Coniche Quadriche. Coniche e quadriche. A. Bertapelle. 9 gennaio A. Bertapelle Coniche e quadriche

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1 .. Coniche e quadriche A. Bertapelle 9 gennaio 2013

2 Cenni storici Appollonio di Perga (III a. C.) in Le coniche fu il primo a dimostrare che era possibile ottenere tutte le coniche (ellisse, parabola, iperbole) intersecando un cono con un piano.

3 Ellisse Coniche. Definizione.. Un ellisse è il luogo dei punti, P del piano euclideo, tali che P F 1 + P F 2 = 2a, per a > 0 costante, F 1 e F 2 punti fissati,. detti fuochi. F i = (±f, 0), b 2 = a 2 f 2. V 1,2 = (±a, 0), V 3,2 = (0, ±b) x 2 equazione: a + y 2 2 b = 1 2 L origine (0, 0) è centro di simmetria per la figura. Le costanti a > b > 0 si chiamano semiassi dell ellisse. V 3 V 1 F 1 F 2 V 2 V 4 P

4 Circonferenza Una circonferenza di raggio a e centro O è un ellisse in cui i due semiassi coincidono con a e i due fuochi coincidono con O. a P O a x 2 + y 2 = a 2

5 Esempi di ellissi: Orbite dei pianeti del sistema solare.

6 Proprietà focale dell ellisse T 1 P T 2 F 1 F 2 t P t P tangente in P all ellisse. Si ha F 1 ˆPT1 = F 2 ˆPT2.

7 Biliardo ellittico P1 P3 P5 F1 = P0 P4 P2 Colpendo la palla posta in un fuoco, tutte le traiettorie passeranno per i fuochi.

8 parabola Coniche. Definizione.. Una parabola è il luogo dei punti, P del piano euclideo, t.c. P F = d(p, r), ove F è un punto fissato detto fuoco ed. r è una retta fissata detta direttrice. F = (0, f ), r : y = f, equazione: y = ax 2 apertura: a = 1/(4f ) vertice: V asse della parabola: x = 0. V F P r

9 Esempi di parabole: Moto parabolico di gravi: composizione di un moto rettilineo uniforme (orizzontale) e un moto uniformemente accelerato (verticale).

10 Il profilo del liquido posto in moto circolare uniforme è parabolico.

11 Una parabola può essere pensata come un ellisse in cui un fuoco viene mandato all infinito. F

12 Proprietà focale della parabola t P T 1 P Q T 2 V F t P tangente in P alla parabola. PQ parallelo all asse. Si ha T 1 ˆPQ = F ˆPT2.

13 Iperbole Coniche. Definizione.. Un iperbole è il luogo dei punti, P del piano euclideo, t.c. P F 1 P F 2 = ±2a, per a > 0 costante, F 1 e F 2 punti. fissati, detti fuochi. F 1 a a F 2 b b P F 1 = ( f, 0) e F 2 = (f, 0), b 2 = a 2 f 2. equazione: x 2 a 2 y 2 b 2 = 1 (0, 0) è centro di simmetria. a, b sono i semiassi dell ip. bx = ±ay sono gli asintoti.

14 Proprietà focale dell iperbole t P T 2 P Q F 1 V 1 V 2 F 2 T 1 t P tangente in P all iperbole. Si ha T 2 ˆPQ = T1 ˆPF1.

15 Iperbole in natura: Consideriamo due oscillatori meccanici posti su una superficie d acqua e pilotati in fase. Le iperboli rosse evidenziano i punti in cui l ampiezza delle oscillazioni è massima. S1 S2

16 Interpretazione algebrica. Definizione.. Una conica è data dall insieme dei punti del piano euclideo le. cui coordinate sono soluzione di un equazione di 2 grado. Fissato un s.d.r. sarà del tipo: g(x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 con a, b, c non tutti nulli. NB: se omogeneizzo g ottengo g h (x 0, x 1, x 2 ) = ax bx 1 x 2 + cx dx 1 x 0 + 2ex 2 x 0 + fx0 2 t.c. g(x, y) = g h (1, x, y). Dunque i punti della conica corrispondono agli zeri del tipo (1,, ) della forma quadratica g h.

17 Notazione matriciale Coniche ( f d e ) Sia A = d a b la matrice associata a g h. Si ha e b c f d e 1 g(x, y) = g h (1, x, y) = (1, x, y) d a b x e b c y e A è la matrice della conica nel s.d.r. fissato.

18 Cambio di s.d.r. Sia A (risp. B) la matrice associata alla conica C nel s.d.r. R (risp. R ) e sia Allora P = ( 1 0 t R ) = α R,R (id E 2 (R)) A = t PBP. (conseguenza della teoria delle forme bilineari e forme quadratiche.)

19 degeneri Coniche. Definizione.. Una conica C si dice degenere se la matrice associata A è. degenere, ossia se A = 0. Si dimostra che se rka = 1 allora C corrisponde ad una retta contata due volte: es. x 2 = 0 oppure (x y + 3) 2 = 0; se rka = 2 allora C corrisponde a due rette distinte (a coefficienti in C): ad es. xy = 0, x = 0, (x + y 1)(3x 2y + 4) = 0.

20 Risultato fondamentale. Proposizione.. Sia A = L insieme. ( f d e d a b e b c ), una matrice reale simmetrica con det A 0. C = {P = t (1, x, y) t PAP = 0} è vuoto, oppure rappresenta una conica. In ogni caso, esiste una matrice di cambio di s.d.r. X, tale che t XAX sia proporzionale a una delle matrici seguenti per opportuni valori di α > 0 e β > 0. ( α β 2 ellisse ) ( 1 ) α β 2 iperbole ( ) 0 2α parabola ( ) 0 α β 2 senza pti reali

21 Coordinate polari Coniche Fissato un s.d.r. {O, v 1, v 2 } nel piano euclideo, con coordinate polari di un punto P O del piano euclideo si intende la coppia (ρ, ϑ) tale che ρ = P O e ϑ è l angolo (orientato) tra v 1 e il vettore OP = P O. v 2 ρ P O ϑ v 1

22 Coniche in coordinate polari Dati una conica C (che non sia una circonferenza) e un suo fuoco F esistono una retta r (detta direttrice) e una costante k > 0 (detta eccentricità) tali che la conica sia data dall insieme dei punti P tali che e sarà parabola se k = 1, ellisse se 0 < k < 1, iperbole se k > 1. Pertanto C ha equazione P F = kd(p, r) ρ = k ρcos(ϑ) d ponendo l origine in F e r v 2, r : x = d.

23 Quadrica Coniche. Definizione.. Una quadrica è data dall insieme dei punti dello spazio euclideo. le cui coordinate sono soluzione di un equazione di 2 grado. Fissato un s.d.r. sarà del tipo: g(x, y) = a 200 x 2 + a 020 y 2 + a 002 z 2 + 2a 110 xy + 2a 101 xz a 001 z + a 000 = 0 con i coefficienti dei termini di grado 2 non tutti nulli. Anche in questo caso possiamo considerare il polinomio omogeneo associato nelle variabili x 0, x 1, x 2, x 3, la corrispondente forma quadratica e la matrice ad essa associata.

24 Ellissoide di rotazione Coniche Facendo ruotare un ellisse attorno all asse focale otteniamo una superficie, detta ellissoide, con equazione (in un opportuno s.d.r.) x 2 a + y 2 2 b + z 2 2 b = 1 2 be 2 be 3 ae 1

25 Ellissoide Più in generale ogni superficie di equazione x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = ±1 (in un opportuno s.d.r.) è detta ellissoide. Se la costante a destra è 1 non ha punti reali. Se la costante è 1 e a = b = c > 0 l ellissoide è una sfera di raggio a. Incontrerete l ellissoide d inerzia in meccanica.

26 Whispering galleries L effetto acustico nella cattedrale di St. Paul a Londra sfrutta la proprietà focale dell ellissoide di rotazione indotta dalla proprietà focale dell ellisse.

27 Litrotritore elettroidraulico

28 Paraboloide di rotazione Facendo ruotare una parabola attorno all asse focale otteniamo una superficie, detta paraboloide. F z = a(x 2 + y 2 )

29 Antenna parabolica Sfrutta la proprietà focale del paraboloide di rotazione indotta dalla proprietà focale della parabola.

30 Fornace solare (Odeillo, Font-Romeu, Francia)

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32 Paraboloide Si dice paraboloide una quadrica di E 3 (R) che in un opportuno s.d.r. ha equazione del tipo ax 2 + by 2 = z. Ad es. l antenna parabolica ha a = b. Se a e b hanno segni discordi otteniamo una superficie fatta a forma di sella di cavallo.

33 Iperboloide a una falda a 2 x 2 + b 2 y 2 c 2 z 2 = 1 Se a = b è ottenuta per rotazione attorno l asse delle z dell iperbole a 2 y 2 c 2 z 2 = 1 del piano yz.

34 Iperboloide a due falde Ottenuto ruotando un iperbole attorno all asse focale.

35 Un iperboloide a una falda contiene infinite rette e questo lo rende stabile e facile da costruire in ingegneria civile, ad es. come torre di raffreddamento in centrali nucleari.

36 Ad esempio: x 2 + y 2 z 2 = 1 x 2 z 2 = 1 y 2 (x z)(x + z) = (1 y)(1 + y). Pertanto l iperboloide contiene tutte le rette del tipo { x z = λ(1 y) al variare di λ 1 + y = λ(x + z) { x + z = λ(1 y) 1 + y = λ(x z) al variare di λ

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38 Trasmissione del moto tra assi sghembi

39 Coni Coniche. Definizione.. Un cono (quadrico) è una quadrica Q tale che esiste almeno un punto P Q (eventualmente all infinito) tale che le rette P. Q al variare di Q in Q sono tutte contenute in Q. C P α 2 x 2 + β 2 y 2 = z 2

40 Altri coni: Una quadrica Q è un cono se e solo se la matrice associata è degenere. Ad es: coppie di piani, eventualmente coincidenti. x = 1 O z = 0 O z = 0 equazione z 2 = 0 (primo caso), z(x + 1) = 0 (secondo caso).

41 Cilindri a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1 y = ax 2

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