Modellazione dinamica per il controllo di processo. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Impianti Chimici Politecnico di Milano

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1 L2 Modellazione dinamica er il controllo di rocesso Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2

2 Dinamica di rocesso Il controllo di rocesso richiede la conoscenza della risosta dinamica del sistema. Il modello con il quale studiare le caratteristiche del rocesso (e.g., singola aarecchiatura, sottosezione di imianto o imianto comlessivo) e la risosta dello stesso a disturbi esterni o algoritmi di controllo deve quindi essere dinamico e strutturato secondo una organizzazione inut outut. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 2

3 Struttura inut-outut Un rocesso chimico uò essere semre descritto secondo la seguente raresentazione schematica: Disturbi d 1 d 2 d l m 1 y 1 Variabili maniolate m 2 Processo y 2 Outut m k y m outut = f (variabili di inut) y f m, m,, m ; d, d,, d i 1,, m i 1 2 k 1 2 l Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 3

4 Esemio di serbatoio riscaldato e miscelato Si consideri il seguente serbatoio riscaldato e erfettamente miscelato: F i, T i Condensa Vaore Q T h F, T Le quantità fondamentali er la conoscenza dello stato del sistema sono: la massa totale di liquido nel serbatoio l energia totale del liquido nel serbatoio la quantità di moto Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 4

5 Esemio di serbatoio riscaldato e miscelato Massa totale di liquido nel serbatoio: M V Ah Energia totale del liquido nel serbatoio: E U K P Ma il serbatoio è immobile, quindi: dk dp 0 dt dt Segue che: de dt du dt E er i liquidi: du dt dh dt Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 5

6 Esemio di serbatoio riscaldato e miscelato Inoltre: H V c T Tref Ahc T Tref Conseguentemente le variabili di stato del serbatoio sono: h e T Mentre i arametri costanti sono:, A, c, T ref avendo assunto la densità ed il calore secifico del liquido indiendenti dalla temeratura del sistema. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 6

7 Esemio di serbatoio riscaldato e miscelato È ora ossibile scrivere due bilanci dinamici relativi alla conservazione delle quantità: massa totale ed energia totale: accumulo massa totale ingresso massa totale uscita massa totale temo temo temo d Ah dt F i F accumulo energia totale ingresso energia totale uscita energia totale temo temo temo d Ahc ( T T ) dt ref Fc T T Fc T T Q i i ref ref dove F i e F sono ortate volumetriche (e.g., [m 3 /s], [l/min], [m 3 /h]) e Q è il flusso di calore fornito dal vaore nella camicia (e.g., [J/s], [kw], [W]) Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 7

8 Esemio di serbatoio riscaldato e miscelato Semlificando si ottiene: dh A Fi F dt dht Q A FT i ift dt c N.B.: avendo scelto T ref = 0 Inoltre: Quindi: d ht dt dh dt A Ah AT Ah T Fi F dt dt dt dt dt Q Ah T Fi F FT i i FT dt c dt Q Q Ah FT FT TF TF F T T dt c c i i i i i Il modello dinamico si riduce a: dh A Fi F dt dt Q Ah FiT i T dt c Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 8

9 Esemio di serbatoio riscaldato e miscelato Riassumendo abbiamo: variabili di stato: h, T variabili di outut: h, T (entrambe misurate) variabili di inut: disturbi: T i, F i variabili maniolate: Q, F (nel caso di controllo in retroazione (feedback)) F i (nel caso di controllo in anteazione (feedforward)) Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 9

10 Esemio di serbatoio riscaldato e miscelato Torniamo al sistema dinamico e iotizziamo che F i = F. Segue che: dh dt 0 dt Ah FiT i T dt Q c Quindi dato che h è costante ossiamo focalizzare l attenzione sul solo bilancio energetico. Il calore ceduto dal vaore è ari a: L equazione di bilancio energetico diviene: Q UA T T dt Q UA T T UA UA Ah F T T FT FT FT FT T T dt c c c c exc exc va exc exc i i i i i i i i va dt UA UA Ah F T FT T dt c c exc exc i i i va va Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 10

11 Esemio di serbatoio riscaldato e miscelato L equazione differenziale relativa al bilancio energetico assume quindi la forma: dt UA UA Ah F T FT T dt c c exc exc i i i va che uò essere comattata in: dt 1 at T KT i dt va ove: 1 1 Fi UAexc a K K Ah Ahc L equazione evidenziata nel rettangolo rosso raresenta il modello matematico del serbatoio riscaldato e miscelato dove T è la variabile di stato mentre T i e T va sono le variabili di inut. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 11

12 Esemio di serbatoio riscaldato e miscelato Vediamo ora come sviluare il modello inut outut. In condizioni stazionarie il bilancio energetico si riduce a: dt 1 at T i KT va at 1 T, KT, dt 0 s is vas Dove il edice s aosto alle variabili di rocesso indica aunto la condizione di stazionarietà del sistema. Sottraendo l equazione di stazionarietà a quella dinamica si ottiene: d T T dt s 1 att TT KT T s i i, s va va, s o in forma comatta: dt 1 at T i KT dt va Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 12

13 Esemio di serbatoio riscaldato e miscelato La soluzione analitica dell ultima equazione differenziale è: t at at at 1 T () t ce e e T 0 i KT vadt Se si assume che all inizio (i.e. condizioni iniziali) il serbatoio sia in condizioni stazionarie (i.e. T (0) = 0) allora c = 0 e risulta: t at at 1 T() t e e T 0 i KT vadt Si noti che questa equazione esrime la relazione tra gli inut T, i T va e l outut T ed è quindi il modello inut outut del serbatoio riscaldato e miscelato. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 13

14 Gradi di libertà di un rocesso I gradi di libertà di un rocesso sono le variabili che debbono essere secificate al fine di definire in modo esaustivo il rocesso stesso. Conseguentemente un sistema è controllato se e solo se tutti i risettivi gradi di libertà sono stati secificati. Per maggior chiarezza si consideri nuovamente il modello dinamico del serbatoio riscaldato e erfettamente miscelato: dh A Fi F dt dt Q Ah FiT i T dt c La risoluzione di questo sistema ODE ermette di conoscere l evoluzione dinamica delle variabili diendenti h e T quando gli inut T i, F i, F e Q cambiano. N.B.: F ur essendo la ortata uscente dal serbatoio raresenta un inut del modello matematico. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 14

15 Gradi di libertà di un rocesso Nascono sontanee due domande: il sistema ODE è risolubile? se il sistema è risolubile quante soluzioni esistono? Il teorema di Cauchy relativo a sistemi ODE con condizioni iniziali ci assicura che se il roblema è ben osto esiste semre una soluzione. Per quanto riguarda il numero di soluzioni è sufficiente contare il numero di equazioni: 2 ed il numero di variabili: 6 i.e. h, T, F i, F, T i, Q (avendo assunto che A,, c siano dei arametri assegnati e costanti. È ossibile osservare che il numero di variabili è maggiore del numero di equazioni, quindi esiste un infinità di ossibili soluzioni in funzione dell assegnazione delle 4 variabili in sovrannumero risetto alle equazioni costitutive disonibili. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 15

16 Gradi di libertà di un rocesso In realtà è ossibile assegnare arbitrariamente il valore di 4 variabili tra quelle disonibili indicate in recedenza. Ad esemio ossiamo assegnare il valore di 4 variabili: F i, T i, F, Q ed integrare il sistema ODE nelle variabili h e T. Se modifichiamo il valore delle 4 variabili assegnate si otterranno nuovi andamenti dinamici delle variabili h e T. Quindi, se vogliamo che h e T cambino secondo una secifica dinamica, sarà necessario non avere alcun grado di libertà all interno del sistema. N.B.: al fine di secificare un sistema in modo comleto, il numero di gradi di libertà dovrà essere nullo. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 16

17 Gradi di libertà di un rocesso Se definiamo f la differenza tra il numero di variabili e di equazioni: f = V E si otrà avere: f = 0 il sistema è erfettamente secificato; f > 0 il sistema è sottodimensionato nel senso che mancano f equazioni er ottenere un unica soluzione; f < 0 ci sono iù equazioni che variabili (il sistema è sovradimensionato) e in generale non esiste una soluzione alle equazioni rooste. N.B.: la resenza di un anello di controllo introduce un equazione aggiuntiva tra le variabili misurate e maniolate e quindi riduce di un unità il numero di gradi di libertà. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 17

18 Gradi di libertà di un rocesso N.B.: nel caso del serbatoio riscaldato e erfettamente miscelato il numero di gradi di libertà risulta ari a 4 se e solo se la ortata liquida uscente F è regolata da una oma o da una valvola. Al contrario se la ortata uscente F diendesse dal battente di liquido nel serbatoio: F c A 2gh D tubo allora il numero di gradi di libertà si ridurrebbe a 3. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 18

19 Gradi di libertà e controllabilità di un rocesso In genere un sistema modellato correttamente ed attentamente ossiede uno o iù gradi di libertà. Quindi, nel caso di f > 0 il rocesso avrà un infinità di soluzioni. Domanda: Come occorre rocedere er ridurre il numero di gradi di libertà a zero al fine di avere un sistema comletamente secificato e quindi caratterizzato da un comortamento univoco? Per aggiungere equazioni e ortare il sistema a f = 0 è ossibile agire in due modi distinti: tramite il mondo esterno tramite il sistema di controllo Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 19

20 Gradi di libertà e controllabilità di un rocesso Tornando al caso del serbatoio riscaldato e erfettamente miscelato occorre aggiungere 4 relazioni. F i e T i sono due disturbi che sono secificati dal mondo esterno (anche se le risettive equazioni ossono non essere note ma comunque esistono). Sicché il numero di gradi di libertà si riduce a 2. A fini controllistici il serbatoio funziona correttamente se il livello e la temeratura sono mantenuti ad un valore oortuno. Ciò uò essere conseguito tramite l introduzione di 2 anelli di controllo che corrisondono a 2 equazioni in iù. Alla fine il numero di gradi di libertà risulta nullo (cioè f = 0). N.B.: attenzione a non sovrasecificare il sistema nella definizione/assegnazione degli anelli di controllo altrimenti il sistema comlessivo non risulta adeguatamente controllabile. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 20

21 Gradi di libertà e controllabilità di un rocesso Nel caso secifico, avendo assunto F i e T i variabili definite dal mondo esterno (ad esemio disturbi) restano come variabili maniolate F e Q er controllare h e T. Riassumendo il bilancio totale variabili equazioni vede: 6 variabili: F i, T i, F, T, h, Q 2 equazioni differenziali: dh/dt = e dt/dt = 2 equazioni definite dal mondo esterno relative ai disturbi: F i, T i 2 equazioni di controllo su h e T basate sulla maniolazione delle restanti variabili di rocesso: F e Q. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 21

22 Gradi di libertà e controllabilità di un rocesso Abbiamo così definito due ossibili anelli di controllo basati sulle variabili maniolate F e Q er controllare le variabili di outut h e T. In un ottica di controllo convenzionale ove un anello di controllo è costituito da una variabile maniolata ed una variabile controllata, resta da definire l accoiamento tra le due variabili maniolate e le due variabili controllate. L accoiamento tra variabili maniolate e variabili controllate viene definito in inglese con il termine: airing. Un airing molto ragionevole risulta essere: {F, h} e {Q, T}. In numerosi altri casi il airing non è a riori definito ed univoco ma è ossibile revedere ermutazioni tra variabili maniolate e controllate. N.B.: Pairing differenti conducono ad interazioni rocessistiche tra le variabili controllate differenti e quindi ad una controllabilità del rocesso iù o meno elevata. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 22

23 Ambiti della modellazione er il controllo Prima di rocedere con la modellazione di un rocesso occorre essere in grado di risondere alle seguenti domande: quali sono gli obiettivi del controllo che occorre soddisfare? quali sono i disturbi attesi ed il loro imatto sul rocesso? quali sono i fenomeni fisici e chimici dominanti che avvengono nel rocesso da controllare? Risondere a queste domande ermette di identificare: le variabili di stato; le variabili di inut (maniolate e disturbi); le variabili di outut da controllare: x = setoint low < x < u Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L2 23