Esercizi proposti nel Cap. 2 - Soluzioni. Esercizio 2.1
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1 M. CARAMIA, S. GIORDANI, F. GUERRIERO, R. MUSMANNO, D. PACCIARELLI RICERCA OPERATIVA Isedi Esercizi proposti nel Cap. 2 - Soluzioni Esercizio 2.1 x i, chili di prodotto venduti settimanalmente del composto i = A, B, C; y A, chili realizzati settimanalmente del composto A per la produzione del composto B; y B, chili realizzati settimanalmente del composto B per la produzione del composto C. max z = 40,6x A + 22,5x B + 38,2x C x A + y A + 2,5x B + 2,5y B + 3,5x C 38 3x B y A x C y B x A, x B, x C, y A, y B 0 La soluzione ottima del problema è pari a x * = [38 0 0], y * = [0 0], con valore di funzione obiettivo pari a z * = 1542,8. Esercizio 2.2 x ij, numero di lotti di viti di tipo i = 1, 2, 3 realizzati nel reparto j = A, B. max z = 35(x 1A + x 1B ) + 30(x 2A + x 2B ) + 20(x 3A + x 3B ) 3,5x 1A + 3,2x 2A + 2,5x 3A ,8x 1B + 3,5x 2B + 3x 3B 2400 x 3A + x 3B 0,2(x 1A + x 1B + x 2A + x 2B + x 3A + x 3B ) x 1A + x 1B 0,7(x 1A + x 1B + x 2A + x 2B + x 3A + x 3B ) x 1A, x 1B, x 2A, x 2B, x 3A, x 3B 0 La soluzione ottima del problema è pari a x * = [149, , ,274] per il reparto A, x * = [631, ] per il reparto B, con valore di funzione obiettivo pari a z * = 35165,62. Esercizio 2.3
2 x i, frazione di componente di tipo i = A, B, C, D presente nel prodotto. min z = 0,1x A + 0,08x B + 0,07x C + 0,05x D x A + x B + x C + x D = 1 17x A + 15x B + 15x C + 14x D 15 12x A + 10x B + 11x C + 8x D 10 3x A + 2x B + 2,5x C + 6x D 4 0 x A, x B, x C, x D 0,6 La soluzione ottima del problema è pari a x * = [0,2 0 0,4 0,4], con valore di funzione obiettivo pari a z * = 0,068. Esercizio 2.4 x t, frigoriferi realizzati internamente nel periodo t = 1, 2, 3, 4, 5; y t, frigoriferi realizzati esternamente nel periodo t = 1, 2, 3, 4, 5; I t, livello di inventario nel periodo t = 1, 2, 3, 4, 5. min z = 5 t=1 (100x t + 150y t + 2I t ) x 1 + y 1 = I 1 I 1 + x 2 + y 2 = I 2 I 2 + x 3 + y 3 = I 3 I 3 + x 4 + y 4 = I 4 I 4 + x 5 + y 5 = I 5 I 5 = x 1, x 2, x 3, x 4, x y 1, y 2, y 3, y 4, y La soluzione ottima del problema è pari a x * = [ ], y * = [ ], I * = [ ], con valore di funzione obiettivo pari a z * = Esercizio 2.5 x i, chili di prodotto i = 1, 2, 3 realizzati. max z = 7x 1 + 6x x 3 2x 1 + 4x 3 24
3 0,7 0,6x 1 + 0,6x 2 + 0,5x ,2 x 1 + 0,7 0,05x 1 + 0,05x 2 + 0,3x 3 3 0,7 0,02x 1 + 0,02x 2 0,1 x 1, x 2, x 3 0 La soluzione ottima del problema è pari a x * = [0 5 6], con valore di funzione obiettivo pari a z * = 90. Esercizio 2.6 x t, quintali di melanzane alla parmigiana prodotte nel periodo t = 1, 2, 3; I t, livello di inventario nel periodo t = 1, 2, 3. min z = 200x x x x 1 = I 1 I 1 + x 2 = I 2 I 2 + x 3 = I 3 I I I 3 = 50 0 x x x I 1, I 2, I 3 0 La soluzione ottima del problema è pari a x * = [ ], I * = [ ], con valore di funzione obiettivo pari a z * = Esercizio 2.7 x ij, numero di bottiglie di liquore trasportati dal deposito i = 1, 2, 3 al punto vendita j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. min z = 2x ,4x x ,3x ,8x x ,5x x ,8x x ,6x ,4x ,2x ,3x ,6x ,5x ,9x ,1x 36 x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 + x x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 + x x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 + x
4 x 11 + x 21 + x 31 = 900 x 12 + x 22 + x 32 = 1200 x 13 + x 23 + x 33 = 700 x 14 + x 24 + x 34 = 1000 x 15 + x 25 + x 35 = 600 x 16 + x 26 + x 36 = 450 x ij 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 La soluzione ottima del problema è pari a x * 12 = 1200, x * 23 = 700, x * 24 = 850, x * 26 = 450, x * 31 = 900, x * 34 = 150, x * 35 = 600, con valore di funzione obiettivo pari a z * = Esercizio 2.8 x ij, quintali di arance trasportate da i = 1, 2, 3 a j = 1, 2, 3. max z = 9(x 11 + x 21 + x 31 ) + 10(x 12 + x 22 + x 32 ) + 12(x 13 + x 23 + x 33 ) 3(x 11 + x 12 + x 13 ) 4(x 21 + x 22 + x 23 ) 5(x 31 + x 32 + x 33 ) 0,01(8x x x 32 ) 0,002(6x x x x x x 33 ) x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x x 31 + x 32 + x x 11 + x 21 + x 31 = 22 x 12 + x 22 + x 32 = 13 x 13 + x 23 + x 33 = 18 x ij 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3 La soluzione ottima del problema è pari a x * 11 = 22, x * 12 = 5, x * 13 = 18, x * 22 = 8, con valore di funzione obiettivo pari a z * = 375,56. Esercizio 2.9 x ij, numero di viaggi effettuati dalla nave i = A, B, C verso la destinazione j = T, N, G; t max, massimo fra i tempi di utilizzo di una nave. min z = t max 200x AT + 300x BT + 400x CT = x AN + 300x BN + 400x CN = x AG + 300x BG + 400x CG = 2000
5 8x AT + 10x AN + 12x AG t max 10x BT + 12x BN + 14x BG t max 14x CT + 18x CN + 22x CG t max x ij 0, i = A, B, C; j = T, N, G La soluzione ottima del problema è pari a x * AN = 5,047, x * AG = 2,009, x * BG = 5,327, x * CT = 3,750, x * CN = 1,227, con valore di funzione obiettivo pari a z * = 74,579. Esercizio 2.10 x i, numero di ore di recitazione nel set i = 1, 2 in presenza del regista; y i, numero di ore di recitazione nel set i = 1, 2 in assenza del regista; g, numero di giorni di utilizzo del teatro. min z = 300x y x y g x 1 + y 1 = 80 x 2 + y 2 = 40 x 1 40 x g x 1 + x 2 20g x 1 + y 1 20g x 2 + y 2 x i, y i 0, i = 1, 2 g 0 La soluzione ottima del problema è pari a x * = [80 40], y * = [0 0], con valore di funzione obiettivo pari a z * = Esercizio 2.11 x i, numero di chilogrammi di materiale i = A, B, C prodotto. max z = 5x A + 8x B + 3x C 500(0,006x A + 0,008x B ) 50x A + 80x B + 20x C x C x A x i 0, i = A, B, C Il problema risulta superiormente illimitato.
6 Esercizio 2.12 x i, percentuale acquistata per l investimento i = A, B; y, ammontare di denaro investito in un contocorrente. Il rendimento atteso dell'investimento A è pari a = Il rendimento atteso dell'investimento B è pari a = Il tasso d interesse del 5% garantito dal contocorrente è assunto semestrale. max z = 82500x A 75000x B + (1,05 4 1)y x A x B + y = x A 22500x B + 1,05y x A 37500x B + 1,05 2 y x A 90000x B + 1,05 3 y 7000 x A, x B, y 0 La soluzione ottima del problema è pari a x * A = 0,739, y * = 94545,45, con valore di funzione obiettivo pari a z * = ,14. Esercizio 2.13 x ijk, quantità di caffè trasportata da i = 1, 2 a j = 1, 2, 3 attraverso il porto di transito k = 1, 2, 3. Come porto di transito oltre a Gioia Tauro e Taranto è stato considerato un nodo fittizio per rappresentare le operazioni di trasporto diretto. I coefficienti di costo c ijk inseriti nella funzione obiettivo sono dati dalla somma dei costi di trasporto c ij e c jk. min z = 24,4x ,2x ,75x ,65x ,95x ,7x x ,5x x ,4x ,2x ,75x ,15x ,45x ,2x ,75x x ,2x 233 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 213 = 1600 x x x x x x 223 = 1900 x x x x x x 233 = 1450 x ijk 0, i = 1, 2; j = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3 La soluzione ottima del problema è pari a x * 112 = 1600, x * 121 = 350, x * 223 = 1550, x * 233 = 1450, con valore di funzione obiettivo pari a z * =
7 Esercizio 2.14 Il problema può essere formulato e risolto come problema di massimo flusso sulla rete R = (N, A, u) utilizzando le seguenti variabili di decisione: x ij, flusso sull arco (i, j) A; v, flusso netto uscente dal nodo sorgente s N. max z = v x s1 + x s2 + x s3 = v x 12 + x 14 x s1 x 31 = 0 x 26 x s2 x 12 = 0 x 31 + x 34 + x 35 x s3 = 0 x 46 + x 4t x 14 x 34 x 54 = 0 x 54 + x 5t x 35 = 0 x 6t x 26 x 46 = 0 x 4t x 5t x 6t = v 0 x s x s x s x x x x x x x x 4t 60 0 x x 5t 20 0 x 6t 90 La soluzione ottima del problema è pari a x * s1 = 35, x * s2 = 5, x * s3 = 50, x * 12 = 5, x * 14 = 40, x * 26 = 10, x * 31 = 10, x * 34 = 0, x * 35 = 40, x * 46 = 0, x * 4t = 60, x * 54 = 20, x * 5t = 20, x * 6t = 10, v * = 90, con valore di funzione obiettivo pari a z * = 90. Esercizio 2.15 Il problema può essere formulato e risolto come problema dell assegnamento utilizzando le seguenti variabili di decisione: x ij, variabile binaria che vale 1 se il veicolo i = 1, 2, 3, 4, 5 è assegnato al servizio di linea j = 1, 2, 3, 4, altrimenti vale 0.
8 min z = 177x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 54 x 11 + x 12 + x 13 + x 14 1 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 1 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 1 x 41 + x 42 + x 43 + x 44 1 x 51 + x 52 + x 53 + x 54 1 x 11 + x 21 + x 31 + x 41 + x 51 = 1 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 + x 52 = 1 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 + x 53 = 1 x 14 + x 24 + x 34 + x 44 + x 54 = 1 x ij 0, i = 1, 2, 3, 4, 5; j = 1, 2, 3, 4 La soluzione ottima del problema è pari a x * 14 = 1, x * 21 = 1, x * 32 = 1, x * 43 = 1, con valore di funzione obiettivo pari a z * = 551.
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