DIARIO DELLE LEZIONI DI ANALISI PER FISICA (Pb-Z) a.a. 2016/2017

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1 DIARIO DELLE LEZIONI DI ANALISI PER FISICA (Pb-Z) a.a. 2016/ settembre.(2 ore) Introduzione e informazioni. Linguaggio matematico. Insiemi numerici e loro proprietà : N, Z, Q. 2 non è un numero razionale, quindi i razionali non sono sufficienti per rappresentare tutti i punti di una retta. Operazioni nei razionali e loro proprietà. In particolare esistenza dell elemento neutro e dell opposto per la somma, dell elemento neutro e dell inverso (se il numero non è q = 0) per il prodotto. Relazione d ordine totale. Proprietà delle operazioni, dell ordinamento e delle relazioni tra operazioni e tra operazioni e ordinamento. 28 settembre.(2 ore) Proprietà Archimedea dei razionali: q Q n N : q < n. Per dimostrarla osservare che se q Q e q 0, allora q < 1. Se q > 1 e q = m p > 1 (posso supporre m, p N, p 0) m p < m + 1 (vera p N, p 0). I numeri reali hanno tutte le proprietà dei razionali, ma completano i buchi lasciati dai razionali. Nei reali, la proprietà Archimedea viene data come assioma. Per capire l ultimo assioma che dobbiamo aggiungere alle propietà che hanno anche i razionali per ottenere i reali, cerchiamo di capire meglio come individuare il numero 2. Osservazione: 2 non è razionale, ma possiamo approssimarlo con numeri con rappresentazione decimale limitata (periodo 0). Assioma degli intervalli incapsulati. Contresempi quando gli intervalli sono aperti o sono illimitati. Definizione di diversi tipi di intervalli e proprietà comune a tutti. Definizione di maggiorante e minorante, massimo e minimo, estremo superiore e estremo inferiore. 29 settembre.(2 ore) Useremo i numeri reali come insieme in cui sono definite le operazioni, c è un ordine totale, valgono tutte le proprietà viste e i due assiomi di Archimede e degli intervalli incapsulati (oltre alla richiesta 1 0 per evitare casi banali). Possiamo rappresentarli in forma decimale, oppure sulla retta, o ancora in altri modi. In tale insieme esiste l estremo superiore per ogni insieme limitato superiormente. Esempi di insiemi e calcolo dei loro estremi superiore e inferiore, dicendo se sono massimo e/o minimo. 4 ottobre.(2 ore) Funzioni, insieme di definizione o dominio (di esistenza), codominio, insieme immagine, grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biettive. Funzione invertibile, restrizione di una funzione. Funzione la cui espressione è un polinomio di primo grado (anche detta funzione affine): il suo grafico è una retta. Calcolo della funzione inversa per un esempio (polinomio di primo grado). Funzioni crescenti o decrescenti (debolmente o strettamente). La nozione di crescenza e decrescenza è legata all insieme in cui si considera. Funzioni limitate (o illimitate) superiormente o inferiormente o limitate o illimitate. Funzione modulo e sue proprietà. Funzioni composte, prodotto di composizione, osservazione della sua non-commutatività. Funzione identità : è l elemento neutro rispetto al prodotto di composizione. Intorni di un punto. 5 ottobre.(2 ore) Principio di induzione e sua utilizzazione per dimostrare la diseguaglianza di Bernouilli e una uguaglianza. Le successioni sono particolari funzioni. Monotonia per le successioni. Esempi e verifica della loro eventuale limitatezza e/o monotonia. 6 ottobre.(2 ore) Definizione di limite di una successione e sua verifica in casi concreti. Unicità del limite. Limite e operazioni.

2 Correzione di esercizi della Scheda ottobre.(2 ore) Richiamo definizione di limite, uso di definitivamente. Teorema della permanenza del segno, operazioni e limiti (dimostrazione del risultato per la somma e accenno al prodotto). Limite e diseguaglianze. Osservazione che le successioni che tendono ad un limite (finito) sono limitate ma non è vero il viceversa. Teorema dei carabinieri e sua dimostrazione. Suttosuccessioni. Se una successione converge, converge allo stesso limite ogni sua sottosuccessione. Definizione di limite + e limite. Studio del comportamento di convergenza, divergenza o non esistenza del limite della successione x n, al variare di x R. Alcune forme indeterminate. 12 ottobre.(2 ore) Forme indeterminate e successioni che tendono all infinito piú o meno velocemente rispetto ad altre.teorema di Bolzano-Weierstrass. Da ogni successione limitata è possibile estrarre una sottosuccessione convergente (senza dimostrazione).successioni monotone e loro regolarità (con dimostrazione). Esempi di successioni monotone: successioni monotone il cui limite viene indicato con e, numero di Nepero. Criterio di convergenza di Cauchy: una successione è convergente se e solo se è di Cauchy (dimostrazione delle sola implicazione. 13 ottobre.(2 ore) Successioni aritmetiche e geometriche, come riconoscerle. Criterio del rapporto per dimostrare che una successione è infinitesima o diverge positivamente (confronto con la successione geometrica). Successioni definite per ricorrenza. Correzione di esercizi della Scheda ottobre.(2 ore) Paradosso di Zenone: Achille e la Tartaruga. Possono dare senso a somme infinite, le serie, attraverso il limite di somme finite (le somme parziali della serie). Serie geometrica. Serie di Mengoli. Serie a termini positivi e loro regolarità. Esempi di serie. Teorema del confronto per serie a termini positivi. Condizione necessaria di convergenza di una serie: il termine generico deve essere infinitesimo. Contresempio: serie divergente avente termine generico infinitesimo. Confronto asintotico. 19 ottobre.(2 ore) Criterio del rapporto per serie a termini positivi e sua applicazione. La serie armonica: dimostrazione della sua divergenza. Serie armonica generalizzata e suo comportamento. Discussione del comportamento di alcune serie utilizzando il criterio del confronto o del confronto asintotico. 20 ottobre.(2 ore) Dimostrazione della densità dei razionali nei reali. Correzione degli esercizi della Scheda ottobre.(2 ore) Serie a termini di segno qualsiasi: la convergenza assoluta implica quella semplice, con dimostrazione in cui si usano le parti positive e negative. Esempi. Serie armonica a segni alterni: dimostrazione della sua convergenza semplice pur essendo asolutamente divergente. Con lo stesso procedimento, dimostrazione del criterio di Leibniz (convergenza di serie a segni alterni: vedere la dimostrazione nella pagina web del canale Pb-Z). Esercizi. 2

3 26 ottobre.(2 ore) I grafici delle funzioni x 2, x 3,... e loro confronto, intervalli di monotonia, invertibilità o determinazione di una restrizione invertibile. Funzioni pari e funzioni dispari e proprietà dei rispettivi grafici. Definizione della funzione esponenziale e sue proprietà. Invertibilità della funzione esponenziale: funzione logaritmo e sue proprietà, cambio di base nei logaritmi. Le funzioni trigonometriche, periodicità, loro restrizioni invertibili, in particolare funzione arctan, inversa della restrizione della funzione tan all intervallo ( π/2, π/2). 27 ottobre.(2 ore) Definizione di limite (finito) per x + di una funzione definita in R o piú in generale di una funzione definita su in dominio illimitato superiormente. Definizione di limite (finito) per x x 0 (di una funzione definita in un insieme tale che ogni intorno di x 0 contiene elementi del dominio diversi da x 0 ). Definizione di funzione continua e osservazione che tutte le funzioni polinomiali sono continue, tutte le funzioni razionali sono continue nel loro insieme di definizione, le funzioni trigonometriche sono continue nei rispettivi insiemi di definizione e le composte di funzioni continue sono continue. Correzione di esercizi della Scheda 4. 2 novembre.(2 ore) Definizione di limite destro e sinistro. Continuità della funzione inversa di una funzione continua invertibile su un intervallo (senza dimostrazione). Verifica della continuità della funzione sin x. Alcuni limiti notevoli. Estendibilità di una funzione per continuità (in un punto in cui non sia definita ma in cui esista il limite). Funzioni con discontinuità di salto (quando il limite destro e sinistro esistono ma sono diversi). 3 novembre.(2 ore) Assioma degli intervalli incapsulati e unicità del punto contenuto nell intersezione quando l ampiezza degli intervalli tende a zero. Teorema dei valori intermedi per le funzioni continue (con dimostrazione) e Teorema di Weierstrass: esistenza del massimo e del minimo per funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato (solo un cenno di dimostrazione). Correzione di esercizi delle Schede 4 e 5 (alcuni di quest ultima si sapranno svolgere quando avremo completato i limiti notevoli). 8 novembre.(2 ore) Altri limiti notevoli. Cambiamento della variabile nei limiti. Limiti di funzioni composte. Esercizi sui limiti. Richiamo dell enunciato del Teorema dei valori intermedi e Corollario sull esistenza degli zeri. Applicazione alla ricerca degli zeri di un polinomio f(x) (cioé delle soluzioni di un equazione f(x) = 0). Richiamo dell enunciato del Teorema di Weierstrass (esistenza massimo e minimo). Osservazione che dai due teoremi segue: se f : [a, b] R è continua, l insieme immagine f([a, b]) è un intervallo chiuso e limitato; (piú in generale) se I R è un intervallo e f : I R è continua, l insieme immagine f(i) è un intervallo. 9 novembre.(2 ore) Se la funzione che descrive la posizione di un auto lungo una strada è un polinomio di primo grado, l auto si muove con velocità costante. Il suo grafico, un segmento di retta, corrisponde quindi a un moto uniforme, cioé nel quale la velocità è costante e uguale al coefficiente angolare della retta. 3

4 Calcolare la velocità media di un corpo in moto a partire dalla sua posizione f(x) e f(x + h) agli istanti x e x + h, equivale a trovare il coefficiente angolare della retta che passa per i due punti assegnati (x, f(x)) e (x+h, f(x+h)), quindi il rapporto f(x) x = f(x+h) f(x) h, detto rapporto incrementale. Se la distanza h tra i punti tende a 0 questa velocità media si avvicina a quella istantanea. Definizione di derivata in un punto del dominio di una funzione come limite del rapporto incrementale, quando tale limite esiste finito (quindi la derivata in un punto indica la velocità istantanea di variazione della funzione in quel punto). Significato geometrico di derivata come coefficiente angolare della retta tangente (limite dei coefficienti angolari delle rette secanti). Si studierà in seguito la proprietà che caratterizza la retta tangente. Calcolo della derivata delle funzioni potenza x 2 e x 3 (e formula generale per x n, n N, senza dimostrazione). La derivata del prodotto di una costante per una funzione è il prodotto della costante per la derivata della funzione. La derivata di una somma di funzioni è la somma delle derivate di ciascuna funzione (dimostrazione). Stretta crescenza [decrescenza] di una funzione in un intervallo in cui la derivata sia strettamente positiva [negativa] (risultato intuibile che sarà dimostrato in seguito ma che abbiamo già utilizzato). Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto in cui sia derivabile. Studio del segno della derivata di una funzione per stabilirne gli intervalli di crescenza e decrescenza. Esercizi. 10 novembre.(2 ore) Esempio di funzione non derivabile in un punto: la funzione x. La derivabilità implica la continuità ma non è vero il viceversa. Calcolo del limite del rapporto incrementale per la funzione sin x e derivata di cos x. Dimostrazione della formula di derivazione del prodotto e cenno di dimostrazione per quella di derivazione di funzione composta. Calcolo delle derivate di e x, a x (a > 0). Correzione di esercizi delle Schede 5 e novembre.(2 ore) Esonero in aula. 16 novembre.(2 ore) Correzione di alcuni esercizi dell esonero. Derivata della funzione inversa. Applicazione alle funzioni trigonometriche inverse dopo aver richiamato le loro proprietà. Punti di massimo e minimo relativo o locale e valore massimo o minimo relativo. Definizione di punto interno. Enunciato del Teorema di Fermat. Se f : D R è derivabile in un punto x 0 interno a D e in x 0 f ha un punto di massimo o minimo relativo f (x 0 ) = novembre.(2 ore) Dimostrazione del Teorema di Fermat. Teorema di Lagrange e Teorema di Rolle e relative dimostrazioni (per dimostrare quello di Rolle si è usato il Teorema di Fermat). Conseguenze del Teorema di Lagrange: monotonia di funzioni aventi derivata di segno costante in un intervallo. Costanza di una funzione avente derivata nulla in un intervallo. Correzione di esercizi. 22 novembre.(2 ore) Studio completo di una funzione. Punti stazionari. Punti di non derivabilità : punti angolosi, punti a tangente verticale, punti di cuspide. Coincidenza tra il limite della derivata, quando esiste, e quello del rapporto incrementale, purché la funzione sia continua. Esempio di funzione che ha derivata in un punto ma la cui derivata non ha limite in quel punto (quindi con 4

5 derivata non continua). Asintoto orizzontale. Piú in generale funzione avente come asintoto un polinomio di primo grado per x + (o per x ). 23 novembre.(2 ore) Esempio di calcolo degli asintoti obliqui. Teorema di Cauchy con cenno di dimostrazione. Utilizzo del Teorema di Cauchy per dimostrare il Teorema di de l Hôpital nel caso della forma indeterminata 0 0. Estensione del Teorema di de l Hôpital ad altre forme indeterminate. Ordini di infinito e infinitesimo, simbolo di Landau o(g(x)) per g(x) infinita o infinitesima, per x x 0 o x + ( ). Infinito e infinitesimo campione. Utilizzo del simbolo di Landau per esprimere la proprietà che caratterizza la retta tangente. 24 novembre.(2 ore) Simbolo di Landau O(g(x)) per g(x) infinita o infinitesima, per x x 0 o x + ( ). Polinomi di grado sempre piú alto che approssimano una funzione derivabile piú volte a meno di infinitesimi di ordine sempre maggiore. Formula di Taylor. Correzione di esercizi della Scheda 7. 5