Capitalizzazione composta, rendite, ammortamento

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1 Capitalizzazione composta, rendite, ammortamento Paolo Malinconico 2 dicembre 2014

2 Montante Composto dove: C(t) = C(1+i) t C(t) = montante (o valore del capitale) al tempo t C = capitale impiegato (corrispondente al montante al tempo 0, ovvero all istante iniziale, C(0)) i = tasso d interesse unitario annuo posticipato t = tempo espresso in anni

3 Valore attuale C(0) = C(t)(1+i) t dove: C(0) = valore attuale C(t) = capitale da riscuotere al tempo t i = tasso di valutazione t = tempo espresso in anni

4 Tassi corrispondenti i t = (1+i) t 1 i = (1+i t ) 1/t 1 dove: i t = tasso d interesse unitario riferito alla durata t anni

5 Rendite Valore attuale VA = R 1 (1+i t) n i t Montante M = R (1+i t) n 1 i t dove: VA = valore attuale R = rata i t = tasso d interesse riferito all intervallo di tempo fra due rate n = numero di rate M = montante

6 Ammortamento francese-1 dove: R = D 0 R = rata (costante) i t 1 (1+i t ) n D 0 = debito iniziale, ovvero il capitale prestato n = numero di rate

7 Ammortamento francese-2 Piano d ammortamento dove: k I k = D k 1 i t C k = R I k D k = D k 1 C k 0 D 0 1 I 1 = D 0 i t C 1 = R I 1 D 1 = D 0 C 1... I k = quota di interessi compresa nella rata k-esima C k = quota di ammortamento del capitale compresa nella rata k-esima D 0 = debito residuo dopo il pagamento della rata k-esima

8 Problema Un dipendente, che percepisce uno stipendio mensile netto di 1500 euro per 13 mensilitá annue, deve contrarre un mutuo ipotecario di euro. Considerando una capacitá di rimborso pari a un quinto del reddito e un tasso fisso pari al 3%, determinare la durata minima dell ammortamento.

9 Problema Un dipendente, che percepisce uno stipendio mensile netto di 1500 euro per 13 mensilitá annue, deve contrarre un mutuo ipotecario di euro. Considerando una capacitá di rimborso pari a un quinto del reddito e un tasso fisso pari al 3%, determinare la durata minima dell ammortamento. Indicando con V l importo del mutuo, i il tasso d interesse unitario e R l importo della rata annua (ipotizzata pari al massimo della capacitá di rimborso), si ha: V = i = 0,03 R = ,2

10 La condizione di equilibrio finanziario prevede che il valore attuale della rendita costituita dalle rate risulti uguale all importo prestato.

11 La condizione di equilibrio finanziario prevede che il valore attuale della rendita costituita dalle rate risulti uguale all importo prestato.ipotizzando un rimborso con rate annue di importo pari a R, tale condizione si esprime mediante la formula V = R( 1 (1+i) n) i dove n rappresenta il numero di rate (e quindi di anni).

12 La condizione di equilibrio finanziario prevede che il valore attuale della rendita costituita dalle rate risulti uguale all importo prestato.ipotizzando un rimborso con rate annue di importo pari a R, tale condizione si esprime mediante la formula V = R( 1 (1+i) n) i dove n rappresenta il numero di rate (e quindi di anni).poichè proprio n è l incognita del problema, in prima approssimazione il problema si risolve in R, mediante l equazione esponenziale V = R( 1 (1+i) x) i Successivamente sará individuata, con appositi accorgimenti, la soluzione in N

13 Sostituendo i dati del problema, l equazione diventa risolvendo si ha: = ( x) x = 20, Tale valore rappresenta la soluzione in R, che sará indicata con x 0. Ragionando in N, si dovrá individuare come soluzione il numero min{n N n x 0 } = 21 Quindi la risposta al problema posto è 21 anni.

14 Resta da precisare se si desidera che anche l ultima rata sia di importo uguale alle precedenti (nel qual caso l importo delle rate risulterá inferiore al limite massimo di 3900 euro) o se si preferisce che tutte le rate siano di importo pari al limite massimo (di 3900 euro) tranne l ultima (che risulterá di importo inferiore).

15 Resta da precisare se si desidera che anche l ultima rata sia di importo uguale alle precedenti (nel qual caso l importo delle rate risulterá inferiore al limite massimo di 3900 euro) o se si preferisce che tutte le rate siano di importo pari al limite massimo (di 3900 euro) tranne l ultima (che risulterá di importo inferiore). Nella prima ipotesi l importo delle rate viene determinato mediante la seguente formula: 0, = 3892, (1+0,03)

16 Resta da precisare se si desidera che anche l ultima rata sia di importo uguale alle precedenti (nel qual caso l importo delle rate risulterá inferiore al limite massimo di 3900 euro) o se si preferisce che tutte le rate siano di importo pari al limite massimo (di 3900 euro) tranne l ultima (che risulterá di importo inferiore). Nella prima ipotesi l importo delle rate viene determinato mediante la seguente formula: 0, = 3892, (1+0,03) Quindi la rata annua da versare per 21 anni risulta pari a 3892,31 euro.

17 Nella seconda ipotesi l importo dell ultima rata viene determinato imponendo ancora una volta la condizione di equivalenza finanziaria: V = R 1 (1+i) 20 i +R 21 (1+i) 21

18 Nella seconda ipotesi l importo dell ultima rata viene determinato imponendo ancora una volta la condizione di equivalenza finanziaria: V = R 1 (1+i) 20 i +R 21 (1+i) 21 che, sostituendo i dati, si presenta come un equazione in cui l importo dell ultima rata rappresenta l incognita = (1+0,03) 20 0,03 +R 21 (1+i) 21

19 Nella seconda ipotesi l importo dell ultima rata viene determinato imponendo ancora una volta la condizione di equivalenza finanziaria: V = R 1 (1+i) 20 i +R 21 (1+i) 21 che, sostituendo i dati, si presenta come un equazione in cui l importo dell ultima rata rappresenta l incognita = (1+0,03) 20 0,03 +R 21 (1+i) 21 Risolvendo si ha: R 21 =

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