Ottimizzazione nella gestione dei progetti Capitolo 5: programmazione multiperiodale modello di flusso CARLO MANNINO
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- Leonardo Franco
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1 Ottimizzzione nell gestione dei progetti Cpitolo 5: progrmmzione multiperiodle modello di flusso CARLO MANNINO Uniersità di Rom L Spienz Diprtimento di Informtic e Sistemistic
2 Richimi: -tglio in un grfo Dto un grfo orientto H=(W,A) due nodi specili, W Def. Tglio - (- tglio): prtizione dell insieme W in due insiemi Q e R con Q e R Def. Cpcità dell rco u A: rele non negtio c u Def. Cpcità del tglio - c(q, R): somm delle cpcità degli rchi uscenti d nodi in Q ed entrnti in nodi in R. c( Q, R) = = + u Q, R c u c u δ u ( Q)
3 Esempio di Tglio Q = {,, 7} R = {,,, 5, 6} c(q,r) = c + c + c 75 + c 7 = PROBLEMA del minimo tglio -: trore un - tglio (Q, R) di cpcità minim Equilente l prolem del mssimo flusso iniile d.
4 Grfo Multiperiodle: nodi Il prolem di progrmmzione multiperiodle iene ridotto l prolem di identificre il tglio di cpcità minim in un opportuno grfo orientto H = (W, E) (grfo multiperiodle) con cpcità c e R per ogni e E. Definizione insieme W dei nodi di H Per ogni i V - {, n}, si W i = { it : es i t ls i + } - oero, per ogni ttiità i non fittizi c è un nodo per ogni possiile istnte inizile di i e un nodo extr. es = 5 ls = Insieme dei nodi W = i W i {, }, oero tutti i nodi ssociti lle ttiità, più due nodi fittizi che srnno sorgente e pozzo del grfo. OSS. A ogni riile non null x it di Multi-PL0 corrisponde in H il nodo it
5 Grfo Multiperiodle: rchi Definizione Insieme E degli rchi di H rchi di ssegnmento: {( it, it+ ): i V, it, it+ W i } OSS. Quindi ogni ttiità i (non fittizi) corrisponde un cmmino nel grfo multiperiodle ( i,es(i), i,es(i)+ ),, ( i,ls(i), i,ls(i)+ ) OSS. A ogni riile x it non null di Multi-PL0 corrisponde l rco ssegnmento ( it, it+ ) Cpcità dell rco ssegnmento ( it, it+ ) èpri w it. 5 5 rchi di temporli: {( it, jt+l(i,j) ): it W i jt+l(i,j) W j, per ogni ij A OSS. sono gli rchi che rppresentno le relzioni di precedenz fr ttiità Cpcità degli rchi temporli pri
6 Grfo Multiperiodle: rchi rchi fittizi: {(, i,es(i) ): i V-{,n}: un rco dll sorgente l primo nodo del cmmino ssocito ll ttiità i {( i,ls(i)+, ): i V-{,n}}: un rco dll ultimo nodo del cmmino ssocito ll ttiità i l pozzo Cpcità dell rco fittizio ( i,ls(i)+, ) pri
7 j es ls Esempio di grfo orientto w j\t Per semplificre il disegno l indiczione delle cpcità di lore èomess Solo gli rchi ssegnmento hnno cpcità finite 7
8 Equilenz pini/tgli Lemm 5.. A ogni soluzione mmissiile x di Multi-PL0, di costo pri w T x corrisponde un - tglio (Q,R) nel grfo H di cpcità pri c(q,r) = w T x. Dim. Si s il pino (mmissiile) corrispondente x Costo di x w T x s i = { q : x iq =, i V} =, i V = wit xit = w x + w x w x = w w s s s s nsn nsn s n sn it: xit = x is i Poni Q = { it : i V-{,n}, t s i } {}, R = W-Q. Quli rchi pprtengono δ + (Q)? Per ogni i V {,n}, l rco ssegnmento ( is(i), is(i)+ ) δ + (Q) Inftti: is(i) Q e is(i)+ R 8
9 Quli rchi pprtengono δ + (Q)? Equilenz pini/tgli Nessun rco fittizio (, i,es(i) ). Inftti: es i s i e i,es(i) Q Nessun rco fittizio ( i,ls(i)+, ). Inftti: ls i + > s i e i,ls(i)+ R Nessun rco temporle. Per ssurdo, se un rco temporle ( iq jp ) ttrers il tglio:. Poiché c è un rco temporle ( iq jp ), esiste un incolo s j - s i l ij = p q. s pino mmmissiile s j - s i p q c. ( iq jp ) δ + (Q) iq Q, e jp R d. iq Q, s i q, jp R s j < p s j - s i < p q, contrddizione essendo s un pino mmissiile Quindi il tglio contiene solo rchi δ + (Q) = {( is(i), is(i)+ ): i V {,n}} ssegnmento. L cpcità del tglio srà. it:( it wit +, ) δ ( Q) it+ = w s T w = w x n s n 9
10 Esempio di grfo orientto Soluzione mmissiile x 0 = x = x = x 50 = x 6 = s = s 5 = 0, s =, s = s 6 = Q R Costo soluzione = cpcità tglio = = 5 0
11 Tgli normli Def. Un - tglio (Q,R) del grfo multiperiodle H èdetto normle se, per ogni i V-{,n}, esttmente un rco ssegnmento ( it, it+ ) pprtiene δ + (Q). Q R Esempio di tglio non normle: δ + (Q) contiene gli rchi ( 50, 5 ) e ( 5, 5 )
12 Tgli normli e tgli non I Lemm 5.5. Si (Q *,R * ) un tglio di cpcità minim del grfo H. Allor esiste un tglio normle di ugule cpcità. Dim. Se c(q *,R * ) = c(q,r) = per ogni tglio (Q,R) Se c(q *,R * ) < tutti i tgli normli hnno cpcità infinit = c(q *,R * ) δ + (Q * ) contiene solo rchi ssegnmento per ogni i V-{,n}, δ + (Q * ) contiene lmeno un rco ssegnmento ( it, it+ ) ies(i) it(i) it(i)+ iq Q * R * Per ogni i si t(i) il più piccolo indice per cui ( it(i), it(i)+ ) δ + (Q * ) Costruisci tglio normle Q = { ir : i V-{,n}, r t(i)} Q * iq+ iq+ i,ls(i) i,ls(i)+ W-Q = R R * ies(i) it(i) it(i)+ iq iq+ iq+ i,ls(i) i,ls(i)+ Q jes(j) jt(j) jt(j)+ R j,ls(j) j,ls(j)+
13 Tgli normli e non II Mostrimo che δ + (Q ) = {( it(i), it(i)+ ): i V-{,n}}. δ + (Q ) Non contiene ltri rchi ssegnmento (per costruzione). δ + (Q ) Non contiene rchi fittizi: es(i) t(i) ls(i). δ + (Q ) Non contiene rchi temporli. Inftti: per ssurdo: supponimo esist un rco temporle ( iq, jp ) δ + (Q ). Ponimo per semplicità k = p (t(j) + ) iq Q, jp R. q t(i), p > t(j) Esiste un incolo s j - s i p q = l ij R ies(i) iq it(i) it(i)+ i,ls(i) i,ls(i)+ Q jes(j) jt(j) jt(j)+ jp j,ls(j) j,ls(j)+ k
14 Tgli normli e non III R ies(i) iq-k iq it(i) it(i)+ i,ls(i) i,ls(i)+ Q jes(j) jt(j) jt(j)+ jp j,ls(j) j,ls(j)+ k = p (t(j) + ) k p - k = t(j) + [A] es(j) + t(j) + = p k ls(j) Supponimo q k es(i) p k = q k + (p q) es(i) + (p q) [B] Poiché esiste il incolo s j - s i p q es(i) + (p q) es(j) [C] D [A], [B] e [C] segue t(j) + = p - k es(j), contrddizione (t(j) es(j)) Quindi q k es(i) + i,q k Q i,q k Q * [D] Per come è scelto i,p k = jt(j)+ R * [E] Essendo l ij = p - q ( i,q k, i,p k ) H D [D] e [E] segue ( i,q k, i,p k ) δ + (Q * ), contrddizione (cpcità finit di δ + (Q * )).
15 Equilenz tgli/pini Lemm 5.6. Si (Q,R) un tglio normle di cpcità finit del grfo H. Esiste un soluzione x di Multi-0 di costo w T x c(q,r). Tglio cpcità finit Per ogni i V {,n} i,es(i) Q ltrimenti rco fittizio (, i,es(i) ) δ + (Q) i,ls(i)+ R ltrimenti rco fittizio ( i,ls(i)+,) δ + (Q) ( cpcità infinit) ( cpcità infinit) Per ogni i si t(i) l indice per cui ( it(i), it(i)+ ) δ + (Q * ) i V-{,n} e t {0,, T} x it = se t = t(i) (s i = t(i)) 0 ltrimenti x soluzione mmissiile di Multi-0 Il incolo [5.] è soddisftto nlmente (un sol riile post ). Supponimo che esist un incolo di precedenz [5.] iolto d x Esistono ij A e p [0,T] p+ l + ij x ip x jk k = 0 5
16 Equilenz tgli/pini D D [5.] p+ l + ij x ip x jk k = 0 e p+ l ij x jk k = 0 p+ l ij x jk k = 0 x ip = p+ l ij x jk k = 0 = q [ es j, p + l ij ] x jq = Os ij A Esiste il incolo s j - s i l ij es j es i +l ij x ip x jq = = ir Q, per ogni r [es i, p] jq+ R. D q es j e es j es i +l ij q es i +l ij q [es i +l ij, p+l ij -] [es i +l ij, p+l ij -] es i +l ij p+l ij - p es i +. 6
17 Equilenz tgli/pini p es i + [es i +,p] ies(i) iz ip ip+ i,ls(i) i,ls(i)+ R Q jes(j) jq jq+ j,ls(j) j,ls(j)+ q [es i +l ij, p+l ij -] es i +l ij q p+l ij - es i +l ij + q+ p+l ij es i + q+-l ij p z = q+-l ij [es i +,p] iz Q ( iz, jq+ ) δ + (Q) e l rco temporle ( iz, jq+ ) pprtiene l tglio, contrddizione. Quindi x è un soluzione mmissiile di Multi-0 e inoltre w T x = c(q,r) 7
18 Equilenz tgli/pini Di lemmi precedenti (5., 5.5 e 5.6) si ric: Teorem 5.7. Si (Q *,R * ) un tglio di cpcità minim (finit) nel grfo H e si x * un soluzione ottim di P. Allor w T x * = c(q *,R * ). Un semplice conseguenz del teorem è che se non esiste un tglio di cpcità finit in H il prolem Multi-{0,} non mmette soluzione mmissiile. Tutti, se es i ls i per ogni i, esiste sempre un soluzione mmissiile di Multi-{0,} Quindi, se G è un rete mmissiile, esiste sempre un tglio cpcità finit in H. Multi-{0,} può essere risolto utilizzndo un lgoritmo che clcol un -tglio di cpcità minim in H. Il tglio di cpcità minim può essere clcolto utilizzndo l lgoritmo di Ford e Fulkerson per il flusso mssimo d in H. 8
19 Flusso in un Grfo Orientto DATI: Un grfo orientto G(N,A) Un nodo sorgente s N Un nodo pozzo t N-{s} Un ettore cpcità c 0 A s t DIREMO: FLUSSO s-t di (G,c) u un ettore x R A tle che: (,) (0,) (x u,c u ) (,) (0,) (,) 0 x u c u [ incolo di cpcità ] x u - u δ G () - x u = 0 {s,t} + u δ G () [ conserzione del flusso ] x tu = x + - us = 0 tu δ G (t) us δ G (s) [ null esce d t e null entr in s ] (,) s (,) (,) (,) (,) (,) (,) t (,) 9
20 Clcolo del tglio cpcità minim Clcolo del tglio minimo e soluzione ssocit Costruisci il grfo multiperiodle H(W,E) con cpcità c. Clcol in H(W,E), c il flusso mssimo y * Costruisci l rete residu H(y * ) Metti in Q tutti i nodi rggiungiili d con un cmmino orientto in H(y * ) Poni R = V Q. Si t(i) il più piccolo indice per cui ( it, it+ ) δ + (Q * ), per ogni i Costruisci l soluzione x * ponendo x * t = se t = t(i) (s i = t(i)) 0 ltrimenti 0
21 j es ls Esempio di grfo orientto w j\t Per semplificre il disegno l indiczione delle cpcità di lore èomess Solo gli rchi ssegnmento hnno cpcità finite
22 Esempio di grfo orientto (,) (,) (,) (,) (,) (5,) 0 (,) (5,) (,) (,) (,) 5 (,) (,) (,) 0 (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) 6 (,) 6 (7,) (,) (,) (5,) (,) (,)
23 Esempio di grfo orientto (,) (,) (,) (,) (,) (5,) 0 (,) (5,) (,) (,) (,) 5 (,) (,) (,) 0 (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) 5 (,) 5 (7,) (,) (,) (5,) 0 (,) (,)
24 Esempio di grfo orientto (,) (,) (,) (,) (,) (5,) 0 (,) (5,) (,) (,) (,) 5 (,) (,) 0 (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) 5 (,) 5 (7,) (,) (5,) 0 (,) (,) (,) Aumento di unità (,)
25 Esempio di grfo orientto (,) (,) (,) (,) (,) (5,) 0 (,) (5,) (,) (,) (,) 5 (,) (,) (,) 0 (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) 5 (,) 5 (7,) (,) (,) (5,) 0 (,) (,)
26 Esempio di grfo orientto (,) (,) (,) (5,) 0 (,) (,) (,) (5,) (,) (,) (,) 5 (,) (,) (,) 0 (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) 5 (,) 5 (7,) (,) (,) (,) (5,) 0 (,) (,)
27 Esempio di grfo orientto (,) (,) (,) (5,) 0 (,) (,) (,) (5,) (,) (,) (,) 5 (,) (,) (,) 0 (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,0) (,) (,) 5 (,) 5 (7,6) (,) (,) (,) (,) (5,) 0 (,) (,) (,)
28 Esempio di grfo orientto Tutti i cmmini umentnti si interrompono prim di rggiungere I nodi rggiungiili d sono Q = {, 0, 0, 0,,,,, 5, 5 } 8
29 Esempio di grfo orientto Q R Il tglio Q = {, 0, 0, 0,,,,, 5, 5 } h cpcità pri. Ponimo x 0 = x = x = x = x 5 = 9
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