COMPLEMENTI SULLE LEGGI FINANZIARIE

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1 COMPLEMENI SULLE LEGGI FINANZIARIE asso di rendimento di operazioni finanziarie in valuta estera La normativa vigente consente di effettuare operazioni finanziarie, sia di investimento che di finanziamento, anche in una valuta diversa da quella nazionale. Per quanto riguarda i calcoli di convenienza delle operazioni finanziarie condotte in valuta e- stera, bisogna tener conto dell andamento futuro del tasso di cambio e si introduce quindi una fonte di rischio aggiuntiva: il rischio di cambio. Comunemente, per rischio di cambio si intende la possibilità di subire perdite a causa della traduzione di un importo espresso in una certa valuta in un importo denominato in una valuta diversa. Il rischio di cambio è una conseguenza inevitabile sia delle operazioni di importazione ed esportazione di merci o servizi sia delle operazioni di investimento e di finanziamento internazionali. Esempio 2.3 Si consideri un azienda italiana che all epoca corrente deve effettuare un pagamento di 1 dollari e li chiede in prestito ad una società finanziaria che opera in ambito internazionale, impegnandosi a restituire dopo tre anni la somma capitalizzata in base al tasso annuo i USA = 8 %. Il tasso effettivo di costo del finanziamento per l azienda italiana non è noto al momento della stipulazione dell accordo. Infatti, il tasso di costo dell indebitamento risulta uguale a i USA solo se alla scadenza dell operazione il tasso di cambio euro/dollaro non è variato rispetto all epoca iniziale di stipulazione. Se invece il tasso di cambio varia, il tasso effettivo del finanziamento risulta diverso da i USA e precisamente sarà maggiore se il dollaro si rafforza rispetto all euro e minore in caso contrario. Infatti, si supponga ad esempio che il dollaro si rafforzi 1

2 2 Appunti di matematica finanziaria rispetto all euro: in tal caso alla scadenza la società italiana dovrà far fronte ad un maggior esborso in euro a causa di un tasso di cambio meno favorevole. È noto che vi sono due modi diversi per esprimere il tasso di cambio fra due valute. Infatti, il tasso di cambio rappresenta il prezzo di una delle due valute utilizzando l altra valuta come unità di conto. A seconda della moneta utilizzata come unità di conto, si possono pertanto dare le due seguenti definizioni alternative di tasso di cambio: t = il tasso di cambio vigente all epoca t quando come unità di conto viene utilizzata la moneta estera; in tale caso il cambio è espresso in termini di unità di valuta estera necessarie per acquistare un unità di moneta nazionale; ad esempio, in data il tasso di cambio euro/dollaro era pari a , cioè per acquistare un euro si dovevano pagare dollari; t = 1 t = il tasso di cambio all epoca t quando come unità di conto viene utilizzata la moneta nazionale; in tale caso il cambio è espresso in termini di unità di moneta nazionale necessarie per acquistare un unità di valuta estera; ad esempio, in data il tasso di cambio dollaro/euro era pari a.783, cioè per acquistare un dollaro servivano.783 = 1/ euro. Esempio 2.4 Sia = 1.25 il tasso di cambio euro/dollaro corrente, inteso come numero di dollari necessari per acquistare un euro. Si supponga che negli ultimi tre mesi l euro si sia svalutato del 3 % rispetto al dollaro. 1. Si calcolino quanti euro sono necessari oggi per acquistare un dollaro, cioè il tasso di cambio. 2. Si trovi il tasso di cambio 3 in vigore tre mesi fa. 3. Si determini quanti dollari erano necessari tre mesi fa per acquistare un euro e quanti euro erano necessari per un dollaro. 4. Si verifichi se negli ultimi tre mesi il dollaro rispetto all euro si è rivalutato o svalutato, e in quale percentuale. 5. Si calcoli quale sarà il cambio euro/dollaro fra tre mesi nell ipotesi che nei prossimi tre mesi l euro si svaluti nei confronti del dollaro ancora del 3 %.

3 Complementi sulle leggi finanziarie 3 Il tasso di cambio odierno espresso in termini di numero di euro necessari per acquistare un dollaro è = 1 = =.8; pertanto oggi sono necessari.8 euro per acquistare un dollaro. Il tasso di cambio euro/dollaro di tre mesi or sono si ottiene dall equazione 3 3 =.3. ale equazione può essere scritta in modo equivalente come segue 3 =.97 e risulta quindi 3 = /.97 = Pertanto tre mesi fa per acquistare un euro erano necessari dollari, mentre per acquistare un dollaro occorrevano 1/ 3 =.776 euro. Poiché negli ultimi tre mesi l euro si è svalutato, il dollaro si è rivalutato. In termini percentuali la rivalutazione del dollaro è stata del = %. Il cambio euro/dollaro fra 3 mesi nell ipotesi che l euro si svaluti del 3 % nei confronti del dollaro si trova risolvendo l equazione 3 e risulta 3 =.97 = =.3. Esempio 2.5 Il tasso di cambio euro/sterlina corrente, inteso come quantità di sterline necessarie per acquistare un euro è S e/ = Si consideri lo scenario in cui l euro nei prossimi sei mesi si rivaluta del 4 % rispetto alla sterlina. Si trovino: il tasso di cambio S e/ che sarà in vigore fra sei mesi;

4 4 Appunti di matematica finanziaria il tasso di cambio all epoca corrente e fra sei mesi espresso in termini di numero di euro necessari per acquistare una sterlina; il tasso di svalutazione della sterlina rispetto all euro nei prossimi sei mesi. Fra sei mesi il tasso di cambio sarà S e/ = S e/ (1 +.4) = = Il tasso di cambio espresso in termini di numero di euro necessari per acquistare una sterlina all epoca corrente è e fra sei mesi sarà Si osservi che il tasso S /e S /e = 1 S e/ S /e = 1 S e/ = = = = può essere determinato nel seguente modo alternativo S /e = S /e = = Nello scenario considerato, in cui si prevede nei prossimi sei mesi una rivalutazione del 4 % dell euro nei confronti della sterlina, il tasso di svalutazione della sterlina rispetto all euro sarà uguale a S /e S /e S /e = = %. Allo scopo di determinare il tasso di interesse uniperiodale effettivo i eff per operazioni che comportano un cambiamento di valuta, consideriamo un operazione di investimento che prevede l impiego in valuta estera all epoca t = di un capitale iniziale C, espresso in valuta nazionale, con incasso del montante finale all epoca. Indichiamo con i F = il tasso uniperiodale di interesse vigente per gli investimenti nella valuta estera (nell esempio 2.3, i F = i USA = 8 % ). L operazione può essere schematicamente rappresentata come segue.

5 Complementi sulle leggi finanziarie 5 t = C unità di moneta nazionale = C unità di valuta estera t = C (1 + i F ) montante in valuta nazionale = C (1 + i F ) montante in valuta estera Il tasso effettivo uniperiodale dell operazione di investimento in valuta estera è il tasso i eff che risolve l equazione C (1 + i eff ) = C Se/$ (1 + i F ) (1) e non è noto a priori in quanto dipende dal tasso di cambio che sarà in vigore alla scadenza. Ipotizziamo che la dinamica futura del tasso di cambio sia tale che = (1 + α), (2) cioè che il tasso di cambio, espresso in termini di unità di moneta estera necessarie per acquistare un unità di valuta nazionale, vari in base ad un tasso uniperiodale medio α. Si osservi che il tasso di variazione α è positivo nei periodi in cui la moneta nazionale si rivaluta, mentre è negativo nei periodi in cui si osserva una svalutazione della moneta nazionale. In tale ipotesi, il tasso di rendimento effettivo i eff dell operazione finanziaria in valuta estera può essere calcolato risolvendo l equazione C (1 + i eff ) = C Se/$ (1 + i F ) (1 + α). (3) Semplificando si ottiene (1 + i eff ) = 1 + i F 1 + α (4)

6 6 Appunti di matematica finanziaria e il tasso effettivo risulta uguale a i eff = 1 + i F 1 + α 1 = i F α 1 + α. (5) Esempio 2.6 Riprendiamo l esempio dell azienda italiana che all epoca corrente deve effettuare un pagamento di 1 dollari e li chiede in prestito ad una società finanziaria internazionale impegnandosi a restituire la somma dopo tre anni con interessi calcolati in base al tasso annuo i F = i USA = 8 %. Se nel corso del triennio l andamento del tasso di cambio euro/dollaro è tale da comportare una rivalutazione dell euro nei confronti del dollaro ad un tasso annuo medio del 3 %, il tasso annuo di costo effettivo per l azienda italiana risulta i eff = i F α 1 + α = =.485. Se invece nel corso del triennio l andamento del tasso di cambio euro/dollaro fa registrare una svalutazione dell euro nei confronti del dollaro ad un tasso annuo medio del 3 %, si ha α =.3 e quindi il tasso di costo effettivo per l azienda italiana risulta i eff = i F α 1 + α = =.168. Si osservi che se nel periodo a cui si riferisce l operazione finanziaria in esame la moneta nazionale si rivaluta, cioè se α >, risulta i eff < i F (6) e quindi il tasso di interesse effettivo risulta inferiore al tasso i F a cui l operazione finanziaria in valuta estera è condotta. Chiaramente, questa situazione comporta una diminuzione del tasso di costo di un indebitamento in valuta ma anche del guadagno effettivo di un investimento. Si noti anche che nel caso in cui α > i F, cioè quando il tasso di rivalutazione della moneta nazionale è superiore al tasso di interesse corrisposto in valuta estera, il montante finale dell operazione risulta addirittura inferiore al capitale iniziale investito o finanziato. Se invece nel periodo a cui si riferisce l operazione finanziaria la moneta nazionale si svaluta, cioè se α <, si ha i eff > i F (7)

7 Complementi sulle leggi finanziarie 7 e in tal caso il tasso effettivo di un operazione finanziaria in valuta risulta superiore al tasso estero i F. In tale situazione si verifica un incremento del guadagno effettivo di un investimento ma anche del tasso di costo di un indebitamento in valuta. L espressione del tasso di interesse effettivo (5) è stata ricavata utilizzando il tasso di cambio espresso in termini di unità di valuta estera necessarie per acquistare un unità di moneta nazionale. È tuttavia possibile ricavare il tasso effettivo anche utilizzando la modalità alternativa di definizione del tasso di cambio, e cioè come unità di moneta nazionale necessarie per acquistare un unità di valuta estera. In tale caso l operazione finanziaria in valuta può essere schematicamente rappresentata nel seguente modo. t = C unità di moneta nazionale = C unità di valuta estera t = C (1 + i F ) = C montante in valuta nazionale (1 + i F ) montante in valuta estera Pertanto il tasso effettivo uniperiodale dell operazione di investimento in valuta estera è il tasso i eff che risolve la seguente equazione C (1 + i eff ) = C Se si ipotizza un andamento del tasso di cambio del tipo (1 + i F ). (8) = (1 + β), (9) cioè se si suppone che il tasso di cambio, espresso in termini di unità di moneta nazionale necessarie per acquistare un unità di valuta estera, vari in base ad un tasso uniperiodale medio pari a β, il tasso effettivo i eff può essere calcolato risolvendo l equazione C (1 + i eff ) = C (1 + i F ) (1 + β). (1)

8 8 Appunti di matematica finanziaria Semplificando si ottiene e il tasso effettivo cercato risulta uguale a 1 + i eff = (1 + i F )(1 + β) (11) i eff = i F + β + i F β. (12) In questo caso, se si ha una rivalutazione della moneta nazionale, allora il tasso di variazione del tasso di cambio è negativo, cioè si ha β <, mentre se si ha una svalutazione della moneta nazionale allora il tasso di variazione del tasso di cambio è positivo, cioè si ha β >. Si osservi che esiste un preciso legame tra i tassi di variazione α e β relativi ad uno stesso scenario di evoluzione del tasso di cambio nell intervallo di tempo [,]. Infatti dalla relazione si trova immediatamente e 1 + i eff = 1 + i F 1 + α = (1 + i F)(1 + β) (13) β = α 1 = α 1 + α (14) α = β 1 = β 1 + β. (15) Esempio 2.7 Il tasso di cambio euro/dollaro in data 1/6/21 era = Cinque anni dopo, in data 1/6/26, il tasso di cambio era = Si determini il tasso medio annuo di variazione del tasso di cambio nel periodo in esame, utilizzando come unità di conto prima il dollaro e poi l euro. Come si può osservare, nel quinquennio considerato l euro si è rivalutato di circa il 5 %, e precisamente del = 5.26 %. Questo significa che nello stesso periodo il dollaro si è svalutato di circa il 33 %, e precisamente del = = %.

9 Complementi sulle leggi finanziarie 9 In base all equazione (2), il tasso medio di variazione del tasso di cambio su base annua risulta ( ) 1/5 ( ) 1/ α = 1 = 1 = 8.48 %.8476 quando si utilizza il dollaro come unità di conto. Se si utilizza invece l euro come unità di conto, in base all equazione (9) il tasso medio di variazione del tasso di cambio su base annua risulta ( ) 1/5 β = 1 = ( ) 1/ = 7.82 % Si verifica immediatamente che tra i tassi di variazione α e β valgono le relazioni (14) e (15).

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