EQUAZIONI DI MAXWELL

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1 QUAZIONI DI MAXWLL quazini di Maxwell utti i fenmeni elettrmagnetici pssn essere interpretati a partire da queste equazini (Maxwell, 873): erema di Gauss per il camp elettric Il fluss del camp elettric attravers una superficie chiusa dipende dalle cariche interne alla superficie. [Le cariche elettriche sn le srgenti del camp elettric] Anntazini φ S = Q IN ε erema di Gauss per il camp magnetic Il fluss del camp elettric attravers una superficie chiusa è null. [Nn esistn mnpli magnetici] φ S = Legge di FaradayNeumannLenz La circuitazine del camp elettric lung una curva chiusa dipende dalla variazine del fluss del camp magnetic. [Un camp magnetic variabile prduce un camp elettric] Γ γ = dφ S() dt Legge di AmpereMaxwell La circuitazine del camp magnetic lung una curva chiusa dipende dalle crrenti cncatenate e dalla variazine del fluss del camp elettric. [Un camp elettric variabile una crrente prducn un camp magnetic] Γ γ = μ i C ε dφ S dt Nta ene alvlta le equazini di Maxwell vengn integrate cn la seguente frmula, che descrive la frza che il camp elettric e il camp magnetic esercitan su una carica elettrica q: F = q q v Le equazini di Maxwell suggeriscn che il camp elettric e il camp magnetic nn sn due entità indipendenti, cme appare nel cas static, ma sn manifestazini diverse di una stessa grandezza fisica: il camp elettrmagnetic. Onde elettrmagnetiche Un nda elettrmagnetica è una perturbazine del camp elettric e magnetic che si prpaga nel temp e nell spazi, trasprtand energia. t = sin (ωt φ) t = sin (ωt φ) Sn elencate di seguit le principali prprietà delle nde elettrmagnetiche: si prpagan anche nel vut; si prpagan alla velcità v = / ε μ che nel vut vale (velcità della luce): c = / ε μ =,998 8 m/s sn nde trasversali, e i vettri e sn perpendiclari tra lr e perpendiclari anche alla direzine di prpagazine (che ha direzine e vers del prdtt ); Il camp elettric e il camp magnetic scillan in fase, e vale che: t = v (t)

2 Prpagazine di un nda elettrmagnetica. Un aument del camp elettric prduce, per la legge di AmpereMaxwell, un camp magnetic variabile.. Un aument del camp magnetic prduce, per la legge di FaradayNeumann, un camp elettric variabile (che cntribuisce ad annullare il precedente). 3. Un aument del camp elettric prduce, per la legge di AmpereMaxwell, un camp magnetic variabile (che cntribuisce ad annullare il precedente). 4. Il prcess si ripete e ha cme risultat la prpagazine dei campi nell spazi. Se il camp elettric iniziale cntinua ad scillare, si genera un nda elettrmagnetica. v Nta ene Un md per ttenere nde elettrmagnetiche è attravers un antenna detta dipl elettric, il cui nucle è cstituit da un circuit RLC in cui cariche e crrenti varian sinusidalmente cn pulsazine pari a (se R è trascurabile): ω = /LC. Un generatre di crrente alternata frnisce l energia sufficiente per cmpensare sia le perdite termiche nella resistenza, sia l energia trasprtata via dall nda elettrmagnetica irradiata. Quest scillatre è accppiat tramite un trasfrmatre ad un antenna, che cnsiste di due aste cnduttrici: la crrente variabile sinusidalmente nell scillatre fa scillare sinusidalmente la carica lung le aste dell antenna, che prduce un camp elettric variabile sinusidalmente cn pulsazine ω. prpagazine dell nda circuit RLC trasfrmatre dipl elettric camp elettric scillante

3 L indice di rifrazine di un mezz viene definit cme il rapprt tra la velcità della luce nel vut e nel mezz, quindi: n = c v = / ε μ / ε μ = ε μ ε μ = ε ε r μ μ r ε μ = ε r μ r (la cstante dielettrica relativa e la permeabilità magnetica relativa del mezz dipendn, tra le altre cse, anche dalla frequenza del camp elettric magnetic che le sta attraversand: per quest, cme nt, anche l indice di rifrazine del mezz dipende dalla frequenza dell nda elettrmagnetica che l attraversa) Valgn le due seguenti relazini tra la velcità v dell nda elettrmagnetica, il su perid, la sua lunghezza d nda λ, la sua pulsazine ω e la sua frequenza f: v = λ f = ω = π Generalmente le nde elettrmagnetiche vengn classificate in base alla lr frequenza (, se ci si limita a cnsiderare nde che si prpagan nel vut, in base alla lr lunghezza d nda vist che nel vut questa dipende dalla frequenza: λ = c/f). f (Hz) λ (m) OND RADIO MICROOND RAD. INFRAROSS UV RAGGI X RAGGI GAMMA SPRO VISIIL 4 4 Hz. 5 Hz 7 nm 4 nm Camp elettric e camp magnetic icaci (Def) Dat un camp elettric scillante t = sin(ωt φ), il camp elettric icace è quel camp elettric stazinari che ha una densità di energia u pari al valr medi della densità di energia u del camp elettric scillante. / t (t) ε ε u u t t = sin(ωt φ) u = ε (t) = Analgamente si definisce il camp magnetic icace : = Dimstrazine Dimstriam che = / a partire dalla definizine: u = ε u = μ u = u dt ε = ε t dt ε = 4 ε = La dimstrazine può anche essere ettuata senza l us degli integrali: basta cnsiderare che il valre di u deve essere la metà del valre massim di u (in md che le aree rsa, in figura, sian uguali alle aree azzurre). Ciò accade se e sl se = /.

4 nergia trasprtata da un nda elettrmagnetica La densità media di energia trasprtata da un nda elettrmagnetica nel vut è pari a: u = u u = ε L unità di misura della densità di energia è: u = J m 3 Nta ene I valri di u e u sn uguali, infatti: u = ε = 4 ε = 4 ε c = 4 ε μ La densità media di energia trasprtata da un nda elettrmagnetica è prprzinale al quadrat dell ampiezza dell nda: Intensità di un nda elettrmagnetica (Def) L intensità di un nda elettrmagnetica che incide su una superficie di area S trasferend un energia U in un intervall di temp Δt (quindi cn ptenza media P = U/Δt) è pari a: I = U S Δt = P S I = ε μ u anche u U u ΔV u S Δs u Δs u c Δt = = = = = u c S Δt S Δt S Δt Δt Δt = 4μ = μ = u Nel cas di un nda piana, l ampiezza si cnserva e quindi u si cnserva; nel cas di un nda sferica, l ampiezza decresce all aumentare della distanza dalla srgente e quindi u decresce (l energia trasprtata dall nda si dissipa in maniera istrpa nell spazi, distribuendsi sulle superfici dei frnti d nda sferici). Cnsiderand che u = u, la densità di energia si può scrivere nelle seguenti frme: u = ε u = μ Intensità di un nda elettrmagnetica Se un nda incide una superficie S cn densità media di energia u, allra la sua intensità è pari a: I = u c Dimstrazine In un temp Δt l nda si spsta di una lunghezza Δs = c Δt trasprtand un energia U che è immagazzinata in un vlume ΔV = S Δs cn densità media pari a u = U/ΔV. Dunque: Nta ene L intensità di un nda che incide su una superficie si calcla a partire dalla ptenza P che ha l nda quand incide la superficie, che in generale può essere diversa dalla ptenza P srg della srgente che ha generat l nda. In particlare: se l nda è piana P = P srg perché l energia trasprtata dall nda nn viene dissipata, quindi l intensità è cstante e si ha che: I = P srg S se l nda è sferica P = P srg /4πr perché l energia trasprtata dall nda viene dissipata, quindi l intensità decresce cn la distanza r dalla srgente e si ha che: ΔV S I = P srg 4πr L intensità di un nda elettrmagnetica è prprzinale al quadrat della sua ampiezza, infatti: I = u c = anche I = u c = c cε μ

5 Plarizzazine lineare di un nda elettrmagnetica (Def) Un nda elettrmagnetica si dice plarizzata linearmente quand i sui campi elettrici scillan sempre sull stess pian (che cntiene anche la direzine di prpagazine dell nda). Nta ene I dipli elettrici, grazie al mviment crdinat delle cariche elettriche generatrici, emettn nde elettrmagnetiche cn piani di plarizzazine paralleli tra di lr. Altre srgenti più estese, cme lampadine a incandescenza il Sle, sn frmate da più parti che emettn nde elettrmagnetiche in md indipendente una dall altra, e quindi cn piani di plarizzazine diversi. nda plarizzata linearmente nda nn plarizzata linearmente Legge di Malus Si cnsideri un nda elettrmagnetica di intensità I plarizzata linearmente, che attraversa un insieme di fili cnduttri paralleli: La cmpnente del camp elettric // prvca una crrente nei cnduttri, e la sua energia viene dissipata per ett Jule. Dp l attraversament, l ampiezza di // è talmente ridtta da essere cnsiderata trascurabile. La cmpnente del camp elettric attraversa invariata i cnduttri. Csì, dp l attraversament, l nda si trva ad essere plarizzata linearmente nella direzine perpendiclare ai fili e ha un intensità ridtta pari a: I = I cs θ dve θ è l angl tra e la direzine perpendiclare ai fili (asse di trasmissine). Dimstrazine Dp aver attraversat i cnduttri l ampiezza dell nda è = cs θ, è quindi la sua intensità è pari a: // I = c = c cs θ = I cs θ θ Nta ene (Plarizzazine per assrbiment) Un fasci di luce nn plarizzata che attraversa un insieme di fili cnduttri paralleli ne riemerge plarizzat linearmente, nella direzine perpendiclare ai fili. In tal cas, l intensità dell nda che emerge è mediamente metà dell intensità dell nda incidente: I = I / (Plarizzazine per riflessine) Un fasci di luce nn plarizzata che incide sulla superficie di separazine di due mezzi (prvenend dal mezz cn indice di rifrazine n e rifrangendsi nel mezz cn indice di rifrazine n ) viene rifless plarizzat linearmente nella direzine parallela alla superficie se la luce incidente frma cn la nrmale alla superficie un angl θ (dett angl di rewster) tale che: tan θ = n /n n n incidente θ θ θ rifless rifratt