1-Rappresentazione dell informazione

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1 1-Rappresentazione dell informazione Informazioni: testi, numeri, immagini, suoni, etc.; Come viene rappresentata l informazione in un calcolatore? Uso di tecnologia digitale: tutto ciò che viene rappresentato con numeri o che opera manipolando numeri, presi da un insieme di valori discreti, ovvero appartenenti a uno stesso insieme ben definito e circoscritto. All interno di un computer le informazioni vengono rappresentate da 2 possibili valori di tensione elettrica {V high, V low }, da un differente stato di polarizzazione magnetica (positiva, negativa), da luce e buio, etc. L'elemento alla base del funzionamento dei computer è il transistor. Questo dispositivo elettronico, in particolari condizioni di operatività, si comporta come un vero e proprio interruttore. Combinando milioni di questi interruttori per implementare funzionalità specifiche e raggruppandoli all'interno di diversi dispositivi elettronici dedicati (circuiti integrati) si costituiscono gli elementi base di un computer (microprocessore, memorie, ecc.).

2 2-Rappresentazione dell informazione Unità minima di informazione: bit (binary digit). Digit dal latino digitus (dito). Ogni informazione viene trasformata nel calcolatore in una sequenza di bit (forma BINARIA), cioè in una sequenza di 0 e

3 Codifica dei numeri È posizionale: il peso attribuito ad ogni cifra è funzione della posizione che occupa. Esempio: numero decimale numero decimale 1235 =

4 Alfabeto e base I sistemi di numerazione posizionale sono caratterizzati da un alfabeto α ed una base b. Alfabeto (α): è l insieme delle cifre disponibili per esprimere i numeri. Ad ogni cifra corrisponde un valore compreso tra 0 e (b -1). (Ad esempio, nella numerazione decimale l alfabeto è α = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Base (b): è il numero degli elementi che compongono l alfabeto. Ad esempio, nel caso decimale, b = 10.

5 Generica numerazione in base p α = {0, 1, 2,, p-1} b = p un numero naturale N in base p è rappresentato da una sequenza di n cifre: a n-1 a n-2 a n-3 a 0 dove a i α i = 0,, n-1 a n-1 è la cifra più significativa (MSB = Most Significant Bit nel caso binario), mentre a 0 è la meno significativa (LSB = Least Significant Bit nel caso binario) Esempi: binario: b=2; α = {0, 1} ottale: b=8; α = {0,1,2,...7} esadecimale: AB502C b=16; α = {0,1,...,9,A, B,C,D,E,F}

6 Basi > 10 (es:esadecimale) Nelle basi > 10 (es: esadecimale con b=16), i valori successivi al NOVE non possono essere indicati con la loro notazione decimale, perché avrebbero un altro significato: Ad esempio se scrivessimo: 10 questo rappresenterebbe il valore DIECI nella base 10 ( = 0* *10 1 ) ma in base 16 questo equivale a 0* *16 1 cioè 16 in base 10. Per questo motivo nelle basi > 10 i valori decimali dal 10 in poi vengono indicati con delle lettere Nel caso esadecimale avremo: A=10 10, B=11 10, C=12 10, D=13 10, E=14 10 ed F=15 10.

7 Conversioni di base Da base b a base 10 Per moltiplicazioni successive (partendo dal LSB) Es: = ( ) 10 = Es: 1AB 16 = ( ) 10 = Da base 10 a base b per divisioni successive finché il quoziente è nullo e leggendo i resti in senso inverso (es: = ) dividendo divisore quoziente resto Da base 2 a base 8 (raggruppando le cifre a 3 a 3 dal LSB) Da base 2 a base 16 (raggruppando le cifre a 4 a 4 dal LSB) C 16

8 Minimo e massimo rappresentabile Il minimo ed il massimo valore rappresentabile per un numero binario puro N con n cifre a disposizione è: 0 N 2 n 1 Esempio: con 4 bit 0 N (0 N ) Minimo numero di bit n per rappresentare un valore dato N è: n = log 2 (N+1) = ceiling = primo intero superiore Es: N= n= log 2 (24) = 5 ( )

9 Aritmetica binaria su numeri naturali A B A+B Rip. A-B Prest Rip.= riporto per la colonna precedente Prest.= prestito dalla colonna precedente

10 Somma binaria di numeri naturali Viene eseguita incolonnando i numeri e sommando tra loro i bit incolonnati, partendo dai meno significativi, in ordine di peso crescente. Per la somma di due numeri positivi di lunghezza k possono essere necessari k+1 posti. Se sono disponibili solo k cifre si genera un errore di overflow (o trabocco) (19) (25) = (6) = (20) (25) Overflow (infatti 45 non è rappresentabile con solo 5 bit)

11 Sottrazione binaria di numeri naturali Viene eseguita incolonnando i numeri e sottraendo tra loro i bit incolonnati, partendo dai meno significativi, in ordine di peso crescente. Si suppone che il risultato sia positivo (44) = (35) (9) 10

12 Moltiplicazione di numeri binari naturali Si utilizza la stessa tecnica usata anche per i numeri in base 10 (somma e scorrimento). A = = B = = A B= _ = =

13 Divisione di numeri binari naturali Si usa la tecnica usata anche per i numeri in base 10 (differenza e scorrimento). Esempio: = = / 11 = 1111 = Resto

14 Esempio di riporti e prestiti (somma) Esempio binario: Risultato finale

15 Esempio di riporti e prestiti (differenza) Esempio binario: x 1+1x 1+1x X Richiesta prestito = Risultato finale

16 Operazione di scorrimento (shift) Shift verso sinistra Lo scorrimento verso sinistra di tutte le cifre del numero di una posizione con l inserimento di uno zero nella posizione di destra equivale a moltiplicare il numero per la base. Lo scorrimento di k posizioni verso sinistra equivale a moltiplicare il numero per b k. Es: 1011 = 1110 scorrimento di 2 a sinistra = Shift verso destra Lo scorrimento (shift) verso destra di tutte le cifre del numero di una posizione con l inserimento di uno zero nella posizione di sinistra, equivale a dividere il numero per la base (cioè a moltiplicare il numero per b -1 ). Lo scorrimento di k posizioni verso destra equivale a moltiplicare il numero per b -k (cioè dividerlo per b k ) Es: 1010 = 1010 scorrimento di 2 a destra 0010 = 2 10 NB: il resto e dato dai bit usciti a destra (10 2 = 2 10 )

17 Numeri relativi Z = {-,, -1, 0, +1,, + } Rappresentazione con modulo e segno Il primo bit di un numero intero viene utilizzato come bit di segno (0 positivo, 1 negativo). Gli altri bit indicano il modulo (valore assoluto) del numero. Es. con 6 bit: Rappresentazione in complemento a 1 I numeri positivi sono rappresentati dal loro modulo ed hanno il bit più significativo a zero. I numeri negativi si ottengono complementando tutti i bit (cioè scambiando 0 con 1, e viceversa). Pertanto hanno il primo bit sempre a 1. Es. con 8 bit: Rappresentazione in complemento a 2 I numeri positivi sono rappresentati dal loro modulo ed hanno il bit più significativo a zero. I numeri negativi si ottengono calcolando il complemento a 1, e poi sommandovi 1. Pertanto hanno il bit del segno sempre a 1. Es. Con 6 bit:

18 Minimo e massimo rappresentabile in complemento a 2 Il minimo ed il massimo valore rappresentabile per un numero binario (N) in complemento a 2 con n cifre a disposizione è: -2 n-1 N 2 n-1 1 Esempio con 4 bit N 7 10 ( N )

19 1-Operazione aritmetiche su numeri relativi Somma algebrica Sfrutta la rappresentazione in complemento a 2. Si sommano i numeri per colonna incluso il bit del segno, ignorando l eventuale riporto sul bit del segno. Si può avere un overflow solo se i due numeri da sommare hanno lo stesso segno ed risultato ha il segno opposto. Esempi su 4 bit: (7) (-5) 1011 = (-5) 1001 = (-7) (2) Overflow

20 2-Operazione aritmetiche su numeri relativi Sottrazione tra numeri relativi Se i numeri sono rappresentati in complemento a 2 l operazione di sottrazione si effettua mediante somma (vantaggio della rappresentazione in complemento a 2). Moltiplicazione e divisione tra numeri relativi Utilizzare i numeri in valore assoluto ed utilizzare le operazioni viste sui numeri naturali (somma/differenza e scorrimento). Il segno si determina in base al segno degli operandi. L applicazione delle operazioni direttamente sui numeri in complemento è in generale scorretta.

21 Numeri frazionari Sia: α = {0, 1, 2,, p - 1} b = p Dato un numero frazionario N, la sua rappresentazione in base p è data da una sequenza di k cifre: 0. a -1 a a -k-1 a -k con a -i α i = 1,, k Il valore di N in base p è dato dalla formula: Np = a -1 p -1 + a -2 p a -k p -k o, in forma più compatta: Np = i=1,...,k a -i p -i

22 Conversione numeri frazionari Da base b a base 10 Per moltiplicazioni successive Es: = ( ) 10 = Da base 10 a base b per moltiplicazioni successive prendendo la parte intera finché quella frazionaria non è nulla (es: = ) Moltiplicando Molt.re risultato p. intera Moltiplicando Molt.re risultato p. intera = = Un numero razionale in una base può non esserlo in un altra. Si introduce cosí un errore di troncamento.

23 1-Rappresentazione di numeri reali Si utilizza la cosiddetta notazione scientifica esponenziale o virgola mobile (floating point) Il numero reale r è espresso come prodotto di una parte intera m, chiamata mantissa, per una base b, elevata ad un esponente n. r = m x b n Es. b = 10; r = = x 10 3 ; m = ; n = 3 Es. b = 2: r = = = x 2 4 ; m = ; n = 100 2

24 2-Rappresentazione di numeri reali Lo standard ANSI/IEEE ha codificato la rappresentazione di un numero reale r come: r = -1 S x 2 e x 1.F S = segno della mantissa (0= +, 1= -); e = EXP M (esponente in eccesso M); F = mantissa frazionaria (modulo e segno) I formati previsti dallo standard sono: Single precision (32 bit) S=1bit; E=8 bit; F=23 bit Double precision (64 bit) S=1 bit; E=11 bit; F= 52 bit Quad precision (128 bit) S=1 bit; E=15 bit; F=112 bit Es. di single precision (M=127): = = S EXP F S = 0 (1 bit) EXP = = (8 bit) F= (23 bit)

25 GRANDEZZE FONDAMENTALI Nome Simbolo Valore bit b 0 o 1 byte B 8 bit kilo k 2 10 = 1024 Mega M 2 20 = 1024k Giga G 2 30 = 1024M Tera T 2 40 = 1024G Peta P 2 50 = 1024T