Teoremi di Cauchy e De l Hôpital

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Teoremi di Cauchy e De l Hôpital"

Transcript

1 Teoremi di Cauchy e De l Hôpital 1.1 Teorema di Cauchy Siano f, g : [a, b] R due funioni tali che a f e g sono continue in [a,b]; b f e g sono derivabili in a,b con g x per ogni x a,b. Allora esiste x a,b tale che f x g x = fb fa gb ga. Dimostraione. Osserviamo che ga gb. Infatti, se fosse ga = gb, allora per il Teorema di Rolle esisterebbe x a,b tale che g x =, contro l ipotesi b. Consideriamo la funione h : [a,b] R definita da hx = [gb ga] [fb fa]. Si ha che h è continua in [a, b] perché composiione di funioni continue, h è derivabile in a,b perché composiione di funioni derivabili con x a,b : h x = [gb ga] [fb fa]g x. Inoltre si ha che ha = [gb ga]fa [fb fa]ga = fagb fbga, hb = [gb ga]fb [fb fa]gb = fagb fbga. Per il Teorema di Rolle applicato ad h esiste x a,b tale che h x =, cioè [gb ga]f x [fb fa]g x = = f x g x = fb fa gb ga. 1

2 Teoremi di Cauchy e De l Hôpital 1. Teorema di De l Hôpital nella forma [/] Siano A R un intervallo, f,g : A R due funioni e x R {± } un punto di accumulaione per A. Supponiamo che a x x = x x = ; b esista un intorno Ix di x tale che f e g siano derivabili in ogni x A Ix, x x, e che per tali x si abbia g x ; c esista x x g x = l R {± }. Allora x x = l. Dimostraione. Consideriamo il caso x R e occupiamoci di dimostrare la proprietà per il ite destro. Siano f, g : A {x } R le funioni definite da = { se x x se x = x, = { se x x se x = x. Per l ipotesi a risulta che f e g sono continue in x. Inoltre per l ipotesi b sono derivabili in un tutto un intervallo y,x contenuto in A, contenente x, ad ecceione che nel punto x. Applicando il Teorema di Cauchy alle funioni f [x,x] e g [x,x] si ottiene che esiste t x,x tale che f t g t = fx gx, ossia, essendo = se x x, = se x x e fx = gx =, f t g t =. Ora se x x +, essendo x < t < x per il Teorema dei due Carabinieri risulta che t x +. Quindi per l ipotesi a si ha che = t x + f t g t = l. In modo del tutto analogo, ottenendo il medesimo risultato, si procede per il ite sinistro, da cui la tesi.

3 Teoremi di Cauchy e De l Hôpital 3 Evidentemente se x R è uno degli estremi dell intervallo A, allora abbiamo solamente una delle due situaioni precedenti. Consideriamo ora x = + analogamente se x =. Mediante la sostituione = 1 x si ricade nel caso precedente. Infatti, se = 1 x, allora x = 1. Quindi = f 1 e = g 1. Osserviamo che le derivate delle funioni f 1 e g 1 sono rispettivamente [ d 1 f = d ] 1 1 f, [ d 1 g = d ] 1 1 g. Quindi si ha che x + = = 1 x f 1 = + g 1 caso precedente + [ d d d d ] f 1 [ ] = g 1 f 1 + g 1 = x = 1 = x + g x = l. 1.3 Teorema di De l Hôpital nella forma [ / ] Siano A R un intervallo, f,g : A R due funioni e x R {± } un punto di accumulaione per A. Supponiamo che a x x = + o e x x + o ; b esista un intorno Ix di x tale che f e g siano derivabili in ogni x A Ix, x x, e che per tali x si abbia g x ; c esista x x g x = l R {± }. Allora x x = l. Dimostraione. Consideriamo il caso x R e occupiamoci di dimostrare la proprietà per il ite destro. Distinguiamo il caso + dal caso.

4 4 Teoremi di Cauchy e De l Hôpital I Consideriamo il caso in cui = +. Supponiamo iniialmente che g x = l R. Per definiione di ite, per ogni ε > esiste δ > tale che x,x + δ A e per ogni x x,x + δ si ha che l ε < g x < l + ε. Consideriamo x,y x,x + δ con x < y. Applicando il Teorema di Cauchy alle funioni f [x,y] e g [x,y] esiste t x,y tale che ossia fy gy = f t g t, fy = f t g [ gy]. t Dividendo per, che non è ero perché tende a + per x x +, si ha = f t g 1 gy t. Poiché g x e + per x x +, essendo x < x < y risulta che > gy >. Quindi 1 gy >. Essendo l ε < f t g t < l + ε Poiché si ha che l ε 1 gy < l < + ε fy = [ l ε 1 gy x x + [ l + ε x x + 1 gy gy =, 1 gy ] = l ε, ] = l + ε. si ottiene. Quindi a patto di considerare un δ più piccolo si ha che per ogni x A con x < x < x + δ l ε l + ε 1 gy 1 gy > l ε, < l + ε.

5 Teoremi di Cauchy e De l Hôpital 5 Quindi per ogni x A con x < x < x + δ si ha Ne segue che l ε < < l + ε. = l. In modo del tutto analogo, ottenendo il medesimo risultato, si procede per il ite sinistro, da cui la tesi. Supponiamo ora che x x + g x. = + in modo analogo si procede se il ite è Per definiione di ite, per ogni a R esiste δ > tale che per ogni x A con x < x < x + δ si ha che g x > a. Consideriamo x,y x,x + δ con x < y. Applicando il Teorema di Cauchy alle funioni f [x,y] e g [x,y] esiste t x,y tale che ossia fy gy = f t g t, fy = f t g [ gy]. t Dividendo per, che non è ero perché tende a + per x x +, si ha = f t g 1 gy t. Poiché g x e + per x x +, essendo x < x < y risulta che > gy. Quindi 1 gy >. Essendo f t g t > a si ottiene > a 1 gy. Poiché si ha che fy = [ a 1 gy x x + gy =, ] = a.

6 6 Teoremi di Cauchy e De l Hôpital Quindi a patto di considerare un δ più piccolo si ha che per ogni x A con x < x < x + δ a 1 gy > a. Quindi per ogni x A con x < x < x + δ si ha > a. Ne segue che da cui la tesi. = +, II Consideriamo il caso in cui =. Supponiamo iniialmente che x x + g x = l R. Per definiione di ite, per ogni ε > esiste δ > tale che per ogni x A con x < x < x + δ si ha che l ε < g x < l + ε. Consideriamo x,y x,x + δ con x < y. Applicando il Teorema di Cauchy alle funioni f [x,y] e g [x,y] esiste t x,y tale che ossia fy gy = f t g t, fy = f t g [ gy]. t Dividendo per, che non è ero perché tende a per x x +, si ha = f t g 1 gy t. Poiché g x e per x x +, essendo x < x < y risulta che < gy <. Quindi 1 gy come nel caso in cui +. >. A questo punto la dimostraione procede I casi x x + g = + si trattano in modo simile a questo e ci si riconduce x alle dimostraioni corrispondenti nel caso in cui +.

7 Teoremi di Cauchy e De l Hôpital 7 In modo del tutto analogo, ottenendo il medesimo risultato, si procede sia nel caso + che nel caso per il ite sinistro, da cui la tesi. Evidentemente se x R è uno degli estremi dell intervallo A, allora abbiamo solamente una delle due situaioni precedenti. Infine, i casi in cui x = + e x = si trattano come nel caso [/], ossia mediante la sostituione = 1 x si ricade nel caso precedente in cui x x+ o x x. 1.4 Osservaione Come si evince dalla dimostraione del Teorema di De l Hôpital nella forma [ / ] l ipotesi che la funione a numeratore f tenda a + o per x x non viene mai usata. Per questo motivo si può concludere che questo Teorema vale nella forma più generale [?/ ].

Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, de l Hôpital

Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, de l Hôpital Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, de l Hôpital Copyright c 2007 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Teoremi

Dettagli

Corso di Analisi Matematica

Corso di Analisi Matematica Corso di Laurea in Ingegneria Edile Corso di TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Lucio Demeio Dipartimento di Ingegneria Industriale e delle Scienze Matematiche Teorema di Estremi locali Richiamiamo la

Dettagli

DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR.

DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR. DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE 1. Definizioni. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR. DEFINIZIONE 1. Sia x 0 un elemento di I. Per ogni x (I \ {x 0 }) consideriamo

Dettagli

Limiti e continuità. Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti

Limiti e continuità. Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti Limiti e continuità Teorema di unicità del ite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei iti 2 2006 Politecnico di Torino 1 Se f(x) =` ` è unico Per assurdo, siano ` 6= `0 con f(x)

Dettagli

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x. Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita

I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita Appunti per il corso di Analisi Matematica 4 G. Mauceri Indice 1 Il teorema della funzione inversa 1 Il teorema della funzione implicita 3 1

Dettagli

Forme indeterminate e limiti notevoli

Forme indeterminate e limiti notevoli Forme indeterminate e iti notevoli Limiti e continuità Forme indeterminate e iti notevoli Forme indeterminate Teorema di sostituzione Limiti notevoli Altre forme indeterminate 2 2006 Politecnico di Torino

Dettagli

LIMITI. 1. Definizione di limite.

LIMITI. 1. Definizione di limite. LIMITI 1. Definizione di limite. Sia A un sottoinsieme di IR; se il numero reale x 0 è di accumulazione per A in ogni intorno di x 0 si trovano elementi di A distinti da x 0. Allora ha senso chiedersi

Dettagli

Criterio di Monotonia

Criterio di Monotonia Criterio di Monotonia Criterio di monotonia: se f è una funzione derivabile in (a,b), si ha: f (x) 0 x (a,b) f è debolmente crescente in (a,b) f (x) 0 x (a,b) f è debolmente decrescente in (a,b) Nota:

Dettagli

Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg

Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg è uno dei fondamenti della meccanica quantistica, e stabilisce che non è possibile ottenere nello stesso tempo

Dettagli

DIFFERENZIAZIONE. Sia f una funzione reale di variabile reale con dominio un intervallo. Se f è derivabile in un punto x 0, allora: f(x) f(x 0 ) lim

DIFFERENZIAZIONE. Sia f una funzione reale di variabile reale con dominio un intervallo. Se f è derivabile in un punto x 0, allora: f(x) f(x 0 ) lim DIFFERENZIAZIONE 1 Regola della catena Sia f una funzione reale di variabile reale con dominio un intervallo. Se f è derivabile in un punto x 0, allora: f(x) f(x 0 ) lim = f (x 0 ). x x 0 x x 0 Questa

Dettagli

LIMITI - ESERCIZI SVOLTI

LIMITI - ESERCIZI SVOLTI LIMITI - ESERCIZI SVOLTI ) Verificare mediante la definizione di ite che a) 3 5) = b) = + ) c) 3n n + n+ = + d) 3+ = 3. ) Calcolare utilizzando i teoremi sull algebra dei iti a) 3 + ) b) + c) 0 + d) ±

Dettagli

IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero

IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero Il teorema degli zeri è fondamentale per determinare se una funzione continua in un intervallo chiuso [ a ; b ] si annulla in almeno un punto interno

Dettagli

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 18/03/2013

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 18/03/2013 CORSO DI ANALISI MATEMATICA SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 8/03/03 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO. La continuità uniforme I ESERCIZIO: Dimostrare che la funzione f(x) = x 3, x A = (, ] non è uniformemente continua

Dettagli

COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI

COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI 1. Successioni di Cauchy e spazi metrici completi Definizione 1.1. Una successione x n n N a valori in uno spazio metrico X, d si dice di Cauchy se, per ogni ε > 0 esiste

Dettagli

Alcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità

Alcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità Alcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità Teorema 0. Una funzione f(x) è continua in x 0 se e solo se per ogni sucessione {x n } dom(f) con x n x 0 dom(f), risulta f(x n ) f(x 0 ). (Non

Dettagli

Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.4, 3.9. Esercizi 3.4, 3.9.

Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.4, 3.9. Esercizi 3.4, 3.9. Appunti sul corso di Complementi di Matematica - mod Analisi prof. B.Baccelli 200/ 07 - Funzioni vettoriali, derivata della funzione composta, formula di Taylor. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale

Dettagli

Massimi e minimi : TEOREMI. Condizione necessaria del I ordine. Conseguenza del Teorema di Lagrange.

Massimi e minimi : TEOREMI. Condizione necessaria del I ordine. Conseguenza del Teorema di Lagrange. Massimi e minimi : TEOREMI Condizione necessaria del I ordine Teorema di Weierstrass Teorema di Rolle Teorema di Lagrange Conseguenza del Teorema di Lagrange. Data f: A R, f derivabile in x 0 A. Def.:

Dettagli

10 - Applicazioni del calcolo differenziale

10 - Applicazioni del calcolo differenziale Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviuppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 10 - Applicazioni del calcolo differenziale Anno Accademico 2015/2016

Dettagli

Esercitazioni di Matematica

Esercitazioni di Matematica Università degli Studi di Udine Anno Accademico 009/00 Facoltà di Agraria Corsi di Laurea in VIT e STAL Esercitazioni di Matematica novembre 009 Trovare le soluzioni della seguente disequazione: x + +

Dettagli

Funzioni derivabili (V. Casarino)

Funzioni derivabili (V. Casarino) Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

(a) Le derivate parziali f x. f y = x2 + 2xy + 3 si annullano contemporaneamente in (1, 2) e ( 1, 2). Le derivate seconde di f valgono.

(a) Le derivate parziali f x. f y = x2 + 2xy + 3 si annullano contemporaneamente in (1, 2) e ( 1, 2). Le derivate seconde di f valgono. Esercizio 1 Si consideri la funzione f(x, y) = x 2 y + xy 2 + y (a) Determinare i punti di massimo e minimo relativo e di sella del grafico di f. (b) Determinare i punti di massimo e minimo assoluto di

Dettagli

Funzioni implicite - Esercizi svolti

Funzioni implicite - Esercizi svolti Funzioni implicite - Esercizi svolti Esercizio. È data la funzione di due variabili F (x, y) = y(e y + x) log x. Verificare che esiste un intorno I in R del punto di ascissa x 0 = sul quale è definita

Dettagli

Funzioni di più variabli: dominio, limiti, continuità

Funzioni di più variabli: dominio, limiti, continuità Funzioni di più variabli: dominio, limiti, continuità Riccarda Rossi Università di Brescia Analisi Matematica B Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 1 /

Dettagli

Le derivate parziali

Le derivate parziali Sia f(x, y) una funzione definita in un insieme aperto A R 2 e sia P 0 = x 0, y 0 un punto di A. Essendo A un aperto, esiste un intorno I(P 0, δ) A. Preso un punto P(x, y) I(P 0, δ), P P 0, possiamo definire

Dettagli

Esercizi sulle equazioni differenziali a cura di Sisto Baldo, Elisabetta Ossanna e Sandro Innocenti

Esercizi sulle equazioni differenziali a cura di Sisto Baldo, Elisabetta Ossanna e Sandro Innocenti Esercizi sulle equazioni differenziali a cura di Sisto Baldo, Elisabetta Ossanna e Sandro Innocenti 1. Verifica che y(t) = 1 t + e t è una soluzione dell equazione y (t) = y(t) + t.. Scrivi un equazione

Dettagli

Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it

Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@poi.it Primi teoremi di caclolo differenziale Ottobre 2010. Indice 1 Funzioni derivabili su un intervallo 1 1.1

Dettagli

Derivate. Rette per uno e per due punti. Rette per uno e per due punti

Derivate. Rette per uno e per due punti. Rette per uno e per due punti Introduzione Rette per uno e per due punti Rette per uno e per due punti Rette secanti e tangenti Derivata d una funzione in un punto successive Derivabilità a destra e a sinistra Rette per uno e per due

Dettagli

Funzioni derivabili in un intervallo

Funzioni derivabili in un intervallo Funzioni derivabili in un intervallo Studiamo le proprietà delle funzioni derivabili in un intero intervallo, tramite due teoremi fondamentali e le conseguenze che portano. Teorema (di Rolle). Sia f continua

Dettagli

Teorema delle Funzioni Implicite

Teorema delle Funzioni Implicite Teorema delle Funzioni Implicite Sia F una funzione di due variabili definita in un opportuno dominio D di R 2. Consideriamo l equazione F (x, y) = 0, questa avrà come soluzioni coppie di valori (x, y)

Dettagli

Derivazione. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Derivazione. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Derivazione Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

Lezione 5 (9/10/2014)

Lezione 5 (9/10/2014) Lezione 5 (9/10/2014) Esercizi svolti a lezione Nota 1. La derivata di una funzione. Consideriamo una funzione f(x) : R R e definiamo il rapporto incrementale nel punto x 0 come r(h) = f(x 0 +h) f(x 0

Dettagli

ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA DIP. DI ECONOMIA E MANAGEMENT DI FERRARA A.A. 2016/2017. Ottimizzazione libera

ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA DIP. DI ECONOMIA E MANAGEMENT DI FERRARA A.A. 2016/2017. Ottimizzazione libera ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA DIP. DI ECONOMIA E MANAGEMENT DI FERRARA A.A. 2016/2017 Ottimizzazione libera Esercizio 1. Si determinino, se esistono, gli estremi delle seguenti funzioni

Dettagli

1 prof. Claudio Saccon, Dipartimento di Matematica Applicata, () December 30, / 26

1 prof. Claudio Saccon, Dipartimento di Matematica Applicata, () December 30, / 26 ANALISI 1 1 UNDICESIMA LEZIONE DODICESIMA LEZIONE TREDICESIMA LEZIONE Derivata - definizione e teoremi di calcolo delle derivate Massimi e minimi relativi e teorema di Fermat Teorema di Lagrange Monotonia

Dettagli

Successioni di funzioni: esercizi svolti

Successioni di funzioni: esercizi svolti Successioni di funzioni: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore Esercizio 1 Determinare il limite puntuale delle seguenti successioni di

Dettagli

Il teorema di Schwarz

Il teorema di Schwarz Il teorema di Schwarz 1. Quante sono le derivate parziali seconde, terze,...? Il procedimento di derivazione parziali applicato ad una funzione f(x, y) di due variabili raddoppia il numero di derivate

Dettagli

tele limite è unico. Ciò significa che se non può accadere che una funzione abbia limiti diversi per x. Se per assurdo si avesse che lim f ( x)

tele limite è unico. Ciò significa che se non può accadere che una funzione abbia limiti diversi per x. Se per assurdo si avesse che lim f ( x) Calcolo dei iti (C. DIMAURO) Per il calcolo dei iti ci serviamo di alcuni teoremi. Tali teoremi visti nel caso in cui, valgono anche quando Teorema dell unicità del ite: se una funzione ammette ite per

Dettagli

Derivazione Numerica

Derivazione Numerica Derivazione Numerica I metodi alle differenze finite sono basati sull approssimazione numerica di derivate parziali. Per questo consideriamo come problema iniziale quello di approssimare le derivate di

Dettagli

vuol dire che preso M > 0 sufficientemente grande, esiste δ = δ(m) > 0 tale per cui x 1 > M lim

vuol dire che preso M > 0 sufficientemente grande, esiste δ = δ(m) > 0 tale per cui x 1 > M lim AMA Ing.Edile - Prof. Colombo Esercitazioni: Francesco Di Plinio - francesco.diplinio@libero.it Limiti - Soluzioni. Esercizio 5.2. ii) Dire che x 5 x + x = +, vuol dire che preso M > 0 sufficientemente

Dettagli

25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE

25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE 25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x

Dettagli

Dispense del corso di Algebra 1. Soluzioni di alcuni esercizi

Dispense del corso di Algebra 1. Soluzioni di alcuni esercizi Dispense del corso di Algebra 1 Soluzioni di alcuni esercizi Esercizio 1.1. 1) Vero; ) Falso; 3) V; 4) F; 5) F; 6) F (infatti: {x x Z,x < 1} {0}); 7) V. Esercizio 1.3. Se A B, allora ogni sottoinsieme

Dettagli

NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE

NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE ROBERTO GIAMBÒ 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ In queste note saranno presentate alcune proprietà principali delle funzioni convesse di una variabile

Dettagli

Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 76-93

Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 76-93 Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 76-93 5. Funzioni continue Soluzione dell Esercizio 76. Osserviamo che possiamo scrivere p() = n (a n + u()) e q() = m (b m + v()) con lim

Dettagli

Esercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione

Esercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione Esercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione A.M. Bigatti e G. Tamone Esercizi Studio di funzione Esercizio 1. Disegnare il grafico di una funzione continua f che soddisfi tutte le seguenti

Dettagli

06 - Continuitá e discontinuitá

06 - Continuitá e discontinuitá Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 06 - Continuitá e discontinuitá Anno Accademico 2013/2014 D. Provenzano

Dettagli

Complementi di Analisi Matematica Ia. Carlo Bardaro

Complementi di Analisi Matematica Ia. Carlo Bardaro Complementi di Analisi Matematica Ia Carlo Bardaro Capitolo 1 Elementi di topologia della retta reale 1.1 Intorni, punti di accumulazione e insiemi chiusi Sia x 0 IR un fissato punto di IR. Chiameremo

Dettagli

R. Capone Analisi Matematica Limiti di una funzione reale di variabile reale ESERCIZI SUI LIMITI DI FUNZIONE ( )

R. Capone Analisi Matematica Limiti di una funzione reale di variabile reale ESERCIZI SUI LIMITI DI FUNZIONE ( ) Esercizio proposto N 1 Verificare che ESERCIZI SUI LIMITI DI FUNZIONE Si ricordi la definizione di ite finito in un punto: Pertanto, applicando la definizione al caso concreto, si ha: o, ciò che è lo stesso:

Dettagli

ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 www.matefilia.it ORDINAMENTO 7 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 Si calcoli il ite della funzione x cosx x sen x, quando x tende a. x cosx x x sen x = [F. I. ] x x cosx x (1 sen x x ) x cosx 1 sen x x =

Dettagli

TEORIA SULLE DERIVATE SECONDA. La condizione di continuità di una funzione è condizione necessaria ma non sufficiente per la sua derivabilità.

TEORIA SULLE DERIVATE SECONDA. La condizione di continuità di una funzione è condizione necessaria ma non sufficiente per la sua derivabilità. PROF.SSA MAIOLINO D. TEORIA SULLE DERIVATE SECONDA CONTINUITA DELLE FUNZIONI DERIVABILI Se una unzione y( è derivabile in un punto 0, allora è continua in 0. La condizione di continuità di una unzione

Dettagli

21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE

21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE 21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x

Dettagli

13 LIMITI DI FUNZIONI

13 LIMITI DI FUNZIONI 3 LIMITI DI FUNZIONI Estendiamo la nozione di ite a funzioni reali di variabile reale. Definizione caratterizzazione per successioni) Si ha fx) = L x 0, L R) se e solo se per ogni successione a n x 0 con

Dettagli

Il teorema di Stone Weierstrass

Il teorema di Stone Weierstrass APPENDICE B Il teorema di Stone Weierstrass Definizione B.1. Siano X un insieme non vuoto e A un sottospazio vettoriale dello spazio delle funzioni a valori reali (risp. complessi) su X. Si dice che A

Dettagli

8. Il teorema dei due carabinieri

8. Il teorema dei due carabinieri 8. Il teorema dei due carabinieri Teorema del confronto (o dei due carabinieri) Consideriamo due funzioni f( ), g( ) per le quali risulti, in un punto di accumulazione per i loro domini : f ( ) g( ) Se

Dettagli

Esame di Matematica Generale 7 Febbraio Soluzione Traccia E

Esame di Matematica Generale 7 Febbraio Soluzione Traccia E Esame di Matematica Generale 7 Febbraio 013 - Soluzione Traccia E ESERCIZIO 1. Si consideri la funzione f : R R f(x) = x + 1 x. (a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie (3 punti). Dominio.

Dettagli

QUESITI DI ANALISI Derivate versione senza graci

QUESITI DI ANALISI Derivate versione senza graci QUESITI DI ANALISI Derivate versione senza graci Dai la denizione di derivata di una funzione f(x) in un punto x 0, illustra il suo signicato geometrico e serviti di tale denizione per dimostrare che f

Dettagli

Esercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x

Esercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x Esercitazione n 6 1 Massimi e minimi di funzioni di più variabili Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (a)f(x, y) = x 3 + y 3 + xy (b)f(x, y) = 4y 4 16x

Dettagli

ORDINAMENTO 2001 QUESITO 1 QUESITO 2

ORDINAMENTO 2001 QUESITO 1 QUESITO 2 www.matefilia.it ORDINAMENTO 2001 QUESITO 1 Indicata con f(x) una funzione reale di variabile reale, si sa che f(x) l per x a, essendo l ed a numeri reali. Dire se ciò è sufficiente per concludere che

Dettagli

3. Successioni di insiemi.

3. Successioni di insiemi. 3. Successioni di insiemi. Per evitare incongruenze supponiamo, in questo capitolo, che tutti gli insiemi considerati siano sottoinsiemi di un dato insieme S (l insieme ambiente ). Quando occorrerà considerare

Dettagli

Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti

Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio 1. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti

Dettagli

Calcolo integrale. Regole di integrazione

Calcolo integrale. Regole di integrazione Calcolo integrale Linearità dell integrale Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Integrazione di funzioni razionali 2 2006 Politecnico di Torino Proprietà Siano e funzioni integrabili su

Dettagli

Massimi e minimi relativi in R n

Massimi e minimi relativi in R n Massimi e minimi relativi in R n Si consideri una funzione f : A R, con A R n, e sia x A un punto interno ad A. Definizione: si dice che x è un punto di massimo relativo per f se B(x, r) A tale che f(y)

Dettagli

24 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE

24 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE 24 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y 2 domf con x 6= y, sidefinisceilrapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y) =

Dettagli

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a

Dettagli

Prova A dell esame di ANALISI MATEMATICA

Prova A dell esame di ANALISI MATEMATICA Prova A dell esame di ANALISI MATEMATICA Docente: Prof.sa P. Cavaliere 7 giugno 2013 ISTRUZIONI Svolgere i seguenti esercii attenendosi alle domande in essi formulate e MOTIVANDO LE RISPOSTE IN MODO CHIARO

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Foglio di esercizi n. 2 a.a Soluzioni

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Foglio di esercizi n. 2 a.a Soluzioni Corso di Laurea in Matematica Geometria 2 Foglio di esercizi n. 2 a.a. 2015-16 Soluzioni Gli esercizi sono presi dal libro di Manetti. Per svolgere questi esercizi, studiare con cura i paragrafi 3.5, 3.6,

Dettagli

Appunti sul corso di Complementi di Matematica mod. Analisi prof. B.Bacchelli - a.a. 2010/2011.

Appunti sul corso di Complementi di Matematica mod. Analisi prof. B.Bacchelli - a.a. 2010/2011. Appunti sul corso di Complementi di Matematica mod. Analisi prof. B.Baccelli - a.a. 2010/2011. 06 - Derivate, differenziabilità, piano tangente, derivate di ordine superiore. Riferimenti: R.Adams, Calcolo

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

LIMITI DI FUNZIONI. arbitrariamente vicino a L, scegliendo x sufficientemente vicino a x 0, con x x 0.

LIMITI DI FUNZIONI. arbitrariamente vicino a L, scegliendo x sufficientemente vicino a x 0, con x x 0. 55. Limiti al finito (ossia per ) LIMITI DI FUNZIONI Limite finito per f ( ) L R Il ite di f () per tendente a è L se è possibile rendere il valore di f () vicino a L, scegliendo sufficientemente vicino

Dettagli

TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I

TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea quadriennale) in Fisica a.a. 003/04 Prova scritta del 3 aprile 003 ] Siano a, c parametri reali. Studiare l esistenza e, in caso affermativo, calcolare

Dettagli

ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI

ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI Risolvere le seguenti disequazioni: ( 1 ) x < x + 1 1) 4x + 4 x ) x + 1 > x 4x x 10 ) x 4 x 5 4x + > ; 4) ; 5) 0; ) x 1 x + 1 x

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 41 1 Derivata

Dettagli

Corso di Geometria e Algebra Lineare - Sezione di Metodi Numerici

Corso di Geometria e Algebra Lineare - Sezione di Metodi Numerici Corso di Geometria e Algebra Lineare - Sezione di Metodi Numerici C. Vergara 2. Determinazione numerica degli zeri di una funzione Si consideri il seguente problema: Data f : [a, b] R, determinare i valori

Dettagli

Massimo limite e minimo limite di una funzione

Massimo limite e minimo limite di una funzione Massimo limite e minimo limite di una funzione Sia f : A R una funzione, e sia p DA). Per ogni r > 0, l insieme ) E f p r) = { fx) x A I r p) \ {p} } è non vuoto; inoltre E f p r ) E f p r ) se 0 < r r.

Dettagli

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se

Dettagli

MATEMATICA. a.a. 2014/15

MATEMATICA. a.a. 2014/15 MATEMATICA a.a. 2014/15 3. DERIVATE E STUDIO DI FUNZIONE (II parte): Massimi, minimi e derivata prima. Flessi e derivata seconda. Schema per lo studio qualitativo completo di una funzione y=f(x) Crescenza

Dettagli

ESERCIZI SUI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME

ESERCIZI SUI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME ESERCIZI SUI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME a cura di Michele Scaglia FUNZIONI DERIVABILI Sia f : domf R una funzione e sia 0 domf di accumulazione per domf Chiamiamo derivata prima di

Dettagli

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se

Dettagli

Equazioni algebriche di terzo grado: ricerca delle soluzioni

Equazioni algebriche di terzo grado: ricerca delle soluzioni Equazioni algebriche di terzo grado: ricerca delle soluzioni 1 Caso particolare: x 3 + px + q = 0....................... Caso generale: x 3 + bx + cx + d = 0..................... 4 3 Esercizi.....................................

Dettagli

Insiemi numerici. Definizioni

Insiemi numerici. Definizioni 1 Insiemi numerici Gli insiemi numerici sono insiemi i cui elementi sono numeri, cioè appartengono all'insieme N dei naturali, degli interi Z, dei razionali Q, dei reali R o dei complessi C ( es.: A =

Dettagli

Prefazione LUCIANO ROMANO

Prefazione LUCIANO ROMANO 3 Prefazione Il testo, rivolto agli studenti universitari che si apprestano ad affrontare l esame di Analisi Matematica, propone un iniziale parte teorica e suggerimenti sulla risoluzione della vasta gamma

Dettagli

Argomento 6 Derivate

Argomento 6 Derivate Argomento 6 Derivate Derivata in un punto Definizione 6. Data una funzione f definita su un intervallo I e 0 incrementale di f in 0 di incremento h = 0 = il rapporto I, si chiama rapporto per = 0 + h =

Dettagli

ESERCIZIO SVOLTO N 1 ESERCIZIO SVOLTO N 2. Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione

ESERCIZIO SVOLTO N 1 ESERCIZIO SVOLTO N 2. Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione ESERCIZIO SVOLTO N 1 Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione f(x, y) = y 2 x 2 Trovare gli eventuali punti stazionari e gli estremi di f Il dominio della funzione è dato da dom

Dettagli

Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - 10/07/09. C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni

Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - 10/07/09. C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - /7/9 C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Proff. K. Payne, C. Tarsi, M. Calanchi Esercizio. a La funzione f è limitata e essendo lim fx

Dettagli

Primitive e Integrali Indefiniti

Primitive e Integrali Indefiniti Capitolo 0 Primitive e Integrali Indefiniti In questo capitolo ci proponiamo di esporre la teoria delle funzioni primitive per funzioni reali di una variabile reale e di dare cenni ai metodi utilizzati

Dettagli

Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica

Dettagli

Equazione di Laplace

Equazione di Laplace Equazione di Laplace. La funzione di Green Sia, indicati con x e y due punti di R 3 E(x, y) = x y Consideriamo la rappresentazione integrale di u(x) C 2 (), anche rinunciando all ipotesi che sia armonica

Dettagli

Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 2009/2010

Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 2009/2010 Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica AS 009/010 Nicola Gigli Sun-Ra Mosconi giugno 010 Quesito 1 Un generico polinomio di grado n si può scrivere nella forma p(x) a 0 + a 1 x + + a n x n dove

Dettagli

ORDINAMENTO 2011 QUESITO 1

ORDINAMENTO 2011 QUESITO 1 www.matefilia.it ORDINAMENTO 0 QUESITO Consideriamo la sezione della sfera e del cilindro con un piano passante per l asse del cilindro: Indicando con x il diametro di base del cilindro, con y la sua altezza

Dettagli

FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI 1) Verificare che x è continua in x 0 per ogni x 0 0 ) Verificare che 1 x 1 x 0 è continua in x 0 per ogni x 0 0 3) Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità

Dettagli

(x x 0 ) 2. Lezione del 24 ottobre

(x x 0 ) 2. Lezione del 24 ottobre Lezione del 4 ottobre 1. Premessa I fatti descritti nei punti seguenti si possono vedere come molto lontani sviluppi di alcuni fatti elementari riguardanti le funzioni polinomiali di II grado. Diamo per

Dettagli

Istituzioni di Matematica I

Istituzioni di Matematica I Istituzioni di Matematica I Le soluzioni proposte costituiscono solo una traccia di possibili soluzioni (lo studente deve giustificare i vari risultati), possono esserci altri modi, altrettanto corretti,

Dettagli

Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 2007/2008

Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 2007/2008 Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 007/008 Nicola Gigli Sun-Ra Mosconi 19 giugno 008 1. La proposizione è falsa. Per trovare un controesempio ad essa, si consideri un qualunque piano

Dettagli

INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI LIMITI prof. Danilo Saccoccioni

INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI LIMITI prof. Danilo Saccoccioni INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI LIMITI prof. Danilo Saccoccioni L'analisi matematica classica prende le mosse dalla nozione di ite. Inizialmente la presentazione sarà del tutto informale e qualitativa, poi

Dettagli

Calcolo Differenziale. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p.

Calcolo Differenziale. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. Calcolo Differenziale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 1/33 Velocità istantanea Percorriamo il tratto di strada tra Udine

Dettagli

Esercizi sulle Funzioni

Esercizi sulle Funzioni AM0 - A.A. 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sulle Funzioni Esercizio svolto. Trovare i domini di definizione delle seguenti funzioni: a) f) sin + cos ; b) g) log ) ; c) h) sin + e sin. Soluzione. a) La

Dettagli

APPUNTI DI ANALISI I. 1. Limiti di funzioni reali

APPUNTI DI ANALISI I. 1. Limiti di funzioni reali APPUNTI DI ANALISI I ELEFANTE PAOLA MATR. 900025133 1. Limiti di funzioni reali 1.1. Denizioni preinari. Siano x 0 R, ρ > 0. L' intorno sferico di x 0 di raggio ρ é l'intervallo ]x 0 ρ, x 0 + ρ[ Inoltre

Dettagli

SPAZI METRICI COMPLETI

SPAZI METRICI COMPLETI Capitolo 1 SPAZI METRICI COMPLETI Sia dato uno spazio metrico (X, d). Definizione 1.1 Una successione {x n } si dice successione di Cauchy se ε > 0 n 0 n, m n 0 = d(x n x m ) < ε (1.1) Esercizio 1.1 Dimostrare

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE. Z x. ln t ln t 2 2 dt. f(x) =

STUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE. Z x. ln t ln t 2 2 dt. f(x) = STUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE Studiamo la funzione f di una variabile reale, a valori in R, definitada. Il dominio di f. f() = Z Denotiamo con g la funzione integranda. Allora g(t) = numeri reali tali

Dettagli

LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA I. Equazioni Differenziali Ordinarie. Sergio Lancelotti

LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA I. Equazioni Differenziali Ordinarie. Sergio Lancelotti LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA I Equazioni Differenziali Ordinarie Sergio Lancelotti Anno Accademico 2006-2007 2 Equazioni differenziali ordinarie 1 Equazioni differenziali ordinarie di ordine n.................

Dettagli

Sviluppi e derivate delle funzioni elementari

Sviluppi e derivate delle funzioni elementari Sviluppi e derivate delle funzioni elementari In queste pagine dimostriamo gli sviluppi del prim ordine e le formule di derivazioni delle principali funzioni elementari. Utilizzeremo le uguaglianze lim

Dettagli