Script (MAIN file) Function file. Script e Function. function y=fun01(x,a,b,c,d); y=a+bx+cx.^2+d*x.^3; return

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1 Script e Function Script (MAIN file) A3; B; C; D-0.; x[0:0.:0]; A+B*x+C*x.^+D*x.^3; figure,plot(x,) fun0(x,a,b,c,d); figure,plot(x,) A + Bx + Cx + Dx 3 Function file function fun0(x,a,b,c,d); A+B*x+C*x.^+D*x.^3; return Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici

2 Integrazione Equazioni Differenziali ode Il generico solutore ODExx di MATLAB risolve problemi nella forma: F ( t, ) Equazioni differenziali del ^ ordine possono essere ricondotte ad un sistema di due equazioni del primo ordine: m x + cx + kx 0 Ad esempio, nell esercitazione Innesto a frizione le equazioni differenziali sono del tipo: ( t) A + B( t) x x x x ( c / m) ( k / m) Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici

3 Integrazione Equazioni Differenziali ode A5; B-; t00; tf; 00; OPTIONS[ ]; MAIN file ( t) A + B( t) [t,]ode45('fun0',[t0 tf],0,options,a,b); FUNCTION file function pfun0(t,,flag,a,b); pa+b*; return Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 3

4 Integrazione Equazioni Differenziali ode OPTIONS odeset OPTIONS[ ]; OPTIONS odeset( OutputFcn, odeplot ); OPTIONS odeset('reltol',.e-6); OPTIONS odeset( AbsTol',.e-9); OPTIONS odeset( Stats', on ); OPTIONS odeset('events','on'); opzioni di default plot durantel integrazione imposta toll. relativa imposta toll. assoluta indica il costo computaz. abilita ricerca eventi [t,]ode45('function_name',t0,0,options,a,b,c, ); Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 4

5 MAIN file A ; A ; B ; B ; An ; Bn ; t00; tf; 0[0; 0; ; 0n]; OPTIONS[ ]; Sistema di Equazioni Differenziali... n ( t) ( t) ( t) A A... An ( t) ( t) ( t) [t,]ode45('fun03',[t0 tf],0,options,a,b,a,b,,an,bn); B B B n n FUNCTION file function pfun03(t,,flag,a,b,a,b,,,an,bn); p[a+b*(); A+B*(); ; An+Bn*(n)]; return Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 5

6 Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici Matlab & Simulink 6 Applicazione: INNESTO A FRIZIONE + + ) ( ) ( ) ( ) ( t B A t B A t t Ω + Ω Ω Ω + Ω Ω f f τ τ

7 Fase di strisciamento ( t) A + B ( t) A + B Evento: ( t) ( t) ( t) ( t) function varargoutfun04(t,,flag,a,b,a,b); switch flag case '' varargout{} f(t,,a,b,a,b); case 'events' [varargout{:3}] events(t,); otherwise error(['error message']); end function p f(t,,a,b,a,b); p[a+b*(); A+B*()]; function [value,isterminal,direction] events(t,) % Locate the time when passes through the "event" value ()-(); isterminal 0; direction 0; % event % don't stop at the event % don't care if increasing/decreasing OPTIONSodeset('Events','on'); [t,,te,e]ode45('fun04',[t0 tf],0,options,a,b,a,b); Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 7

8 Raggiungimento del REGIME ( t) A + B( t) Evento: ( t) R [t,,tr,r]ode45('fun05',[te tf],e,options,a,b); Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 8

9 Transitorio ventilatore Caratteristica MOTORE Mm 0 α Mm α n P ω n n Mm k( ω ) 0 ω k P n ( ω ω ω 0 n ) n ω ω0 Mm 0 k Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 9

10 Caratteristica VENTILATORE Transitorio ventilatore Mv Aω A Mv n Pv ω n 3 ω n n Riduzione all asse motore Mv B Aτ 3 Mv τ Bω Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 0

11 Condizione di REGIME Transitorio ventilatore Mm k Mv Bω ( ω ω 0 ) ω R k B Bω R ± k ( ω 0 ω 4Bω k R 0 ) Riduzione inerzie all asse motore Jeq ( τ Jm + J A + J B + Jv) Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici

12 Equazione del MOTO Transitorio ventilatore Mm Mv tratto Jeq ω Condizioni iniziali Mm0 B ω ω( 0) 0 Jeq Jeq ω tratto kω0 kω B ω ω ( t ) ω Jeq Jeq Jeq ω ω + α + β ω γ ω α α Mm Jeq 0 kω Jeq 0 B β 0 γ Jeq k B β γ Jeq Jeq Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici

13 ω + α + β ω γ ω A + B + B Eventi ( t) ω ( t) 0.99 ω R Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 3

14 A + B + B Eventi ( t) ω ( t) 0.99 ω R function varargouttransit(t,,flag,a,b,c,d); switch flag case '' varargout{} f(t,,a,b,c); case 'events' [varargout{:3}] events(t,,d); otherwise error(['error message']); end function p f(t,,a,b,c); p[a+b*+c*^]; function [value,isterminal,direction] events(t,,d) % Locate the time when passes through the "event" value ()-D; % event isterminal 0; direction 0; % don't stop at the event % don't care if increasing/decreasing OPTIONSodeset('Events','on'); [t,,t0,0]ode45( transit',[t0 tf],0,options,a,b,c,oms); [t,,tr,r]ode45( transit',[t0 tf],0,options,a,b,c,0.99*omr); Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 4

15 A 3 fzero A + Bx + Cx + Dx 3 B C D 0.5 OPTIONS optimset('displa','iter','tolx',.e-9); [xz,z]fzero('fun0',x0,options,a,b,c,d); function fun0(x,a,b,c,d); A+B*x+C*x.^+D*x.^3; return Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 5

16 MOTORE UTILIZZATORE Volano n v 60 f p / M r Momento resistente M* M * M r g g + M + g r g M r SCELTA MOTORE M * P n Ω v s n g Ω v Ω Ω v n g +g k giri s n P n ( ) s Ω n v EQUAZIONE DEL MOTO M m M r J Ω Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 6

17 EQUAZIONE DEL MOTO nei DUE TRATTI Volano Ω a ln+ + Ω a Ω0 Φ τ a Ω v M k r Φ πg Ω b ln+ Ω b Ω0 Φ τ b Ω v M k r Φ π g * ΩΩ0 Ω δ Ω Ω Ω * Ω v M k * Ω Ω Φ aln+ +Φ bln + Ω( Φ +Φ ) 0 a Ω0 b Ω0 a + Ω <Ω0 <b Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 7

18 Ω Ω Φ aln+ +Φ bln + Ω( Φ +Φ ) 0 a Ω0 b Ω0 Volano a + Ω <Ω0 <b VERIFICA Ω Ω0 Ω >Ω n Ω a ln+ + Ω a Ω0 Ω b ln+ Ω b Ω0 Φ τ Φ τ b a+ Ω τ Ω 0 Φ Ω a ln+ Ω a Ω 0 ( J ) Jv k τ m+ J 0 Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 8

19 MATLAB ODE Il generico solutore ODExx risolve problemi nella forma: Caso d dt A + B + C F ( t, ) Caso m x + cx + kx ω n ζ k m c mω n 0 n x + ζω x + ω x x n ζω x ω n n x 0 x x x x n ω n ζω Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 9

20 Equazione differenziale non lineare ẋ > 0 m + x kx µ mg Sistema SDOF con attrito Coulombiano ẋ < 0 m + x kx µ mg m x + kx + sign( x ) µ mg 0 x x x x n µ ω g sign( ) Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 0

21 Esempio x ( t) u( t) Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici

22 Esempio x ( t) x( t) + u( t) Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici

23 F x(t) m k SIMULINK Es. 3 m x( t) + c x ( t) + k x( t) F( t) c m x( t) c x ( t) k x( t) + F( t) Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 3

24 SIMULINK Es. 4 X0 K X M ( X X 0) C( X 0 ) X K X g C M F K ( X X g / ) X X > g / EL F K ( X X + g/ ) X X < g/ EL F 0 X X g/ EL Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 4

25 SIMULINK Es. 5 dt /00; time [0:dt:]; x sin(*pi*time); A [time; x].'; Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 5

26 Esempio 6 Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 6

27 Esempio 7 Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 7

28 SIMULINK Es. 8 Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 8

29 SIMULINK Es. 9 X0 K X K X C M C M g MX K( X X ) C ( X X ) + K ( X X) + C ( X X ) 0 0 M X K ( X X ) C ( X X ) Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 9

30 Parametri 0 Legge di Moto X0 [mm] m.5 kg m kg q c/k 0-4 s k N/m k N/m f 4 Hz f 97 Hz Legge di moto cicloidale Corsa 0 mm Due condizioni: g g 0 g g 0.0 mm 0 g g k c Tempo [s] k m c m x x x 0 Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 30

31 Legge di moto SPOSTAMENTO ACCELERAZIONE 0 00 Legge di Moto X0 [mm] Accelerazione Teorica [m/s^] Tempo [s] Tempo [s] Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 3

32 Simulazione: Accelerazione massa m g g 0 g g 0.0 mm 50 Accelerazione Massa M [m/s^] 50 Accelerazione Massa M [m/s^] Tempo [s] Tempo [s] Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 3

33 Modello di un azionamento con controllo di posizione e velocità Esempio / Esempio di modello di una trasmissione meccanica e del relativo azionamento. L azionamento è costituito da un motore elettrico a corrente continua con controllo in loop di corrente. Il motore applica una coppia motrice ad un mandrino che, a sua volta, trasmette il moto ad una pinza terminale attraverso un albero intermedio. MOTORE MANDRINO PINZA θ θ ENCODER θ 3 Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 33

34 Il moto viene controllato in posizione ed in velocità confrontando le letture di posizione e velocità fornite da due encoder montati in prossimità del mandrino. MOTORE MANDRINO Esempio / PINZA θ θ ENCODER θ 3 Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 34

35 Legge di moto Regolatore di posizione Regolatore di velocità. Esempio /3 Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 35

36 Modello motore elettrico a corrente continua R L Esempio /4 Campo fisso Equazione circuito di armatura () t diq R iq () t+ L + vq dt () t e() t q e q (t) i q v q (t) C m (t ) θ m (t ) Forza contro-elettromotrice v q () t K ϑ () t Cm() t Kc iq() t b m Coppia motrice C m ( s) K c E q ( s) K s Θ ( s) b R+ L s m Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 36

37 J J m ϑ ( ϑ ϑ ) + c ( ϑ ϑ ) m Cm + k m ( ϑ ϑ ) c ( ϑ ϑ ) + k ( ϑ ϑ ) + ( ϑ ) ϑ k m m 3 c 3 ϑ m Esempio /5 Modello meccanico J ( ϑ ϑ ) ( ϑ ) 3ϑ3 k 3 c 3 ϑ Dati del motore elettrico L [Vs/A] R 0.4 [Ohm] K c 5 [Nm/A] K b 5 [Vs/rad] J m 0.6 [kgm ] Parametri dei controllori ad azione Proporzionale Integrale Anello di corrente Anello di velocità Anello di posizione Kp c 8 [V/A] Kp v 95 [Nm/(rad/s)] Kp p 7 [/s] Ti c 0.00 [s] Ti v 0. [s] Ti p 000 [s] (di fatto èad azione Proporzionale) Parametri del modello meccanico J kgm J kgm k Nm/rad k Nm/rad Velocita di rotazione 0 rpm q 0 5 s c qk c qk G( s) Kp + Ti s Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 37

38 Modello dell intero azionamento Esempio /6 Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 38

39 Dati numerici Esempio /7 Dati del motore elettrico L [Vs/A] R 0.4 [Ohm] J m 0.6 [kgm ] K c 5 [Nm/A] K b 5 [Vs/rad] Parametri dei controllori ad azione Proporzionale Integrale Anello di corrente Anello di velocità Anello di posizione Kp c 8 [V/A] Kp v 95 [Nm/(rad/s)] Kp p 7 [/s] Ti c 0.00 [s] Ti v 0. [s] Ti p 000 [s] Parametri del modello meccanico J kgm J kgm (di fatto è ad azione Proporzionale) qk k Nm/rad q 0 5 s k Nm/rad G( s) K p c qk c Velocità di rotazione 0 rpm + Ti s Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 39

40 50 40 Legge teorica - spostamento [deg] 50 Legge teorica - velocita' [deg/s] Es. / [deg] 4 x 0-5 Errore meccanico X-X [deg] [deg] [deg] x 0-4 Errore meccanico X3-X [deg] [deg] Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 40

41 Il regolatore di posizione è ad azione proporzionale. Ne consegue un moto effettivo ritardato rispetto a quello imposto. Sarebbe improprio considerare come errore la semplice differenza tra la coordinata e il moto imposto. E più opportuno considerare l errore a meno del ritardo. Es. / Errore del controllo X-Xrif [deg] Errore del controllo X-Xrif senza ritardo [deg] [deg] [deg] Matlab & Simulink Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 4