LEZIONE 24. a 1,1 x 2 + a 2,2 y 2 + a 3,3 z 2 + 2a 1,2 xy + 2a 1,3 xz+ + 2a 2,3 yz + 2a 1,4 x + 2a 2,4 y + 2a 3,4 z + a 4,4 = 0 (24.1.

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1 LEZIONE Riduione delle quadriche a forma canonica. Fissiamo nello spaio un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio q(x, y, ) di grado 2 in x, y, a meno di costanti moltiplicative non nulle. Sulla falsariga di quanto fatto nella leione precedente vogliamo descrivere il luogo geometrico (eventualmente vuoto) Q = { P = (x, y, ) q(x, y, ) = 0 }. Definiione Una quadrica nello spaio (rispetto ad un fissato sistema di riferimento Oxy) è il dato di un equaione di grado 2 in x, y, a meno di costanti moltiplicative non nulle. Una quadrica Q è quindi della forma (24.1.2) a 1,1 + a 2,2 + a 3, a 1,2 xy + 2a 1,3 x+ + 2a 2,3 y + 2a 1,4 x + 2a 2,4 y + 2a 3,4 + a 4,4 = 0 per opportuni a i,j R. Anche in questo caso spesso parleremo della quadrica di Equaione (24.1.2). Come per le coniche, ad una quadrica Q di Equaione (24.1.2) possiamo associare due matrici simmetriche A = a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,2 a 2,2 a 2,3 a 1,3 a 2,3 a 3,3 a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 a, B = 1,2 a 2,2 a 2,3 a 2,4 a 1,3 a 2,3 a 3,3 a 3,4 a 1,4 a 2,4 a 3,4 a 4,4 dette rispettivamente matrice dei termini di secondo grado della quadrica e matrice (completa) della quadrica. Si noti che Q si può scrivere come prodotto x y (x, y,, 1)B = 0. 1 Come per le coniche si tratta di trovare un sistema di riferimento O x y nello spaio in modo tale che l equaione (24.1.2) divenga più semplice e, soprattutto, riconoscibile: per esempio potremmo desiderare d avere un equaioni canonica nel senso della seguente definiione., 1 Typeset by AMS-TEX

2 RIDUZIONE DELLE QUADRICHE A FORMA CANONICA Definiione Nello spaio sia fissato un sistema di riferimento Oxy e sia Q una conica. Diciamo che Q è in forma canonica (o che Oxy è un sistema di riferimento canonico per Q) se l equaione di Q è della forma ( ) α + β + γ 2 = δ, β + γ 2 = 2δx. Dobbiamo quindi passare dal vecchio riferimento Oxy al nuovo riferimento O x y rispetto a cui Q sia in forma canonica tramite una rototraslaione, cioè una trasformaione di coordinate del tipo x = p 1,1 x + p 1,2 y + p 1,3 + u (24.1.4) y = p 2,1 x + p 2,2 y + p 2,3 + v = p 3,1 x + p 3,2 y + p 3,3 + w che ci permetta di passare dall Equaione (24.1.2) ad una qualsiasi delle Equaioni ( ). La trasformaione (24.1.4) può essere pensata come composta dalle due trasformaioni x = x + u y = ŷ + v = ẑ + w che rappresenta una traslaione nello spaio e x = p 1,1 x + p 1,2 y + p 1,3 ŷ = p 2,1 x + p 2,2 y + p 2,3 ẑ = p 3,1 x + p 3,2 y + p 3,3 che, invece, vogliamo rappresenti una rotaione che fissi l origine: anche in questo caso si può dimostrare che P = (p i,j ) i,j=1,2,3 è una matrice ortogonale speciale e che esistono tre angoli ϕ, ψ, ϑ (detti angoli d Eulero) tale che le entrate di P siano somme di opportuni prodotti di funioni tipo cos e sin di tali angoli. La proposiione può essere facilmente generaliata al caso delle quadriche come segue. Proposiione Nel piano siano fissati due sistemi di riferimento Oxy e O x y per cui vale la Relaione (24.1.4). Poniamo p 1,1 p 1,2 p 1,3 u p Q = 2,1 p 2,2 p 2,3 v, P = p 1,1 p 1,2 p 1,3 p p 3,1 p 3,2 p 3,3 w 2,1 p 2,2 p 2,3. p ,1 p 3,2 p 3,3 Sia poi Q una quadrica rispettivamente rappresentata nei due sistemi di riferimento dalle matrici B e B Allora B = t QBQ e A = t P AP. Osservaione Poiché B = t QBQ e A = t P AP segue che: i) rk(b) = rk(b ); ii) rk(a) = rk(a ). Concludiamo che il fatto che una quadrica Q sia degenere o meno oppure che sia a centro o paraboloide non dipende dal sistema di riferimento, quindi è una proprietà geometrica.

3 LEZIONE 24 3 Definiione Sia Q una quadrica rappresentata dalla matrice B. Definiamo rango di Q il rango della matrice B. Q si dice non degenere se il suo rango è 4, degenere in caso contatrario. Se Q è non degenere si dice a centro se il determinante della matrice del complesso dei termini di secondo grado è non nullo, paraboloide in caso contrario. Esempio Sia Q la quadrica Le matrici associate a Q sono A = x + 2x 2y 2 1 = 0., B = / /2 2/2 1 2/2 1. Si noti che det(a) = 1, det(b) = 1. particolare è non degenere. Quindi Q è una quadrica a centro: in Si comprende quindi che, data una quadrica Q di Equaione (24.1.2), per determinare una sua equaione canonica si può procedere come nel caso delle coniche. Si determina prima una matrice ortogonale speciale che diagonalii la matrice A del complesso dei termini di secondo grado di Q. In questo modo l equaione di Q viene trasformata in una della forma â 1,1 + â 2,2 ŷ 2 + â 3,3 ẑ 2 + 2â 1,4 x + 2â 2,4 ŷ + 2â 3,4 ẑ + â 3,3 = 0. A questo punto con trasformaioni del tipo ( x, ŷ, ẑ) (x +a, y +b, +c) si fa in modo che scompaiano il massimo numero di monomi di grado 1 e, eventualmente, il termine noto. L equaione risultante è in forma canonica o α + β + γ 2 = δ, se det(a) 0, oppure β + γ 2 = 2δx. se det(a) = 0. Ciò equivale a una traslaione che ci fa passare dal sistema di riferimento ausiliario O xŷẑ al nuovo sistema di riferimento Oxy Classificaione delle quadriche. Per classificare e disegnare le quadriche si procede come nel caso delle coniche classiche, intersecando con opportuni piani paralleli ai piani coordinati.

4 CLASSIFICAZIONE DELLE QUADRICHE Analiiamo prima le quadriche a centro: siano A e B le matrici associate. Poiché det(a) 0 e det(b) 0 la loro equaione canonica deve essere della forma α + β + γ 2 = δ con α, β, γ, δ 0. Si può sempre supporre che δ > 0. i) Siano α, β, γ > 0. Posto a 2 = δ/α, b 2 = δ/β, c 2 = δ/γ, possiamo sostituire l equaione di cui sopra con a 2 + y2 b c 2 = 1 In tal caso, Q è simmetrica rispetto all origine O, rispetto a qualsiasi asse coordinato, rispetto a qualsiasi piano coordinato. Per determinare l interseione di Q con i piani paralleli al piano y dobbiamo studiare il sistema { x 2 a 2 + y2 b 2 x = k + 2 c 2 = 1. al variare di k R. Ci riduciamo perciò a studiare la corrispondente curva di livello b c 2 = 1 k2 a 2 nel piano y, proieione ortogonale su tale piano della conica interseione di Q con il piano di equaione x = k. Con questo in mente, l equaione di cui sopra rappresenta un ellisse se k < a, un punto se k = a ed un ellisse immaginaria se k > a. Procedendo in maniera simile con gli altri piani coordinati si osserva che il luogo geometrico rappresentato da Q è contenuto nel parallelelpipedo [ a, a] [ b, b] [ c, c]: si parla di ellissoide. ii) Siano α, β > 0, γ < 0. Ancora posto a 2 = δ/α, b 2 = δ/β, c 2 = δ/γ, possiamo sostituire l equaione di cui sopra con a 2 + y2 c 2 = 1 Ancora Q è simmetrica rispetto all origine O, rispetto a qualsiasi asse coordinato, rispetto a qualsiasi piano coordinato. Intersecando con i piani paralleli al piano y otteniamo la curva di livello c 2 = 1 k2 a 2 nel piano di equaione y: tale conica è un iperbole con asse reale coincidente con l asse delle y se k < a, con asse delle se k > a. Se k = a la conica

5 LEZIONE 24 5 viene ad essere una coppia iperbolica di rette. Un discorso simile si può fare intersecando Q con piani paralleli al piano x. Invece, intersecando Q con un piano parallelo al piano xy otteniamo la curva di livello a 2 + y2 b 2 = 1 + k2 c 2 nel piano di equaione xy: tale conica è sempre un ellisse: si parla di iperboloide iperbolico o di iperboloide ad una falda. Si noti che l identità c 2 = 1 x2 a 2 ci permette di affermare che per ogni coppi di numeri reali non contemporaneamente nulli λ, µ si ha ( y λµ b ) ( y c b + ) ( = λµ 1 x ) ( 1 + x ), c a a quindi i punti dello spaio che soddisfano simultaneamente le equaioni di grado 1 { ( λ y b ) ( ) c = µ 1 x { ( a λ y µ ( b y b + ) ( ) ) ( ) c = µ 1 + x a c = λ 1 + x a µ ( y b + ) ( ) c = λ 1 x a soddisfano anche l equaione di Q. È facile verificare che tali sistemi descrivono due famiglie di rette nello spaio. In particolare Q contiene infinite rette. iii) Siano α > 0, β, γ < 0. Ancora posto a 2 = δ/α, b 2 = δ/β, c 2 = δ/γ, possiamo sostituire l equaione di cui sopra con a 2 y2 c 2 = 1 Ancora Q è simmetrica rispetto all origine O, rispetto a qualsiasi asse coordinato, rispetto a qualsiasi piano coordinato. Intersecando con i piani paralleli al piano y otteniamo la curva di livello b k2 = 1 + c2 a 2 nel piano di equaione y: tale conica è un ellisse se k > a, un ellisse immaginaria se k < a. Se k = a la conica viene ad essere una coppia ellittica di rette. In particolare Q è esterna alla banda infinita ] a, a[ R R. In particolare Q consiste di due componenti connesse simmetriche. Invece, intersecando Q con un piano parallelo al piano xy otteniamo la curva di livello a 2 y2 b 2 = 1 + k2 c 2

6 CLASSIFICAZIONE DELLE QUADRICHE nel piano di equaione xy: tale conica è sempre un iperbole con asse reale coincidente con l asse delle x. Un discorso simile si può fare intersecando Q con piani paralleli al piano x. Si parla in questo caso di iperboloide ellittico o di iperboloide a due falde. iv) Siano α, β, γ < 0. Posto a 2 = δ/α, b 2 = δ/β, c 2 = δ/γ, possiamo sostituire l equaione di cui sopra con a 2 + y2 b c = 0 In tal caso, intersecando Q con i piani paralleli al piano y otteniamo la curva di livello b k2 = 1 c2 a 2 nel piano di equaione y, che è sempre un ellisse immaginaria. La stessa cosa accade intersecando con gli altri piani coordinati: si parla di ellissoide immaginario. Passiamo ora a considerare i paraboloidi. In tal caso det(a) = 0 ma det(b) 0, quindi l equaione canonica deve essere della forma β + γ 2 = 2δx con β, γ, δ 0. Si può sempre supporre che δ > 0. v) Siano β, γ > 0. Ancora posto b 2 = δ/β, c 2 = δ/γ, possiamo sostituire l equaione di cui sopra con b c 2 = 2x Q è simmetrica rispetto all asse delle ascisse e rispetto ai piani coordinati xy e x. Intersecando con i piani paralleli al piano y otteniamo { y 2 b c 2 x = k = 2x al variare di k R. Ci riduciamo perciò a studiare la curva di livello b c 2 = 2k nel piano di equaione y: tale conica è un ellisse se k > 0, un ellisse immaginaria se k < 0. Se k = 0 la conica viene ad essere una coppia ellittica di rette. In particolare Q è contenuta nel semispaio [0, + [ R R. Intersecando Q con il piano xy otteniamo b 2 = 2x

7 LEZIONE 24 7 che è una parabola con asse coincidente con l asse delle ascisse. Un discorso simile si può fare intersecando Q con gli altri piani passanti per l asse delle ascisse di equaione = λy ottenendo c 2 + λ 2 b 2 b 2 c 2 = 2x che è ancora una parabola. Si parla in questo caso di paraboloide ellittico. vi) Siano β > 0 e γ < 0. Ancora posto b 2 = δ/β, c 2 = δ/γ, possiamo sostituire l equaione di cui sopra con c 2 = 2x Q è simmetrica rispetto all asse delle ascisse e rispetto ai piani coordinati xy e x. Intersecando con i piani paralleli al piano y otteniamo la curva di livello c 2 = 2k nel piano di equaione y: tale conica è un iperbole con asse reale coincidente con l asse delle ordinate se k > 0, un iperbole con asse reale coincidente con l asse delle quote se k < 0. Se k = 0 la conica viene ad essere una coppia iperbolica di rette. Intersecando Q con piani contenenti l asse delle ascisse otteniamo delle parabole il cui asse ancora coincide con l asse delle ascisse. Si parla in questo caso di paraboloide iperbolico. Con la stessa procedura descritta nel caso dell iperboloide iperbolico si verifica che i punti delle rette di equaioni cartesiane c 2 = 1 x2 a 2 ci permette di affermare che per ogni coppi di numeri reali non contemporaneamente nulli λ, µ si ha ( y λµ b ) ( y c b + ) ( = λµ 1 x ) ( 1 + x ), c a a quindi i punti dello spaio che soddisfano simultaneamente le equaioni di grado 1 { ( λ y b ) { ( c = 2µ λ y µ ( b y b + ) ) c = µx c = λx µ ( y b + ) c = 2λ soddisfano anche l equaione di Q per ogni scelta di λ, µ R non simultaneamente nulli. In particolare Q contiene infinite rette.

8 CLASSIFICAZIONE DELLE QUADRICHE Passiamo ora a studiare le quadriche degeneri. Ci limiteremo a considerare le quadriche degeneri di rango 3. In tal caso abbiamo o α + β + γ 2 = 0, con α, β, γ 0 (si parla di cono), oppure β + γ 2 = δ, con β, γ, δ 0, oppure γ 2 = 2δx con β, γ, δ 0 (in questi due casi si parla di cilindro). Iniiamo a considerare i coni. vii) Siano α, β > 0 e γ < 0. Q è simmetrica rispetto all asse delle quote e rispetto ai piani coordinati x e y. Intersecando con i piani paralleli al piano xy otteniamo la curva di livello α + β = γk 2, nel piano di equaione xy: tale conica è un ellisse se k 0, una coppia ellittica di rette se k = 0. Intersecando Q con il piano x otteniamo α + γ 2 = 0, che è una coppia iperbolica di rette passanti per l origine O (γ < 0). Un discorso simile si può fare intersecando Q con gli altri piani passanti per l asse delle quote di equaione x = λy ottenendo (α + βλ 2 ) + γ 2 = 0, che è ancora una coppia iperbolica di rette passanti per l origine O. Si parla in questo caso di cono. In questo caso Q può essere pensata come l unione delle rette passanti per l origine che si appoggiano all ellisse α + β = γ del piano = 1. viii) Siano α, β, γ > 0. Intersecando Q con i piani paralleli al piano xy otteniamo la curva di livello α + β = γk 2, nel piano di equaione xy: tale conica è un ellisse immaginaria se k 0, una coppia ellittica di rette se k = 0. Si parla, perciò, di cono immaginario.

9 LEZIONE 24 9 Passiamo ora a studiare i cilindri della forma β + γ 2 = δ. ix) Siano β, γ, δ > 0. Q è simmetrica rispetto alla retta di equaioni y = = 0 (cioè all asse delle ascisse). Intersecando con i piani paralleli al piano y otteniamo la curva di livello β + γ 2 = δ, nel piano di equaione y: tale conica è sempre un ellisse, qualsiasi siak R e Q viene detto cilindro ellittico. In questo caso Q può essere pensata come l unione delle rette passanti parallele all asse delle ascisse che si appoggiano all ellisse β + γ 2 = δ del piano x = 0. x) Siano β, γ > 0, δ < 0. Intersecando Q con piani paralleli al piano y otteniamo la curva di livello β + γ 2 = δ, nel piano di equaione y: tale conica è sempre un ellisse immaginaria: Q viene detto cilindro ellittico immaginario. xi) Siano β, δ > 0, γ < 0. Q è ancora simmetrica rispetto alla retta di equaioni y = = 0 ed, intersecandola con i piani di equaione x = k, otteniamo ancora la curva di livello β + γ 2 = δ, che, in questo caso, è sempre un iperbole: Q viene detto cilindro iperbolico. In questo caso Q è l unione delle rette passanti parallele all asse delle ascisse che si appoggiano all iperbole del piano x = 0. β + γ 2 = δ Infine studiamo i cilindri della forma γ 2 = 2δx. xii) Q è simmetrica rispetto al piano di equaioni = 0 (cioè al piano xy). Intersecando con i piani paralleli al piano x otteniamo la curva di livello γ 2 = 2δx, nel piano di equaione x: tale conica è sempre una parabola, qualsiasi siak R, e Q viene detto cilindro parabolico. Come nei casi precedenti Q è l unione delle rette parallele alla retta di equaione x = = 0 (cioè all asse delle ordiante) che si appoggiano alla parabola del piano y = 0. γ 2 = 2δx

10 CLASSIFICAZIONE DELLE QUADRICHE Per quanto riguarda le quadriche di rango al più 2, come nel caso delle coniche (si veda il Paragrafo 23.3), abbiamo Proposiione Sia Q una quadrica rappresentata dalla matrice B. La quadrica Q si decompone in un prodotto di due polinomi di grado 1 (non necessariamente distinti) se e solo se rk(b) 2.

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