Il problema dei due corpi La dinamica planetaria

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Livia Cirillo
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1 Il problema dei due corpi La dinamica planetaria

2 La Meccanica Classica Lagrange Hamilton Jacobi

dimensioni, un vettore è un oggetto matematico a tre componenti.

3 Vettori Per rendere conto della 3-dimensionalità in fisica, e in matematica, si usano delle grandezze più complesse dei semplici numeri i vettori Per lo spazio, che ha 3 dimensioni, un vettore è un oggetto matematico a tre componenti. In questo modo si può rappresentare non solo la sua intensità (il modulo) ma anche il punto dello spazio verso cui è orientato.

rappresentato il vettore è un sistema cartesiano il prodotto vettoriale di due

4 Prodotto vettoriale Il prodotto vettoriale tra due vettori, orientati, fornisce un terzo vettore anche lui orientato Se il sistema di coordinate in cui è rappresentato il vettore è un sistema cartesiano il prodotto vettoriale di due vettori che giacciono su di un piano produce un vettore perpendicolare al piano stesso

5 Il problema dei due corpi 1. Il calcolo del problema dei due corpi si può trasformare ad un problema ridotto dei due corpi ad un corpo solo se si lavora nel centro di massa del sistema 2. Fondamentale è la dipendenza da 1/r 2 della forza di gravità che classifica il problema come quello del moto in un campo di forze centrali 3. Determinante è l individuazione degli integrali primi del moto che dipendono dai principi conservativi in un campo di forze centrali Conservazione dell impulso Conservazione del momento angolare Conservazione dell energia 4. In prima approssimazione l orbita di un pianeta si può calcolare considerando la massa del pianeta trascurabile rispetto a quella del Sole e trascurando le perturbazioni di tutti glia altri pianeti e corpi del Sistema solare

6 Conservazione dell impulso L impulso è definito come il prodotto tra la velocità e la massa. Per un sistema di N punti materiali si definisce come: P N = = 1 E la sua conservazione si esprime come la sua costanza nel tempo cioè N p i mv 1 i d dt P = N d m vi dt 1 = 0 Questo equivale alla ipotesi di invarianza per traslazioni spaziali Nel caso del moto dei pianeti si può tranquillamente considerare valido il principio della relatività galileiana NON sono quindi presenti effetti relativistici

Momento angolare è definito come: L = r P E la sua conservazione si esprime come la sua costanza nel tempo cioè d L dt =

7 Conservazione del momento angolare Il momento angolare riguarda invece le proprietà del sistema di punti materiali riguardanti le rotazioni. Momento angolare è definito come: L = r P E la sua conservazione si esprime come la sua costanza nel tempo cioè d L dt = 0 Questo equivale alla ipotesi di invarianza per rotazioni cioè all isotropia dello spazio Nel caso del moto dei pianeti questo comporta che il moto di un pianeta attorno al Sole avviene in un piano detto piano dell orbita

8 Conservazione dell energia La conservazione dell energia è basata sulla definizione di Energia Totale. Questa a sua volta richiede, nel caso in cui trascuriamo gli effetti dissipativi (attrito, viscosità, conduzione etc..) la definizione di due termini: 1) Energia cinetica = K = ½ m v 2 2) Energia potenziale = (nel caso di un punto materiale m 1 soggetto alla forza gravitazionale di una massa m 2 ) = V(r)= G m 1 m 2 /r L Energia Totale è la somma di questi due termini E = T + V La conservazione a sua volta si basa sulla costanza di E cioè sul fatto che de dt d( K + T ) = = 0 E dt = costante Questo equivale alla ipotesi di invarianza per traslazioni temporali

9 Il problema dei due corpi La prima legge di Keplero nella sua forma restrittiva orbite complanari è collegata alla conservazione del momento angolare La seconda legge di Keplero sulla costanza delle aree spazzate dal raggio vettore richiede anche la conservazione dell impulso Per ricavare la forma delle orbite bisogna anche prendere in considerazione la conservazione dell energia che permette di scegliere tra orbite aperte (paraboliche od iperboliche) ed orbite chiuse (ellittiche) Specificando le legge dell inverso del quadrato del raggio, cioè la legge di gravitazione universale di Newton, si ricava nel caso specifico di orbite ellittiche la terza legge di Keplero Con Newton tre leggi cinematiche vengono unificate in una sola legge quella di gravitazione universale a regolare il moto dei pianeti rispetto al Sole

10 Soluzione analitica del problema dei due corpi I Il segno sta ad indicare che la forza è diretta (k>0) verso il centro di forza

11 Soluzione analitica del problema dei due corpi II

12 Soluzione analitica del problema dei due corpi III Equilibrio tra la forza attrattiva e quella centrifuga

13 Il problema dei due corpi

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