coefficienti della equazione e le sue soluzioni Esercizi Equzioni di grdo Definizioni Equzioni incomplete Equzione complet Relzioni tr i coefficienti dell equzione e le sue soluzioni Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Un equzione è: Un uguglinz

Dettagli

7. Derivate Definizione 1

7. Derivate Definizione 1 7. Derivte Il concetto di derivt è importntissimo e molto nturle. Per vere un esempio concreto, penste l moto di un mcchin: se f(t) è l funzione che esprime qunt strd vete percorso fino d un certo istnte

Dettagli

1 Espressioni polinomiali

1 Espressioni polinomiali 1 Espressioni polinomili Un monomio è un espressione letterle in un vribile x che contiene un potenz inter (non negtiv, cioè mggiori o uguli zero) di x moltiplict per un numero rele: x n AD ESEMPIO: sono

Dettagli

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco.

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco. Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile Esercizi svolti Limiti Prof. Chirizzi rco www.elettrone.ltervist.org 1) Verificre che risult: = Dobbimo provre che per ogni ε positivo, rbitrrimente piccolo,

Dettagli

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A. 88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3

Dettagli

{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, }

{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, } Lezione 01 Aritmetic Pgin 1 di 1 I numeri nturli I numeri nturli sono: 0,1,,,4,5,6,7,8,,10,11,1, L insieme dei numeri nturli viene indicto col simbolo. } { 0,1,,, 4,5,6,7,8,,10,11,1, } L insieme dei numeri

Dettagli

Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO ALGEBRA

Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO ALGEBRA Liceo Scientifico G. Slvemini Corso di preprzione per l gr provincile delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO ALGEBRA PROPRIETA DELLE POTENZE PRODOTTI NOTEVOLI QUESITO SUGGERIMENTO y è un espressione non

Dettagli

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi Equzioni grdo Definizioni Clssificzione Risoluzione Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Prendimo in esme le due espressioni numeriche 8 entrmbe sono uguli 7, e l scrittur si chim uguglinz

Dettagli

Valore del parametro Tipo di Equazione Soluzioni Equazione di I grado x = 4. Equazione Spuria x 1 = 0 x 2 = 5 Equazione Completa con < 0

Valore del parametro Tipo di Equazione Soluzioni Equazione di I grado x = 4. Equazione Spuria x 1 = 0 x 2 = 5 Equazione Completa con < 0 Equzioni letterli di II grdo Un equzione letterle di II grdo è un equzione che contiene, oltre l letter che rppresent l incognit dell equzione, ltre lettere, dette prmetri, che rppresentno numeri ben determinti,

Dettagli

5. Funzioni elementari trascendenti

5. Funzioni elementari trascendenti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 5. Funzioni elementri trscendenti A. A. 2013-2014 1 FUNZIONI ESPONENZIALI Le più semplici funzioni esponenzili sono le funzioni f: R R definite

Dettagli

5. Esponenziali e logaritmi

5. Esponenziali e logaritmi . Esponenzili e ritmi. Logritmi Prerequisiti Concetto di esponente Potenze reli di bse ed esponente rele Equzioni e disequzioni esponenzili Obiettivi Comprendere il concetto di ritmo Spere utilizzre i

Dettagli

a > 1 y = 1 x = 1 La funzione esponenziale La funzione y = a x è chiamata funzione esponenziale di x dove a è la base della funzione.

a > 1 y = 1 x = 1 La funzione esponenziale La funzione y = a x è chiamata funzione esponenziale di x dove a è la base della funzione. L funzione esponenzile L funzione = è chimt funzione esponenzile di dove è l bse dell funzione. > 0; Condizioni di vlidità: < < ; > 0 Se > l funzione è monoton crescente > = = = o L funzione esponenzile

Dettagli

Le equazioni di grado superiore al secondo

Le equazioni di grado superiore al secondo Le equzioni di grdo superiore l secondo ITIS Feltrinelli nno scolstico 007-008 R. Folgieri 007-008 1 Teorem fondmentle dell lger Ogni equzione lgeric di grdo n h sempre n soluzioni, che possono essere

Dettagli

{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni

{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni Sistemi di equzioni Definizione Un sistem è un insieme di equzioni che devono essere verificte contempornemente, cioè devono vere contempornemente le stesse soluzioni. Definimo grdo di un sistem il prodotto

Dettagli

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti Anno 5 Appliczione del clcolo degli integrli definiti 1 Introduzione In quest lezione vedremo come pplicre il clcolo dell integrle definito per determinre le ree di prticolri figure pine, i volumi dei

Dettagli

Lezione 1 Insiemi e numeri

Lezione 1 Insiemi e numeri Lezione Insiemi e numeri. Nozione di insieme, sottoinsieme, pprtenenz Con l prol insieme intendimo un collezione di oggetti detti suoi elementi. Ogni insieme è denotto con lettere miuscole e i suoi elementi

Dettagli

I radicali. Cos è un radicale? ESERCIZIO 2.1. Determina le C.E. dei seguenti radicali e delle seguenti espressioni contenenti radicali.

I radicali. Cos è un radicale? ESERCIZIO 2.1. Determina le C.E. dei seguenti radicali e delle seguenti espressioni contenenti radicali. I rdicli Cos è un rdicle? Il simbolo si chim rdicle e si legge rdice ennesim di. - n si chim indice dell rdice e deve essere un numero nturle mggiore di zero. Qundo l indice si sottintende e il rdicle

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI E LOGARITMI 1 se 0, per ogni R ; Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se >0: Sono definite: se >0: Non sono definite: Csi prticolri: Le proprietà delle

Dettagli

Funzioni razionali fratte

Funzioni razionali fratte Funzioni rzionli frtte Per illustrre l medizione che AlNuSet fornisce per lo studio delle funzioni rzionli frtte, inizimo con il considerre l funzione f ( ) l vrire del prmetro. L su rppresentzione nell

Dettagli

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi SUGLI INSIEMI 1.Insiemi e operzioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di clsse, totlità. Si A un insieme di elementi qulunque. Per indicre che è un elemento di A scriveremo A.

Dettagli

COGNOME..NOME CLASSE.DATA

COGNOME..NOME CLASSE.DATA COGNOME..NOME CLASSE.DATA FUNZIONE ESPONENZIALE - VERIFICA OBIETTIVI Sper definire un funzione esponenzile. Sper rppresentre un funzione esponenzile. Sper individure le crtteristiche del grfico di un funzione

Dettagli

Equazioni parametriche di primo grado

Equazioni parametriche di primo grado Polo Sivigli Equzioni prmetriche di primo grdo Premess Come si s dll lgebr elementre, si chim equzione un uguglinz fr due espressioni letterli che si verific soltnto ttribuendo prticolri vlori lle lettere,

Dettagli

Anno 2. Potenze di un radicale e razionalizzazione

Anno 2. Potenze di un radicale e razionalizzazione Anno Potenze di un rdicle e rzionlizzzione Introduzione In quest lezione impreri utilizzre le ultime due tipologie di operzioni sui rdicli, cioè l potenz di un rdicle e l rdice di un rdicle. Successivmente

Dettagli

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento Questionrio Risolvi quttro degli otto quesiti: L Città dello sport è un struttur sportiv progettt dll rchitetto Sntigo Cltrv e mi complett, situt sud di Rom Rispetto l sistem di riferimento indicto in

Dettagli

Strumenti Matematici per la Fisica

Strumenti Matematici per la Fisica Strumenti Mtemtici per l Fisic Strumenti Mtemtici per l Fisic Approssimzioni Notzione scientific (o esponenzile) Ordine di Grndezz Sistem Metrico Decimle Equivlenze Proporzioni e Percentuli Relzioni fr

Dettagli

Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche.

Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche. Lezione Prerequisiti: Lezioni 8,. Risoluzione delle equzioni lgebriche. Si F un cmpo, e si K un chiusur lgebric di F. Si f ( ) F[ ] non costnte. Studimo i metodi di risoluzione per l equzione f ( ) = 0,

Dettagli

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1 APITOLO 3 LE SIMMETRIE 3. Richimi di teori Definizione. Si dto un punto del pino; si chim simmetri centrle di centro (che si indic con il simbolo s ) l corrispondenz dl pino in sé che d ogni punto P del

Dettagli

Integrale definito (p.204)

Integrale definito (p.204) Integrle definito (p.4) Trttimo dei cenni sull teori dell integrzione nel cso di funzioni continue (integrle di Cuchy). Gli integrli si estendono l cso di funzioni limitte (integrle di Riemnn). Nel clcolo

Dettagli

E U Q A U Z A I Z O I N O I N DI SE S C E O C N O DO

E U Q A U Z A I Z O I N O I N DI SE S C E O C N O DO EQUAZIONI DI ECONDO GRADO Riepilogo delle soluzioni in bse l segno di < φ : b > : b b Prof I voi, EQUAZIONI DI ECONDO GRADO EQUAZIONI PURE DI ECONDO GRADO : EEMPI ) ) ) 7 7 ) > φ (impossibile) ) impossibil

Dettagli

Anno 1. Numeri reali: proprietà e applicazioni di uso comune

Anno 1. Numeri reali: proprietà e applicazioni di uso comune Anno Numeri reli: proprietà e ppliczioni di uso comune Introduzione L insieme dei numeri rzionli è composto d numeri che si ottengono dl rpporto tr due numeri interi. Tle rpporto, o frzione, è sempre ssociile

Dettagli

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio. Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()

Dettagli

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito. Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione

Dettagli

Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler

Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler Determinnti e crtteristic di un mtrice (M.S. Bernbei & H. Thler Determinnte Il determinnte può essere definito solmente nel cso di mtrici qudrte Per un mtrice qudrt 11 (del primo ordine) il determinnte

Dettagli

Esercizi sulle serie di Fourier

Esercizi sulle serie di Fourier Esercizi sulle serie di Fourier Corso di Fisic Mtemtic,.. 3- Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno Novembre 3 Sviluppo in serie di Fourier (esponenzile) In questi esercizi, si richiede di sviluppre

Dettagli

Radicali. Definizioni Variazioni di radicali Operazioni Razionalizzazione Radicali doppi Potenze con esponente razionale Esercizi

Radicali. Definizioni Variazioni di radicali Operazioni Razionalizzazione Radicali doppi Potenze con esponente razionale Esercizi Rdicli Definizioni Vrizioni di rdicli Operzioni Rzionlizzzione Rdicli doppi Potenze con esponente rzionle Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni n L espressione è comunemente dett rdice

Dettagli

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x). OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll

Dettagli

Il problema delle aree. Metodo di esaustione.

Il problema delle aree. Metodo di esaustione. INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO. PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE. TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. FORMULA DI LEIBNITZ NEWTON.

Dettagli

fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio

fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio Scomposizione di un polinomio in fttori Scomporre in fttori primi un polinomio signific esprimerlo come il prodotto di due più polinomi non più scomponibili Ad esempio 9 = ( 3) fttore 1 ( + 3) fttore +

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

Risoluzione verifica di matematica 3C del 17/12/2013

Risoluzione verifica di matematica 3C del 17/12/2013 Problem 1 Risoluzione verific di mtemtic C del 17/1/01 Si clcolno le intersezioni tr le rette generiche del fscio proprio y x y 1, risolvendo il sistem: x y 1 y mx Si ottengono i punti di coordinte espresse

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Università degli Studi di Udine Anno Accdemico 07/8 Diprtimento di Scienze Mtemtic, Informtiche e Fisiche Corsi di Lure in Informtic e in IBW Esercizi di Anlisi Mtemtic Esercizi del 7 ottobre 07. Nell

Dettagli

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in Cpitolo 5 Le omotetie 5. Richimi di teori Definizione Sino fissti un punto C del pino ed un numero rele. Si chim omoteti di centro C e rpporto ( che si indic con il simolo O, ) l corrispondenz dl pino

Dettagli

Il calcolo letterale

Il calcolo letterale Progetto Mtemtic in Rete Il clcolo letterle Finor imo studito gli insiemi numerici (espressioni numeriche). Ν, Ζ, Q, R ed operto con numeri In mtemtic però è molto importnte sper operre con le lettere

Dettagli

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1 Serie di Potenze Introducimo il concetto di convergenz puntule ed uniforme per successioni di funzioni. Definizione 1 Si I un intervllo di R. Si dt l vrire di n N l funzione f n : I R. Dicimo che l successione

Dettagli

U.D. N 15 Funzioni e loro rappresentazione grafica

U.D. N 15 Funzioni e loro rappresentazione grafica 54 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic U.D. N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic ) Le coordinte crtesine ) L distnz tr due punti 3) Coordinte del punto medio di un segmento 4) Le

Dettagli

Esercitazione Dicembre 2014

Esercitazione Dicembre 2014 Esercitzione 10 17 Dicembre 2014 Esercizio 1 Un economi chius è crtterizzt di seguenti dti: A = 400 M = 250 γ = 1.5 (moltiplictore dell politic fiscle) β = 0.8 moltiplictore dell politic monetri z = 0.25

Dettagli

La parabola LA PARABOLA È IL LUOGO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDI- STANTI DA UN PUNTO DETTO FUOCO E DA UNA RETTA CHE NON LO CONTIENE DETTA DIRETTRICE.

La parabola LA PARABOLA È IL LUOGO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDI- STANTI DA UN PUNTO DETTO FUOCO E DA UNA RETTA CHE NON LO CONTIENE DETTA DIRETTRICE. L prol In figur è trccito il grfico di un prol con sse di simmetri verticle. Si vede suito dl grfico ce: l curv è simmetric rispetto l suo sse di simmetri il suo punto più in sso è il vertice il vertice

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 PROBLEMA ) L prbol di equzione V ' (0,0). y h sse di simmetri prllelo ll sse delle ordinte e vertice in L prbol di equzione

Dettagli

BREVE APPENDICE SULLE UNITA' LOGARITMICHE

BREVE APPENDICE SULLE UNITA' LOGARITMICHE BREVE APPENDICE SULLE UNITA' LOGARITMICHE Per esprimere gudgni e ttenuzioni, nonché cifre di rumore e rpporti segnle-rumore si usno frequentemente le unità logritmiche. Come risultto, l grndezz in questione

Dettagli

1 Funzioni continue: definizioni e prime proprietà. 2 Continuità delle funzioni elementari 2

1 Funzioni continue: definizioni e prime proprietà. 2 Continuità delle funzioni elementari 2 FUNZIONI CONTINUE FUNZIONI CONTINUE: DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ Funzioni continue Indice Funzioni continue: definizioni e prime proprietà 2 Continuità delle funzioni elementri 2 3 Funzioni continue

Dettagli

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale.

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale. 1 Integrli dipendenti d un prmetro e derivzione sotto il segno di integrle. Considerimo l funzione f(x, t) : A [, b] R definit nel rettngolo A [, b], essendo A un sottoinsieme perto di R e [, b] un intervllo

Dettagli

RACCOLTA DI ESERCIZI PER I CORSI PRELIMINARI

RACCOLTA DI ESERCIZI PER I CORSI PRELIMINARI RACCOLTA DI ESERCIZI PER I CORSI PRELIMINARI PROPRIETÀ DEI NUMERI INTERI, SCOMPOSIZIONI, ECC.. Se A è ugule e B è ugule, qunto vlgono m.c.m. ed M.C.D. dei numeri A e B? 0 e. Se si moltiplicno due numeri

Dettagli

Moto in due dimensioni

Moto in due dimensioni INGEGNERIA GESTIONALE corso di Fisic Generle Prof. E. Puddu LEZIONE DEL 24 SETTEMBRE 2008 Moto in due dimensioni Spostmento e velocità Posizione e spostmento L posizione di un punto mterile nel pino è

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA In un pino, riferito d un sistem

Dettagli

II-5 Funzioni continue

II-5 Funzioni continue II-5 FUNZIONI CONTINUE FUNZIONI CONTINUE: DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ II-5 Funzioni continue Indice Funzioni continue: definizioni e prime proprietà 2 Continuità delle funzioni elementri 3 3 Funzioni

Dettagli

Modulo o "valore assoluto" Proprietà del Valore Assoluto. Intervalli

Modulo o valore assoluto Proprietà del Valore Assoluto. Intervalli Modulo o "vlore ssoluto" Dto x definimo modulo o vlore ssoluto di x il numero rele positivo x se x 0 x = x se x < 0 Es. 5 è 5. 2.34 è 2.34 Dl punto di vist geometrico x rppresent l distnz di x d 0. x x

Dettagli

Un carrello del supermercato viene lanciato con velocità iniziale

Un carrello del supermercato viene lanciato con velocità iniziale Esempio 44 Un utomobile procede lungo l utostrd ll velocità costnte di m/s, ed inizi d ccelerre in vnti di m/s.5 proprio nell istnte in cui super un cmion fermo in un re di sost. In quel preciso momento

Dettagli

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata Anlisi Mtemtic 2 1 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 1 INTEGRALI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE 1 Il problem del clcolo dell re di un regione pin limitt Se si consider un

Dettagli

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: ppunti di nlisi mtemtic: Integrle efinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle efinito lcolo delle ree di fig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali SPAZI VETTORIALI 1. Spzi e sottospzi vettorili Definizione: Dto un insieme V non vuoto e un corpo K di sostegno si dice che V è un K-spzio vettorile o uno spzio vettorile su K se sono definite un operzione

Dettagli

Il moto uniformemente accelerato

Il moto uniformemente accelerato Il moto uniformemente ccelerto Viene detto uniformemente ccelerto un moto nel qule l ccelerzione rimng costnte in intensità e direzione. Alle volte esso viene distinto dl moto uniformemente vrio nel qule

Dettagli

{ } 3 [ ] [ ] [ ] [ ] Esercizi per il precorso ( )( ) Prof. Margherita Fochi. 1.- Esercizi sui polinomi. + x. x R. ( )( ) + R. ( )( )( ) a.

{ } 3 [ ] [ ] [ ] [ ] Esercizi per il precorso ( )( ) Prof. Margherita Fochi. 1.- Esercizi sui polinomi. + x. x R. ( )( ) + R. ( )( )( ) a. Prof. Mrgherit Fochi Esercizi per il precorso.- Esercizi sui polinomi Semplificre le seguenti espressioni utilizzndo i prodotti notevoli:. ) ) ) ) ) 8 [ ] 8. ) ) ) ) ] [. ) ) ) [ ] { } y y y y y [ ] 8

Dettagli

IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale:

IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale: IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. Complet.. Un espressione letterle è.... Per clcolre il vlore numerico di un espressione letterle isogn...... c. Non si possono ssegnre lle lettere che compiono

Dettagli

ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI

ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI cur di Michele Scgli RICHIAMI TEORICI INTEGRALI IMPROPRI NOTEVOLI L integrle CONVERGE dx, < DIVERGE per

Dettagli

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y Differenzile Considerimo l vrizione finit, dell vriile indipendente cui corrisponde un vrizione finit dell funzione f, f y Δf 1 Δ 2 L vrizione dell vriile dipendente puo' essere molto piccol, infinitesim

Dettagli

Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita

Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita 86 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit ) L definizione di equzione di seondo grdo d un inognit ) L risoluzione delle equzioni di

Dettagli

Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x)

Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x) Are del Trpezoide y o A f() trpezoide h B f() f() L're del trpezoide S puo' essere pprossimt dll're del trpezio AB. Per vere un migliore pprossimzione possimo suddividere il trpezio in trpezi piu' piccoli.

Dettagli

1 Integrale delle funzioni a scala

1 Integrale delle funzioni a scala INTEGRALE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Teori di Riemnn 1 Integrle delle funzioni scl (1.1) Definizione Si dice suddivisione di un intervllo chiuso e limitto [, b] un sottoinsieme {,..., n } di [, b]

Dettagli

Minimi quadrati e problemi di distanza minima

Minimi quadrati e problemi di distanza minima Minimi qudrti e problemi di distnz minim Considerimo un mtrice rettngolre B, con elementi b ij, i 1,..., n, j 1,..., m, con m < n (quindi, più righe che colonne. Voglimo risolvere il sistem linere (1 Bx

Dettagli

Campi. Una funzione F di n variabili reali e a valori in R n è detta campo di vettori. Nel seguito considereremo F : A R n con A aperto di R n.

Campi. Una funzione F di n variabili reali e a valori in R n è detta campo di vettori. Nel seguito considereremo F : A R n con A aperto di R n. Cmpi Ultimo ggiornmento: 18 febbrio 217 Un funzione F di n vribili reli e vlori in R n è dett cmpo di vettori. Nel seguito considereremo F : A R n con A perto di R n. 1. Integrli curvilinei di second specie

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente

Dettagli

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert

Dettagli

Lezione 16 Derivate ed Integrali

Lezione 16 Derivate ed Integrali Lezione 16 Derivte ed Integrli Frnk Sullivn 1 Dicembre 11 1 Prim Or Compiti di letture ed esercizi per 3 Dicembre Durnte l lezione di oggi pplicheremo le regole per differenzire funzioni l clcolo di integrli.

Dettagli

La parabola con asse parallelo all ady

La parabola con asse parallelo all ady L prbol con sse prllelo ll dy I Prbol con vertice nell origine degli ssi crtesini I disegni degli esercizi dll 1 l 3 dell sched di lbortorio, sono i seguenti: Quindi il segno del coefficiente di x determin

Dettagli

Equazioni e disequazioni

Equazioni e disequazioni Cpitolo Equzioni e disequzioni.1 Princìpi di equivlenz 1. Sommndo o sottrendo l stess quntità d entrmbi i membri di un equzione o di un disequzione ess non cmbi, ovvero: A(x) B(x) A(x) k(x) B(x) k(x).

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico

Dettagli

Elementi grafici per Matematica

Elementi grafici per Matematica Elementi grfici per Mtemtic Sommrio: Sistemi di coordinte crtesine... Grfici di funzioni... 4. Definizione... 4. Esempi... 5.3 Verificre iniettività e suriettività dl grfico... 8.4 L rett... 9.5 Esempi

Dettagli

FUNZIONI LOGARITMICHE

FUNZIONI LOGARITMICHE FUNZIONI LOGARITMICHE Voglimo vedere come dl grfico δ di un funzione y=f(x) si può pssre l grfico δ dell funzione y = f (x). Dobbimo vere ben presente il grfico dell funzione y = x con x R + e con >0,

Dettagli

0x3 0x5 2 R. Sistemi di disequazioni. Esercizio no.1. Esercizio no.2. Esercizio no.3. Esercizio no.4. Esercizio no.5. Esercizio no.6. Esercizio no.

0x3 0x5 2 R. Sistemi di disequazioni. Esercizio no.1. Esercizio no.2. Esercizio no.3. Esercizio no.4. Esercizio no.5. Esercizio no.6. Esercizio no. Edutecnic.it Sistemi di disequzioni Sistemi di disequzioni Esercizio no. Esercizio no. Esercizio no. ) ) Esercizio no. ) ) 9 ) Soluzione pg. [ ] Soluzione pg. [ ] Soluzione pg. 9 Soluzione pg. Esercizio

Dettagli