UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PAVIA Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PAVIA Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni Problema Dopo aver rappresentato la parte di circuito evidenziata dal rettangolo tratteggiato con un generatore equivalente di Thevenin o di Norton, si determini, per ogni istante di tempo, l espressione della corrente sulla resistenza R L,sapendochel interruttoresichiudeall istantet = 0. Si tracci infine l andamento della i L al variare del tempo. Dati: V 0 = 00 V, I 0 = 5 A, α = 0.5, R = 0 Ω, R = 50 Ω, R L = 00 Ω, C = 0 nf. I 0 R V 0 R av ab v ab t=0 C i L (t) R L Problema Con riferimento al circuito in figura, si calcolino i fasori corrispondenti alla tensione v C (t) ealla corrente i L (t) e,daquesti,leespressionidiv C (t) ei L (t). Successivamente, si determinino le espressioni dell energia immagazzinata nel condensatore e nell induttore e se ne tracci il grafico dell andamento temporale. Dati: v 0 (t) =V 0 cos ωt, V 0 = 0 V, ω = 0 6 rad/s, R = 50 Ω, L = 0 µh, L = 0 µh, C = 50 nf. v 0 (t) R L C v C (t) i L (t) L Problema 3 Con riferimento al circuito in figura, determinare quale valore deve assumere la suscettanza B affinché il generatore eroghi la potenza disponibile P d. Calcolare quindi le potenze assorbite dai due carichi Z e Z. Dati: P d = 30 mw, Z 0 = 50 Ω, Z g = Z 0, Z = j Z 0, Z =Z 0. Z 0 Z generatore l/ P d Z g jb l/4 Z 0 Z

2 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PAVIA Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni Soluzione del Problema In circuito da considerare per il calcolo della tensione equivalente di Thevenin è il seguente: I 0 V 0 R R av Th V Th La caduta di potenziale sulla resistenza R ènulla,poichéilmorsettoa èaperto. Pertanto, applicando la KVL alla maglia che include il generatore comandato si ha: V Th = V 0 αv Th V Th = V 0 α =V 0 = 00 V Per il calcolo della resistenza equivalente di Thevenin si devono spegnere i generatori indipendenti. Inoltre, poiché nelcircuitoèpresenteungeneratoredipendente,perilcalcolodir Th è necessario collegare un generatore di prova ai morsetti ab, adesempioditensione,comemostrato nella seguente figura: R i X R av X v X Applicando la KVL all unica maglia del circuito, si ha αv X R i X v X =0 R Th = v X = R i X α =R = 00 Ω Se si volesse ottenere il generatore equivalente di Norton, il circuito da considerare per il calcolo della corrente di corto circuito è il seguente: I 0 R V 0 R av ab v ab i N Poiché v ab = 0, applicando la KVL alla maglia di destra si ottiene R I N V 0 =0 I N = V 0 R =A

3 La resistenza del generatore di Norton coincide con quella del generatore di Thevenin: e, inoltre, vale la relazione R N = R Th =00Ω V Th = R N I N Quando si chiude l interruttore, si innesca un transitorio che può esserestudiatoconsiderando il seguente circuito: R Th V Th v C (t) C i L (t) R L Prima della chiusura dell interruttore (t =0 )siha i L (0 )=0 v C (0 )=0 Immediatamente dopo la chiusura dell interruttore, la tensione sul condensatore non può cambiare repentinamente e quindi si ha v C (0 )=v C (0 )=0 i L (0 )= v C(0 ) R L =0 Trascorso un tempo sufficientemente lungo (t ), il circuito ritorna in regime stazionario e il condensatore si comporta come un circuito aperto. Pertanto il generatore indipendente vede come carico le due resistenze poste in serie, e la corrente diventa: i L ( ) = V Th R Th R L = =A Per il calcolo della costante di tempo del circuito si spegne il generatore di tensione (sostituendolo con un corto circuito) e si determina la resistenza equivalente vista ai morsetti del condensatore che, per il circuito dato, coincide con il parallelo fra R Th e R L.Sihaquindi τ = R eq C = L espressione della corrente risulta quindi: R ThR L C = R Th R L =µs i L (t) = 0 t<0 e t [µs] A t>0 e il grafico del suo andamento èmostratonellaseguentefigura: i L [A] 3 t [ms]

4 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PAVIA Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni Soluzione del Problema Passando al dominio dei fasori il circuito diventa: I V 0 R Z Z C V C I L Z L dove V 0 = V 0 =0V Z = jωl = j = j0 Ω Z L = jωl = j = j0 Ω Z C = j ωc = j 0 6 = j0 Ω L impedenza del parallelo fra il condensatore C el induttorel è Z LC = Z CZ L = j0j0 Z C Z L j0 j0 = equindiidueelementirisuonanoesicomportanocomeuncortocircuito.pertantolacorrente I ènullae,poiché non c è cadutadipotenzialesur esuz,siha V C = V 0 =0V Poiché tale tensione è la stessa che c è ai capi dell induttore,si ha anche Dalle espressioni precedenti si deduce I L = V C Z L = 0 j0 = j A=e π/ A v C (t) =0cosωt V i L (t) =cos(ωt π/) A = sin ωt A Le espressioni delle energie immagazzinate dal condensatore e dall induttore risultano w C = Cv C(t) = cos ωt = 0 cos ωt µj w L = Li L(t) = sin ωt =0sin ωt µj e il loro andamento temporale èindicatonellafiguraseguente:

5 0 [mj] w L w C T/ T 3T/ T t [ms] dove T = π ω =6.8 µs ÈinteressanteosservarecomeneglielementiL e C fluisca corrente, anche se, complessivamente, la corrente che entra dall esterno nell elemento LC ènulla. Lacorrentei L fa sì chel energiaimmagazzinata nel circuito risonante si trasferisca dal condensatore C all induttore L (e viceversa) ogni mezzo periodo, come risulta evidente dal grafico delle energie.

6 Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni.0.0 Problema Con riferimento al circuito in figura, in cui l interruttore si apre all istante t = 0, determinare l espressione delle correnti i L e i C per ogni istante di tempo, e tracciarne l andamento al variare del tempo. Dati: I 0 = 3 A, R = 00 Ω, R = 00 Ω, R 3 = 50 Ω, L =3µH, C = 0.4 nf. i L (t) L t=0 i C (t) I 0 R R C R 3 I 0 Problema Con riferimento al circuito in figura, in cui i due generatori operano in regime sinusoidale alla pulsazione ω, determinare la potenza attiva assorbita dal carico indicato nel rettangolo tratteggiato. Dati: ω = 0 6 rad/s, V 0 = 50 V, I 0 = A, R = 50 Ω, L = 50 µh, C = 0 nf. carico C V 0 L L I 0 R C Problema 3 Con riferimento al circuito in figura, determinare quale valore devono assumere la suscettanza B e l impedenza caratteristica Z della linea in quarto d onda senza perdite, affinché la linea principale risulti adattata. In queste condizioni, determinare la potenza disponibile del generatore in modo che i due carichi R e G assorbano complessivamente la potenza P L. Dati: Z 0 = 50 Ω, Z g = Z 0, R = 00 Ω, X = 50 Ω, G = 0 ms, d =m,α = 0. nep/m, P L = 0 W. Generatore P d Z g Z 0, a GjB Z RjX d l/4

7 Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni.0.0 Soluzione del Problema Per t<0 il circuito da considerare è il seguente: i i L C v C I 0 R R R 3 I 0 Si nota che le tre resistenze sono in parallelo e ai loro capi c è la tensione v C (0 ). Applicando la KCL al nodo superiore si ha I 0 v C(0 ) R v C(0 ) R v C(0 ) R 3 I 0 =0 v C (0 )=0 Quindi nelle resistenze non passa corrente e si ha i L (0 )=I 0 =3A Quando si apre l interruttore il circuito si separa in due circuiti del primo ordine, come mostrato nella figura seguente i L (t) L i C (t) I 0 R R C v C (t) R 3 I 0 a e per entrambi i sottocircuiti si innesca un transitorio. Consideriamo dapprima il circuito a. All istante t = 0 la corrente sull induttore non può cambiare istantaneamente, e quindi si ha: i L (0 )=i L (0 )=3A Per t il circuito torna in regime stazionario e la corrente i L ( ) coincide con la corrente che fluisce in R : R 00 i L ( ) = I 0 = R R =A Per il calcolo della costante di tempo si deve spegnere il generatore di corrente (sostituendolo con un circuito aperto) e si vede che la resistenza equivalente collegata ai morsetti dell induttore coincide con la serie di R e R.Sihaquindi τ L = L R R = = 0 ns b

8 L espressione della corrente i L risulta quindi: i L (t) = 3A t<0 e 0. t [ns] A t>0 Consideriamo ora il circuito b. All istante t =0 la tensione sull condensatore non può cambiare istantaneamente e, pertanto, la corrente che fluisce nella resistenza R 3 è nulla. Applicando la KCL al nodo superiore si ottiene i C (0 )= I 0 = 3 A Per t il circuito torna in regime stazionario e la corrente che fluisce nel condensatore si annulla: i C ( ) =0 Per il calcolo della costante di tempo si deve spegnere il generatore di corrente (sostituendolo con un circuito aperto) e si vede che la resistenza collegata ai morsetti del condensatore è R 3. Si ha quindi τ C = R 3 C = = 0 ns L espressione della corrente i C risulta quindi: i C (t) = 0A t<0 3 e 0.05 t [ns] A t>0 Il grafico dell andamento delle correnti i L e i C è mostrato nella seguente figura: 3 [A] i L t [ns] i C -3

9 Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni.0.0 Soluzione del Problema Le impedenze associate alle induttanze e alle capacità sono: Z C = jx C = j ωc = j 0 6 = j50 Ω = jr Z L = jx L = jωl = j = j50 Ω = jr Pertanto il circuito da considerare è il seguente: carico -jr V 0 jr jr I 0 V R R -jr È evidente che la potenza attiva assorbita dal carico coincide con la potenza assorbita dalla resistenza R, per il cui calcolo è sufficiente calcolare la tensione V R. Può convenire applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Consideriamo il circuito in cui viene spento il generatore di corrente (sostituito da un circuito aperto): -jr V 0 jr jr (a) V R R -jr I due elementi reattivi ai lati di R sono in parallelo e di valore opposto e quindi si cancellano. L elemento jr nel ramo superiore e la resistenza R sono quindi in serie e sottoposte alla tensione V 0.Sihaquindi: V (a) R = R R jr V 0 = j V 0 =(j) 5 V Consideriamo ora il circuito in cui viene spento il generatore di tensione (sostituito da un corto circuito): -jr jr jr I 0 V R (b) R -jr In questo caso gli elementi alla sinistra del generatore di corrente hanno un impedenza equivalente infinita. Infatti, l elemento jr in parallelo al cortocircuito è ininfluente e gli altri due risultano in parallelo. Pertanto, il contributo alla tensione risulta: V (b) R = R( jr) R jr I 0 = j j RI 0 =( j) 5 V

10 Si ottiene infine V R = V (a) R V(b) R =(j) 5 ( j) 5 = 50 V P R = V R R = = 5 W

11 Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni.0.0 Soluzione del Problema 3 Innanzitutto conviene osservare che R =Z 0 X = Z 0 G = Z 0 Con riferimento ai simboli introdotti nella seguente figura Generatore P d Z g Z 0, a Y b Y a GjB Z RjX d l/4 e tenendo conto delle proprietà del tratto in quarto d onda, si ottiene: Y a = R jx Z = Z 0 jz 0 Z Inoltre Y b = G jb Y a = Z 0 jb Z 0 jz 0 Z Imponendo che la linea principale risulti adattata (Y b =/Z 0 ) e separando l equazione in parte reale e immaginaria, si ottiene il seguente sistema: Z 0 Z 0 Z B Z 0 Z =0 = Z 0 Z =Z 0 = 00 Ω B = 4Z 0 = 5 ms Poiché le componenti reattive jb e jx non assorbono potenza attiva e la linea in quarto d onda è senza perdite, tutta la potenza erogata al carico Y b viene assorbita da G edar. Inoltre, poiché il generatore è anch esso adattato alla linea principale, tutta la potenza disponibile viene erogata. La potenza che giunge al carico adattato Y a è data da P L = P d e αd P d = P L e αd = P L e 0. =. P d =. W

12 Laurea in Ingegneria Elettronica e Informatica Problema Con riferimento al circuito in figura, in cui l interruttore si apre all istante t = 0, determinare l espressione della corrente i per ogni istante di tempo, e tracciarne l andamento al variare del tempo. Dati: I 0 = 0 A, R = 00 Ω, R = 50 Ω, g =0.0 S, C = 0 nf. i (t) t=0 I 0 gv R C v (t) R Problema Con riferimento al circuito in figura, determinare n e C in modo tale che il generatore indicato nel rettangolo tratteggiato risulti adattato. In tale condizione, si calcolino le potenze attive e reattive su tutti gli elementi del circuito. Dati: i 0 (t) =I 0 cos ωt; ω = 0 9 rad/s, I 0 = 0 ma, R N = 50 Ω, R L =kω, L =µh. i 0 (t) R N C :n R L L Problema 3 Con riferimento al circuito in figura, nell ipotesi che le perdite nelle linee di trasmissione siano trascurabili e che il generatore operi alla frequenza f, determinare i valori della capacità C e dell impedenza caratteristica Z affinché il generatore risulti adattato. Trovare quindi i valori in modulo e fase delle tensioni V L e V C. Dati: V 0 = 0 mv, f = 6 GHz, Z 0 = 50 Ω, Z g = Z 0, R L = 00 Ω. Z g V 0 Z V L R L C Z 0 V C C generatore l/4 l/4

13 Laurea in Ingegneria Elettronica e Informatica Soluzione del Problema Per t<0 il circuito da considerare è il seguente: i I 0 gv R v R Applicando la KCL al nodo superiore si ottiene l equazione: Si ha inoltre v (0 )= I 0 gv (0 ) v (0 ) R v (0 ) R =0 I 0 R R g 0 = 00 = 00 V i (0 )= v (0 ) R =A Quando si apre l interruttore il circuito si separa in due circuiti, come mostrato nella figura seguente i (t) I 0 gv R C v (t) R che tuttavia non operano separatamente a causa della presenza nel circuito di sinistra del generatore dipendente dalla tensione v del circuito di destra. Si vede immediatamente che i (t) =I 0 gv (t) dove v avrà un andamento esponenziale decrescente poiché il circuito di destra è un circuito autonomo del primo ordine. Si ha infatti che v ( ) =0 Inoltre, v è la tensione ai capi del condensatore e quindi non può variare bruscamente quando l interruttore viene commutato. Si ha pertanto v (0 )=v (0 ) = 00 V La costante di tempo con cui si scarica il condensatore è τ = R C = =0.5 µs

14 L espressione della corrente i risulta quindi: i (0 ) t<0 i (t) = I 0 gv (0 )e t/τ = 0 4e t [µs] A t>0 e la sua rappresentazione grafica è mostrata nella seguente figura: 0 i [A] t [ms]

15 Laurea in Ingegneria Elettronica e Informatica Soluzione del Problema Alla frequenza di lavoro l impedenza associata all induttanza è: Z L = jx L = jωl = j = j kω =jr L e il fasore di corrente del generatore è: I 0 = I 0 = 0 ma Il circuito nel dominio dei fasori risulta quindi il seguente: R T Z I Z A Z L :n I RN I I jx C I 0 R N R L jx L L impedenza Z A è data da Z A = Z L n = n Y L = n ( R L jr L ) = ( j)r L n Affinché il generatore risulti adattato deve essere verificata la condizione Z I = Z A jx C = Z N = R N, separando parte reale e parte immaginaria, si ottiene R L n = R N R L n X C =0 Poiché X C = /ωc, siha C = ωx C = 0 9 = 0 pf 50 R L n = = 0 R N X C = R L n = 50 Ω Il generatore ideale di corrente eroga solo potenza attiva poiché ai suoi capi vede un carico puramente resistivo di valore R T = R N Z I = R N /. Il valore di tale potenza risulta P gen = R T I 0 = R N I 0 4 = =.5 mw Metà della potenza attiva erogata dal generatore viene assorbita dalla resistenza R N. L altra metà viene assorbita dal carico equivalente Z I, in cui l unico elemento in grado di assorbire potenza attiva è la resistenza R L. Pertanto risulta P RN = P RL = P gen = 0.65 mw

16 Inoltre, poiché Z I = R N si ha I I = I RN = I 0 /=5mA e quindi la potenza reattiva sul condensatore risulta: Q XC =ImS XC } =Im jxc I I } = X C I I = = 0.65 mvar Dato che nel circuito in esame solo il condensatore e l induttore sono in grado di immagazzinare energia, affinché sia verificato il bilancio della potenza reattiva deve essere Q XL = Q XC =0.65 mvar

17 Laurea in Ingegneria Elettronica e Informatica Soluzione del Problema 3 Con riferimento ai simboli introdotti nella seguente figura Z g Z I I I ZL Y I A C V 0 Z V L R L Y C Z 0 V C Y C l/4 l/4 affinché il generatore risulti adattato deve essere Z I = Zg = Z 0. L impedenza d ingresso di una linea in quarto d onda senza perdite è puramente resistiva se e solo se il carico Z L è resistivo. D altra parte il carico Z L è costituito dal parallelo della resistenza R L e dell ammettenza Y A, che è puramente reattiva. Infatti, ricordando che l ammettenza associata ai condensatori è Y C = jb C = jωc e sfruttando le proprietà delle linee in quarto d onda si ha Y A = Y C Y 0 = jωc j Y 0 Y C Pertanto, affinché Z L sia reale deve essere ( ωc = jωc Y A =0 ωcz 0 = C = = ωz 0 π =0.53 pf 50 In queste condizioni si ha Z L = R L e l impedenza d ingresso risulta Z I = Z R L (ωcz 0 ) Z = R L Z 0 = R L Z 0 = = 50 Ω=Z 0 Osservando che I I = V 0 Z 0 e ricordando le relazioni fra tensioni e correnti agli estremi di una linea in quarto d onda senza perdite, si ha V L = jz I I = j Z V 0 = j Z 0 V 0 = 0 e jπ/ mv equindi V L = 4.4 mv argv L } = π/ In maniera analoga si ottiene equindi V C = I C Y C = V L jz 0 jωc = V L ωcz 0 = V L = 0 e jπ/ mv V C = 4.4 mv argv C } = π/ )

18 Laurea in Ingegneria Elettronica e Informatica Problema Con riferimento al circuito in figura, calcolare le potenze assorbite o erogate dai generatori e dalle resistenze, e le energie immagazzinate negli induttori e nei condensatori. Dati: I =0.4 A, I = 50 ma, R = R = 50 Ω, R 3 = 00 Ω, r = 00 Ω, C = 0 nf, C = 50 nf, L = L =µh. R L C i I R 3 ri L C R I Problema Con riferimento al circuito in figura, nel quale i generatori indipendenti funzionano alla pulsazione ω, determinare il generatore equivalente di Thevenin ai morsetti ab. Dire quindi quale deve essere l impedenza di carico da collegare ai morsetti ab affinché il generatore eroghi la massima potenza e calcolare tale potenza. Dati: ω = 0 7 rad/s, I = A, I = 3 A, α =0., R = 40 Ω, C =3nF,L =0.8 µh. L I ai I C I R a b Problema 3 Con riferimento al circuito in figura, nell ipotesi che le linee di trasmissione siano in aria e che le perdite nel tratto in quarto d onda siano trascurabili, determinare i valori dell impedenza caratteristica Z e della suscettanza B in modo tale che la linea principale risulti adattata. Dire con quale elemento può essere realizzata la suscettanza B e dimensionare tale elemento, sapendo che il generatore opera alla frequenza f. Calcolare infine la potenza attiva assorbita dal carico Z L. Dati: P d = 00 mw, f = GHz, Z g = Z 0 = 50 Ω, Z L = 00 j00 Ω, d = 0 m, α =0.3 db/m. linea principale Generatore P d Z g Z 0, a jb Z Z L d l/4

19 Laurea in Ingegneria Elettronica e Informatica Soluzione del Problema Poiché i generatori operano in regime stazionario, i condensatori si comportano come circuiti aperti e gli induttori come cortocircuiti. Il circuito da analizzare è quindi il seguente: R i R i v 3 i I R 3 v 3 i v ri R I Si vede immediatamente che v =0 poiché coincide con la tensione su un cortocircuito (i rami precedentemente occupati da L e L ). Di conseguenza, sulla resistenza R non scorre corrente e quindi si ha i = I = 50 ma Applicando la KVL alla maglia formata da R, R 3 e dal generatore comandato di tensione, e la KCL al nodo positivo di v si ha: ri v R 3 i 3 =0 I = i 3 i R Ricavando i 3 dalla seconda equazione e sostituendola nella prima, tenendo conto che v = R i R, si ottiene i R = R 3I ri = =0. A R R i = i i R =0.5 A i 3 = I i R =0. A v = R i R = = 0 V v 3 = R 3 i 3 = = 0 V Adottando la convenzione degli utilizzatori, le potenze assorbite dai diversi elementi sono: P I = v 3 I = 8 W P I = v I =0 P ri = ri (I i 3 )=W P R = R i R =W P R = R i =0 P R3 = R 3 i 3 =4W

20 Tenendo conto che induttori e condensatori non assorbono potenza in regime stazionario, si nota che il bilancio di potenze è soddisfatto e che l unico elemento che eroga potenza al circuito è il generatore di corrente I. Le energie immagazzinate negli induttori e nei condensatori risultano: W L = L i = 3.5 nj W L = L i =.5 nj W C = C v =0.5 µj W C = C v =0

21 Laurea in Ingegneria Elettronica e Informatica Soluzione del Problema Introducendo le impedenze associate al condensatore e all induttore, per il calcolo della tensione del generatore equivalente il circuito da considerare è il seguente: I I L Z L I C Z C I ai I R V Th Poiché I L = I e I C = I, applicando la KCL al nodo indicato dal tratteggio si ottiene equindi I αi I I =0 I = I I α V Th = RI = R I I α = = 00 V Per il calcolo dell impedenza equivalente si spengono i generatori indipendenti di corrente (sostituiti da circuiti aperti) e, a causa della presenza di un generatore comandato, è necessario introdurre un generatore esterno di prova, come mostrato nella seguente figura: I L Z L ai I C Z C I R V X I X Applicando la KCL al nodo evidenziato in figura, osservando che I L =0equindiI C = αi, siha equindi αi I X = I I X =( α)i =( α) V X R Z Th = V X I X = R α = = 50 Ω La potenza massima viene erogata quando ai morsetti ab viene collegato un carico d impedenza Z L = Z Th = 50 Ω e tale potenza vale P d = V Th 8R Th = 00 W

22 Laurea in Ingegneria Elettronica e Informatica Soluzione del Problema 3 Con riferimento ai simboli introdotti nella seguente figura Generatore P d Z g Z I linea principale Z 0, a Y B Y A jb Z Z L d l/4 affinché la linea principale risulti adattata deve essere Y B =/Z 0. D altra parte, tenendo conto delle proprietà delle linee in quarto d onda si ha: Y B = jb Y A = jb Y = jb Z L Y L Z = jb R L jx L Z = Z 0 dove R L e X L indicano rispettivamente la resistenza e la reattanza di Z L. Separando la parte reale e quella immaginaria nella precedente equazione si ottiene: Z = R L Z 0 = = 50 Ω B = X L Z = X L R L Z 0 = Z 0 = 0 ms Poiché la suscettanza B è positiva, può essere realizzata con un condensatore di valore C = B ω = pf π09 Volendo evitare l uso di elementi discreti, lo stesso valore di suscettanza può essere ottenuto con un tratto di linea in cortocircuito oppure aperta all estremità. Considerando, ad esempio, una linea in cortocircuito di impedenza caratteristica Z 0 e lunghezza l, eguagliando la sua ammettenza d ingresso al valore desiderato si ha j Z 0 tan πl λ = jb = j Z 0 tan πl λ = l = λ ( π ) π 4 nπ = λ 8 nλ Poiché per le linee date si ha λ = c/f = 5 cm, il tratto più corto possibile si ottiene ponendo n =erisulta l = λ 8 λ =3λ =5.65 cm 8 Si noti che la linea terminata con un circuito aperto sarebbe risultata più corta di un tratto pari a λ/4.

23 Poiché la linea principale è adattata, indipendentemente dalla sua lunghezza l impedenza d ingresso coincide con l impedenza caratteristica della linea (Z I = Z 0 ). Ma essendo Z 0 = Z g anche il generatore risulta adattato ed eroga la sua potenza disponibile. Tale potenza sarà in parte dissipata lungo la linea principale; la rimanente parte sarà assorbita dal carico, dato che la suscettanza B e la linea in quarto d onda non assorbono potenza. La potenza che giunge a Z L coincide quindi con quella erogata a Y B. Poiché la linea principale è adattata, tale potenza risulta: P L = P d e αd 0.3 = P d e =0.5 P d = 5 mw Il calcolo dell esponenziale poteva essere evitato notando che l attenuazione totale sulla tratta (espressa in db) è αd = 6 db, che corrisponde alla riduzione della potenza ad un quarto di quella iniziale.