Analisi I Ingegneria Chimica e Aerospaziale 1 o compitino

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1 1 o compitino 1 febbraio Si consideri la funzione f : R R definita da { f) = 2 log se se = a) Si dimostri che f è continua e derivabile su tutto R b) Si dica se f ammette derivata seconda in ogni punto di R c) Si tracci un grafico approssimativo della funzione, calcolando in particolare eventuali massimi e minimi relativi, punti di flesso ed asintoti di f 2 Si mostri che l equazione log2 + arctan ) = 1) 2 non ha soluzioni negative, e ha almeno 2 soluzioni positive 3 Si calcolino i seguenti iti: n 4 Si calcoli il seguente ite: n! + 3 n n + 1)! + n 4, n en sin 2 n log + 1 ) e Si discutano la convergenza e l assoluta convergenza delle seguenti serie: 1) n 2n + sin n, n n 3 1) Nota: Ogni esercizio vale 6 punti

2 2 o compitino 3 giugno Si consideri l equazione differenziale y 2ty = t 2 a) Se ne scriva la soluzione generale, lasciando eventualmente indicati gli integrali che non si sappiano risolvere b) Sia y α : R R la soluzione tale che y α ) = α Si mostri che esiste un numero reale β tale che: se α < β, allora t + y α t) = ; se α > β, allora t y α t) = + c) Si mostri che t y β t) = d) Si mostri che π 2 < β < 2 Si consideri il problema di Cauchy dove k è un qualsiasi numero reale { y = ty 2 t y) = k a) Si determinino i valori di k per cui il problema ammetta soluzione costante b) Per ogni k R, si determini la soluzione del problema di Cauchy assegnato c) Si determinino i valori di k per cui la soluzione è definita sull intera retta dei numeri reali 3 Si discuta la convergenza dei seguenti integrali impropri: a) b) 4 Si calcoli l integrale definito sin 3 d arctan sin 1 3 d d Nota: ogni esercizio vale 8 punti 2

3 9 giugno Sia f : R R una funzione continua con le seguenti proprietà: a) f) = ; b) + f) = + ; c) esistono dei numeri reali a, b con a < b e fa) > fb) Dimostrare che f ha almeno un punto di minimo relativo e almeno un punto di massimo relativo 2 Calcolare i seguenti iti: [ sin 1 ) ] + 2 sin ) 2 ; e tan2 cos ) 2 log Determinare per quali valori del parametro reale α la serie 1 n α sin 1 ) n α converge e per quali valori di α converge assolutamente 4 Si tracci un grafico approssimativo della funzione calcolando in particolare: a) I valori per cui f è definita f) = loge ), b) I massimi e i minimi assoluti e relativi di f c) Eventuali asintoti di f d) Il numero delle soluzioni dell equazione f) = k, al variare di k in R 5 Si consideri l equazione differenziale u u 2u = 2e t + 3e 2t a) Se ne scriva la soluzione generale b) Si determini una soluzione dell equazione per cui valga ut) dt = 3 3

4 3 giugno Sia f : R R una funzione continua tale che + f) = l > Dimostrare che + f)d diverge 2 Calcolare i seguenti iti: e sin cos 2 t 1 cos 4, t 2 dt 3 Determinare per quali valori del parametro intero k k può essere positivo, negativo o nullo) )) k n 2 1) log n 5 n + 1 n=3 converge e per quali valori di k converge assolutamente 4 Si tracci un grafico approssimativo della funzione f :, + ) R, f) = arctan e + 1 ) In particolare: a) Si calcolino il segno di f, ed i valori del ite destro di f in e del ite di f a + b) Si mostri che f ammette un unico punto stazionario, e che è un punto di minimo assoluto c) Si mostri che 1/2 < < 1 d) Si determini il numero di soluzioni positive dell equazione f) = arctan4) 5 Si consideri l equazione differenziale y t) + cos t)yt) = a) Se ne determini la soluzione generale e sin t 1 + t 2 b) Sia y : R R una soluzione dell equazione data e si supponga che y) = 1 Si mostri che yt) 8 per ogni t R c) Si determini una soluzione y : R R dell equazione data tale che t yt) esista 4

5 21 luglio Siano A, B due sottoinsiemi di R superiormente itati Dimostrare che supa B) = ma{sup A, sup B} 2 Si calcolino i seguenti iti, al variare di α R: n n 3 n 2 ln1 + arctant)) dt n n α, 1 cos 3 Si consideri la funzione f : R R definita da f) = e sin2 1 + a) Si determinino i punti R in cui f è continua, e i punti R in cui f è derivabile b) Si dimostri che f ammette un numero infinito di punti stazionari c) Si calcolino, se esistono, i punti di minimo assoluto di f d) Si calcolino, se esistono, i punti di massimo assoluto di f 4 Studiare la convergenza e la convergenza assoluta della serie 1) n 5 Si risolva il problema di Cauchy n n log ) ) 1 n { y = y 1) 2 y2) = 1 determinando in particolare l intervallo I di definizione della soluzione massimale, che denoteremo con y : I R Si calcolino poi gli asintoti della funzione y 5

6 2 settembre Sia f :, 2) R una funzione continua e derivabile, tale che f ) 1 per ogni, 2) Si mostri che f è itata, cioè esiste M > tale che f) M per ogni, 2) 2 Al variare di α R, si calcoli il ite 3 Si consideri la funzione e ln n n n α f :, + ) R, f) = + 12 ) e 1/ a) Si calcolino + f) e + f) b) Si determinino gli intervalli di monotonia di f, deducendone massimi e minimi relativi e assoluti c) Si determinino gli eventuali asintoti di f 4 Per ogni numero naturale n 2 sia a n = n n + 2) log n logn + 2) Determinare se n=2 a n converge e calcolarne l eventuale ite 5 Si consideri l equazione differenziale y = a) Se ne scriva la soluzione generale 2y b) Si consideri ora la soluzione del problema di Cauchy { y = 2y y) = k Si dimostri che + y) = + se k > π, e + y) = se k < π c) Si calcoli + y) quando k = π 6

7 Analisi I Ingegneria Aerospaziale 15 settembre Sia n= a n una serie assolutamente convergente Dimostrare che n= a2 n è convergente 2 Si calcolino i seguenti iti: a) b) π/2 cos 4 2 π 2 n n2 lnn + 1) n 2 ln n n 3 Si consideri la funzione f :, + ) R, f) = e + log e log a) Si calcolino + f) e + f) b) Si determinino l esistenza ed il numero di eventuali massimi o minimi relativi ed assoluti di f c) Si determinino gli eventuali asintoti di f 4 Determinare per quali valori del parametro reale α la serie 1) n n α sin 1 n ) converge e per quali valori converge assolutamente 5 a) Si risolva il problema di Cauchy { y = 2π1+y2 ) 1+ 2 ) 2 y1) = 1 determinando in particolare l intervallo su cui la soluzione è definita b) Si determinino i valori di k R per cui il problema di Cauchy { y = 2π 1+y ) 2 y1) = k abbia soluzione definita su tutto R 7

8 15 gennaio Sia f : R R una funzione continua e derivabile tale che f ) < Dimostrare che esiste a R tale che afa) < 2 Si calcolino i seguenti iti: ) 1/ 4 e 2 sin 1, + 2 arctan 1/t) dt 3 a) Determinare per quali coppie a, k), dove a R e k è un numero naturale positivo, la serie converge ) n 1) n a n k b) Determinare per quali coppie a, b) di numeri reali positivi la serie converge 4 Si consideri la funzione f : R R definita da a 2n + b 2n 2 n a n b n f) = 4 2 )e a) Si calcolino f) e + f), e si determini se f ammetta asintoti orizzontali, verticali o obliqui b) Si determinino i punti di massimo e di minimo relativo ed i punti di massimo e di minimo assoluto di f c) Si calcolino il numero delle soluzioni delle equazioni f) = 6e 6 e f) = 8e 4 5 Si consideri l equazione differenziale y y 2y = 6t + 2)e t a) Si determini una base dello spazio delle soluzioni dell equazione omogenea associata b) Si determini la soluzione generale dell equazione data c) Si determini una soluzione yt) dell equazione data tale che + yt) dt = 1 8

9 4 febbraio Sia f : [, 1] R una funzione continua e derivabile con le seguenti proprietà: a) f) = f1) = ; b) 1 f)d = Dimostrare che esistono almeno 3 punti 1, 2, 3, strettamente maggiori di zero e minori di 1, tali che f i )f i ) = per i = 1, 2, 3 2 Si calcolino i seguenti iti, al variare del parametro α > : 4 2n + 2 n arctan n 4 2n 2 n arctan n, n sin 3 ) cos sin ) 3 + α 3 Determinare se le seguenti serie convergono e se convergono assolutamente: 3 3n n! 2n + 1)!, 1 1) n n sin 1 ) n 4 Si consideri la funzione f : R R definita da { se = f) = 2 e 1/ se a) Si calcolino + f) e f), e si determinino i punti R in cui f è continua b) Si dica se f ammette derivata sinistra in c) Si calcolino + f) e f) e si determinino, se esistono, i punti di minimo e di massimo relativi e assoluti di f d) Al variare di λ R, si calcoli il numero delle soluzioni dell equazione f) = λ 5 Si consideri il problema di Cauchy { = t 2 1) ) = a dove a è un parametro reale, e se ne denoti con f a : I R la soluzione massimale a) Si determinino i valori di a per cui f a è costante b) Si determini f a, mostrando in particolare che essa è definita su tutto R se e solo se 1 a 1 9

10 23 febbraio Siano n N e c, c 1,, c n numeri reali assegnati non tutti nulli Dimostrare che l equazione ha un numero finito di soluzioni R 2 Si calcolino i seguenti iti: c + c 1 cosh + + c n coshn) = 2 1/n) n n 2 n, 1 2 cos 1 cos ) 2 3 Determinare i valori reali di α per i quali le serie seguenti convergono e quelli per cui convergono assolutamente: 1) n 2 n 1) α n, ) α 1) n log n2 + 5 n 2 + n n=5 4 Si consideri la funzione f : R \ {, 1} R definita da f) = a) Si determinino eventuali asintoti orizzontali, verticali o obliqui di f b) Si determinino gli intervalli in cui f è crescente e decrescente c) Al variare di λ R, si calcoli il numero delle soluzioni dell equazione f) = λ 5 Si consideri il problema di Cauchy { u u = 1 t u1) = a dove a è un parametro reale, e se ne denoti con u a : I R la soluzione massimale a) Si determini la soluzione del problema, lasciando eventualmente indicati gli integrali che non si sanno risolvere b) Si calcoli t + u a t) al variare di a R c) Si mostri che esiste un valore I R per cui t + u a t) = + se a > I e t + u a t) = se a < I d) Si calcoli t + u a t) per a = I, dove I è stato determinato al punto precedente 1