EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Saper integrare equazioni differenziali del primo ordine lineari e a variabili separabili.

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1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI OBIETTIVI MINIMI Sapr riconoscr classificar l quazioni diffrnziali. Sapr intgrar quazioni diffrnziali dl primo ordin linari a variabili sparabili. Sapr intgrar quazioni diffrnziali dl scondo ordin omogn a cofficinti costanti. Sia una funzion incognita nlla variabil siano,,..., (n) l su prim n drivat. Un quazion nlla qual figurano la variabil, la funzion incognita l su prim n drivat, prnd il nom di quazion diffrnzial di ordin n. In gnral, scritta in forma normal, si prsnta così: F(,,,,..., (n) ) = 0. Ogni funzion = f() pr la qual qusta quazion è soddisfatta si dic soluzion o intgral dll quazion. Il suo grafico è dtto curva intgral. L ordin di un quazion diffrnzial è dato dall ordin massimo dlla drivata ch vi figura. ESEMPIO: + = ( +) è un quazion diffrnzial dl primo ordin (prché, com drivata di ordin massimo, compar ) la funzion = + - è una sua soluzion. Pr vrificarlo è sufficint andar a sostituir d nll quazion di partnza: ( + - )+- - =(+) = + ; + = +. Risolvr o intgrar un quazion diffrnzial significa trovar tutt l su soluzioni. L soluzioni di un quazion diffrnzial sono infinit dipndono da costanti arbitrari in numro pari all ordin dll quazion diffrnzial. In gnral l soluzioni di un quazion diffrnzial possono sprimrsi nlla forma =f(,c,c,c 3,...) Tal funzion è chiamat intgral gnral dll quazion diffrnzial. Attribundo all costanti un dtrminato valor si ottin l intgral particolar.

2 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE EQUAZIONI A VARIABILI SEPARABILI: Un quazion diffrnzial dl primo ordin è a variabili sparabili s si può scrivr nlla forma : = f() g(), con f() g() funzioni continu in opportuni intrvalli. Esmpio: Intgrar la sgunt quazion diffrnzial: ( ' = ( Intgrando : d = + = tg( + ) ' = 0 + ) d arctg = + c) d d = ( d + ) = d ( + ) + c EQUAZIONI LINEARI: Un quazion diffrnzial di primo ordin si dic linar quando è di primo grado risptto alla funzion incognita alla sua drivata. Essa può scrivrsi nlla forma: + f() = g(). Si può vrificar ch l intgral gnral di qusta quazion è: f ( ) d = f ( ) d g( ) d + c Esmpio: Risolvr l quazion diffrnzial: ' + =. Si ha ch: f() =, g() =. Applicando la formula: = = = d [ d + c] d d + c + c = c +

3 EQUAZIONI OMOGENEE: Si dic omogna un quazion ch può scrivrsi nlla forma: ' = f. Pr risolvrla si pon: = z quindi: = z. Drivando risptto ad ottngo: = z + z. Sostitundo nll quazion di partnza ottngo: z + z = f(z) f ( z) z z' = ch è a variabili sparabili. Esmpio: Intgrar l quazion diffrnzial: =. ' + Divido ambo i mmbri pr ottngo: ' = +. Pongo z =. Quindi: = z, drivo d ottngo: = z + z. Sostituisco nll quazion data ottnndo: z' + z = + z z' = zdz = d. z z Intgrando : z zdz = d = log + Ricordando l sostituzioni fatt: c = log + c = (log + c) EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE: Tra l quazioni diffrnziali dl scondo ordin, l più smplici sono qull ch si prsntano nlla forma: '' = f ( ). Pr risolvrl, basta intgrar du volt. Esmpio: ' ' = sn ' = snd ' = cos + c Intgrando nuovamnt si ottin: =. ( cos + c) d = sn + c + c 3

4 Equazioni diffrnziali dl scondo ordin linari omogn a cofficinti costanti Si prsntano nlla forma a '' + b' + c = 0 con a,b,c costanti. Pr risolvrl, risolvo l quazion carattristica aλ + bλ + c = 0 trovo l du soluzioni λ λ. Si ha ch: s λ λ sono soluzioni rali distint, l intgral gnral è: λ = c λ + c S λ λ sono soluzioni rali coincidnti, l intgral gnral è: ( c c ) = λ + S λ λ sono soluzioni complss coniugat dlla forma α + iβ l'intgral gnral è: = α ( c β c snβ) cos + Esmpio: Risolvr la sgunt quazion diffrnzial: ' ' 3' 4 = 0 λ 3λ 4 = 0 λ =, λ = 4 = c + c 4 4

5 ESERCIZI A. Vrificar s l funzioni indicat sono soluzioni dll quazion diffrnzial sgnata a fianco. ) ) 3) ; = + = 0 3 = + + = + ; = c + c = 0. B. Dtrminar la curva intgral dll sgunti quazioni diffrnziali passant pr il punto sgnato a fianco. log ) = P(;); ) + = 0 P(-;3). C. Intgrar l sgunti quazioni diffrnziali: ) 3 = 0; ) = ; 3 ; 3) + ( + ) = 0 4) = ( + ) ; 5) 6) 3 ; = ; = 7) + + = 0 ; 8) 9) + = ; = ; 0) = + ; 5

6 4 ) = ; ) +6 = 0 ; 3) = 0 ; 4) = 0 ; 5) = 0. D. Dtrminar gli intgrali particolari dll sgunti quazioni vrificanti l condizioni indicat a fianco. ) 4 = 0 ) ( 0 ) 7; ( 0) = + = ( ) = 3 3) = 0 = ; ; ( ) =. 6