ESERCIZIO SVOLTO. 6 Le murature 6.1 Le murature: il metodo agli stadi limite

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1 1 ESERCIZIO SVOLTO 0Determinare le spinte in chiave e all imposta di una volta circolare a sesto ribassato in muratura di mattoni pieni che presenta le seguenti caratteristiche geometriche: spessore costante s = 5 cm; luce l = 7,00 m; ribassamento f = 1,40 m. La muratura è stata realizzata con mattoni di categoria I e classe di esecuzione impiegando malta M10; i mattoni hanno la resistenza caratteristica f bk = 10 N/mm. In corrispondenza della sezione in chiave, il riempimento, in sabbia e detriti, presenta uno spessore di 15 cm; si ha quindi un sottofondo in calcestruzzo (spessore 8 cm) sul quale è posato un pavimento in lastre di marmo su un letto di malta cementizia. La volta realizza l orizzontamento intermedio di un fabbricato di abitazione e viene considerato un sovraccarico di,50 kn/m. In funzione della categoria degli elementi resistenti e della classe di esecuzione si assume il coefficiente parziale di sicurezza γ M =,7; dalla tabella sulla normativa si ricava la resistenza caratteristica a compressione della muratura f k = 5,3 N/mm e quindi la resistenza di progetto risulta: f f d = k 5,3 = 1,96 N/mm γ M,7 Il procedimento per la verifica di un arco in mattoni pieni è uguale a quello che si effettua per una volta in muratura, in quanto la volta si può considerare come un insieme di archi accostati con sezione t b = 100 cm, mentre l arco ha una base b che varia in funzione della sua luce. Per il tracciamento della volta è necessario conoscere il suo raggio, che viene calcolato con la formula [fig. a]: r = 0Con i valori numerici si ha: r = f + l 4 f 1, ,00 4 1, 40 = 5,075 m a SEI - 01

2 Per effetto della simmetria strutturale e di carico è sufficiente tracciare metà volta, della quale è necessario conoscere gli sviluppi di intradosso ed estradosso; l angolo α vale [fig. a]: l α = arctg r f = arctg 3,50 5,075 1, 40 43,60 Quindi: sviluppo di intradosso: sviluppo di estradosso: La metà volta viene suddivisa in n. 8 conci fittizi, con giunti radiali, la cui area, con buona approssimazione, può essere assimilata a un trapezio. Considerando una striscia di volta larga 1,00 m e assumendo un peso volumico della muratura = 18,00 kn/m 3, il peso dei conci risulta: P c = 1 8 Sv i + Sv e = 1 8 Sv i = π r α Sv e = π (r + s) α = π 5,075 43,60 = π 5,35 43,60 s 1, 00 γ G1 = 3,86 m 4,05 m 3,86 + 4, 05 0, 5 1, 00 18,00 1,3,89 kn I vettori che rappresentano i pesi P c si considerano applicati nei baricentri dei conci che si possono pensare coincidenti con i punti di mezzo dei conci stessi sull asse della volta. Dai punti di estradosso della volta, in corrispondenza dei giunti radiali, vengono innalzate le verticali che individuano le strisce gravanti sui conci, ognuna delle quali è costituita di strati di materiali differenti e perciò con diversi pesi volumici. Quindi, solo per comodità di calcolo, si riducono le altezze reali dei vari strati, in corrispondenza delle verticali, in altezze fittizie che 0rappresentano gli spessori che i vari strati verrebbero ad avere, con uguale peso, se fossero realizzati in muratura. 0Moltiplicando le altezze reali, misurate sul grafico [fig. a], per il coefficiente di trasformazione: c = γ si ottengono le altezze fittizie, che permettono di considerare omogenei i vari materiali. 1. Calcolo delle altezze fittizie [fig. a] Riempimento Si considera un peso volumico γ 1 = 0,00 kn/m e il coefficiente di trasformazione risulta: c 1 = γ 1 = 0,00 18,00 1,11 per cui le altezze fittizie corrispondenti risultano essere quelle riportate in tabella 1. Sottofondo in calcestruzzo Si assume un peso volumico γ = 4 kn/m 3, per cui il coefficiente di riduzione è: h fs = h c = 0,08 1,33 0,11 m Letto di malta cementizia Con un peso volumico γ 3 = 16 kn/m 3, il coefficiente di riduzione è: perciò: c = γ = 4,00 18,00 1,33 c 3 = γ 3 = 16,00 18,00 0,89 h fc = h c 3 = 0,03 0,89 0,03 m Tabella 1 Giunto Altezze reali (m) c 1 Altezze fittizie hr f (m) 0 0,15 1,11 0,17 1 0,18 1,11 0,0 0,5 1,11 0,8 3 0,37 1,11 0,41 4 0,54 1,11 0,60 5 0,75 1,11 0,83 6 1,01 1,11 1,1 7 1,30 1,11 1,44 8 1,64 1,11 1,8 SEI - 01

3 3 Pavimento in marmo Con un peso volumico γ 4 = 8,00 kn/m 3, il coefficiente di riduzione vale: c 4 = γ 4 = 8,00 18,00 1,56 h fp = h c 4 = 0,0 1,56 0,03 m Carico di esercizio h fe = q =,50 18,00 0,14 m I carichi strutturali e di esercizio, ora trasformati in muratura, devono essere moltiplicati rispettivamente per i coefficienti parziali γ G1 e γ Q entrambi con il valore di 1,5, per cui i due tipi di carichi possono essere considerati insieme. 0Le altezze fittizie totali in corrispondenza di ogni giunto valgono h 0 = h fr + h fs + h fc + h fp + h fe = = 0,17 + 0,11 + 0,03 + 0,03 + 0,14 = 0,48 m h 1 = 0,51 m; h = 0,59 m; h 3 = 0,7 m; h 4 = 0,91 m; h 5 = 1,14 m; h 6 = 1,43 m; h 7 = 1,75 m; h 8 =,13 m Queste altezze vengono ora riportate sul grafico [fig. b] sulle corrispondenti verticali, a partire dalla linea di estradosso della volta, e unendo le loro estremità si ottiene la linea dei carichi fittizi, che rappresenta il profilo superiore dei materiali sopra la volta, resi omogenei alla muratura. 0La superficie compresa fra la linea dei carichi fittizi, le verticali per i giunti estremi nei punti di estradosso e la curva di estradosso costituisce il diagramma del carico che grava sulla volta. b SEI - 01

4 4 Vengono ora determinati i pesi delle strisce [tab. ], ognuna delle quali è un prisma con altezza unitaria e base assimilabile a un trapezio; le basi di questi ultimi corrispondono alle altezze fittizie calcolate, mentre le relative altezze vengono misurate sul grafico [fig. b]. I vettori che rappresentano i pesi ora calcolati si considerano applicati nei baricentri delle basi trapezoidali di ogni striscia. Con la costruzione grafica riportata in figura b viene determinata la risultante dei pesi di ogni concio con la striscia sovrastante; tali risultanti hanno le intensità riportate in tabella 3. Tracciata la retta delle forze che rappresentano i pesi totali P, disponendole nell ordine da P 1 a P 8, queste si compongono con il poligono funicolare ottenuto proiettando la retta delle forze da un polo C 1, individuando il punto di passaggio della risultante R come intersezione del primo e ultimo lato. Il prolungamento della retta di azione della spinta S, perpendicolare alla sezione in chiave e applicata sul terzo medio superiore, interseca la risultante R nel punto C. La congiungente il punto C con il terzo medio inferiore della sezione di imposta rappresenta la linea di azione della spinta H. Striscia Tabella Pesi di calcolo (kn) I 0,48 + 0,51 0,515 1,00 18,00 1,5 II 0,51 + 0,59 0,505 1,00 18,00 1,5 III 0,59 + 0,7 0,500 1,00 18,00 1,5 IV 0,7 + 0,91 0,485 1,00 18,00 1,5 V 0,91 + 1,14 0,465 1,00 18,00 1,5 VI 1,14 + 1,43 0,440 1,00 18,00 1,5 VII 1,43 + 1,75 0,415 1,00 18,00 1,5 VIII 1,75 +,13 0,380 1,00 18,00 1,5 Q 1 = 6,88 Q = 7,50 Q 3 = 8,84 Q 4 = 10,67 Q 5 = 1,87 Q 6 = 15,7 Q 7 = 17,8 Q 8 = 19,90 Tabella 3 Concio Peso del concio (kn) Peso della striscia (kn) Peso totale (kn) I,89 6,88 P 1 = 9,77 II,89 7,50 P = 10,39 III,89 8,84 P 3 = 11,73 IV,89 10,67 P 4 = 13,56 V,89 1,87 P 5 = 15,76 VI,89 15,7 P 6 = 18,16 VII,89 17,8 P 7 = 0,71 VIII,89 19,90 P 8 =,79 R =ΣP = 1,87 SEI - 01

5 5 Scomponendo ora la risultante R, secondo le direzioni delle linee di azione della S e della H, si ottengono le intensità di queste ultime, che vengono lette sul disegno in scala delle forze e risultano: S 107 kn H 163 kn Assumendo il punto C come nuovo polo di proiezione, si proietta nuovamente la retta delle forze e si traccia il poligono di successive risultanti, o poligono delle pressioni, che deve essere contenuto, per tutto il suo sviluppo, entro il terzo medio della sezione della volta affinché questa risulti compressa in ogni sua sezione. Si fa notare che, anche adottando una scala ridotta, esigenze grafiche impongono di non suddividere la volta o l arco in conci troppo numerosi, che complicherebbero il calcolo grafico, con conseguente maggiore facilità di commettere errori. Pertanto può risultare, come si rileva nel concio I, che un piccolo tratto finale del primo lato del poligono funicolare risulti fuori dalla fascia del terzo medio; ciò è dovuto soltanto al fatto che i conci hanno una certa lunghezza, mentre teoricamente dovrebbero essere piccolissimi. Altro è invece il caso in cui il poligono delle pressioni esca dal terzo medio lungo il suo sviluppo, per cui risulterebbe necessario aumentare lo spessore della volta o dell arco. Determinate le spinte in chiave e all imposta si devono effettuare le verifiche. La sezione 0 in chiave è soggetta a presso-flessione dalla forza S, mentre la sezione 8 all imposta è soggetta a presso-flessione e taglio per effetto della forza H. Quest ultima sezione è la più sollecitata e quindi per questa vengono effettuate le verifiche; è necessario scomporre la H nelle due componenti H 16,40 kn, perpendicolare alla sezione, che produce la sollecitazione di presso-flessione, e H 14,00 kn, giacente nel piano della sezione, che produce la sollecitazione di taglio. Verifica a presso-flessione Momento flettente di progetto La componente H è applicata al limite del terzo medio con 0,5 eccentricità e = per cui si ha: 6 0,5 M Ed = H e = 16,40 6,77 knm = 6, Nmm 6 Momento flettente resistente di progetto t M Rd = b H H 1 = A A α f d 50 = , , ,85 1,96 1, N/mm > M Ed Verifica a taglio Tensione normale media: H 16,40 10 σ n = = 3 0,65 N/mm A Resistenza caratteristica a taglio: f vk = f vk0 + 0,4 σ n = 0,0 + 0,4 0,65 = 0,46 N/mm Resistenza di progetto a taglio: f f vd = vk 0,46 = 0,17 N/mm γ M,7 Lo sforzo di taglio resistente di progetto risulta: V Rd = β A f vd = 1 ( ) 0,17 = = 4, N = 4,50 kn In modo analogo si procede se si vuole verificare una sezione intermedia generica. Prendendo per esempio la sezione 5, su questa agisce la risultante R 5 con intensità rappresentata dal raggio proiettante C -5 che viene scomposto nelle due componenti R 5 ed R 5, rispettivamente perpendicolare e parallela alla sezione. SEI - 01