Complementi di Matematica e Statistica

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1 Uiversità di Bolog Sede di Forlì Ao Accdemico Complemeti di Mtemtic e Sttistic (Alessdro Lubisco) Alisi delle compoeti pricipli

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3 INDICE Idice...i Alisi delle compoeti pricipli... Premess... U iterpretzioe geometric...4 Sviluppi formli... Mtrici ortoormli e ortogoli... Determite di u mtrice... 3 Determizioe delle compoeti pricipli... 4 L scelt del umero di compoeti... L percetule di vriz spiegt... Regol di Kiser... Scree digrm...

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5 ANALISI DELLE COMPONENTI PRINCIPALI PREMESSA Il cmpo dell lisi multivrit cosiste i quelle teciche sttistiche che cosidero due o più vribili csuli correlte come u sigol etità e cerco di produrre u risultto complessivo che teg coto delle relzioi esisteti tr le vribili. Molte delle teciche multivrite iferezili soo geerlizzzioi delle clssiche procedure uivrite. Si pesi, per esempio, ll regressioe multivrit. C è, tuttvi, u ltr clsse di teciche che è uic el porm delle teciche multivrite, el seso che o h u corrispodete tecic uivrit. Il coefficiete di correlzioe è u esempio clzte. Sebbee queste teciche posso essere che utilizzte ell sttistic iferezile, l mggior prte delle loro ppliczioi è come strumeto di lisi dei dti. I prticolre, soo utilizzte come teciche che cerco di descrivere l struttur multivrit dei dti. L PCA è u tecic di questo tipo che, sebbee ust priciplmete come tecic descrittiv, può essere utilizzt ltrettto i procedure iferezili. L lisi delle compoeti pricipli (ACP o PCA) pprtiee lle teciche sttistiche di lisi multivrit, ogu delle quli h crtteristiche proprie, presetdo tuttvi coessioi cocettuli e possibilità complemetri di utilizzo, ciscu rispetto lle ltre. I metodi dell ACP vegoo dottti ell mbito di vrie disciplie, prticolrmete l sociologi e l psicologi, m che l biologi, l medici e l ecoomi. Tli metodi si pplico u isieme di osservzioi iizili (vribili osservte), eseguite mgri co lo scopo di disporre di molte iformzioi rigurdo collettivi più o meo mpi. Così, per esempio, se per eseguire u idgie, poimo sui cosumi, vegoo scelte veti vribili cosiddette rilevti (età, scolrità, umero dei fmiliri coviveti, reddito, umero di elettrodomestici posseduti, ecc.) e suppoedo di itervistre mille persoe, si ottiee u mss di vetimil dti, i quli, cosiderti i blocco, o soo immeditmete idoei forire iformzioi sitetiche e rissutive, che se bbodo le otizie di dettglio.

6 Alisi sttistic multivrit L obiettivo dell ACP cosiste llor ell idividure lcui (pochi) fttori di fodo che spieghio e dio rgioe dei dti stessi. Tli fttori di fodo, o compoeti, rppreseto delle dimesioi ideli dotte di sigificto. Così, ell mbito del comportmeto di cosumo, potrebbero emergere compoeti quli: desiderio di essere ccettti dl gruppo cui si spir pprteere, tedez icremetre il proprio seso di sicurezz, desiderio di essere percepiti come pprteeti u determito sttus socile, motivzioe l successo, ottimismo e pessimismo verso il proprio futuro, e vi dicedo. Il ricerctore tede duque scoprire delle dimesioi sottese (emergerà che il cocetto di lteti ) tte dr rgioe di u feomeo collettivo ltrimeti difficilmete decifrbile. M, prtimo dll iizio. Già verso l fie dell 800 ci si poevo domde sull possibilità di esprimere i form sitetic isiemi di vribili tr loro correlte, mgri proprio riducedo il umero delle vribili stesse. Le prime soluzioi soo stte proposte d Glto el 889 e d Edgeworth el 89 lvordo su misure tropometriche. Tli studiosi cercroo di ricombire tli misure idividudo strutture lieri idipedeti che potevo essere iterprette come idici tropometrici o correlti. All iizio del 900 che Krl Perso determiò u soluzioe simile, che se stv lvordo su u obiettivo differete. Il suo pproccio er di tipo geometrico e itedev determire rette e pii che potessero pprossimre u isieme di puti i uo spzio p- dimesiole. I reltà, l formulzioe più ot è ttulmete quell propost d Hotellig el 933 e si bs sull ipotesi che i vlori di u isieme di p vribili origirie sio determiti d u più ristretto isieme di vribili tr loro idipedeti. Tli vribili vegoo determite come combizioe liere delle vribili origirie i modo tle d mssimizzre il loro successivo cotributo ll vriz totle dell isieme. Tli combizioi lieri soo del tipo Y X + X + + i X i + + p X p

7 A. Lubisco 3 Y k k X + k X + + ki X i + + kp X p Y p p X + p X + + pi X i + + pp X p e vegoo dette compoeti pricipli. Devoo soddisfre i segueti requisiti: - o devoo essere correlte, cioè Cov(Y k,y k ) 0 k k - devoo essere ordite i relzioe ll qutità di vribilità complessiv che ciscu di esse può sitetizzre, cioè i relzioe quto è l pporto di ciscu compoete ll vribilità complessiv. Tle requisito può essere idicto co V(Y ) V(Y ) V(Y i ) V(Y p ) sempre teedo coto del ftto che l vribilità complessiv dei due diversi sistemi di riferimeto deve coicidere, cioè: p k V ( ) Y k p V( X i ) i Le compoeti pricipli così determite, come già cceto iizilmete, o corrispodoo crtteristiche direttmete osservbili, e vo di volt i volt iterprette. Ioltre, dl mometo che le vribili X i soo tr loro correlte, il sistem srà i qulche misur ridodte. Per questo motivo, scegliedole opportumete, o srà ecessrio utilizzre tutte le compoeti pricipli per rissumere i modo deguto i dti, m srà sufficiete cosiderre le prime m, co m iferiore p, qulor queste forisco u deguto coteuto iformtivo.

8 4 Alisi sttistic multivrit UN INTERPRETAZIONE GEOMETRICA Fccimo u piccolo esempio. Si suppog di disporre di u -pl di idividui e di ver rilevto su di essi due vribili: peso e ltezz. X Altezz X Peso Qul è l prim cos che vi viee i mete di fre dispoedo di dti simili? A prte gli idictori sitetici uivriti, si potrebbe prtire co u grfico che coset di visulizzre etrmbe le vribili

9 A. Lubisco 5 Quidi? U regressioe? Poi però bisog stbilire qule vribile è d cosiderre dipedete e qule idipedete. Ci troveremmo perciò di frote ll determizioe di due modelli differeti, el cso si decidesse di predere come predittiv u vribile piuttosto che l ltr. E se oi, ivece, semplicemete fcessimo u rotzioe degli ssi pssdo dl sistem X, X u uovo sistem che chimimo Y, Y? I quest mier, l form dell ube di puti rest immutt, metre cmbio le coordite dei puti. Ciò che può ccdere è che, se letti rispetto l uovo sistem di riferimeto, i puti coseto di trrre mggiori iformzioi (o semplicemete iformzioi più chire) rispetto l vecchio sistem. Nel cso di peso e ltezz, se fccimo riferimeto lle uove coordite troveremo che gli idividui che si trovo sull estremità destr dell sse OY sro soggetti co peso e sttur elevti, metre quelli che si trovo dll prte oppost soo idividui di bsso peso e bss sttur.

10 6 Alisi sttistic multivrit Come si potrebbe iterpretre quidi tle uov dimesioe? L posizioe di u idividuo lugo l sse OY dà idiczioi sull su tgli. Fccimo or riferimeto ll ltro uovo sse: i puti i lto siistr lugo questo sse rppreseto idividui di peso elevto, m bss sttur. Alogmete, idividui lugo l prte iferiore dell sse soo lti m di peso bsso. L posizioe lugo l sse OY che idiczioi ci dà? Ciò che si ottiee è u idiczioe di form. Se x e x rppreseto ltezz e peso di u idividuo del collettivo preso i esme, chimeremo y e y le coordite di quell idividuo el uovo sistem bsto sugli ssi OY e OY. Dl mometo che il uovo sistem di ssi è stto otteuto co u semplice rotzioe rispetto ll origie, l relzioe tr i due sistemi di riferimeto può essere espress ell form: y x cos α + x se α y -x se α + x cos α dove α è l golo tr OX e OY (ossi tr OX e OY ). Ne cosegue che l tgli è u combizioe liere di peso e ltezz (cioè y x + x dove e ho etrmbi lo stesso sego), metre l form è u cotrsto liere tr sttur e peso (cioè y b x + b x dove b e b soo di sego opposto). I questo modo bbimo solmete compiuto u rilettur del collettivo rispetto due uovi idictori che o bbimo osservto direttmete, m che bbimo i qulche modo iterpretto dll relzioe esistete co le vribili osservte. Fior o c è stt lcu sitesi e il sistem cotiu essere due dimesioi. Provimo or predere i cosiderzioe u secodo collettivo di soggetti, sul qule soo sempre stti rilevti ltezz e peso. E fccimo sempre riferimeto l uovo sistem di ssi idividuto precedetemete dove OY idic l tgli e OY l form.

11 A. Lubisco 7 Che tipo di cosiderzioi possimo fre osservdo u uvol di puti del geere? L dispersioe dei puti lugo l sse OY è molto elevt, m quell lugo l sse OY è ivece piuttosto ridott. Cos sigific ciò? Sigific che gli idividui di questo collettivo ho tglie molto differeti, m forme molto simili. Le vribili X e X (ltezz e peso) do luogo u distribuzioe bivrit. Ache le vribili Y e Y (tgli e form) do luogo u distribuzioe bivrit. Se cosiderimo le due distribuzioi poste su pii diversi, è fcile osservre che esiste u corrispodez biuivoc tr le due distribuzioi, sicché ciscu puto del pio OX OX si coette u corrispodete puto del pio OY OY. X e X soo però vribili correlte e così, visto che el ostro cso le due vribili soo correlte positivmete, vlori elevti di X tedoo corrispodere vlori elevti di X e, vicevers, vlori bssi di X tedoo corrispodere vlori bssi di X.

12 8 Alisi sttistic multivrit Dto che ivece Y e Y soo vribili icorrelte, scelto u vlore elevto di Y (tgli) o ci si ttede che esso si ssoci, i medi, u vlore elevto di Y (form), e vicevers. L stess popolzioe può essere lizzt sull bse di due distite distribuzioi bivrite: l prim è bst sull clssificzioe per spetti distiti e correlti (ltezz e peso), metre l secod è bst su spetti strtti e o correlti. Y e Y ssumoo sigificti d precisre di volt i volt; el cso i esme, ssumoo il sigificto di tgli e form. Y e Y tedoo quidi discrimire le uità sttistiche i modo differete. Metre però Y tede discrimire cospicumete i vri soggetti i rgioe dell su elevt vriz, ciò o vviee co Y. Queste cosiderzioi porto riteere che, se oi impiegssimo solo l dimesioe Y per rppresetre i dti, cioè utilizzssimo l rppresetzioe uidimesiole otteut proiettdo i puti sull sse OY, tle rppresetzioe srebbe u buo pprossimzioe dell uvol di puti bidimesiole. I ltre prole, le differeze tr gli soggetti di questo secodo cmpioe, vegoo espresse i mier sufficietemete ccurt che se, ivece di idicre per ciscuo di essi si l sttur x che il peso x, si cosider l idictore tgli y x cosα + x seα. Sostituedo lle vribili origirie X e X l uov vribile Y, si ottiee u riduzioe di dimesioi d, dl mometo che i dti or possoo essere rppresetti grficmete solo i fuzioe dei vlori di Y. A secod dei vlori di α che si scegliero, cioè i bse ll rotzioe di ssi che si sceglierà, si otterro differeti vribili Y e coseguetemete si otterro differeti rppresetzioi grfiche uidimesioli. Fr tutte queste rppresetzioi e esisterà u che potrà essere cosidert l migliore pprossimzioe (perché, vedo ridotto il sistem d due u dimesioe, prlimo pputo di pprossimzioe) dell relzioe che esiste tr gli puti ello spzio bidimesiole. Teimo presete che simo i u situzioe ell qule stimo cercdo di vlutre qule trsformzioe, d uo spzio bidime-

13 A. Lubisco 9 siole uo uidimesiole, si migliore. Pssdo d uo spzio bidimesiole uo uidimesiole, sostzilmete fccimo u proiezioe dei puti sul uovo sse che bbimo idividuto. L trsformzioe migliore (el ostro cso, rotzioe) deriverà d quel vlore di α che rede miimo lo spostmeto dei puti dll posizioe origile el processo di proiezioe. Dl mometo che le coordite dei puti rispetto Y soo le loro proiezioi ortogoli sull sse OY, l soluzioe srà dt dll rett l cui distz di puti è miim. Idichimo co P j u puto geerico e co P j l su proiezioe ortogole sull sse OY. L rett migliore srà quell che rede miim l somm: ' ( P ) j jp j (si oti l differez rispetto i miimi qudrti) Applicdo il teorem di Pitgor l trigolo OP j P j si ottiee: (OP j ) (OP j ) + (P j P j )

14 0 Alisi sttistic multivrit d cui, sommdo per tutti gli puti, cosegue j ' ' ( OP ) ( OP ) + ( P P ) j j j j Dividedo etrmbi i membri per - si ottiee ifie: j ' ' ( OP ) ( OP ) + ( P P ) j j j j j Il primo membro dell precedete ugugliz è costte per ogi dto cmpioe e idipedete dl sistem di riferimeto (iftti, o compioo le coordite P j che soo quelle del uovo sistem di riferimeto). Scegliere l sse OY i modo d miimizzre ' ( P j P j ) j srà quidi equivlete scegliere OY così d mssimizzre l qutità ' ( OP j ) j. Poiché O è il bricetro dell ube di puti (perché bbimo cosiderto vribili scrto dll medi) l qutità ' ( OP j ) j è semplicemete l vriz delle proiezioi delle uità cmpiorie sull sse OY. Trovre l sse OY che red miim l somm dei qudrti delle distze (perpedicolri) d ess è quidi equivlete trovre l rett OY tle che le proiezioi su di ess bbio mssim vriz. E su quest costtzioe che si bs l determizioe delle compoeti pricipli ell formulzioe forit d Hotellig. j j j

15 A. Lubisco SVILUPPI FORMALI Provimo or estedere quto sopr descritto i u cotesto bidimesiole u situzioe multivrit. Si pred i cosiderzioe u -pl di soggetti sui quli sio stte osservte p vribili. L mtrice dei dti vrà dimesioi (xp) e gli puti potro essere rppresetti i uo spzio p dimesioi. Così come ell esempio precedete i due ssi OX e OX rppresetvo ltezz e peso, ello spzio p-dimesiole che stimo or cosiderdo, ciscu sse idetific u delle p vribili osservte. Alogmete quto ftto precedetemete, si defiisc u rett OY di questo spzio tle che l dispersioe delle proiezioi dei puti su di ess si mssim. Questo equivle ll costruzioe di u vribile del tipo Y X + X + + p X p co coefficieti i che soddisfio il vicolo p i i (perché bst u vettore orm uitri per idetificre u rett i uo spzio) e determit, ioltre, dll codizioe che l su vriz si mssim. U volt idividut OY, si cosider il sottospzio di dimesioi (p-) ortogole OY e, come bbimo ftto per OY, si cerc l rett OY di questo sottospzio co mssim dispersioe delle proiezioi dei puti lugo di ess. Tle rett dovrà soddisfre ch ess l codizioe p i i. Fio qudo può proseguire questo processo? Il processo può cotiure fio qudo o si sio otteute p rette OY k (k,, p) fr loro ortogoli.

16 Alisi sttistic multivrit Ciscu di queste rette defiisce u vribile Y k k X + k X + + kp X p i cui le costti ki soo determite dll codizioe che l vriz di Y k si mssim sotto il vicolo di ortogolità co ciscu ltr vribile Y k dove (k < k), e sotto il vicolo p i ki per ogi k. Prim di procedere u ulteriore formlizzzioe del processo che port determire le compoeti pricipli, fccimo u richimo d lcui elemeti di geometri delle mtrici. Mtrici ortoormli e ortogoli U mtrice ortoormle è u mtrice qudrt co le segueti proprietà: ) A ±, dove A è il determite di A p p ) ij ij ( i, j) i j : l somm dei qudrti di quluque rig o colo è pri p 3) ijik 0 ( j k) i : i prodotti vettorili di quluque coppi di due coloe è pri 0; ciò implic che le coordite degli ssi, che queste coloe rppreseto, si iterseco co u golo di 90. Questo sigific che se l mtrice A è ortoormle, vlgoo le segueti uguglize: AA I A - A dove A - è l ivers di A. U mtrice che soddisfi l codizioe 3, m o le codizioi e si dice ortogole.

17 A. Lubisco 3 Determite di u mtrice Il determite A di u mtrice qudrt mxm A, è u sigolo vlore ssocito ll mtrice qudrt stess e i molti csi è i relzioe u misur di volume. Per mtrici x il detrermite può essere clcolto gilmete co il metodo dell icrocio. Dispoedo dell seguete mtrice x A Allor il determite di A srà dto d A Esiste u metodo logo che per u mtrice 3x3. Se u quluque coppi di righe o coloe dell mtrice qudrt soo dipedeti, cioè soo u combizioe liere dell ltr, llor il determite dell mtrice è pri zero. Co il determite si determi il rgo dell mtrice. Se il rgo è diverso d zero, llor l mtrice si dice o-sigolre. Il metodo delle compoeti pricipli è bsto sull lgebr delle mtrici: u mtrice pxp simmetric e o-sigolre, come potrebbe essere l mtrice di covriz, può essere ridott u mtrice digole L premoltiplicdo e postmoltiplicdo tle mtrice co u prticolre mtrice ortoormle A tle che A SA L Gli elemeti dell digole di L, l, l,, l p soo chimti rdici crtteristiche, rdici lteti o utovlori di S. Le coloe di A soo i vettori crtteristici o utovettori. Gli utovlori possoo essere otteuti dll soluzioe dll seguete equzioe, chimt equzioe crtteristic: S li 0 dove I è l mtrice idetità. L equzioe forisce u poliomio di grdo p dl qule vegoo determiti i vlori l, l,, l p.

18 4 Alisi sttistic multivrit Determizioe delle compoeti pricipli Premesso ciò, si suppog quidi di vere u vettore di vribili X (X, X,, X p ) di dimesioi (xp) osservto su idividui. Ciò geer, come è oto, u mtrice di dti di dimesioe (xp) il cui geerico elemeto è x ij. I vlori reltivi l j-esimo idividuo soo coteuti el vettore x j composto d p elemeti. Il vettore x ' ( x, x,, x p) cotiee i vlori medi delle p vribili. E oto ltresì che l vriz dell i-esim vribile è dt d: s ii (simo i u cotesto cmpiorio) ( xij xi ) j metre l covriz fr l i-esim e l i -esim vribile è dt d s ii' ( xji xi )( xji' xi' ) j Le vrize e le covrize possoo essere rissute ell mtrice S (dett pputo mtrice di vrize e covrize) i cui elemeti vegoo idicti co s ii' ; è possibile, ltresì, esprimere tle mtrice el seguete modo: S j ( x j x)( x j x) ' Omettedo l idictore k, l geeric vribile sclre Y X + X + + p X p (X e Y miuscole) otteut come combizioe liere delle vribili origirie X i, può essere scritt ell form più comptt come Y X dove (,,, p ). Il vlore di Y per il j-esimo idividuo osservto srà: y j x j + x j + + p x jp x j (X e Y miuscole)

19 A. Lubisco 5 metre l medi dell vribile Y el collettivo esmito srà y x + x + + p x p x L vriz di Y è s y ( y j y ) j M quto vle y j - y? Per quto sopr visto: y j - y x j - x (x j - x ) o, essedo il trsposto di uo sclre ugule llo sclre stesso, (y j - y ) (x j - x ). Moltiplicdo le due espressioi si ottiee che (y j - y ) (x j - x )(x j - x ) e quidi, sommdo rispetto ll idice j e dividedo per (-) si h: s ( y y ) ' ( x x)( x x) ' ' S y j j j j j Teimo presete quest relzioe perché srà u puto di rrivo ei prossimi pssggi. Se or formlizzimo quto prim er stto detto i termii geometrici, si può defiire l prim compoete priciple come l combizioe liere Y X delle vribili origirie che dà luogo l mssimo vlore di S sotto il vicolo. N.B. L qutità S è u form qudrtic defiit positiv (sigific che tutti gli utovlori soo positivi) e perciò o mmette u mssimo fiito. Per mssimizzre tle qutità è ecessrio imporre u vicolo sul vettore dei coefficieti. Tle vicolo (pputo ) cosete di otteere u soluzioe uic costituit d u vettore ormlizzto. Si cercherà perciò di determire il vettore che soddisfi tle codizioe

20 6 Alisi sttistic multivrit Trovre il vettore che mssimizz S, posto, equivle trovre il vettore che rede mssim l qutità S - l ( - ) dove l è oto come il moltiplictore di Lgrge. Il problem viee risolto poedo zero le derivte przili rispetto gli elemeti di, otteedo dopo lcui pssggi: S l d cui si ricv il seguete sistem omogeeo di equzioi, l cui soluzioe è il vettore : (S - l I) 0 (dove I è l mtrice idetità) Affiché il sistem mmett soluzioe o ble è però ecessrio che il determite dell mtrice dei coefficieti si ugule zero: S - l I 0 Quidi l è u utovlore di S e l soluzioe il corrispodete utovettore ormlizzto. Quti utovlori e corrispodeti utovettori ormlizzti h l mtrice S? Ne h p. Bisog perciò determire qule si quello che stimo cercdo. Premoltiplicdo l ugugliz S l per si ottiee S l e poiché srà l S Quidi l è l vriz di Y che si volev mssimizzre; questo problem h llor soluzioe se si cosider il più elevto utovlore di S. Ne segue che i coefficieti ell prim compoete priciple Y X soo gli elemeti dell utovettore di S che corrispode ll utovlore mggiore. Per l secod compoete e per le successive si f u rgiometo logo; si trtt di mssimizzre l vriz di ciscu compoete sotto il vicolo di orm uitri dei vettori dei coeffi-

21 A. Lubisco 7 cieti k k, poedo l ulteriore codizioe di ortogolità co le precedeti compoeti k k 0 (k < k) Per l k-esim compoete priciple i coefficieti k soo gli elemeti dell utovettore che corrispode l k-esimo utovlore l k ell grdutori decrescete degli utovlori di S. Ogi utovlore può llor essere letto come vriz dell corrispodete compoete priciple: Ioltre V(Y k ) l k Σ k l k Σ k V(Y k ) Σ k V(X i ) cioè, l somm delle vrize delle compoeti pricipli è ugule ll somm delle vrize delle vribili osservte. L importz di ogi compoete i termii di vribilità spiegt ll itero del sistem si misur co il rpporto V( Yk ) V( Y ) k lk l k Il risultto, moltiplicto per 00, idic iftti l percetule di vriz complessiv espress dll k-esim compoete. Qulor le vribili differisco per uità di misur o, pur essedo espresse ell medesim uità di misur, presetio vribilità otevolmete divers, è opportuo determire le compoeti pricipli o già sulle vribili origirie, besì sulle corrispodeti vribili stdrdizzte. I presez di forti differeze fr le vrize, iftti, le vribili co vriz mggiore tedoo domire le prime compoeti pricipli. Cos vuol dire questo? Vuol dire che elle prime compoeti pricipli, i coefficieti reltivi lle vribili X osservte co mggiore vriz sro molto più elevti di quelli reltivi lle ltre vribili osservte. I tl cso si opererà sull mtrice di correlzioe R piuttosto che sull mtrice di vrize covrize S. I risultti che si ottegoo

22 8 Alisi sttistic multivrit determido utovlori e utovettori dell u o dell ltr mtrice soo sesibilmete diversi e o esiste lcu relzioe che leghi gli ui gli ltri. L scelt di operre sui dti stdrdizzti ziché sui dti grezzi v perciò ttetmete podert, come pure v ftt co ttezioe l scelt delle uità di misur rispetto cui vegoo espressi i crtteri osservti. Iftti, le compoeti pricipli o soo isesibili cmbimeti di scl. A tl proposito, vlg il seguete esempio. Si suppog che sio stte rilevte due sole vribili X e X e che X poss essere e- spress si i cl (cetilitri) che i ml (millilitri). Nei due csi le mtrici di vriz e covriz potrebbero essere, d esempio: S e S Procedimo l clcolo degli utovlori dell mtrice S : Bisog imporre che il determite S - ΛI 0, quidi: Λ ( I) 0 cioè Λ Λ Λ 0 90 Λ 90 Λ 0 ( 90 Λ ) Λ + Λ 0 Risolvedo l equzioe di grdo i Λ si ottegoo le due soluzioi Λ 40 e Λ 40 (l cui somm è 80, pri pputo ll somm dei vlori sull digole di S ).

23 A. Lubisco 9 Prededo i cosiderzioe l utovlore più elevto e idicdolo co l, or bisog risolvere il sistem omogeeo (S - l I) l l che si trduce el seguete sistem: Affiché tle sistem bbi soluzioe o ble, bisog imporre che l utovettore (costituito d e ) si ormlizzto, cioè che: + I questo modo il sistem divet: Risolvedo, si ottegoo le segueti soluzioi: L prim compoete priciple di S è quidi Y X + X cioè Y 0,707X + 0,707X e l utovlore ess ssocit, cioè l su vriz è 40 (cioè il vlore l precedetemete clcolto. Qut prte dell vriz complessiv spieg tle compoete? Tle compoete spieg il

24 0 Alisi sttistic multivrit 77,78% dell vribilità complessiv. Il clcolo vviee fcedo (40/(90+90))*00. Co loghi clcoli si determi che l prim compoete priciple di S è ivece Y 0,998X + 0,055X e l su vriz è 907,97, cioè il 99,3% dell vribilità complessiv del sistem. Il clcolo vviee fcedo (907,97/( ))*00. U semplice cmbimeto di uità di misur h quidi l effetto di trsformre u compoete priciple che dà ugul peso X e X i u compoete domit completmete d i u compoete domit completmete d X. Geerlizzdo quto ppe mostrto l cso di p> si vrà che, i presez di forte eteroschedsticità, le compoeti pricipli soo pressoché equivleti lle vribili origirie disposte i ordie di vriz decrescete. U ulteriore giustificzioe l clcolo delle compoeti pricipli sull mtrice R piuttosto che su S st ell mggiore fcilità di cofroti co ltre situzioi. I coclusioe, è però opportuo ricordre che, qudo si vogli fre iferez sulle compoeti pricipli dell popolzioe prtire d quelle clcolte su u cmpioe, i risultti vlgoo solo se le compoeti pricipli soo clcolte prtire dll mtrice di vrize e covrize. È ifie opportuo ricordre che il umero delle compoeti lieri che risulto dll soluzioe dell equzioe crtteristic dipede dl rgo dell mtrice di vriz-covriz. Se l mtrice è pieo rgo, si possoo determire fio p compoeti pricipli ordite secodo l mmotre del loro cotributo ll vribilità complessiv. Nell prtic, si è soliti cosiderre solo le m compoeti che spiego u frzioe sufficiete di vribilità, riteedo le restti p m compoeti prticmete irrilevti per l descrizioe del feomeo.

25 A. Lubisco LA SCELTA DEL NUMERO DI COMPONENTI L percetule di vriz spiegt Il criterio più immedito per l scelt del umero m di compoeti rispetto cui rppresetre il feomeo presuppoe che veg prefisst l proporzioe dell vribilità complessiv che si desider tli compoeti spieghio, d esempio il 70/80%; m srà perciò il umero più piccolo di compoeti per le quli tle percetule è supert. I softwre che clcolo le compoeti pricipli foriscoo tle idiczioe e quidi, se lo si decide, si può trquillmete utilizzre quest strtegi. Regol di Kiser U ltro criterio, oto che co il ome di regol di Kiser, utile qudo si estrggoo le compoeti dll mtrice di correlzioe, suggerisce di trtteere solo le compoeti corrispodeti d utovlori mggiori o uguli ll uità. L ide sottostte questo criterio è che se le vribili X i, i,, p, fossero idipedeti e stdrdizzte, le compoeti coiciderebbero co tli vribili e vrebbero vriz uitri; quidi ogi compoete co vriz iferiore cotiee meo iformzioi di u qulsisi delle vribili origirie. Alcui utori ritegoo che questo criterio sottostimi il umero di compoeti ecessrio per u degut rppresetzioe dell vribilità del feomeo osservto e propogoo di bbssre l sogli 0,7 così d teer coto dell vribilità cmpiori. Qulor l lisi si svolt sull mtrice di vriz-covriz l medi degli utovlori l p k lk p può essere utilizzt come vlore critico; solo le compoeti co vriz mggiore di l verro trtteute. Scree digrm Acor, ell scelt di m (il umero di compoeti sufficieti ri-

26 Alisi sttistic multivrit produrre co buo pprossimzioe i dti di prtez) ci si può servire del grfico degli utovlori rispetto l loro ordie di estrzioe (oto come scree digrm o scree plot) e scegliere quel umero m di compoeti i corrispodez del qule il grfico preset u gomito.