Teoremi di Cauchy e De l Hôpital
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- Valentino Papi
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1 Teoremi di Cauchy e De l Hôpital 1.1 Teorema di Cauchy Siano f, g : [a, b] R due funioni tali che a f e g sono continue in [a,b]; b f e g sono derivabili in a,b con g x per ogni x a,b. Allora esiste x a,b tale che f x g x = fb fa gb ga. Dimostraione. Osserviamo che ga gb. Infatti, se fosse ga = gb, allora per il Teorema di Rolle esisterebbe x a,b tale che g x =, contro l ipotesi b. Consideriamo la funione h : [a,b] R definita da hx = [gb ga] [fb fa]. Si ha che h è continua in [a, b] perché composiione di funioni continue, h è derivabile in a,b perché composiione di funioni derivabili con x a,b : h x = [gb ga] [fb fa]g x. Inoltre si ha che ha = [gb ga]fa [fb fa]ga = fagb fbga, hb = [gb ga]fb [fb fa]gb = fagb fbga. Per il Teorema di Rolle applicato ad h esiste x a,b tale che h x =, cioè [gb ga]f x [fb fa]g x = = f x g x = fb fa gb ga. 1
2 Teoremi di Cauchy e De l Hôpital 1. Teorema di De l Hôpital nella forma [/] Siano A R un intervallo, f,g : A R due funioni e x R {± } un punto di accumulaione per A. Supponiamo che a x x = x x = ; b esista un intorno Ix di x tale che f e g siano derivabili in ogni x A Ix, x x, e che per tali x si abbia g x ; c esista x x g x = l R {± }. Allora x x = l. Dimostraione. Consideriamo il caso x R e occupiamoci di dimostrare la proprietà per il ite destro. Siano f, g : A {x } R le funioni definite da = { se x x se x = x, = { se x x se x = x. Per l ipotesi a risulta che f e g sono continue in x. Inoltre per l ipotesi b sono derivabili in un tutto un intervallo y,x contenuto in A, contenente x, ad ecceione che nel punto x. Applicando il Teorema di Cauchy alle funioni f [x,x] e g [x,x] si ottiene che esiste t x,x tale che f t g t = fx gx, ossia, essendo = se x x, = se x x e fx = gx =, f t g t =. Ora se x x +, essendo x < t < x per il Teorema dei due Carabinieri risulta che t x +. Quindi per l ipotesi a si ha che = t x + f t g t = l. In modo del tutto analogo, ottenendo il medesimo risultato, si procede per il ite sinistro, da cui la tesi.
3 Teoremi di Cauchy e De l Hôpital 3 Evidentemente se x R è uno degli estremi dell intervallo A, allora abbiamo solamente una delle due situaioni precedenti. Consideriamo ora x = + analogamente se x =. Mediante la sostituione = 1 x si ricade nel caso precedente. Infatti, se = 1 x, allora x = 1. Quindi = f 1 e = g 1. Osserviamo che le derivate delle funioni f 1 e g 1 sono rispettivamente [ d 1 f = d ] 1 1 f, [ d 1 g = d ] 1 1 g. Quindi si ha che x + = = 1 x f 1 = + g 1 caso precedente + [ d d d d ] f 1 [ ] = g 1 f 1 + g 1 = x = 1 = x + g x = l. 1.3 Teorema di De l Hôpital nella forma [ / ] Siano A R un intervallo, f,g : A R due funioni e x R {± } un punto di accumulaione per A. Supponiamo che a x x = + o e x x + o ; b esista un intorno Ix di x tale che f e g siano derivabili in ogni x A Ix, x x, e che per tali x si abbia g x ; c esista x x g x = l R {± }. Allora x x = l. Dimostraione. Consideriamo il caso x R e occupiamoci di dimostrare la proprietà per il ite destro. Distinguiamo il caso + dal caso.
4 4 Teoremi di Cauchy e De l Hôpital I Consideriamo il caso in cui = +. Supponiamo iniialmente che g x = l R. Per definiione di ite, per ogni ε > esiste δ > tale che x,x + δ A e per ogni x x,x + δ si ha che l ε < g x < l + ε. Consideriamo x,y x,x + δ con x < y. Applicando il Teorema di Cauchy alle funioni f [x,y] e g [x,y] esiste t x,y tale che ossia fy gy = f t g t, fy = f t g [ gy]. t Dividendo per, che non è ero perché tende a + per x x +, si ha = f t g 1 gy t. Poiché g x e + per x x +, essendo x < x < y risulta che > gy >. Quindi 1 gy >. Essendo l ε < f t g t < l + ε Poiché si ha che l ε 1 gy < l < + ε fy = [ l ε 1 gy x x + [ l + ε x x + 1 gy gy =, 1 gy ] = l ε, ] = l + ε. si ottiene. Quindi a patto di considerare un δ più piccolo si ha che per ogni x A con x < x < x + δ l ε l + ε 1 gy 1 gy > l ε, < l + ε.
5 Teoremi di Cauchy e De l Hôpital 5 Quindi per ogni x A con x < x < x + δ si ha Ne segue che l ε < < l + ε. = l. In modo del tutto analogo, ottenendo il medesimo risultato, si procede per il ite sinistro, da cui la tesi. Supponiamo ora che x x + g x. = + in modo analogo si procede se il ite è Per definiione di ite, per ogni a R esiste δ > tale che per ogni x A con x < x < x + δ si ha che g x > a. Consideriamo x,y x,x + δ con x < y. Applicando il Teorema di Cauchy alle funioni f [x,y] e g [x,y] esiste t x,y tale che ossia fy gy = f t g t, fy = f t g [ gy]. t Dividendo per, che non è ero perché tende a + per x x +, si ha = f t g 1 gy t. Poiché g x e + per x x +, essendo x < x < y risulta che > gy. Quindi 1 gy >. Essendo f t g t > a si ottiene > a 1 gy. Poiché si ha che fy = [ a 1 gy x x + gy =, ] = a.
6 6 Teoremi di Cauchy e De l Hôpital Quindi a patto di considerare un δ più piccolo si ha che per ogni x A con x < x < x + δ a 1 gy > a. Quindi per ogni x A con x < x < x + δ si ha > a. Ne segue che da cui la tesi. = +, II Consideriamo il caso in cui =. Supponiamo iniialmente che x x + g x = l R. Per definiione di ite, per ogni ε > esiste δ > tale che per ogni x A con x < x < x + δ si ha che l ε < g x < l + ε. Consideriamo x,y x,x + δ con x < y. Applicando il Teorema di Cauchy alle funioni f [x,y] e g [x,y] esiste t x,y tale che ossia fy gy = f t g t, fy = f t g [ gy]. t Dividendo per, che non è ero perché tende a per x x +, si ha = f t g 1 gy t. Poiché g x e per x x +, essendo x < x < y risulta che < gy <. Quindi 1 gy come nel caso in cui +. >. A questo punto la dimostraione procede I casi x x + g = + si trattano in modo simile a questo e ci si riconduce x alle dimostraioni corrispondenti nel caso in cui +.
7 Teoremi di Cauchy e De l Hôpital 7 In modo del tutto analogo, ottenendo il medesimo risultato, si procede sia nel caso + che nel caso per il ite sinistro, da cui la tesi. Evidentemente se x R è uno degli estremi dell intervallo A, allora abbiamo solamente una delle due situaioni precedenti. Infine, i casi in cui x = + e x = si trattano come nel caso [/], ossia mediante la sostituione = 1 x si ricade nel caso precedente in cui x x+ o x x. 1.4 Osservaione Come si evince dalla dimostraione del Teorema di De l Hôpital nella forma [ / ] l ipotesi che la funione a numeratore f tenda a + o per x x non viene mai usata. Per questo motivo si può concludere che questo Teorema vale nella forma più generale [?/ ].
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