CALCOLO NUMERICO. Prof. Di Capua Giuseppe. Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 1

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1 CALCOLO NUMERICO Prof. Di Capua Giuseppe Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 1

2 INTRODUZIONE Quando algoritmi algebrici non determinano la soluzione di un problema o il loro «costo» è molto alto, allora si usano algoritmi di approssimazione che vanno sotto il nome di Algoritmi di Calcolo Numerico Si usano quando: Non esistono algoritmi esatti Gli algoritmi esatti non sono efficienti avendo un costo computazionale in termini di tempo e memoria alto Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 2

3 INTRODUZIONE Le tecniche usate da questi algoritmi sono: Tecniche di discretizzazione (quando il problema ha un dominio continuo ma si studiano solo alcuni valori di tale dominio ovvero si passa ad un dominio discreto) Tecniche di approssimazione successive (ovvero si arriva ad approssimare il risultato attraverso iterazioni successive) Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 3

4 ALGORITMO DELLA RADICE QUADRATA Obiettivo: Calcolare la radice quadrata di un numero positivo n. Input: Numero n Si calcola un primo valore x 0 =n/2 Si calcola un secondo valore x 1 =1/2*(x 0 +n/x 0 ) E si prosegue iterando il procedimento per k-volte Output: il valore x k Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 4

5 ALGORITMO DELLA RADICE QUADRATA Si utilizza una variabile rad_prec per indicare la radice precedente ovvero x 0 all inizio Si itera per 10 volte con un ciclo Ad ogni iterazione si calcola la radice (variabile rad) Si fa diventare la radice calcolata il valore precedente per la nuova iterazione. Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 5

6 NUMERI PSEUDOCASUALI I computer lavora con algoritmi che sono per loro natura DETERMINISTICI (regole rigide, precise, stesso input produce sempre lo stesso output) Non è possibile ottenere numeri realmente casuali. Il computer genera numeri detti PSEUDOCASUALI ovvero numeri, ottenuti da algoritmi deterministici, che sembrano casuali ma non lo sono Gli algoritmi che generano numeri pseudocasuali hanno la caratteristica che dopo aver generato una certa quantità di numeri, questi incominciano a ripetersi. La quantità di numeri prima della ripetizione è detta PERIODO DELLA SEQUENZA La bontà di un algoritmo dipende dalla lunghezza di questo periodo. Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 6

7 NUMERI PSEUDOCASUALI I numeri pseudocasuali sono generati a partire da un primo numero iniziale detto SEME Se usiamo due volte lo stesso seme otterremmo la stessa sequenza di numeri pseudocasuali Il linguaggio C++ mette a disposizione 2 librerie. SRAND(Num) genera un seme a partire dal numero Num RAND() crea un numero pseudocasuale Le due librerie richiedono l include di stdlib.h Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 7

8 ALGORITMO GENERAZIONE DI UN NUMERO PSEUDOCASUALE Si prende in input un numero per il seme Si genera il seme (SRAND) a partire dal numero Si genera il numero Pseudocasuale (RAND) Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 8

9 ALGORITMO GENERAZIONE DI PIU NUMERI PSEUDOCASUALE Si prende in input un numero per il seme Si prendi in input quanti numeri si vogliono generare Si genera il seme (SRAND) a partire dal numero Si itera e si producono i numeri Pseudocasuali (RAND) Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 9

10 ALGORITMO GENERAZIONE DI PIU NUMERI PSEUDOCASUALE DA 1 a 90 Si prende in input un numero per il seme Si prendi in input quanti numeri si vogliono generare Si genera il seme (SRAND) a partire dal numero Si itera e si producono i numeri Pseudocasuali (RAND) Ogni numero si divide per 90, si prende il resto (da 0 a 89) e gli si aggiunge 1 per avere numeri da 1 a 90 Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 10

11 NUMERI PSEUDOCASUALI ALGORITMO LCG (Linear Congruential Generator) Questo algoritmo è il più utilizzato per la generazione di numeri pseudocasuali. Occorre un seme La sequenza è data dalla formula X n = (a*x n-1 +C)%m Xo è il seme a, c ed m sono numeri che hanno le seguenti caratteristiche: m> 0 m è una potenza di 2 0<a<m 0<c<m Seme < m c ed m sono primi tra loro a-1 è divisibile per tutti i fattori primi di m Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 11

12 NUMERI PSEUDOCASUALI ALGORITMO LCG (Linear Congruential Generator) Esempio: a= 5, c = 1, m = 16, X 0 =1 (seme) m= 16 indica che i numeri saranno compresi tra 0 e 15. Se si generano più di 16 numeri la sequenza si ripete. Per generare diversi numeri occorre iterare (ciclo for) fino ad un massimo di numeri che si vogliono generare. In genere si usa m = 2 31 Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 12

13 ALGORITMO LCG (numeri da 0 a 15) Si prende in input un numero per indicare quanti numeri si vogliono generare Si fissa a=5, seme = 1, c= 1 ed m=16 Si stampa il seme Si itera per calcolare l i-esimo numero e poi si assegna il numero calcolato al valore precedente Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 13

14 CALCOLO DEL π- Metodo di Montecarlo Si consideri una circonferenza di raggio 1 inscritta in un quadrato Si consideri il rapporto tra l area del cerchio e l area del quadrato Ac/Aq= πr 2 /(2 r) 2 = π/4 da cui ricaviamo π=4*ac/aq Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 14

15 CALCOLO DEL π- Metodo di Montecarlo Ora indichiamo con H la quantità di punti che sono nel cerchio e con N la quantità di punti che sono nel quadrato. Possiamo dire, con approssimazione, che: π=4*h/n Ora quanti più punti H consideriamo (interni al cerchi) e quanti più punti totali N consideriamo tanto più questo rapporto si approssima al π Ogni punto ha due coordinate x e y. Si calcolano due numeri (x e y) pseudocasuale e si trasformano (attraverso una divisione) in un valore compreso tra 0 e 1 (All interno del quadrato) Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 15

16 CALCOLO DEL π- Metodo di Montecarlo Per ridurre un numero pseudocasuale ad un valore compreso tra 0 e 1 lo dividiamo con il massimo numero pseudocasuale che si possa avere. Tale numero è dato dalla variabile, in C++, RAND_MAX. Una volta definite le coordinate di un punto occorre verificare se si trova nel cerchio o meno L equazione del cerchio è X 2 +Y 2 =1 Sostituendo il nostro punto nell equazione, se X 2 +Y 2 <1 allora il punto è nel cerchio e quindi è uno degli H (si incrementa H) Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 16

17 CALCOLO DEL π- Metodo di Montecarlo Si imposta la variabile tanti ad un numero alto (quanti numeri generare) Si determina il seme a partire da 1 Si determina x e y due numeri pseudocasuali Si divide per RAND_MAX per portarlo da 0 a 1 Si verifica se il punto è all interno del cerchio in tal caso si incrementa la variabile dentro Fuori dal ciclo si esegue il calcolo per il pigreco Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 17

18 CALCOLO DEL NUMERO DI NEPERO e Il calcolo del numero si calcola, in modo approssimato, attraverso l espressione e = = 1! 2! 3! k=0 1/k! Dove n! è il fattoriale del numero n Occorre realizzare una funzione che prende in input un numero e restituisce il suo fattoriale. Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 18

19 CALCOLO DEL NUMERO DI NEPERO e Appunti di Informatica - Prof. Di Capua 19