Teoria generale delle coniche 1 / 17

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1 Teoria generale delle coniche 1 / 17

2 Introduzione 2 / 17 Una conica in R 2 è il luogo di punti γ definito da un equazione di secondo grado in x,y, cioè γ : a 11 x 2 + 2a 12 xy+a 22 y 2 + 2a 13 x+2a 23 y+a 33 = 0, (1) con l ipotesi che a 11,a 12,a 22 non siano tutti nulli.

3 Introduzione 2 / 17 Una conica in R 2 è il luogo di punti γ definito da un equazione di secondo grado in x,y, cioè γ : a 11 x 2 + 2a 12 xy+a 22 y 2 + 2a 13 x+2a 23 y+a 33 = 0, (1) con l ipotesi che a 11,a 12,a 22 non siano tutti nulli. Queste figure geometriche devono il loro nome al fatto che sono altresì caratterizzabili come le intersezioni, in R 3, tra un piano e il cono di equazione z 2 = x 2 + y 2. (2)

4 Sezioni del cono: l ellisse e la circonferenza z z β β α α L ellisse ottenuta come sezione di un cono: α < β < π 2 (a sinistra). La circonferenza ottenuta come sezione di un cono: β = π 2 (a destra). 3 / 17

5 Sezioni del cono: parabola e iperbole 4 / 17 β z z β α α La parabola corrisponde al caso: β = α (a sinistra). L iperbole si ottiene quando 0<β < α (a destra).

6 Collegamento tra studio delle coniche e teoria delle matrici 5 / 17 La matrice simmetrica a 11 a 12 a 13 A = a 12 a 22 a 23 M 3 (R) (3) a 13 a 22 a 33 è detta matrice della conica γ.

7 Collegamento tra studio delle coniche e teoria delle matrici 6 / 17 La sua sottomatrice quadrata [ ] a11 a A= 12 a 12 a 22 M 2 (R) (4) è detta matrice della parte quadratica di γ.

8 Collegamento tra studio delle coniche e teoria delle matrici 6 / 17 La sua sottomatrice quadrata [ ] a11 a A= 12 a 12 a 22 M 2 (R) (4) è detta matrice della parte quadratica di γ. È facile verificare che l equazione (1) è equivalente a [x,y,1] A t[x,y,1] = 0. (5)

9 Collegamento tra studio delle coniche e teoria delle matrici 6 / 17 La sua sottomatrice quadrata [ ] a11 a A= 12 a 12 a 22 M 2 (R) (4) è detta matrice della parte quadratica di γ. È facile verificare che l equazione (1) è equivalente a [x,y,1] A t[x,y,1] = 0. (5) Inoltre [x,y] A t[x,y]=a 11 x 2 + 2a 12 xy+a 22 y 2 (6) (in (5) e (6) indica il prodotto righe per colonne di matrici).

10 Collegamento tra studio delle coniche e teoria delle matrici 7 / 17 In queste lezioni mostreremo che le principali caratteristiche geometriche delle coniche possono essere individuate attraverso l applicazione della teoria della diagonalizzazione alla matrice simmetrica A.

11 Cambiamenti di sistema di riferimento in R 2 : traslazioni 8 / 17 Una traslazione di assi è semplicemente esprimibile mediante [ ] [ ] [ ] x x a y =, (7) y b dove t [a,b] sono le coordinate di O nel sistema Oxy.

12 Cambiamenti di sistema di riferimento in R 2 : rotazioni 9 / 17 Una rotazione pari a un angolo θ in senso antiorario, del sistema Oxy, è descritta mediante: [ ] [ ] x x = P y y, (8) dove P è la matrice di rotazione:

13 Cambiamenti di sistema di riferimento in R 2 : rotazioni 9 / 17 Una rotazione pari a un angolo θ in senso antiorario, del sistema Oxy, è descritta mediante: [ ] [ ] x x = P y y, (8) dove P è la matrice di rotazione: [ cosθ sinθ P= sinθ cosθ ]. (9)

14 Cambiamenti di sistema di riferimento in R 2 : rotazioni 10 / 17 Poiché P 1 = t P, l inversa di (8) è [ ] [ x y = t x P y ]. (10)

15 Roto-traslazioni 11 / 17 Nello studio delle coniche può risultare necessario combinare insieme traslazioni e rotazioni.

16 Roto-traslazioni 11 / 17 Nello studio delle coniche può risultare necessario combinare insieme traslazioni e rotazioni. Ciò dà luogo alle cosiddette roto-traslazioni: y y b ϑ O x O a x

17 Roto-traslazioni 12 / 17 In formule, la descrizione analitica della roto-traslazione della figura precedente è: [ ] [ ] [ ] x x a = P y y + (11) b

18 Roto-traslazioni 12 / 17 In formule, la descrizione analitica della roto-traslazione della figura precedente è: [ ] [ ] [ ] x x a = P y y + (11) b [ x y ] [ = t x P y ] [ + t a P b ] (12)

19 13 / 17 Generalità sulle coniche e caso a 12 = 0 Le coniche si dividono in due sottofamiglie: Coniche degeneri, se det A = 0; Coniche non degeneri, se deta 0.

20 13 / 17 Generalità sulle coniche e caso a 12 = 0 Le coniche si dividono in due sottofamiglie: Coniche degeneri, se det A = 0; Coniche non degeneri, se deta 0. Le coniche degeneri non presentano un vero interesse geometrico e possono essere studiate con semplici ragionamenti algebrici ad hoc, come illustrato nell esercizio seguente:

21 Esercizio 14 / 17 Esercizio: Studiare la conica γ definita da x 2 + y 2 + 2xy x y=0. (13)

22 15 / 17 Altri esempi di coniche degeneri Altre situazioni degeneri che possono presentarsi sono (i) x 2 = 0 ; (14) (ii) xy=0; (iii) x 2 + y 2 = 0 ; (iv) x 2 + 1=0. In queste situazioni, γ è rispettivamente: (i) una retta r (l asse y) contata 2 volte;

23 15 / 17 Altri esempi di coniche degeneri Altre situazioni degeneri che possono presentarsi sono (i) x 2 = 0 ; (14) (ii) xy=0; (iii) x 2 + y 2 = 0 ; (iv) x 2 + 1=0. In queste situazioni, γ è rispettivamente: (i) una retta r (l asse y) contata 2 volte; (ii) l unione di 2 rette incidenti (gli assi);

24 15 / 17 Altri esempi di coniche degeneri Altre situazioni degeneri che possono presentarsi sono (i) x 2 = 0 ; (14) (ii) xy=0; (iii) x 2 + y 2 = 0 ; (iv) x 2 + 1=0. In queste situazioni, γ è rispettivamente: (i) una retta r (l asse y) contata 2 volte; (ii) l unione di 2 rette incidenti (gli assi); (iii) un punto (l origine);

25 15 / 17 Altri esempi di coniche degeneri Altre situazioni degeneri che possono presentarsi sono (i) x 2 = 0 ; (14) (ii) xy=0; (iii) x 2 + y 2 = 0 ; (iv) x 2 + 1=0. In queste situazioni, γ è rispettivamente: (i) una retta r (l asse y) contata 2 volte; (ii) l unione di 2 rette incidenti (gli assi); (iii) un punto (l origine); (iv) l insieme vuoto.

26 Coniche non degeneri 16 / 17 Le coniche non degeneri sono di 3 tipi: ellisse, iperbole e parabola, di cui abbiamo già fornito le caratteristiche geometriche principali.

27 Coniche non degeneri 16 / 17 Le coniche non degeneri sono di 3 tipi: ellisse, iperbole e parabola, di cui abbiamo già fornito le caratteristiche geometriche principali. Il risultato principale nella teoria delle coniche consiste nel fatto che ogni conica non degenere è equivalente a una di queste 3, a condizione di operare una opportuna roto-traslazione.

28 Coniche non degeneri 16 / 17 Le coniche non degeneri sono di 3 tipi: ellisse, iperbole e parabola, di cui abbiamo già fornito le caratteristiche geometriche principali. Il risultato principale nella teoria delle coniche consiste nel fatto che ogni conica non degenere è equivalente a una di queste 3, a condizione di operare una opportuna roto-traslazione. Per illustrare il procedimento necessario conviene separare due casi: il caso a 12 = 0, in cui è sufficiente una semplice traslazione;

29 Coniche non degeneri 16 / 17 Le coniche non degeneri sono di 3 tipi: ellisse, iperbole e parabola, di cui abbiamo già fornito le caratteristiche geometriche principali. Il risultato principale nella teoria delle coniche consiste nel fatto che ogni conica non degenere è equivalente a una di queste 3, a condizione di operare una opportuna roto-traslazione. Per illustrare il procedimento necessario conviene separare due casi: il caso a 12 = 0, in cui è sufficiente una semplice traslazione; e il caso a 12 0, in cui è necessario operare anche un opportuna rotazione, determinabile usando la teoria della diagonalizzazione delle matrici simmetriche.

30 Caso a 12 = 0 17 / 17 Caso a 12 = 0. L individuazione della traslazione opportuna avviene per via puramente algebrica, mediante il metodo di completamento dei quadrati.

31 Caso a 12 = 0 17 / 17 Caso a 12 = 0. L individuazione della traslazione opportuna avviene per via puramente algebrica, mediante il metodo di completamento dei quadrati. Esercizio: Studiare la conica γ definita da x 2 + 2y 2 2x 8y+8=0. (15)