[A-E] IST. DI MATEMATICA I. 3. Lezione. giovedì 6 ottobre Massimo e minimo.

Transcript

1 IST. DI MATEMATICA I [A-E] giovedì 6 ottobre Lezione 3.1. Massimo e minimo. Definizioni di minimo e/o massimo per un insieme E di numeri reali: il numero min si dice minimo dell insieme E se min E x E : min x il numero max si dice massimo dell insieme E se max E x E : x max possono avere minimo e massimo solo gli insiemi limitati. PROPOSIZIONE 3.1. Sia A finito (cioè con un numero finito di elementi) allora A ammette massimo. DIMOSTRAZIONE. Per induzione: se A ha un solo elemento allora ha ovviamente massimo. Supponiamo che abbiano massimo tutti gli insiemi con n elementi e sia B = {b 1,b 2,...,b n,b n+1 } un insieme con n + 1 elementi. Il maggiore tra i due numeri max({b 1,b 2,...,b n }) e b n+1 è massimo di B. Quindi se hanno massimo gli insiemi con n elementi lo hanno anche gli insiemi con n + 1 elementi. Quindi hanno massimo tutti gli insiemi finiti. Un insieme E di numeri reali limitato ma non non finito può non avere massimo o non avere minimo. ESEMPIO 3.2. L insieme E = {1,1/2,1/3,1/4,...} è limitato ma non ha minimo. Ha invece massimo. ESEMPIO 3.3. L insieme E = {0, 1/2, 2/3, 3/4,...} è limitato ma ha minimo ma non ha massimo Maggioranti e minoranti. Definizioni di maggioranti e minoranti per un insieme E di numeri reali. ESEMPIO 3.4. Sia E = (,4]: i numeri 10, 7, 4 sono maggioranti di E,

2 2 il numero 3 non è un maggiorante di E, non ci sono minoranti di E. ESEMPIO 3.5. Sia F = {1,1/2,1/3,1/4,...}: i numeri 0, 7, 4 sono minoranti di F, i numeri 1, 2, 3, 4 sono maggioranti di F. ESEMPIO 3.6. Siano E ed F i due insiemi precedenti: l insieme E non è limitato, perchè non ha minoranti, l insieme F è limitato, perchè ha minoranti e maggioranti Estremo inferiore e estr.superiore. Definizione di estremo inferiore e di estremo superiore: con terminologia naif si può dire che l estremo inferiore è il minorante migliore, cioè più vicino all insieme, l estremo superiore è il maggiorante migliore, cioè più vicino all insieme. Gli estremi inferiore e superiore di un insieme E si indicano con λ = inf(e), Λ = sup(e) Si usa anche dire per un insieme E che non ha minoranti che λ = inf(e) = Analogamente per un insieme E che non ha maggioranti si usa dire che Λ = sup(e) = + In ogni caso l insieme E è contenuto nell intervallo chiuso che ha estremi λ = inf(e) e Λ = sup(e) E [λ, Λ] Se l estremo inferiore λ = inf(e) è un numero di E allora ovviamente esso è il minimo di E. Analogo discorso per l estremo superiore Λ = sup(e): se è un numero di E allora ovviamente esso è il massimo di E. ESEMPIO 3.7. Sia F = {1,1/2,1/3,1/4,...} tra i minoranti di F lo 0, è il minorante migliore, cioè più vicino all insieme. 0 = inf(f) 0 non è il minimo di F perchè è un numero che non appartiene a F

3 3. LEZIONE 3 ESEMPIO 3.8. Sia F = {1,1/2,1/3,1/4,...} tra i maggioranti di F il maggiorante migliore, cioè più vicino all insieme. 1 = sup(f) 1 è anche il massimo di F perchè è un numero che appartiene a F TEOREMA: 1, è TEOREMA 3.9. Nell ambito dei numeri reali ogni insieme E inferiormente limitato possiede estremo inferiore λ, ogni insieme F superiormente limitato possiede estremo superiore Λ. NOTA:Nell ambito dei numeri razionali il precedente teorema non vale, si pensi all insieme E dei numeri positivi e di quadrato minore di 2: si tratta di un insieme superiormente limitato, se ammettesse estremo superiore tale numero dovrebbe avere quadrato 2, siccome non esistono razionali con quadrato 2... se ne conclude che l insieme E non ha (nell ambito dei numeri razionali) estremo superiore. Le definizioni di minimo, massimo, estremo inferiore, estremo superiore sono ovvie se E è un intervallo limitato: { inf(e) = a = min(e), intervallo chiuso [a, b] : sup(e) = b = max(e) intervallo aperto (a, b) : inf(e) { = a, sup(e) = b inf(e) = a = min(e), intervallo semichiuso [a, b) : sup(e) = b ESEMPIO Sia E = {0,1 + 1/2, 1 + 1/3,1 + 1/4,...} = {( 1) n + 1/n} inf(e) = 1, sup(e) = max(e) = 1 + 1/2 PROPOSIZIONE sup(a B) = max(supa,supb), inf(a B) = min(infa,infb) Una proprietà degli estremi. Sia λ = inf(e), sia cioè il minorante migliore: comunque si prenda un numero a più grande di λ ci sarà qualche elemento x E che risulta minore di a. Essere infatti il minorante migliore significa che i numeri più grandi non sono più minoranti... Discorso analogo per l estremo superiore Λ = sup(e): comunque si prenda un numero b più piccolo di Λ ci sarà qualche elemento x E che risulta maggiore di b.

4 Una proprietà di monotonia. I due insiemi E ed F siano allora, in ogni caso E F inf(f) inf(e) sup(e) sup(f) 3.6. Una proprietà di simmetria. Assegnato l insieme E consideriamo l insieme F formato dagli opposti dei numeri di E: F = { x, x E} si ha inf(f) = sup(e), sup(f) = inf(e) La proprietà indicata si riconosce facilmente sperimentandola nel caso di un intervallo, per esempio E = [ 2,5] che implica F = [ 5,2] inf(f) = 5 = sup(e), sup(f) = 2 = inf(e) 3.7. Numeri grandi, numeri piccoli. Multiplo Prefisso Simbolo Multiplo Prefisso Simbolo 10 deca da 10 1 deci d 10 2 hecto h 10 2 centi c 10 3 kilo k 10 3 milli m 10 6 mega M 10 6 micro µ 10 9 giga G 10 9 nano n tera T pico p

5 3. LEZIONE 5 Alfabeto greco minuscola maiuscola nome suono corrispondente α A alfa a β B beta b γ Γ gamma g δ delta d ɛ, ε E epsilon ĕ (e breve) ζ Z zeta z η N eta ē (e lunga) θ, ϑ Θ theta th inglese ι I iota i κ K cappa k λ Λ lambda l µ M mi m ν V ni n ξ Ξ xi x φ, ϕ Φ fi f o O omicron ŏ (o breve) π, ϖ Π pi (pi greco) p ρ, ϱ P ro r σ, ς Σ sigma s τ T tau t υ U üpsilon u francese χ X chi ch tedesco ψ Ψ psi ps ω Ω omega ō (o lunga)