Esercizi relativi al capitolo 1

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1 1 Esercizi relativi al capitolo Elementi di logica matematica 1. Siano date le proposizioni P = Il numero n è divisibile per 3 e Q = Il numero n è divisibile per 6. A cosa corrispondono P Q, P Q, P, Q? Quale relazione di implicazione logica sussiste fra P e Q? 1. Elementi di teoria degli insiemi 1..1 Individuazione di un insieme Elencare gli elementi dei seguenti insiemi: 1. A = { x Q x = 1 k con k N+. B = { x Z x = 1) n + n con n N + { 3. C = x Q x = n n+1, con n N 4. A = {x N 3x X = { x Z x > 16 e Y = { x N x > X = { x Z 1 9 < x < 4 1. A = { 1, 1 4, 1 6, 1 8, 1 10,.... B = {0, 5, 8, 17, 4, C = { 0, 1, 3, 3 4, 4 5, 5 6, 4. A = { x N x 10 3 = {4, 5, 6, 7, X = {±5, ±6, ±7,...e Y = {5, 6, 7, 8, X = { 3,, 1, 0, Sottoinsiemi 1. Sia dato l insieme A = {n N < n < 6. Si determini PA).

2 1. PA) = {, {3, {4, {5, {3, 4, {3, 5, {4, 5, {3, 4, Operazioni fra insiemi 1. Dati gli insiemi A = {, 3, 7 e B = {1,, 5, 7 determinare A B, A B, A \ B, B \ A.. Dati gli insiemi A = {x N x = 3ne B = {x N x = 6n determinare A B, A B, A \ B, B \ A. 3. Dati gli insiemi A = {x R ln x 1) > 0 e B = {x R x 3 > 1 determinare A B, A B, A \ B, B \ A, C R A, C R B. 4. Dati gli insiemi A = {x R ln x > 0e B = { x R x 3 + x 0 determinare A B, A B, A \ B, B \ A, C R A B), C R A. 1. A B = {1,, 3, 5, 7, A B = {, 7, A \ B = {3, B \ A = {1, 5. A B = A, A B = B, A\B = {x N x è divisibile per 3) x non è divisibile ) = {3, 9, 15, 1,..., B \ A = 3. A B = R \ {, A B = 4, + ), A \ B =, 4], B \ A =, ), C R A =, ], C R B = [, 4] 4. A B =, 1) [0, + ), A B = 1, + ), A \ B =, 1), B \ A = [0, 1], C R A B) =, 1], C R A = [ 1, 1] 1..5 Applicazioni 1. Dati gli insiemi A = { 3,, 1, 0, 1, e B = {1,, 5, 10 e l applicazione f : A B definita da fn) = n + 1. Determinare f 1 1) e f 1 ). Stabilire se tale applicazione è iniettiva e/o suriettiva. Determinare un insieme A 1 A ed un insieme B 1 B tali che f : A 1 B 1 sia biiettiva.. Sia f : N N N la funzione definita da fn, m) = n m. Stabilire se tale funzione è iniettiva e/o suriettiva. 3. Sia f : N N la funzione definita da fn) = n+3. Stabilire se la funzione è iniettiva e/o suriettiva. Determinarne l immagine. 4. Sia f : Z Z la funzione definita da fn) = n + 1. Determinare l immagine f Z), studiare l iniettività di f e calcolarne la funzione inversa, ove possibile.

3 3 1. f 1 1) = {0 e f 1 ) = {±1. L applicazione non è iniettiva ma è suriettiva. A 1 = { 3,, 1, 0 e B 1 = B.. La funzione non è iniettiva, infatti f, 4) = f4, 1), ma è suriettiva. 3. La funzione è iniettiva ma non suriettiva. f N) = {3, 4, 5, 6, f Z) = {±1, ±3, ±5, ±7,.... La funzione è iniettiva ma non suriettiva. L inversa f 1 : f Z) Z è definita come f 1 n) = n Insieme dei numeri razionali 1. Si dimostri che 5 / Q 1..8 Insiemi limitati Stabilire se i seguenti insiemi sono limitati o non limitati in R e determinarne, ove possibile, inf, sup, max o min in R. 1. A = {x R 3x <. B = { x R x 5 3. C = { x Q x < 3 4. D =, 1], 3) 5. E =, 5] 6. F = { x R x = 1 3 n, n N 7. G = { x R x = n+1 n, n N+ 8. H = { x R x = n + 1) n, n N + 9. L = {x R x = 1 + 1)n n, n N+ { 10. M = x R x = n + n+1, n N+

4 4 1. A = 3, 3) è limitato. inf A = 3, sup A = 3. A non ammette né massimo né minimo. A = [ 3, 3 ]. A non contiene punti isolati.. B =, 5 ) 5, + ) non è limitato. inf B =, sup B = +. B non ammette nè massimo nè minimo. B =, 5] [ 5, + ). B non contiene punti isolati. 3. C = 3, 3 ) Q è limitato. inf C = 3, sup C = 3. C non ammette né massimo né minimo. C = [ 3, 3 ]. C non contiene punti isolati. 4. D non è limitato inferiormente ma è limitato superiormente. inf D =, sup D = 3. D non ammette né massimo né minimo. D =, 1] [, 3].D non contiene punti isolati. 5. E è limitato. inf E =, sup E = 5 = max E. E non ammette minimo. E = [, 5].E non contiene punti isolati. 6. F è limitato. inf F = 0, sup F = 1 = max F. F non ammette minimo. F = {0. F è costituito da soli punti isolati. 7. G è limitato. inf G = 1, sup G = = max G. G non ammette minimo. G = {1. G è costituito da soli punti isolati. 8. H non è limitato superiormente ma è limitato inferiormente. inf H = 0 = min H, sup H = +. H non ammette massimo. H =. H è costituito da soli punti isolati. 9. L è limitato. inf L = 0 = min L, sup L = 3 = max L. F = {1. F è costituito da soli punti isolati. 10. M non è limitato superiormente ma è limitato inferiormente. inf M = 3 = min M, sup L = +. M =. M è costituito da soli punti isolati Insieme dei numeri reali Si dica se i seguenti insiemi sono ovunque densi in R: 1. A = [ 1, 1] Q. B = {x Q x < 3 3. C = {x Z x = n + 1) n,, n N 4. D = { x Q x = n, n N+

5 5 1. A è ovunque denso in R.. B è ovunque denso in R. 3. C non è ovunque denso in R. 4. D non è ovunque denso in R Elementi di topologia unidimensionale Determinare l insieme derivato e gli eventuali punti isolati degli insiemi seguenti: 1. A = {x R 3x <. B = { x R x 5 3. C = { x Q x < 3 4. D =, 1], 3) 5. E =, 5] 6. F = { x R x = 1 3 n, n N 7. G = { x R x = n+1 n, n N+ 8. H = { x R x = n + 1) n, n N + 9. L = {x R x = 1 + 1)n n, n N+ { 10. M = x R x = n + n+1, n N+ 1. A = [ 3, 3 ]. A non contiene punti isolati.. B =, 5] [ 5, + ). B non contiene punti isolati. 3. C = [ 3, 3 ]. C non contiene punti isolati. 4. D =, 1] [, 3].D non contiene punti isolati. 5. E = [, 5].E non contiene punti isolati. 6. F = {0. F è costituito da soli punti isolati. 7. G = {1. G è costituito da soli punti isolati. 8. H =. H è costituito da soli punti isolati. 9. F = {1. F è costituito da soli punti isolati. 10. M =. M è costituito da soli punti isolati.

6 6 1.3 Sommatoria e produttoria Sommatoria Si scrivano in forma compatta le seguenti somme: = 4 1 ) k = 6 1) k 1 k=1 k = 6 1) k k k=1 k Proprietà della sommatoria Calcolare le seguenti somme utilizzando le proprietà delle sommatorie: k=1 k. 0 1 ) k k=1 7k k k= k=7 5k + 3) 5 k ) 7k + 3 k ) 7 + 3k) ) 1 + k

7 k=1 k = = ) k 1 3 = 1 3) 1 = = 61 = k + 3) = k ) = = = ) 7k + 3 k = = k=1 7k = = k = 19 0 ) = k= k) = k=7 1 + k ) = ) = = 57 78