Politecnico di Milano

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1 Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Gestionale sez. A-D Prof. C. Piccardi Appello del 2/3/2007 COGNOME: NOME: MATRICOLA: AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita fatta con le modalità sotto riportate, una votazione positiva sarà registrata d ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova saranno comunicati entro Sabato 10/3 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell esito complessivo dell esame: Lunedì 12/3, ore , ufficio del docente (DEI, 2 piano) Solo in tale occasione lo studente potrà rinunciare ad una votazione positiva. Per la rinuncia è richiesta l esibizione di un documento di identità valido. FIRMA: Visto del docente: PARTE A Voto totale: ATTENZIONE! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l ordine e la chiarezza dell esposizione.

2 1) Conto Limone è un azienda di credito che concede finanziamenti ad imprese. I finanziamenti in essere sono classificati in due categorie: 1 = elevata affidabilità; 2 = scarsa affidabilità Ogni mese, in base alle informazioni sulla solidità delle imprese, una frazione α ij dei finanziamenti di categoria i viene riclassificata in categoria j, mentre un ulteriore frazione β i diviene parte delle sofferenze (finanziamenti non più riscuotibili ). Infine, ogni mese Conto Limone concede nuovi finanziamenti per un ammontare complessivo u(t), di cui il 90% di categoria 1. I dati del problema sono i seguenti: α 11 = α 12 = α 21 = α 22 = β 1 = 0 - β 2 = 0. 1 a) Descrivere il fenomeno in esame mediante le equazioni di stato di un sistema dinamico a tempo discreto. b) Discutere la stabilità del sistema, il suo tempo di risposta e l eventuale presenza di oscillazioni. Definendo l uscita come l ammontare delle nuove sofferenze maturate nel mese t: y(t) c) Determinare il modello ingresso/uscita (equazione alle differenze o funzione di trasferimento). d) Utilizzando tale modello, determinare l ammontare totale delle nuove sofferenze all equilibrio se ogni mese vengono erogati prestiti per euro complessivi. Soluzione [se necessario proseguire sul retro]:

3 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura. 1 Il blocco A ha funzione di trasferimento G A ( s) =, il blocco D è descritto dal modello s 1 ingresso/uscita y & + 2y = u&, il blocco C dal modello di stato seguente: A = b = 1 c = D D D [ 1 1 1] a) Proporre, per il blocco B, una qualunque funzione di trasferimento di ordine 1 che renda il sistema aggregato asintoticamente stabile (spiegando con cura perché l aggregato risulta asintoticamente stabile). c) Con il blocco B prima proposto, determinare TUTTE le costanti di tempo del sistema aggregato e quindi il suo tempo di risposta. Soluzione [se necessario proseguire sul retro]:

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5 3) Dato il sistema non lineare stabilità di x? x & = f (x) e un suo equilibrio x, come posso verificare l asintotica 4) In Matlab, hai digitato il comando >>M=[10 5; 0 2] Illustra il risultato che ottieni con il comando seguente: >>poly(m)

6 Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Gestionale sez. A-D Prof. C. Piccardi Appello del 2/3/2007 COGNOME: NOME: MATRICOLA: AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita fatta con le modalità sotto riportate, una votazione positiva sarà registrata d ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova saranno comunicati entro Sabato 10/3 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell esito complessivo dell esame: Lunedì 12/3, ore , ufficio del docente (DEI, 2 piano) Solo in tale occasione lo studente potrà rinunciare ad una votazione positiva. Per la rinuncia è richiesta l esibizione di un documento di identità valido. FIRMA: Visto del docente: PARTE B Voto totale: ATTENZIONE! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l ordine e la chiarezza dell esposizione.

7 1) I diagrammi di Bode in figura (modulo e argomento) sono stati ricavati mediante una serie di esperimenti su un sistema lineare. a) Determinare la funzione di trasferimento del sistema. b) Discuterne la stabilità. c) Determinare le risposte allo scalino e all impulso e rappresentarle graficamente. Soluzione [se necessario proseguire sul retro]:

8 2) Si consideri il sistema descritto dalla funzione di trasferimento seguente: 10 G ( s) = s s 2 s s a) Determinare la risposta all impulso e rappresentarla graficamente. b) Tracciare i diagrammi di Bode del modulo e della fase. c) Supponendo che l ingresso applicato al sistema valga u ( t) = 2sin(10t), determinare l andamento dell uscita a transitorio esaurito. Soluzione [se necessario proseguire sul retro]:

9 3) Quanto vale il margine di fase di un sistema di controllo con funzione di trasferimento d anello L ( s) = µ / s (con µ > 0 )? 4) In Matlab, hai digitato i comandi >>A=[10 5; 0 2]; >>b=[0; 1]; Illustra il risultato che ottieni con il comando seguente: >>det(ctrb(a,b))