Rendite vitalizie. Matematica finanziaria seconda parte Prof. Massimo Angrisani a.a. 2012/2013

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1 Rendite italizie Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Massio Angrisani a.a. 2012/2013 1

2 Cos è na rendita italizia 2 Un indiido di età x si assicra, a partire da tale età, il pagaento di n iporto (rata) nitario alla fine di ciascn anno finché riane in ita. L assicratore richiede n copenso, detto preio. Strttra tradizionale: sono fissate le soe assicrate. Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

3 Cos è na rendita 3 Spponiao che all epoca 0 l assicrato di età x (intera, esatta) paghi n preio nico U. Se con certezza, a partire da tale epoca, l assicrato percepisce le prie n rate nitarie alla fine di ciascn anno, si dee tener conto solo dell aspetto finanziario di tale operazione. Sia i il tasso anno effettio di interesse considerato in regie di capitalizzazione coposta. Il alore attale della pria rata nitaria di rendita calcolato all inizio del prio anno (epoca 0) è i è il fattore di sconto. Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

4 Rendita finanziaria 4 U n n Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

5 Rendita finanziaria 5 In tale caso n n 1 h U 1 h 1 h 0 h Soa di n-1 terini in progressione geoetrica n n 1 1 U 1 i Operazione finanziaria certa. U (alore attale) dipende da n e da i (tasso di attalizzazione). Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

6 Esepio 6 Valore attale rendita certa posticipata i 0% 1% 2% 3% 4% 5% n 1 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,45457

7 La base finanziaria 7 Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

8 BASE DEMOGRAFICA - OSSERVAZIONI

9 Notazioni attariali (1) 9 x ariabile età generalente si considerano solo le età intere con età estrea t qx ω Probabilità di decesso ω entro t anni all età x x 0,1, 2,... ω p 1 q Probabilità di sopraienza per t anni all età x t x t x q p q + t/ x t x x t Probabilità di decesso tra le età x+t e x+t+ altata all età x ; rislta pari al prodotto della probabilità di sopraienza per t anni per la probabilità di decesso entro anni all età x +t Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

10 Probabilità di decesso e di sopraienza (2) 10 In particolare, se t 1 Probabilità di decesso entro n anno all età x q x ( tasso anno di decesso ) px 1 qx Probabilità di sopraienza per n anno all età x ( tasso anno di sopraienza ) Rislta anche q q t/1 x t/ x Probabilità differita di decesso tra l età x+t e x+t+1 ; probabilità che la drata (resida troncata) di ita all età x sia gale a t, con x e t alori interi Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

11 Probabilità di decesso e di sopraienza (3) 11 In particolare, se x 0 q Probabilità differita di decesso entro n anno all età t (altata alla nascita), con t/1 0 ω 1 t 0 q t/1 0 1 Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

12 Cra dei decessi 12 0, t/1q 0 popolazione italiana aschi 2006 (fonte HMD) 0, , , , , , , , , Age Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

13 Probabilità anna di decesso 13 q x popolazione italiana aschi 2006 (fonte HMD) 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Age Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

14 Valori sintetici della drata di ita 14 Vita attesa incopleta e + x h x h 1 p Vita attesa copleta o e x e + x 1 2 Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

15 Taola di sopraienza (da HMD) 15 Life table - Italy Males (period 1x1). Last odified: 06-Feb-2009, MP5 (May07) Age lx dx qx Age lx dx qx , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,000 Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

16 Taola di sopraienza (ortalità) 16 E na rappresentazione tablare della ortalità. La deterinazione delle probabilità di orte esprienti il rischio che na persona di età x oia pria del copiento del copleanno x+n, consente la deterinazione delle lteriori fnzioni bioetriche contente nella taola di ortalità. l 0 degli indiidi in ita all età 0 (generalente l ) radice della taola Nero (atteso) degli indiidi in ita all età x : l x+1 l x *(1-q x ) Nero (atteso) dei decessi tra l età x e x+1: d x l x *q x l x -l x+1 Nero (atteso) dei decessi tra l età x e x+n: nd x l x -l x+n Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

17 17 l x popolazione italiana aschi 2006 (fonte HMD) Size of poplation Age Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

18 d x popolazione italiana aschi 2006 (fonte HMD) Size of poplation Age Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

19 Mortalità aschile e feinile d x popolazione italiana 2006 (fonte HMD) 4000 Size of poplation aschi feine Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013 Age

20 Probabilità di decesso e di sopraienza 20 n q x l l d l l x x+ n n x x x Probabilità di decesso entro n anni all età x p lx+ n 1 l q n x n x x q x d l x x Probabilità di sopraienza per n anni all età x Probabilità di decesso entro n anno all età x ( tasso anno di decesso ) p x l x+ 1 1 qx lx Probabilità di sopraienza per n anno all età x ( tasso anno di sopraienza ) Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

21 Esepi 21 q 50 d l l l l , q 9/1 50 d 59 l , p l 65 l , o e 78,62 e 17, Taola di ortalità di riferiento: Life table HMD - Italy Males Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013 o

22 Eolzione nel tepo l x popolazione italiana aschi (fonte HMD) Size of poplation Age Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

23 Eolzione nel tepo d x popolazione italiana aschi (fonte HMD) ; 4267 Size of poplation ; Age Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

24 Eolzione nel tepo aspettatia di ita popolazione italiana aschi (fonte HMD) Age Year Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013 età 0 età 60

25 Mortalità dinaica 25 tepo t-1 t t+1 età 0 q 0 (t-1) q 0 (t) q 0 (t+1) 1 q 1 (t-1) q 1 (t-1) q 1 (t-1) x q x (t-1) q x (t-1) q x (t-1) x+1 q x+1 (t-1) q x+1 (t-1) q x+1 (t-1) Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

26 Taola di sopraienza RG48 26 Maschi Feine Maschi Feine x lx lx x lx lx , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,4 4301, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,57486

27 Age shifting 27 MASCHI FEMMINE Anno di nascita Correzione dell età Anno di nascita Correzione dell età Fino al Fino al Dal 1942 al Dal 1944 al Dal 1952 al Dal 1951 al Oltre il Oltre il Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

28 l x popolazione italiana aschi (fonte HMD e RG48) Size of poplation Age RG48 Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

29 RENDITE VITALIZIE

30 30 Cos è na rendita italizia definizione del concetto di alore attariale Le rate nitarie sono percepite dall assicrato finché qesto è in ita (incertezza). P se in ita altrienti 0 se in ita altrienti 0 se in ita altrienti n se in ita altrienti 0 x x+1 x+2 x+3 x+n Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

31 31 Cos è na rendita italizia definizione del concetto di alore attariale Si tratta di n operazione finanziaria aleatoria di ci sono note le deterinazioni possibili degli iporti. Non è nota la drata di ita all età x dell assicrato, l iporto da erogare a ciascna epoca è dipendente dall eento essere in ita a tale epoca. Problea: qantificare l incertezza assegnare la probabilità alle deterinazioni possibili dei diersi iporti Esepio: con qale probabilità l assicrato di età 65 percepirà 1 ero di rendita all età 75? Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

32 32 Cos è na rendita italizia definizione del concetto di alore attariale Consideriao ogni singola rata a partire dalla pria. U 1 1 se in ita altrienti 0 x x+1 x+2 x+3 x+n Il alore attale Y di n ero di rendita percepibile dopo n anno è aleatorio e rislta pari a Y se l'assicrato è in ita all'età x+ 1 0 altrienti Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

33 33 Cos è na rendita italizia definizione del concetto di alore attariale Sia p la probabilità che l assicrato di età x sia in ita all età x+1. Il alore atteso di Y (alore attariale o alore attale atteso) è E( Y) p+ 01 ( p) p Il alore attariale dipende dal tasso di attalizzazione i e dalla probabilità p. (i,p) base della altazione Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

34 Fattore di sconto deografico finanziario 34 Il alore attariale di n ero di rendita percepibile dopo 1anno da n indiido di età x se in ita si indica con 1 px E p 1 x 1 x Probabilità di sopraienza per n anno per n indiido di età x Il alore attariale di n ero di rendita percepibile dopo n anni da n indiido di età x se in ita si indica con n px E p n n x n x Probabilità di sopraienza per n anni per n indiido di età x Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

35 35 Cos è na rendita italizia definizione del concetto di alore attariale Consideriao ttte le lteriori possibili rate U px 2 p 2 x x x+1 x+2 x+3 x+h 3 3 x h... p h p x + + h x h x h x h 1 h 1 a E p Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

36 Esepi nerici 36 n 10 i 3% n 0, Taola Italia Maschi 2006 HMD età n E x 30 0, , , , , , Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

37 Esepi nerici 37 Rendita italizia posticipata Taola IT aschi 1992 i 3% età a x età a x età a x età a x età a x 0 28, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,256 Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

38 38 Cos è na rendita italizia definizione del concetto di alore attariale Per la altazione attariale di na rendita italizia de concetti fondaentali 1. Attalizzazione delle soe ftre aspetto praente finanziario 2. Qantificazione dell incertezza - aspetto probabilistico Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

39 Il principio per il calcolo del preio 39 Sia Y il alore attale aleatorio delle prestazioni fornite dall assicratore ed U il preio nico (certo) richiesto dall assicratore. Per l assicratore la perdita è aleatoria pari a LY-U. Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

40 Il principio per il calcolo del preio 40 Principio di eqità E( L) E( Y U) 0 Valore atteso della perdita dell assicratore e qindi U ( ) E Y Preio eqo (nico pro) Valore attariale delle prestazioni Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

41 Calcolo del preio 41 U 1 1 px x x+1 Pertanto il preio nico per n ero di capitale. percepibile. dopo n anno da n indiido di età x. se in ita è pari a U E p 1 x 1 x Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

42 Calcolo del preio 42 U px x x+1 x+2 x+3 x+n 2 p 2 x 3 3 x n... p n p x Il preio nico per la rendita italizia nitaria iediata posticipata per n indiido di età x è pari a U a x Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

43 43 Osserazioni slla probabilità di sopraienza e sl tasso tecnico U 1 n n p x x x+n Il preio relatio alla generica n-sia rata nitaria. di rendita è. pari a. U E p n n x n x Per tale altazione sono stati fissati il tasso di interesse i e la probabilità di sopraienza n p x Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

44 44 Osserazioni slla probabilità di sopraienza e sl tasso tecnico Siano Rislta i e p * * n x tali che i > i e p < p * * n x n x ( * *) ( *,, ) (, ) n x < n x < n x U i p U i p U i p Il preio rislta fnzione decrescente del tasso di interesse e fnzione crescente della probabilità di sopraienza. Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

45 Esepi nerici 45 Sia * * i i > i tale che. Si considera la taola di sopraienza Italia Maschi n 10 tasso 3% 5% età x 10 E x 10 E x 40 0, , , , , , , , Il preio calcolato con la base (3%,1992) è più faoreole all assicratore rispetto a qello calcolato con la base (5%,1992). Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

46 Esepi nerici 46 n 10 i 3% n 0, Taole Italia aschi HMD età ne x n E x n E x n E x n E x 30 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

47 Esepi nerici 47 Siano * * * * i e p tali che i > i e p < p (i*, p*)(5%, IT aschi 1992) (i, p)(3%, IT aschi 2006) n 10 tasso 5% 3% 3% taola età 10E x 10 E x 10 E x 40 0, , , , , , , , , , , , Il preio calcolato con la base (3%,2006) è più faoreole all assicratore rispetto a qello calcolato con la base (5%,1992) Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

48 Rendite italizie 48 Sapendo che per n indiido di età x na rendita nitaria iediata e posticipata (a rate di iporto nitario) al tasso tecnico i ha n costo (preio nico) pari a + h x h x h 1 U a p 1 qanto costa na rendita di rata R? Si ha + + h h R h x h x x h 1 h 1 U p R R p Ra Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

49 Rendite italizie 49 Un indiido di età x ha disponibile n capitale (ontante) M. Qal è la rata della rendita italizia iediata che pò coprare con tale soa (preio nico)? La risposta si ottiene risolendo l eqazione che gaglia la disponibilità econoica M al costo della rendita di rata R, cioè da si ottiene M Ra x 1 R M ax Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

50 Coefficiente di conersione 50 c x 1 a x Si definisce coefficiente di conersione e fornisce l iporto della rata di rendita italizia nitaria iediata posticipata che si acqisisce con n ontante nitario, coe rislta dalla relazione ponendo M1. 1 R M ax Prof. Massio Angrisani Mateatica finanziaria a.a. 2012/2013

51 Teoria delle collettiità Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Massio Angrisani a.a. 2012/2013 1

52 I) TEORIA DELLA COLLETTIVITA Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Consideriao le segenti fnzioni della ariabile teporale t appartenente all interallo [ 0,T] con T + relatie ad na assegnata popolazione o collettiità: P (t) nero di indiidi della popolazione al tepo t ; M (t) nero di indiidi della popolazione orti tra 0 e t (con M(0)0); I (t) nero di indiidi della popolazione dienti inalidi tra 0 e t (con I(0)0); W (t) nero di indiidi eliinati dalla popolazione per altre case tra 0 e t (con W(0)0); N (t) nero di indiidi entrati nella popolazione tra 0 e t (con N(0)0). Definiao inoltre le intensità di ariazione: P (t) p(t) M (t) (t) I (t) i(t) W (t) w(t) N (t) n(t) e definiao i segenti tassi istantanei: (t) α(t) tasso istantaneo di ortalità, P(t) i(t) β(t) tasso istantaneo di inalidità; P(t) w(t) γ(t) tasso istantaneo di scita della popolazione per altre case; P(t) n(t) ν (t) tasso istantaneo di ingresso nella popolazione. P(t) 1

53 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 I.I) POPOLAZIONE SOGGETTA ALLA SOLA CAUSA DI ELIMINAZIONE PER MORTE Consideriao na popolazione soggetta alla sola casa di eliinazione per orte. L eqazione di eolzione della popolazione chisa (non soggetta ad ingressi) è la segente: P (r) P(0) M (r) (0) 0. M, 0 r T Spposte deriabili le fnzioni P(r) e M(r), nel generico istante r, rislta: P (r) M (r); da ci: P (r) P(r) M (r) P(r) α(r). Considerata qindi assegnata la fnzione α(r), 0 r T, che fornisce il tasso istantaneo di ortalità, fnzione che spponiao contina, possiao considerare l eqazione differenziale lineare oogenea del prio ordine: P (r) P(r) α(r), 0 r T, (1) oero cercare na fnzione P(r), il ci tasso istantaneo di ariazione in ogni istante r, cioè P (r), P(r) sia pari (a eno del segno) a qello di ortalità. 2

54 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Tale eqazione differenziale, assegnata la condizione iniziale P (0), aette coe solzione la segente fnzione della ariabile teporale (che indichiao con t): t α(r)dr 0 P(t) P(0) e. ( 2) L eqazione differenziale lineare oogenea del prio ordine: P (r) P(r) α(r) con assegnata la condizione iniziale P (0), si risole facilente per integrazione: t 0 P (r) dr P(r) t 0 α(r)dr [ logp(r) ] t 0 t 0 α(r)dr log P(t) P(0) t 0 α(r)dr P(t) P(0) e t α(r)dr 0. Osserazione iportante Se la fnzione α(r) definita nell interallo 0 r T è ii contina a tratti, cioè presenta al più n nero finito di discontinità di pria specie (salti) in ogni interallo finito, allora la fnzione α(t) rislta conqe integrabile in ogni interallo liitato e l integrale t 0 α(r)dr è na fnzione contina dell estreo speriore di integrazione t. 3

55 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 La fnzione definita dalla (2) è deriabile negli interalli di continità della α(t) ed è ancora solzione della eqazione differenziale (1) in tali interalli entre nei pnti di discontinità della fnzione α(r) la fnzione espressa dalla (2) è contina a non deriabile. Sebbene spponiao, per seplicità di trattazione, che i tassi istantanei siano fnzioni definite e contine nell interallo 0 r T, in effetti ttte le conclsioni che traiao perangono alide anche nella ipotesi che tali tassi siano forniti da fnzioni definite e contine solo a tratti in tale interallo. In qest ltio caso le fnzioni espresse ediante tali tassi risltano deriabili nei pnti in ci le relatie fnzioni che forniscono i tassi istantanei sono contine, entre nei rianenti pnti risltano fnzioni solo contine. Dalla ( 2) si ha, per il rapporto P(t), la segente espressione: P(0) P(t) P(0) e t α(r)dr 0. Dnqe tale rapporto rappresenta la qota della popolazione iniziale P (0) che sopraie al tepo t. Possiao pertanto interpretare tale rapporto coe la probabilità che n indiido presente nella popolazione iniziale al tepo 0 sopraia al tepo t, cioè esplicitaente possiao definire la probabilità: t α(r)dr 0 P(t) p (0, t) e. ( 3) P(0) 4

56 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Eidenteente a tale definizione di probabilità è iplicitaente associata l ipotesi che ttti gli indiidi presenti nella popolazione al tepo 0, siano esposti nella stessa isra al rischio di eliinazione per orte. Dati de istanti e con dalla ( 2) sege: P() P() e α(r)dr. Pertanto ragionando per gli istanti e in odo analogo a qanto già fatto per gli istanti 0 e t, possiao definire: α(r)dr p (, ) e (4) e considerare p (, ) coe la probabilità che n generico indiido presente nella popolazione all istante sopraia all istante. Considerati gli istanti, z, con 0 z rislta: p (, ) e α(r)dr e z α(r)dr α(r)dr z e z α(r)dr e α(r)dr z da ci la proprietà oltiplicatia per la probabilità di sopraienza rispetto alla decoposizione teporale: p (, ) p (,z) p (z, ). (5) 5

57 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Esepio n. 1 Consideriao na popolazione esposta al tasso istantaneo anno di eliinazione costante del 2%. La probabilità che n indiido presente al tepo iniziale 0 sopraia dopo 3 anni è pari a: p (0,3) e 3 0,02dr 0 e 0,02 3 e 0,06 0,942. Si osseri che tale probabilità è speriore al 94%. La probabilità che n indiido presente nella popolazione dopo 5 anni, sopraia al decio anno è: 10 0,02dr 5 0,1 p (5,10) e e 0,905. 6

58 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Esepio n. 2 Sia P (0) indiidi. Spponiao che dopo 2 anni P (2) e spponiao che gli indiidi siano sciti dalla popolazione per la sola casa di eliinazione per orte e che tale casa abbia agito con n tasso istantaneo anno costante. Si ole calcolare tale tasso. P(2) P(0) e 2 αdr 0 da ci: P(2) P(0) e 2α e 2α 2α 94 log 100 α 1 94 log ,0309 3,09%. 7

59 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Si spponga ora che il tasso sia stato costante nel prio anno e che nel secondo anno tale tasso sia stato altresì costante a speriore del 10% rispetto a qello dell'anno precedente. Si ogliano calcolare tali tassi. P(r) P(0) e 1 2 αdr+ 1,1αdr 0 1 P(r) P(0) e α e 1,1α P(r) P(0) e 2,1α P(r) P(0) e 2,1α 2,1αlog α log ,0295 2,95%. Il tasso nel prio anno è stato del 2,95% e nel secondo del 3,24%. 8

60 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Esepio n. 3 Con P (t) indichiao la nerosità di na popolazione al ariare del tepo t. Sia P (0) indiidi e dopo 10 anni P (10) Spponiao che abbia agito n tasso istantaneo di eliinazione per orte α(r), costante in ciascn anno e che tale tasso rislti crescente del 10 % ogni anno. Si ole calcolare tale tasso: α 0 r<1 γ α 1 r<2 α(t).... γ 9 α 9 r 10 doe γ 1,1 è il fattore di crescita annale del tasso istantaneo di eliinazione. Si ha: P(t) P(0) e t α(r)dr 0 e qindi: 9

61 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 P(10) P(0) e αdr+ γ αdr γ 9 αdr da ci: P(10) P(0) e α+ α γ+ α γ α γ 9 P(10) P(0) e α 1 ( + γ+ γ γ 9 ) P(10) γ 10 1 α γ 1 P(0) e. Pertanto: P(10) P(0) e γ 10 1 α γ 1 P(10) log P(0) 10 γ 1 α γ 1 P(10) log P(0) γ 1 γ 1 α 10 10

62 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 α 0,4780 3%. 15,9374 Da ci si ricaa iediataente il alore della fnzione α(r) per 0 r 10. Dalla ( 2), indicata con s la ariabile indipendente al posto di t e deriando si ottiene l espressione: P (s) P(0) e s α(r)dr 0 ( α( s) ). Integrando tra 0 e t si ottiene: P(t) P(0) t 0 P (s)ds P(0) t 0 e s α(r)dr 0 α(s)ds. (6) 11

63 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Qindi dalla eqazione di eolzione della popolazione, cioè P(t) P(0) M(t), con M(0)0, nell interallo 0 t T, sege per il nero M (t) di indiidi eliinati dalla popolazione nell interallo [, t] 0, la segente espressione: M(t) t P(0) e 0 s α(r)dr 0 α(s)ds. (7) 1 Considerando ancora l eqazione di eolzione della popolazione, e dalla (2) si ha altresì che: 0α(r)dr t M(t) P(0) 1 e. ( 7 ) Con riferiento all osserazione a pag. 4, si ha che nell ipotesi che la fnzione α(r) sia definita e contina solo a tratti nell interallo [0, T], la fnzione M(t), definita dalla (7), rislta contina nell interallo [0,T] e deriabile nei pnti in ci la α(r) è contina. 1 Si osseri inoltre che l integrale (7) pò essere approssiato dalla soatoria ottenta diidendo l interallo [0,t] in n sottointeralli gali di apiezza t s, 0, n s 0 s1 s, s2 2 s,, s n n s t, cioè n 1 s i α(r)dr n 1 n 1 n 1 0 i i i i+ 1 i+ 1 i i 0 i 0 i 0 i 0 [ ] P(0) e α(s )Δs P(s ) α(s )Δs ΔM(s ) M(s ) M(s ) M(t) M(0) M(t). 12

64 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Si osseri che, in base alla ( 2), il prodotto e s α(r)dr 0 P(0) all interno dell integrale nella (7) rappresenta la nerosità della popolazione sopraissta all istante s a ci si applica il tasso istantaneo di ortalità α(s). Dalla (2), deriando sepre rispetto al tepo ed integrando tra de istanti e, 0, otteniao: P() P() P() e s α(r)dr α(s)ds (8) relazione che tilizziao per definire la probabilità di eliinazione per orte tra gli istanti e : q P() P() P() (, ) e α(r)dr α(s)ds s. (9) Rislta oiaente, in base alle definizioni: q (, ) P() P() P() 1 1 p P() P() (, ). Dalla (4) e dalla (9) si ha dnqe la relazione tra gli integrali, che pò essere altresì erificata direttaente: e s α(r)dr α(s)ds 1 e α(r)dr. ( 10) 13

65 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Si osseri che considerati gli istanti 0 z rislta: q (, ) e s α(r)dr α(s)ds z e s α(r)dr α(s)ds + z e s α(r)dr α(s)ds q (,z) + z e z s α(r)dr z α(r)dr α(s)ds q (,z) + z p (,z) e s z α(r)dr α(s)ds q (,z) + p (,z) q (z, ). Cioè la decoposizione teporale della probabilità di orte: q (, ) q (, z) + p (, z) q (z, ). (11) 14

66 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Esepio n. 4 Sia data na popolazione s ci agisce la sola casa di eliinazione per orte con tasso istantaneo anno costante α. Si calcoli la probabilità di eliinazione nell interallo teporale [, ]. q s ( s ) α αdr ( s ) α e ( )α (, ) e αds e αds α 1 e. α P.e. se: anno 1, anno 6, α 0,01 5 0,01 0,05 q (1,6) 1 e 1 e 0,0487. Si osseri che, in base alla (11), posto z anno 4, rislta: q (1,6) q (1,4) + p (1,4) q (4,6), oero: 1 e 1 e + e (1 e 0,05 0,03 0,03 0,02. ) 15

67 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 I.II) POPOLAZIONE SOGGETTA A DUE CAUSE DI ELIMINAZIONE: MORTE ED INVALIDITA L eqazione di eolzione della popolazione nell ipotesi che agiscano de case indipendenti di eliinazione, orte ed inalidità, è la segente: [ M(r) I(r) ] P (r) P(0) + con M(0)I(0)0. Da ci, se le fnzioni P(r), M(r) e I(r) sono deriabili, la relazione nel generico istante r tra le deriate: [ M (r) + I (r)]. P (r) E qindi la relazione tra la fnzione P(r) ed i tassi istantanei di ortalità ed inalidità: P (r) P(r) [ M (r) + I (r)] P(r) [ α(r) + β(r) ]. ( 12) 16

68 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Assegnate le fnzioni α(r) e β(r) che spponiao definite e contine per 0 r T, la (12) è na eqazione differenziale dello stesso tipo della (1), cioè lineare ed oogenea del prio ordine, la ci solzione è: t + 0 [ α(r) β(r) ] P(t) P(0) e. ( 13) dr Abbiao qindi, al ariare del tepo t, la nerosità della popolazione esposta alle de case di eliinazione, orte ed inalidità, in fnzione dei corrispondenti tassi istantanei. Se le fnzioni α(r) e β(r) sono definite in [0, T] e ii contine solo a tratti algono le considerazioni già solte per il caso di na sola casa di eliinazione. Analogaente al caso in ci si abbia na sola casa di eliinazione possiao definire la probabilità di sopraienza alle de case di eliinazione orte ed inalidità tra l istante 0 e l istante t: [ α(r) + β(r) ] dr 0 p (0, t),, i e t cioè la probabilità che n indiido presente nella popolazione all istante 0, sopraiendo alle de case di eliinazione, sia ancora presente nella popolazione all istante t. 17

69 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Più in generale, dati de istanti e, con 0, dalla (13) sege: P() P(0) e [ α(r) β(r) ] dr ( α(r) + β(r) ) dr+ ( α(r) β(r) ) dr 0 P(0) e cioè: ( α(r) + β(r) ) dr P() P() e. (14) Possiao qindi definire la probabilità: [ α(r) + β(r) ] dr p (, ) (15), i e che n indiido presente nella popolazione all istante, sopraiendo alle de case di eliinazione orte ed inalidità, sia ancora presente nella popolazione all istante. 18

70 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Per la probabilità di non eliinazione (, ), dalla (15) sege, per le note proprietà p, i dell integrale e della fnzione esponenziale, che: p [ α(r) + β(r) ] dr (, ) e e α(r)dr e β(r)dr, i p (, ) p i (, ) con p (, ) e α(r)dr p i (, ) e β(r)dr doe p (, ) rappresenta la probabilità assolta di non eliinazione dalla collettiità per orte nell interallo [, ], cioè la probabilità di non eliinazione per la casa orte in presenza di qesta sola casa di eliinazione nella collettiità e p i (, ) rappresenta la probabilità assolta di non eliinazione dalla collettiità per la casa inalidità nell interallo [, ] La relazione. p,i (, ) p (, ) p (, ) i è nota coe secondo teorea di Karp. 19

71 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Dalla ( 13), indicata con s al posto di t la ariabile teporale e deriando, si ottiene la relazione: P (s) P(0) e s + 0 ( α(r) β(r) ) dr [ α(s) + β(s) ]. Integrando qest ltia relazione tra e, con 0, si ottiene: P (s)ds P(0) e s + 0 ( α(r) β(r) ) dr [ α(s) + β(s) ]ds e qindi: P() P() P(0) e s + 0 [ α(r) + β(r) ] dr [ α(r) β(r) ] dr [ α(s) + β(s) ]ds, da ci: P() P() P() e s + [ α(r) β(r) ] dr [ α(s) + β(s) ]ds. (16) 20

72 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 La (16) fornisce dnqe il nero di indiidi che sono stati eliinati dalla popolazione per orte o per inalidità nell interallo [, ]. Dalla (16) si ottiene: P() P() P() e s + [ α(r) β(r) ] dr [ α(s) + β(s) ]ds (17) espressione che fornisce il rapporto tra il nero di indiidi che sono stati eliinati nell interallo [, ] per na delle de case, orte o inalidità, e la popolazione al tepo. Espressione che possiao interpretare coe la probabilità che n indiido presente nella popolazione al tepo ne sia stato eliinato, per na delle de predette case, entro il tepo. Possiao cioè definire: [ α(r) β(r) ] + dr q, i (, ) e [ α(s) + β(s) ]ds s. (18) 21

73 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Tenendo presente che per l eqazione di eolzione della popolazione rislta: P() [ M() M() ] + [ I() I() ] P(), dalla relazione (16) sege, per la proprietà di linearità dell integrale: P() P() P() e s + [ M() M() ] + [ I() I() ] [ α(r) β(r) ] dr [ α(r) + β(r) ] α(s)ds + P() e s dr β(s)ds; e qindi possiao distingere gli eliinati dalla popolazione in base alla casa di eliinazione, orte o inalidità. Si ha infatti: M() M() P() e s + [ α(r) β(r) ] dr α(s)ds (19a) I() I() P() e s + [ α(r) β(r) ] dr β(s)ds, (19b) da ci ricaiao sia la qota di popolazione rispetto a qella presente all istante, che è stata eliinata entro l istante per orte, sia la qota di popolazione rispetto a qella presente all istante, che è stata eliinata entro l istante per inalidità, cioè: M() M() P() e s + [ α(r) β(r) ] dr α(s)ds (20a) I() I() P() e s + [ α(r) β(r) ] dr β(s)ds. (20b) 22

74 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 La (20a) ci fornisce la qota della popolazione presente al tepo che è stata eliinata per orte, in presenza anche dell azione dell altra casa di eliinazione, l inalidità, nell interallo teporale [, ]. Si osseri che nella (19a), dalla qale dedciao la (20a), il prodotto: P() e s + [ α(r) β(r) ] dr rappresenta, per la (14), la popolazione resida rispetto a qella presente all istante oero non eliinata per alcna delle de case dall istante sino all istante s, popolazione slla qale agisce il tasso istantaneo di eliinazione per orte α(s). Possiao qindi considerare l espressione fornita dalla (20a) coe la probabilità che n indiido presente nella popolazione al tepo sia eliinato per orte entro il tepo in presenza anche dell altra casa di eliinazione: l inalidità. Poniao qindi: q i (, ) e s + [ α(r) β(r) ] dr α(s)ds (21) e definiao q i (, ) coe la probabilità relatia (dipendente o parziale) di eliinazione per orte nell interallo [, ] in qanto nella sa deterinazione si è tento anche conto della presenza dell altra casa di eliinazione: l inalidità. 23

75 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Analogaente possiao definire dalla (20b): q i (, ) e s + [ α(r) β(r) ] dr β(s)ds (22) coe la probabilità relatia di eliinazione per inalidità nell interallo [, ] in qanto nella sa deterinazione si tiene conto che slla popolazione agisce anche la casa di eliinazione per orte. Dalla (18), (21) e (22) sege, per la proprietà di linearità dell integrale, la relazione: i q,i (, ) q (, ) + q i (, ) che indica la proprietà additia delle probabilità relatie di eliinazione, nota coe prio teorea di Karp. 24

76 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 I.III) POPOLAZIONE SOGGETTA A DUE CAUSE DI ELIMINAZIONE E IN PRESENZA DI TASSI ISTANTANEI COSTANTI Consideriao ora il caso di na popolazione s ci agiscono de case indipendenti di eliinazione, orte ed inalidità, con tassi istantanei di eliinazione costanti α e β. Calcoliao, in tale sitazione, le probabilità relatie di eliinazione nell interallo teporale [, ]. Rislta: q i ( α β) (, ) e αds e s + dr ( s )( α+ β) αds α e α + β ( s )( α+ β) α ( )( α+ β) ( 1 e ). α + β Analogaente rislta: q i (, ) β α + β ( )( α+ β) ( 1 e ) Si osseri che: q i (, ) ( )( α+ β) + q (, ) q (, ) 1 e. i,i 25

77 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Dalla (21) e dalla (22), tento conto della (20a) e della (20b), segono le relazioni: α α + β ( )( α+ β) ( 1 e ) M() M() P() β α + β ( )( α+ β) I() I() ( 1 e ). P() (*) Dalle (*) soando ebro a ebro sege la relazione: 1 e ( α+ β) P() P() P() ( ) (**) da ci: e ( )(α+ β) P() P() ( )(α + β) P() log P() e qindi: 1 P() (α β) log P() +. (***) 26

78 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Dalla pria delle (*), tento conto di (**), sege: α ( )(α + β) (1 e α + β ) α P() P() α + β P() M() M() P(). Dalla seconda gaglianza, tenendo conto di (***), sege, per il tasso istantaneo di ortalità, l espressione: α M() P() M() (α + β) P() M() P() M() P() 1 log P() P() ed analogaente si ottiene l espressione per il tasso istantaneo di inalidità β, cioè β I() I() 1 P() log P() P() P(). Qeste relazioni, nell ipotesi che slla popolazione agiscano le de case di eliinazione, orte ed inalidità, con tassi di eliinazione costanti, espriono tali tassi in fnzione del nero degli indiidi che sono orti o dientati inalidi nell interallo teporale [, ] e della nerosità della popolazione agli estrei di tale interallo. 27

79 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 II) RELAZIONE TRA PROBABILITA ASSOLUTE E RELATIVE DI ELIMINAZIONE Consideriao na popolazione la ci nerosità sia espressa dalla fnzione P(t). Spponiao che s tale popolazione agisca solo la casa di eliinazione per orte con tasso istantaneo di eliinazione fornito dalla fnzione α(t). Nell interallo di tepo [, ] rislta che il nero degli eliinati per orte si ottiene oltiplicando P() per la probabilità assolta di eliinazione per orte, ossia P() q (, ). Se s tale popolazione spponiao che agisca anche la casa di eliinazione per inalidità, in tal caso il nero degli eliinati per orte si ottiene oltiplicando P() per la probabilità relatia (relatia all altra casa di eliinazione inalidità) di eliinazione per orte e rislta pari a: i P() q (, ). La relazione che intercorre tra il nero degli eliinati per orte nei de casi in oggetto è la segente: oero: i P() q (, ) P() q (, ) + P(s) β(s) q (s, )ds (23) i q (, ) q (, ) + p,i (,s) β(s) q (s, )ds. (23 ) 28

80 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 La (23) rislta interpretabile nel segente odo: consideriao il nero degli eliinati per orte nell ipotesi che agisca solo tale casa di eliinazione. Tale nero, nell ipotesi che slla popolazione agisca anche la casa di eliinazione per inalidità, è ottenibile dalla soa di de i addendi. Il prio P() q (, ) è dato dal nero degli eliinati per orte in presenza anche della casa di eliinazione per inalidità ed è pari, per qanto già isto, al prodotto della nerosità della popolazione al tepo, P(), per la probabilità relatia di eliinazione per orte. Per capire il senso della (23) è opportno osserare che l integrale P(s) β(s) q (s, )ds pò essere approssiato tanto qanto si ole al crescere di n (n ), nell ipotesi di continità, anche solo a tratti, della fnzione integranda, dalla segente soatoria: n 1 k 0 P + k n k n ( ) β + ( ) q + ( ) k n, n. Si osseri altresì che n è il nero di sottointeralli di gale apiezza, indiidati dai pnti n k + ( ), k0,1,..., n, in ci sddiidiao l interallo [, ]. 29

81 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Ciascn addendo della soatoria che approssia l integrale è indiidato da n particolare alore di k ed è il prodotto di qattro fattori, dei qali possiao raggrpparne tre: k k P + ( ) β + ( ) ; n n n qesto prodotto fornisce na approssiazione del pacchetto di indiidi che engono eliinati dalla popolazione per inalidità nell interallo teporale di apiezza, sccessio all istante n k ( ) n k +, n +. Moltiplicando tale prodotto per ( ) q, probabilità assolta di eliinazione per orte nell interallo k + ( ), n, otteniao il nero degli indiidi di tale pacchetto che sarebbero sciti per orte nell interallo di tepo considerato se non fossero sciti per inalidità. Dedciao ora foralente la (23). Dalla (12), sege: P (s) + P(s) α(s) P(s) β(s) e qindi oltiplicando per q (,s) e soando e sottraendo P(s) α(s), si ottiene: ( P (s) + P(s) α(s) ) q (,s) P(s) α(s) + P(s) α(s) P(s) β(s) q (, s). 30

82 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Si osseri che rislta: d ds ( P (s) + P(s) α(s) ) q (,s) P(s) α(s) P(s) q (, s) Infatti se si tiene presente che: q (,s) 1 e s α(r)dr e qindi che: d ds q (,s) e s α(r)dr α(s) e s α(r)dr α(s) + α(s) α(s) α(s) q (,s) α(s) si ottiene: d ds ( P(s) q (,s)) P (s) q (,s) + P(s) d ds q (,s) P (s) q (,s) + P(s) [ α(s) q (,s) α(s) ]. 31

83 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Rislta pertanto: d ds ( P(s) q (,s)) + P(s) α(s) P(s) β(s) q (, s). Se integriao tale relazione rispetto ad s tra gli istanti e si ottiene: d ds ( P(s) q (,s)) ds + P(s) α(s)ds P(s) β(s) q (, s)ds e qindi dalla (21) e dalla (14): P() q (, ) P() q (, ) + P() q i (, ) P(s) β(s) q (, s)ds da ci la (23): P() q i (, ) P() q(, ) + P(s) β(s) q(,s)ds (23) Analoga relazione ale, oiaente, tra la probabilità assolta e relatia di inalidità: P() q (, ) P() q (, ) + P(s) α(s) q (, s)ds. (24) i i i Relazione qest ltia che ha alore forale. 32

84 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 III) PROBABILITA DI ELIMINAZIONE PER COLLETTIVITA APERTE Consideriao na popolazione soggetta oltre alle de case di eliinazione già considerate, orte ed inalidità, ad na lteriore casa di eliinazione che raggrppa ttte le altre possibili case di eliinazione differenti da qelle considerate. Consideriao pertanto le tre fnzioni α(r), β(r), γ(r), non negatie, che forniscono i relatii tassi istantanei al ariare del tepo r, r [0, T]. Spponiao inoltre che in tale popolazione possano entrare noi indiidi. Eqipariao tale possibilità ad na casa di eliinazione a tasso istantaneo negatio ν (r), ν (r) 0. Si parla in tal caso di collettiità aperta. L eqazione di eolzione di tale popolazione è dnqe: [ M(r) + I(r) + W(r) ] N(r) P (r) P(0) + 0 r T con M(0)I(0)W(0)N(0)0 doe W(r) e N(r) rappresentano rispettiaente il nero di indiidi eliinati dalla popolazione per case dierse da ortalità ed inalidità e qello degli indiidi entrati a far parte della popolazione tra gli istanti 0 ed r. Deriando e diidendo per P(r): P (r) M (r) I (r) W (r) N (r) + P(r) P(r) P(r) P(r) P(r) cioè: P (r) P(r) α(r) β(r) γ(r) +ν (r). (25) 33

85 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Spposto che le fnzioni α(r), β(r), γ(r) e ν (r) siano definite e contine in [0, T], la precedente relazione è na eqazione differenziale lineare oogenea del prio ordine, la ci solzione è: t [ α(r) + β(r) + γ(r) ν(r) ] dr 0 P(t) P(0) e. (26) Possiao anche scriere la fnzione P(t) tilizzando le probabilità assolte di sopraienza, cioè: P(t) P(0) p (0, t) p i (0, t) p w (0, t) e t ν (r)dr 0. Dati de istanti e, con 0, rislta: P() P() e [ α(r) + β(r) + γ(r) ν (r)] dr (27) da ci: P() P() p,i, w (, ) e ν (r)dr. p (,, i, w ) è la probabilità di sopraienza alle tre case di eliinazione tra gli istanti e. Si osseri che tale probabilità è pari al prodotto delle probabilità assolte di eliinazione relatie allo stesso interallo teporale, cioè: p (, ) p (, ) p (, ) p (, )., i,w i w 34

86 Possiao altresì scriere: Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 [ α(s) + β(s) + γ(s) (s)] P() P() P(s) ν ds (28) da ci, ricaando P(s) dalla (27), rislta: P() P() P() e s [ α(r) + β(r) + γ(r) ν (r)] dr [ α(s) + β(s) + γ(s) ν (s)]ds. (29) Qindi per la linearità dell integrale e tento conto dell eqazione di eolzione della popolazione, P() P() [ M() M() ] + [ I() I() ] + [ W() W() ] [ N() N() ], si ottiene: M() M() P() e s [ α(r) + β(r) + γ(r) ν (r)] dr α(s)ds (29.1) I() I() P() e s [ α(r) + β(r) + γ(r) ν (r)] dr β(s)ds (29.2) W() W() P() e s [ α(r) + β(r) + γ(r) ν (r)] dr γ(s)ds (29.3) N() N() P() e s [ α(r) + β(r) + γ(r) ν (r)] dr ν(s)ds. (29.4) Le prie tre relazioni forniscono il nero di indiidi eliinati dalla popolazione nell interallo teporale [, ] per le case di orte, inalidità, o di altro tipo e l ltia il nero dei noi entrati nella popolazione nello stesso interallo. 35

87 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 III.I) PROBABILITA DI ELIMINAZIONE PER COLLETTIVITA APERTE IN PRESENZA DI TASSI ISTANTANEI COSTANTI Spponiao costanti nell interallo teporale [, ] α(r) α, β(r) β, γ(r) γ, ν (r) ν. le fnzioni che definiscono i tassi istantanei, Consideriao dappria il caso α + β + γ ν 0 (in ci rislta qindi P() P()). In tale caso dalle (29.1)-(29.4) rislta che: ( )(α+ β+ γ ν [ 1 e ] M() M() α ) P() α + β + γ ν I() I() P() β α + β + γ ν ( )(α+ β+ γ ν ) [ 1 e ] W() W() P() γ α + β + γ ν ( )(α+ β+ γ ν ) [ 1 e ] (30) N() N() P() ν α + β + γ ν ( )(α+ β+ γ ν ) [ 1 e ] Soando le prie tre gaglianze del sistea (30) ebro a ebro e sottraendo l ltia si ottiene: P() P() P() 1 e ( )(α+ β+ γ ν ). ( ) 36

88 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Da ci si ricaa per la soa delle intensità istantanee l espressione: 1 P() α + β + γ ν log. ( ) P() Dalle relazioni (30), tilizzando ( ) e ( ), possiao ricaare i qattro tassi istantanei α, β, γ e ν: α M() P() M() P() 1 P() log P() β I() I() P() P() 1 P() log P() (31) γ W() W() P() P() 1 P() log P() ν N() N() P() P() 1 P() log P() 37

89 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Sepre nell ipotesi di tassi istantanei costanti, nel caso in ci però si ha α + β + γ ν 0 e rislta qindi P()P(), il alore di tali tassi si ottiene direttaente dalle (29.1) - (29.4) ed è pari a: α M() M() 1 P() β I() I() 1 P() (32) γ W() W() 1 P() ν N() N() 1 P() 38

90 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Esepio n. 5 Consideriao na collettiità aperta. Nell interallo teporale [, ], con 1 anno, spponiao che abbiano agito tre case di eliinazione, ed na di ingresso, con i segenti tassi istantanei anni costanti: α0,3%; β0,2%; γ0,1%; ν 0,2%. Spponiao inoltre che rislti: P() In base alle relazioni (30) (si osseri che α + β + γ ν 0 ) il nero degli eliinati per singola casa e degli ingressi nell interallo teporale [, ] è pari a: α ( )( α+ β+ γ ν ) M() M() P() [ 1 e ] 299,40 α + β + γ ν β ( )( α+ β+ γ ν ) I() I() P() [ 1 e ] 199,60 α + β + γ νν γ ( )( α+ β+ γ ν ) W() W() P() [ 1 e ] 99,80 α + β + γ ν ν ( )( α+ β+ γ ν ) N() N() P() [ 1 e ] 199,60 α + β + γ ν ed inoltre al tepo, cioè dopo n anno a partire dal tepo, la popolazione P() è pari a: P() P() [ M() M() ] [ I() I() ] [ W() W() ] + [ N() N() ] , ,8 39

91 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Esepio n. 6 Sia data na collettiità aperta di indiidi esposta alle case di eliinazione per orte, inalidità e arie. Spponiao siano stati rileati i segenti oienti nell interallo teporale [, ] con -2 anni. P() P() 960 M() M() 20 I() I() 30 W() W() 40 N() N() 50. Spposti costanti i tassi istantanei anni di eliinazione α, β, γ, ed il tasso istantaneo anno di ingresso ν, si calcolino tali tassi in base ai dati rileati. Per la (31) (si osseri che P() P() ) rislta: α log 0, β log 0, γ log 0, ν log 0,

92 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Le precedenti forle (31) e (32) consentono di stiare, a partire dall analisi di na popolazione storica, i tassi istantanei di eliinazione e il tasso istantaneo di entrata nell ipotesi che, nell interallo teporale in considerazione, tali tassi risltino costanti. I tassi così stiati si possono tilizzare per l analisi preisionale di na popolazione siilare. Spponiao qindi di aere a disposizione na popolazione storica. Tracciao in n sistea di riferiento cartesiano ortogonale onoetrico, le storie o traiettorie dei singoli indiidi della popolazione. In tale sistea di riferiento riportiao in ascissa il tepo assolto o di calendario riferito al Periodo di Osserazione, P.O., ed in ordinate l età degli indiidi (edi Figra 1 ). La storia di ogni indiido della popolazione è rappresentata qindi da n segento, inclinato di 45, il ci pnto iniziale ha coordinate che corrispondono al tepo (di calendario) di entrata e all età di entrata dell indiido nella popolazione storica ed il ci pnto terinale ha coordinate che corrispondono al tepo e all età di scita dell indiido dalla popolazione storica. Si osseri che parliao di pnto iniziale e di pnto terinale del segento in qanto lo consideriao orientato secondo il erso di crescita delle coordinate dei pnti (tepo di calendario, età dell indiido). Definiao coe pareti teporali le rette perpendicolari all asse teporale negli istanti T I e istanti che deliitano il periodo o finestra di osserazione. Consideriao coe traiettorie entranti nel P.O. qelle relatie a segenti che entrano nella finestra di osserazione in corrispondenza della parete teporale T I (tagliano cioè la relatia retta perpendicolare nell istante T I ) e coe traiettorie scenti dal P.O. qelle relatie a segenti che escono dalla finestra di osserazione in corrispondenza della parete teporale T F (tagliano cioè la relatia retta perpendicolare all asse teporale nell istante T F ). T F, 41

93 Dispense Corso di Mateatica finanziaria seconda parte Prof. Angrisani Anno Accadeico 2012/2013 Con riferiento alla Figra 1 il segento r corrisponde ad n indiido che entra nella popolazione storica al tepo T 1 con na età di poco inferiore a 34 anni e ne esce ad n tepo copreso tra T 5 e T 6 con na età di poco inferiore a 39 anni per na delle possibili case di eliinazione. Il segento s corrisponde ad n indiido che entra nel P.O. con na età di poco speriore ai 35 anni, entre il segento t corrisponde ad n indiido che esce dal P.O. con na età copresa tra 36 e 37 anni. Definiao coe piani teporali le rette orizzontali corrispondenti a alori interi dell età degli indiidi. Applichiao il principio delle pareti e dei piani teporali sottili. Spponiao cioè che na traiettoria non possa aere né pnto iniziale né pnto finale in corrispondenza delle pareti teporali o dei piani teporali o attraersaenti in corrispondenza delle intersezioni tra pareti e piani. Stdiao la nerosità della popolazione ottenta dalla popolazione storica schiacciando l asse teporale: indichiao cioè con P (), doe è l età dell indiido, il nero di indiidi della popolazione storica che nel P.O. hanno ragginto l età. Da n pnto di ista grafico si tratta di contare ttte le traiettorie che intercettano la qota di età drante il Periodo di Osserazione. Possiao qindi stdiare la nerosità P () di indiidi al ariare della ariabile teporale età, che è la ariabile in fnzione della qale erranno altati i sccessii tassi istantanei di entrata e di scita per le arie case. In effetti è coe se aessio creato na popolazione fittizia di indiidi coetanei, contata da P (), per i qali qindi l eolersi del tepo coincide con l eolersi della età gale per ttti. 42