LE RELAZIONI E LE FUNZIONI

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1 LE RELAZIONI E LE FUNZIONI ESERCIZI. Le relazioni binarie e la loro rappresentazione Rappresenta in forma sagittale e tramite una tabella a doppia entrata la seguente relazione binaria e scrivi le coppie in relazione. A B Bergamini, Trifone, Barozzi Zanichelli 0

2 Indica in forma sagittale e cartesiana la relazione binaria definita dalla seguente tabella. Scrivi le coppie in relazione. A B Data la relazione binaria in figura, scrivi le coppie in relazione e rappresenta la relazione con una tabella a doppia entrata. A B Bergamini, Trifone, Barozzi Zanichelli 0

3 Dato l insieme Ax x 4 4, dai la rappresentazione cartesiana di ognuna delle relazioni in A A definite qui di seguito. 4 A a) «La differenza fra x e y è minore di», con x; y b) x; y x; y A A e x y; c) «Il prodotto fra x e y è», con x; y A A. 4 B a) «Il prodotto fra x e y è 4», con x; y A A ; b) x; y x; y A A e y x ; c) «La differenza fra x e y è maggiore di», con x; y A A ; A A. Scrivi il dominio e il codominio della seguente relazione binaria da A a B. A Bx x, x4 5 A,, 4, 6, 0, 5, : «x è il quadrato di y» 5 B Ax x, 4 x4,,,,, 4, 5 B, : «y è la differenza tra il valore assoluto di x e». Dato l insieme A,,, 4, scrivi l enunciato della relazione definita in A A rappresentata in figura. 6 A 6 B [«x + y è pari»] [«x + y è dispari»] Bergamini, Trifone, Barozzi Zanichelli 0

4 . La relazione inversa Dati gli insiemi Ax 4 x 9 e B x x 6, considera la seguente relazione, definita nell insieme A B, ed esegui le seguenti istruzioni: a) disegna la rappresentazione sagittale; b) determina la relazione inversa; c) scrivi l insieme delle coppie che costituiscono e quello delle coppie che costituiscono - ; d) scrivi dominio e codominio di e di. 7 A xy ; xy ; ABx, y 7 B xy ; xy ; ABx, y. Le relazioni definite in un insieme e le loro proprietà Costruisci il grafo della relazione definita nell insieme A. 8 A A n n, n 9 8 B A n n, n 8, : «x ha qualche divisore, diverso da, in comune con y», : «x non ha divisori in comune con y, escluso» In figura è rappresentata una relazione mediante un grafo. a) Completa il grafo (aggiungendo opportune frecce) in modo che la relazione descritta risulti riflessiva. b) Ricopia la figura originale e completa il grafo in modo che la relazione descritta risulti simmetrica. c) Ricopia nuovamente la figura originale e completa il grafo in modo che la relazione descritta risulti transitiva. 9 A 9 B Bergamini, Trifone, Barozzi Zanichelli 0

5 Determina di quali proprietà, tra le seguenti, godono le relazioni assegnate: riflessiva, simmetrica, transitiva, antiriflessiva, antisimmetrica. 0 A a) «x è multiplo di y», con (x;y) b) Se S è l insieme dei segmenti di un piano, «x sta sulla stessa retta di y», con (x;y) S S [a) rifl., trans. e antisimm.; b) rifl. e simm. e trans.] 0 B a) «x è divisore di y», con (x;y) b) Se S è l insieme dei segmenti di un piano, «x è consecutivo a y», con (x;y) S S [a) rifl., trans. e antisimm.; b) rifl. e simm.] 4. Le relazioni di equivalenza Stabilisci quali fra i seguenti grafi rappresentano relazioni di equivalenza A [soltanto d] B [soltanto c] Bergamini, Trifone, Barozzi Zanichelli 0

6 Completa il grafo seguente, aggiungendo opportune frecce, in modo che la relazione descritta risulti di equivalenza. A B Stabilisci l insieme quoziente per la relazione di equivalenza indicata nel relativo insieme. A «x è nato nella stessa regione di y», nell insieme degli italiani. B «x abita nella stessa provincia di y», nell insieme degli abitanti dell Emilia Romagna. Determina l insieme quoziente dell insieme A cane, gatto, cavallo, cammello, ghepardo, gorilla, ape coccodrillo rispetto alla seguente relazione di equivalenza definita in A. 4 A «x inizia con la stessa lettera di y». 4 B «x ha lo stesso numero di lettere di y». 5. Le relazioni d ordine Cerca le relazioni d ordine tra le seguenti, precisando se sono di ordine stretto o largo, totale o parziale. 5 A A a) «a è metà di b»; b) «a è multiplo di b»; c) «a è il doppio di b sommato a». 5 B A è l insieme degli iscritti a un corso di nuoto. a) «a ha il colore del costume di b»; b) «a è più vecchio di b»; c) «a ha vinto più gare di b». Completa con il numero minimo di frecce i seguenti grafi, in modo da ottenere una relazione d ordine del tipo indicato alla base della figura. Bergamini, Trifone, Barozzi Zanichelli 0

7 6 A 6 B 6. Che cosa sono le funzioni Dati i due insiemi A a, e, i, o e B a, b, c, d, e diagramma cartesiano e stabilisci quali tra queste sono funzioni., rappresenta le relazioni assegnate in un 7 A a) i c a e e d o b b) e b a e e a i c ;, ;, ;, ; ; ;, ;, ;, ;. 7 B a) o b i d o a e c b) e a i c o a a d ;, ;, ;, ; ; ;, ;, ;, ;. [a) è una funzione; b) non è una funzione] [a) non è una funzione; b) è una funzione] Bergamini, Trifone, Barozzi Zanichelli 0

8 Dati gli insiemi An n, n e B n n in un diagramma cartesiano e stabilisci se è una funzione. 4 ; rappresenta la relazione da A a B 8 A a) 8 B a) :«y x» b) :«y x» :«y x» b) : «y x» [a) è una funzione; b) non è una funzione] [a) non è una funzione; b) è una funzione] 9 A Sono dati gli insiemi A,, 4 e B a b c d,,,. Rappresenta in modo sagittale e con un diagramma cartesiano la funzione f : A B a b f b f 4. Determina infine il codominio della funzione., 9 B Sono dati gli insiemi A,, e B xyzt,,, così definita: f, C a, b. Rappresenta in modo sagittale e con un diagramma cartesiano la funzione f : A B y f z f. Determina infine il codominio della funzione., così definita: y f, C y, z Rappresenta con un diagramma cartesiano le funzioni definite mediante le rappresentazioni sagittali seguenti. 0 A 0 B 7. Le funzioni suriettive, iniettive e biiettive Stabilisci se le seguenti funzioni, definite mediante rappresentazione sagittale, sono iniettive, suriettive o biiettive. Bergamini, Trifone, Barozzi Zanichelli 0

9 A B [a) iniettiva; b) biiettiva; c) suriettiva; d) né iniettiva né suriettiva] [a) biiettiva; b) né iniettiva né suriettiva; c) suriettiva; d) iniettiva] Stabilisci se le seguenti funzioni, rappresentate con un diagramma cartesiano, sono iniettive, suriettive o biiettive. A [a) biiettiva; b) iniettiva; c) suriettiva; d) né iniettiva né suriettiva] Bergamini, Trifone, Barozzi Zanichelli 0

10 B [a) iniettiva, b) biiettiva; c) né iniettiva né suriettiva; d)suriettiva] 8. La funzione inversa A Rappresenta in modo sagittale le relazioni inverse alle funzioni dell esercizio A e stabilisci quali sono funzioni. B Rappresenta in modo sagittale le relazioni inverse alle funzioni dell esercizio B e stabilisci quali sono funzioni. 9. La composizione di due funzioni Rappresenta le due funzioni con un diagramma sagittale e stabilisci se sono possibili le composizioni f g e g f. 4 A A a, B z, C x; f : a z; g: z x. 4 B A q, B r, C w; f : q r; g: r w. Dati gli insiemi A e B e le funzioni f : A B e g: B A, rappresenta con un diagramma sagittale le funzioni f, g, f g, g f e stabilisci se sono iniettive, suriettive o biiettive. 5 A A,,, 4, B f : 4,. g : Bergamini, Trifone, Barozzi Zanichelli 0

11 5 B A,,, B f :,,. g : 0. Le funzioni numeriche Per ogni funzione costruisci una tabella con dieci valori (positivi e negativi) e rappresentane il grafico. 6 A y ; x 6 B y 4; x y y x. x 4. Determina il campo di esistenza delle seguenti funzioni definite in. 7 A 7 B y ; x y ; x 4 y y. x. x x ; x 4 x ; x In un diagramma cartesiano disegna per punti la seguente funzione. Indica se è biiettiva o scegli un sottoinsieme di affinché lo diventi. 8 A y x ; 8 B y 4x ; y y x. x. Per ognuna delle seguenti funzioni f : A B rappresentate in figura, indica opportuni sottoinsiemi di che si possono prendere come insiemi di partenza A e di arrivo B in modo che le funzioni risultino biunivoche. 9 A Bergamini, Trifone, Barozzi Zanichelli 0

12 9 B. Particolari funzioni numeriche Considera le seguenti tabelle e stabilisci se x e y sono direttamente proporzionali, inversamente proporzionali o se vi è una proporzionalità quadratica. Scrivi l espressione analitica delle funzioni e rappresentale nel piano cartesiano. 0 A [prop. diretta, y x ; prop. inversa, y ] x 0 B [prop. diretta, y x ; prop. quadratica, y x ] Bergamini, Trifone, Barozzi Zanichelli 0

13 Date le seguenti tabelle, stabilisci se tra x e y c è una dipendenza lineare. In caso affermativo, scrivi la corrispondente funzione e rappresentala nel piano cartesiano. A B y x; y x A Scrivi la funzione y f x corrispondente alla proporzionalità a) diretta, b) quadratica, c) inversa, sapendo che per x = risulta y = 8 B Scrivi la funzione y f x a) diretta, b) quadratica, c) inversa, sapendo che per x = risulta y = 6 y x5; y x 6 a) y 4 x; b) y x ; c) y x corrispondente alla proporzionalità 8 y x y x y x a) ; b) ; c) Bergamini, Trifone, Barozzi Zanichelli 0

14 Disegna in un diagramma cartesiano i grafici delle seguenti funzioni lineari. A y x ; y x ; y x ; y x. B y x ; y x ; y x ; y x. Per le seguenti funzioni costruisci una tabella con cinque valori (positivi, negativi o nulli) e rappresenta il grafico. 4 A y x ; y x 4. 4 B x y x ; y.. La composizione di due funzioni numeriche Completa il seguente diagramma sagittale. 5 A 5 B Per ogni coppia di funzioni f e g da in determina: f g, g f, f f, g g. 6 A f : x x; 6 B f : x 5 x; g x x :. g x x : 4. Bergamini, Trifone, Barozzi Zanichelli 0 x x x x x 4 6 6; 8 ; 9 ; x x x x x 4 5 0; 75 4; 5 ;

15 Per ognuna delle seguenti funzioni, cerca due funzioni dalla cui composizione si ottenga la funzione data. 7 A y x ; y x ; y 4. x 7 B y 6 x ; y x 5; y 8. x Data la funzione f : A, scrivi il codominio della funzione e determina la sua funzione inversa. 4 A x x, x 0, f : x. x 8 A A x x, x, f : x. x 5 8 B Bergamini, Trifone, Barozzi Zanichelli 0