Numeri Complessi e Geometria

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1 Università degli Studi di Trento Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche, Naturali Numeri Complessi e Geometria Luca Goldoni Dipartimento di Matematica A.A

2 c Copyright by Luca Goldoni 2010

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5 Parte I I Numeri Complessi 5

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7 Capitolo 1 Nozioni Fondamentali 1.1 Breve storia dei Numeri Complessi. Contrariamente a quanto si legge talvolta, i numeri i complessi, storicamente non nascono per permettere la risoluzione di equazioni quali: x = 0 o più in generale, per risolvere le equazioni di secondo grado: ax 2 + bx + c = 0 aventi a, b, c R e tali per cui b 2 4ac < 0. Piuttosto la loro origine è da attribuirsi allo studio di certe equazioni di terzo grado. (vedi appendice A) 1.2 Alcuni modi di introdurre i Numeri Complessi Introduzione Esistono varie costruzioni teoriche di un ampliamento C del campo dei numeri reali R, nel quale ogni equazione polinomiale a coefficienti reali a 0 x n + a 1 x n 1 + a n = 0 ammetta una soluzione. In queste note ne prenderemo in considerazione solo un paio. Va detto però che a prescindere dalla costruzione che si sceglie, e a meno di isomorfismi, si ottiene sempre lo stesso ampliamento. 7

8 8 CAPITOLO 1. NOZIONI FONDAMENTALI I numeri complessi secondo Hamilton Consideriamo l insieme R 2 delle coppie ordinate di numeri reali. Definiamo in R 2 le seguenti operazioni binarie: : R 2 R 2 R 2 (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b),(c, d) R 2 (1.1) : R 2 R 2 R 2 (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, b), (c, d) R 2 (1.2) E facile verificare allora che valgono le seguenti proprietà: (esercizio) 1. gode della proprietà commutativa. 2. gode della proprietà associativa. 3. La coppia (0, 0) è tale per cui per ogni (a, b) R 2 si ha: (a, b) (0, 0) = (0, 0) (a, b) = (a, b) 4. gode della proprietà commutativa. 5. gode della proprietà associativa. 6. La coppia (1, 0) è tale per cui per ogni (a, b) R 2 si ha: (a, b) (1, 0) = (1, 0) (a, b) = (a, b) 7. Per ogni (a, b) R 2 {0}, posto ( a (a, b ) = a 2 + b 2, b ) R 2 a 2 + b 2 si ha: (a, b) (a, b ) = (1, 0) 8. Per ogni (a, b), (c, d), (e, f) R 2 si ha che vale la proprietà distributiva della addizione rispetto alla moltiplicazione e cioè: [(a, b) (c, d)] (e, f) = [(a, b) (e, f)] + [(c, d) (e, f)] 9. (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0)

9 1.2. ALCUNI MODI DI INTRODURRE I NUMERI COMPLESSI 9 In base alle proprietà 1 8 si può affermare che (R,, )) è un campo che denoteremo tale campo con C. I suoi elementi, che sono tutte le coppie di numeri reali (a, b) saranno chiamati numeri complessi. Se consideriamo il sottoinsieme di C: R = {(a, 0) : a R} è facile rendersi conto che, con le operazioni e esso è un sottocampo di C che risulta essere isomorfo a R. In termini più espliciti, esiste una applicazione biunivoca φ : R R che conserva le operazioni. Esercizio 1.1. Scrivere esplicitamente questa applicazione. In base all esistenza di questo isomorfismo, è giustificato affermare che il campo dei numeri complessi C contiene il campo dei numeri reali R e si potrà scrivere semplicemente a al posto di (a, 0). In base alla proprietà 9 potremo allora affermare che: (0, 1) 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1. def Possiamo ora provvedere a una semplificazione delle notazioni: Osserviamo che: (a, b) = (a, 0) (0, b) Osserviamo che: (0, b) = (0, 1) (b, 0) e pertanto, se poniamo: potremo scrivere: i = (0, 1) def (a, b) = (a, 0) [i (b, 0)] e quindi, scrivendo semplicemente + al posto di e ib al posto di i (b, 0), otteniamo: (a, b) = a + ib A questo è facile osservare che: (a, b) (c, d) = (a + c) + i (b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd) + i (ad + bc) Quest ultima uguaglianza si può ottenere formalmente nel seguente modo:

10 10 CAPITOLO 1. NOZIONI FONDAMENTALI I numeri complessi come matrici Consideriamo l insieme delle matrici 2 2 ad elementi reali: { ( ) } a b C = z = : a, b R b a munito dell usuale operazione di addizione fra matrici +, e della usuale moltiplicazione righe per colonne. E facile verificare che (esercizio): (C, +, ) è un campo. Il sottoinsieme: R = { ( a 0 z = 0 a ) } : a R è munito delle operazioni indotte è un sottocampo di C isomorfo a R. Se allora: i 2 = i = ( ( ) ) ( 1 0 = 0 1 ) (C, +, ) è isomorfo a (C, +, ) introdotto nella sezione precedente. Si può allora pensare a C come ad un differente modo di realizzare l insieme dei numeri complessi I numeri complessi secondo Cauchy Consideriamo l anello dei polinomi in una variabile a coefficienti reali R[x]. In tale anello consideriamo la seguente relazione: se e solo se il polinomio: p(x) q(x). t(x) = p(x) q(x). è divisibile per x Si dimostra facilmente che tale relazione è una relazione di equivalenza. I polinomi di R[x] si distribuiscono allora in classi

11 1.3. RAPPRESENTAZIONI GEOMETRICHE DI C. 11 di equivalenza che vengono determinate dal resto che tali polinomi forniscono nella divisione per x Per essere più chiari, supponiamo che risulti: p(x) = s(x) ( x ) + ax + b dove a, b R. Allora ogni altro polinomio q(x) equivalente q p(x) rispetto alla suddetta relazione fornisce come resto nella divisione con x proprio ax+b. A causa del fatto che x 2 +1 è un polinomio irriducibile in R[x] si può dimostrare che l insieme quoziente: R[x] / = R[x] / def x è un campo che contiene gli zeri di x Tale campo è isomorfo a C. Questa costruzione, sebbene con linguaggio e notazioni diverse è dovuta a Cauchy. 1.3 Rappresentazioni geometriche di C Il piano di Argand-Gauss L insieme dei numeri complessi può essere rappresentato geometricamente in vari modi. Un primo modo consiste nell utilizzo di un piano detto Piano di Argand-Gauss. Se z = a+ib allora a si dice parte reale di z e si indica con Rz mentre b si dice parte immaginaria di z e si indica con Iz. Nel piano di Argand-Gauss si rappresenta la parte reale sull asse orizzontale mentre la parte immaginaria sull asse verticale. Figura 1.1: Il piano di Argand-Gauss

12 12 CAPITOLO 1. NOZIONI FONDAMENTALI La sfera di Riemann I numeri complessi si possono anche rappresentare geometricamente anche sulla cosiddetta sfera di Riemann. Si consideri il piano di Argand Gauss e una sfera di raggio unitario tangente in O a tale piano. La rappresentazione viene effettuata nel seguente modo: dato un qualsiasi numero complesso z del piano di Argand-Gauss, si traccia la semiretta che congiunge z con il polo nord N della sfera. Tale semiretta interseca esattamente in un punto w la sfera. Diciamo allora che w è la rappresentazione di z sulla sfera di Riemann. Si noti che è parzialmente vero anche il viceversa: dato infatti un punto qualsiasi della sfera, diverso dal polo nord N, tracciata la semiretta di origine N, essa interseca esattamente in un punto il piano di Argand-Gauss. Esiste pertanto una corrispondenza biunivoca σ : Σ {N} P. essendo Σ la sfera di Riemann e P il piano di Argand-Gauss. Il polo Nord della sfera rappresenta il punto all infinito per l insieme C. In Analisi Complessa sostituisce il concetto di + e dell Analisi Reale. Figura 1.2: La sfera di Riemann 1.4 Forma algebrica, forma trigonometrica, forma esponenziale dei numeri complessi Forma algebrica Definizione 1.1. Si dice che z C è scritto in forma algebrica se: con a, b R. z = a + ib (1.3)

13 1.4. FORMA ALGEBRICA, FORMA TRIGONOMETRICA, FORMA ESPONENZIALE DEI NUMERI Definizione 1.2. Se z = a + ib, il numero a si chiama parte reale di z e si denota con R(z). Definizione 1.3. Se z = a+ ib, il numero b si chiama parte immaginaria di z e si denota con I(z). Definizione 1.4. Dato un numero complesso z = a + ib si dice complesso coniugato di z e lo si denota con z il numero complesso: z = a ib Definizione 1.5. Dato un numero complesso z = a + ib si chiama modulo di z il numero reale: z = a 2 + b 2 Si dimostra immediatamente che (esercizio): Proposizione 1.1. Se z = a + ib C allora: z + z = 2R(z). z z = 2I(z). zz = z Forma trigonometrica Sia z C {0} un numero complesso. Consideriamo: { x = a z y = b z Si ha subito che: 1 x 1. 1 y 1. x 2 + y 2 = 1. Questi due numeri individuano un punto P sulla circonferenza unitaria di centro l origine. Quindi il sistema: cos θ = a z sin θ = b z 0 θ < 2π.

14 14 CAPITOLO 1. NOZIONI FONDAMENTALI Figura 1.3: ammette un unica soluzione θ. Tale numero è chiamato anomalia di z. Poichè si ha: { a = z cos θ b = z sin θ avremo che: z = a + ib = z (cosθ + i sin θ) Ponendo, per comodità, z = ρ si ottiene: z = ρ (cosθ + i sin θ) (1.4) che viene detta forma trigonometrica di z. Teorema 1.1. (De Moivre) Se z = ρ (cosθ + i sin θ) ed n N allora: z n = ρ n (cos nθ + i sin nθ) Dimostrazione. Per induzione su n. Esercizio

15 1.4. FORMA ALGEBRICA, FORMA TRIGONOMETRICA, FORMA ESPONENZIALE DEI NUMERI Forma esponenziale Consideriamo la serie reale: e x = n=0 convergente per ogni x R. Procediamo in modo formale e sostituiamo a x la variabile iθ. Otteniamo, che formalmente, si ha: e iθ = (iθ) n n=0 n! x n n! = 1 + iθ 1! + i2 θ 2 + i3 θ 3 + i4 θ 4 2! 3! 4! e iθ = 1 + iθ ) (1 1! θ2 2! iθ3 3! + θ4 4! = θ2 2! + θ4 4! e quindi e iθ = cosθ + i sin θ ) + i (θ θ3 3! + Queste manipolazioni formali, suggeriscono che si può utilizzare il simbolo e iθ come abbreviazione di cosθ + i sin θ. Pertanto si può scrivere: come: z = ρ (cosθ + i sin θ) z = ρe iθ (1.5) che viene detta forma esponenziale di z. Naturalmente tutto questo non servirebbe a molto se non si dimostrasse, in Analisi Complessa, che la funzione: θ e iθ ha le proprietà di una funzione esponenziale ed in particolare: e iθ 1 e iθ 2 = e i(θ 1+θ 2 ) Osserviamo che la funzione e iθ è periodica di periodo 2π e che in particolare: e 2πi = 1 e πi = 1

16 16 CAPITOLO 1. NOZIONI FONDAMENTALI

17 Parte II Alcune applicazioni alla Geometria 17

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19 Capitolo 2 Isometrie del piano e numeri complessi 2.1 Trasformazioni particolari Traslazioni Proposizione 2.1. Se c C e se α : C C z z + c allora: α (z) α (w) = z w z, w C (2.1) Dimostrazione. Poichè: α (z) = z + c α (w) = w + c si avrà: α (z) α (w) = z + c w c = z w z, w C Definizione 2.1. Le trasformazioni descritte nella Proposizione 2.1 si dicono traslazioni di R 2. 19

20 20 CAPITOLO 2. ISOMETRIE DEL PIANO E NUMERI COMPLESSI Figura 2.1: Traslazione determinata da c Rotazioni intorno all origine Proposizione 2.2. Se θ [0, 2π) è un prefissato numero reale e se: β : C C z e iθ z allora: β (z) β (w) = z w z, w C (2.2) Dimostrazione. Poichè: si ha: β (z) = e iθ z α (w) = e iθ w β (z) β (w) = e iθ z e iθ w = e iθ (z w) = e iθ z w = 1 z w = z w dove si è tenuto conto del fatto che, essendo e iθ = cosθ + i sin θ, si ha e iθ = 1. Definizione 2.2. Le trasformazioni descritte nella Proposizione 2.2 si dicono rotazioni di R 2, di dato angolo θ intorno all origine O.

21 2.1. TRASFORMAZIONI PARTICOLARI 21 Figura 2.2: Rotazione di angolo θ intorno all origine Riflessioni rispetto all asse reale Proposizione 2.3. Se: allora: Dimostrazione. Poichè: γ (z) = z γ (w) = w γ : C C z z γ (z) γ (w) = z w z, w C (2.3) si avrà: ma: γ (z) γ (w) = z w z, w C z w = z w = z w da cui la tesi. Definizione 2.3. Le trasformazioni descritte nella Proposizione 2.3 si dicono riflessioni di R 2, rispetto all asse reale.

22 22 CAPITOLO 2. ISOMETRIE DEL PIANO E NUMERI COMPLESSI Figura 2.3: Riflessione rispetto all asse reale 2.2 Alcuni Teoremi sulle Isometrie del piano Isometrie che fissano due punti Data una isometria α diciamo che z 0 è un punto fisso per α se e solo se α(z 0 ) = z 0. La traslazione z z e la riflessione rispetto all asse reale sono due isometrie per le quali 0 e 1 sono punti fissi. Nel prossimo Teorema vedremo che non ci sono altre isometrie con queste proprietà. Premettiamo il seguente: Lemma 2.1. Se α è un isometria che ha 0 come punto fisso e se C è una qualunque circonferenza di centro 0 e raggio ρ allora α (C) C Dimostrazione. Sia w C. Per ipotesi w = ρ. Ne segue che: in quanto, per ipotesi, α(0) = 0. Ma: α (w) = α (w) 0 = α (w) α (0) α (w) α (0) = w 0 = w = ρ e dunque: Questo prova la tesi. α (w) = ρ

23 2.2. ALCUNI TEOREMI SULLE ISOMETRIE DEL PIANO 23 Lemma 2.2. Se α è un isometria che ha 1 come punto fisso e se C è una qualunque circonferenza di centro 1 e raggio ρ allora α (C ) C Dimostrazione. Come la precedente (FARLA PER ESERCIZIO). Lemma 2.3. Se α è un isometria del piano che ha 0 e 1 come punti fissi e z C diverso da 0 e da 1. Considerate la circonferenza C di centro 0 passante per z e la circonferenza di centro 1 passante per z si ha che: C C = {z, α(z)} Dimostrazione. Poichè z C, per il Lemma 2.1 anche α(z) C. Poichè z C, per il Lemma 2.2 anche α(z) C. Da questi due fatti segue la tesi. Figura 2.4: Lemma 2.4. Se z R allora α(z) = z. Dimostrazione. Se z R avremo che la distanza dei centri delle due circonferenze è uguale alla somma o alla differenza dei raggi e quindi le circonferenze sono tangenti. Dunque α(z) = z e perciò z è fisso.

24 24 CAPITOLO 2. ISOMETRIE DEL PIANO E NUMERI COMPLESSI (a) (b) Figura 2.5: Se z R allora z è un punto fisso. Lemma 2.5. Se z C è tale per cui α(z) z allora α(z) = z. Dimostrazione. Siccome α(z) z certamente z non può essere un punto dell asse reale. Ripetiamo allora la costruzione delle due circonferenze di cui al Lemma 2.3 e osserviamo che: z 0 = α(z) 0 per il Lemma 2.3 e quindi 0 è un punto dell asse del segmento di estremi z e α(z). z 1 = α(z) 1 per il Lemma 2.3 e quindi 1 è un punto dell asse del segmento di estremi z e α(z). Da ciò segue che l asse reale è l asse del segmento di estremi z, α(z). Se z = a + ib e α(z) = c + id allora: a = c b = d e quindi α(z) = z.

25 2.2. ALCUNI TEOREMI SULLE ISOMETRIE DEL PIANO 25 Figura 2.6: L asse reale è l asse geometrico del segmento di estremi z e α(z) Abbiamo quindi provato il seguente: Teorema 2.1. Se α è un isometria che ha 0 e 1 come punti fissi, allora: α(z) = z per ogni z C; oppure α(z) = z per ogni z C; Teorema 2.2. Se α è un isometria che fissa lo 0 allora: α (z) = e iθ z. α (z) = e iθ z. Dimostrazione. Dall ipotesi si ha α(0) = 0 e siccome α è un isometria, avremo che: α (1) = α (1) α (0) = 1 0 = 1. Ne segue che: α (1) = e iθ. per un opportuno θ [0, 2π). Definiamo allora β : C C z β (z) = e iθ z Questa trasformazione è un isometria ed inoltre β 1 (z) = e iθ z.

26 26 CAPITOLO 2. ISOMETRIE DEL PIANO E NUMERI COMPLESSI Poniamo allora: F : C C F(z) = α (β 1 (z)) Si ha subito che F è un isometria, in quanto composizione di due isometrie. Inoltre: F(0) = α ( β 1 (0) ) = α (0) = 0. e F(1) = α ( β 1 (1) ) = α ( e iθ) = e iθ e iθ = 1. Quindi F è un isometria che fissa 0 e 1 e dunque F(z) = z oppure F(z) = z per il teorema 2.1. Ne segue quindi che, nel primo caso si ha: α (z) = e iθ z mentre nel secondo caso si ha: α (z) = e iθ z Nota 2.1. Da quanto precede abbiamo che: Il Teorema 2.1 caratterizza le isometrie che fissano i punti 0 e 1. Il Teorema 2.2 caratterizza le isometrie che fissano il punto 0. Lemma 2.6. Se θ [0, 2π) prefissato, se r R se A = { } z C : z = re 1 2 θi, r R allora dove α (z) = z z A α (z) = e iθ z

27 2.2. ALCUNI TEOREMI SULLE ISOMETRIE DEL PIANO 27 Figura 2.7: La trasformazione α(z) = e iθ z. La retta A è una retta di punti uniti Dimostrazione. Siccome z A avremo che z = re 1 2 θi. e quindi: α (z) = e iθ re 1 2 θi = re 1 2 θi = z Definizione 2.4. Le trasformazioni aventi una retta di punti uniti che è l asse del segmento congiungente un qualunque punto e il suo trasformato si dicono riflessioni. La retta di punti uniti si dice asse di riflessione. Lemma 2.7. Se allora α (z) = e iθ z α 2 (z) = z z C Dimostrazione. Sia z = ρe iλ. un qualunque punto di C. Si avrà che: z = ρe iλ.

28 28 CAPITOLO 2. ISOMETRIE DEL PIANO E NUMERI COMPLESSI e quindi: Pertanto: da cui: α (z) = e iθ ρe iλ = ρe i(θ λ). α (z) = ρe i(θ λ). α 2 (z) = α (α (z)) = e iθ ρe i(θ λ) = ρe iθ e i(θ λ) = ρe iλ = z Lemma 2.8. Se e se allora α : C C α (z) = z β : C C β (z) = e iθ z R (z) = β (α (z)) = e iθ z. Dimostrazione. In base alla definizione si ha da cui la tesi. z α z β eiθ z. Abbiamo così dimostrato il seguente: Teorema 2.3. Se R (z) = e iθ z. è la rotazione di centro 0 e angolo θ allora R(z) è il prodotto di due riflessioni aventi gli assi passanti per 0. Il seguente teorema classifica tutte le isometrie del piano: Teorema 2.4. Sia α(z) una qualunque isometria del piano e sia α(0) = c. Allora α (z) = e iθ z + c. oppure α (z) = e iθ z + c.

29 2.2. ALCUNI TEOREMI SULLE ISOMETRIE DEL PIANO 29 Figura 2.8: Una generica rotazione può essere ottenuta come il prodotto di due riflessioni aventi gli assi passanti per il centro di rotazione Dimostrazione. Consideriamo la traslazione: e l applicazione τ (z) = z + c G : C C z G(z) = τ 1 (α (z)) che è un isometria in quanto composizione di isometrie. Si ha: G(0) = τ 1 (α (0)) = τ 1 (c) = 0 e quindi G(z) è un isometria che fissa lo 0. Allora, in base al Teorema 2.2 si ha che: G(z) = e iθ z oppure: G(z) = e iθ z Ne segue che: α (z) = τ (G(z)) = e iθ z + c α (z) = τ (G(z)) = e iθ z + c che è quanto si voleva provare.

30 30 CAPITOLO 2. ISOMETRIE DEL PIANO E NUMERI COMPLESSI

31 Appendice A La formula risolutiva delle equazioni di terzo grado A.1 Premessa L origine dei numeri complessi risale al XVI secolo, quando Gerolamo Cardano scoprì la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado. A.2 La formula A.2.1 Premessa Il modo presentato di seguito è la versione ingenua e volutamente vengono nascosti alcuni punti delicati, che sfuggirono per ovvi motivi, agli algebristi del 500. Il motivo di questa scelta è proprio quello di far vedere come un approccio superficiale 1 porti immediatamente a seri problemi Prima di iniziare, osserviamo che, data una generica equazione di terzo grado: y 3 + ay 2 + by + c = 0 essa può sempre essere ridotta alla forma: x 3 + px + q = 0 (A.1) mediante la sostituzione: y = x 1 3 a Pertanto considereremo solo equazioni di terzo grado di questo tipo. 1 Che è l unico possibile se non si conoscono già i numeri complessi! 31

32 32APPENDICE A. LA FORMULA RISOLUTIVA DELLE EQUAZIONI DI TERZO GRADO A.2.2 Il modo di procedere naive Per risolvere un equazione del tipo precedente si può procedere nel seguente modo: Poniamo x = u + v dove u, v sono variabili ausiliarie. Ne segue che: x 3 = u 3 + v 3 + 3uv (u + v) L equazione (??) diventa allora: u 3 + v 3 + [3uv + p] (u + v) + q = 0 Se si riescono a trovare u, v in modo che: u 3 + v 3 = q uv = p 3 (A.2) (A.3) Per cercare di risolvere (A.3) osserviamo che se u, v sono soluzioni di tale sistema allora sono anche soluzioni del sistema: u 3 + v 3 = q (A.4) u 3 v 3 = p3 27 Quindi se si determinano le soluzioni di quest ultimo, fra esse vi saranno anche le eventuali soluzioni di (A.3) Se chiamiamo X = u 3, Y = v 3 il precedente sistema è ricondotto ad un sistema simmetrico di 2 grado: X + Y = q che ha come equazione risolvente: XY = p3 27 e che fornisce: Z 2 + qz p3 27 = 0 X = q 2 + q p3 27 Y = q 2 q p3 27

33 A.3. LA NECESSITÀ DEI NUMERI COMPLESSI 33 Si ha allora 2 u = 3 q + q 2 + p v = 3 q q 2 + p e quindi: x = 3 q 2 + q p q 2 q p3 27 che costituisce la Formula di Cardano. A.3 La necessità dei numeri complessi Si consideri l equazione x 3 15x 4 = 0 E facile dimostrare che essa ha tre soluzioni reali; infatti, una soluzione è x 1 = 4 e si può scrivere l equazione nella forma: (x 4)(x 2 + 4x + 1) = 0 dalla quale ricaviamo le altre due soluzioni che sono x 2,3 = 2 ± (3). Se tuttavia applichiamo la formula di Cardano, troviamo: x = Questo fatto pose seri dubbi agli algebristi del 500! E da lì che ha iniziato a circolare l aggettivo immaginario riferito al simbolo 1 R. Bombelli nel suo libro L Algebra suggerisce di procedere come segue: egli pone = a + b = a b 1 2 La parte ingenua del procedimento è proprio in ciò che segue!

34 34APPENDICE A. LA FORMULA RISOLUTIVA DELLE EQUAZIONI DI TERZO GRADO e dopo qualche manipolazione algebrica trova: { a = 2 b = 1 da cui deduce: x = = ( ) + ( 2 1 ) = 4 In altri termini Bombelli tratta la questione da un punto di vista formale, senza preoccuparsi di dare un significato a 1. Successivamente, fu Cartesio a coniare il termine immaginario riferito al suddetto simbolo. Da allora tale aggettivo è rimasto e solo dopo l interpretazione grafica dei numeri complessi da parte di Gauss 3 che ci si rese conto che di immaginario vi era ben poco. Tuttavia tale termine rimase ed è in uso tuttora. 3 Vi erano però stati dei predecessori, sicuramente non noti a Gauss, quali il danese Wessel e il francese Argand

35 Appendice B Cronologia della storia dei numeri complessi Riportiamo una breve cronologia della Storia dei numeri complessi: 1545 G. Cardano utilizza per la prima volta espressioni del tipo a + b con b > R. Bombelli introduce il simbolo R. Cartesio nel suo celebre trattato Discours de la méthod pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences introduce l aggettivo immaginario riferendosi a quelli che oggi sono noti come numeri immaginari puri A. de Moivre parla della formula (cosθ + i sin θ) n = cosnθ + i sin nθ n N che oggi porta il suo nome, dicendo però che Newton la conosceva già. Eulero introduce la notazione i = 1, visualizza le soluzioni dell equazione z n = 1 come i vertici di un poligono regolare, definisce l esponenziale complesso e dimostra la relazione e iθ = cosθ + i sin θ 1831 W. R. Hamilton introduce il concetto di coppia ordinata e descrive il modo di introdurre i numeri complessi per mezzodi tale concetto C.F Gauss rappresenta geometricamente i numeri complessi. 35

36 36APPENDICE B. CRONOLOGIA DELLA STORIA DEI NUMERI COMPLESSI 1847 A. L. Cauchy introduce i numeri complessi come R [x] / ( x )

37 Appendice C Ciclotomia e numeri complessi Di seguito è riportata la visualizzazione delle soluzioni dell equazione: z n 1 = 0 nei casi n = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Tali soluzioni sono rappresentate dai vertici dei rispettivi poligoni ed appartengono alla circonferenza unitaria di centro l origine. La suddetta equazione è chiamata equazione ciclotomica. Si noti la simmetria delle figure rispetto all asse reale: algebricamente ciò significa che se z 0 è una soluzione dell equazione ciclotomica, anche z 0 lo è. Figura C.1: 37

38 38 APPENDICE C. CICLOTOMIA E NUMERI COMPLESSI Figura C.2: Figura C.3: Figura C.4:

39 39 Figura C.5: Figura C.6:

40 40 APPENDICE C. CICLOTOMIA E NUMERI COMPLESSI

41 Indice I I Numeri Complessi 5 1 Nozioni Fondamentali Breve storia dei Numeri Complessi Alcuni modi di introdurre i Numeri Complessi Introduzione I numeri complessi secondo Hamilton I numeri complessi come matrici I numeri complessi secondo Cauchy Rappresentazioni geometriche di C Il piano di Argand-Gauss La sfera di Riemann Forma algebrica, forma trigonometrica, forma esponenziale dei numeri complessi Forma algebrica Forma trigonometrica Forma esponenziale II Alcune applicazioni alla Geometria 17 2 Isometrie del piano e numeri complessi Trasformazioni particolari Traslazioni Rotazioni intorno all origine Riflessioni rispetto all asse reale Alcuni Teoremi sulle Isometrie del piano Isometrie che fissano due punti A La formula risolutiva delle equazioni di terzo grado 31 A.1 Premessa A.2 La formula

42 42 INDICE A.2.1 Premessa A.2.2 Il modo di procedere naive A.3 La necessità dei numeri complessi B Cronologia della storia dei numeri complessi 35 C Ciclotomia e numeri complessi 37

43 Elenco delle figure 1.1 Il piano di Argand-Gauss La sfera di Riemann Traslazione determinata da c Rotazione di angolo θ intorno all origine Riflessione rispetto all asse reale Se z R allora z è un punto fisso L asse reale è l asse geometrico del segmento di estremi z e α(z) La trasformazione α(z) = e iθ z. La retta A è una retta di punti uniti Una generica rotazione può essere ottenuta come il prodotto di due riflessioni aventi gli assi passanti per il centro di rotazione 29 C C C C C C