Integrazione numerica.
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- Aloisio Biagi
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1 Itegrzioe umeric Autore: prof. RUGGIERO Domeico Itegrzioe umeric. Qui di seguito ci occupimo di metodi umerici volti l clcolo pprossimto di u itegrle defiito perveedo formule ce costituiscoo degli lgoritmi, dette ce formule di qudrtur, per tle clcolo. Espoimo i tre metodi d itegrzioe umeric segueti: Metodo dei rettgoli; Metodo dei trpezi (o di Bezout); Metodo di Cvlieri-Simpso (o delle prole). Cosiderimo dpprim il cso di fuzioi o egtive e cotiue ell itervllo d itegrzioe, estededo, successivmete, i metodi presetti ce l cso di fuzioi cotiue di sego quluque. Si, duque, f(x) u fuzioe cotiu i [,] co f(x) x [,]. Il prolem ce si vuol risolvere è il clcolo di ce, i questo cso, coicide co l re del trpezoide delimitto dl segmeto di estremi, dell sse x, dlle rette x=, x= e dll rco di curv di equzioe y=f(x). I = dx Ricordimo ce, il clcolo estto di I, è dx = F( ) F( ) essedo F(x) u primitiv di f(x).. Metodo dei rettgoli. Operimo u suddivisioe dell itervllo [,] i itervlli di stess mpiezz = (dett ce psso d itegrzioe) i cui estremi vegoo detti odi. Duque, idicdo co [x i,x i+ ] ciscuo di questi itervlli, si ce =x <x <x <..<x =; x =x +; x =x +=x +; x =x +=x + e, i geerle, x i+ =x i +=x +(i+) (,,,. ); [, ] = [ x i, x i + ]. Cosiderimo ciscuo di questi itervlli come se di u rettgolo l cui ltezz è f(xi) e l cui re è A i =(x i+ x i )f(x i )=f(x i ). f(x i ) x i x i+
2 Itegrzioe umeric Autore: prof. RUGGIERO Domeico Sommdo le ree di tutti questi rettgoli otteimo l re del plurirettgolo dto dll uioe dei sigoli rettgoli ce, evidetemete, è u pprossimzioe dell re I del trpezoide. Possimo, perciò, scrivere ce = I A i ovvero dx = f ( xi ) ce forisce u lgoritmo per il clcolo dell itegrle defiito. Osservzioe. Al crescere di ovvero l dimiuire del psso, l re clcolt col metodo dei rettgoli si vvici sempre più ll soluzioe estt. Ioltre si dimostr ce per l errore ssoluto ( ) M e A, commesso co l utilizzo di tle metodo, vle l stim e A se f è derivile i [,] co derivt limitt dll costte M. I modo logo quto ftto precedetemete m cosiderdo come ltezz dei rettgoli il vlore ce l fuzioe ssume ell estremo superiore dell itervllo [x i,x i+ ], si perviee ll i+ = i ) formul dx = f ( x ) f ( x.. Metodo dei trpezi. Per procedere, operimo u suddivisioe dell itervllo [,] come per il metodo dei rettgoli mteedo le stesse otzioi. L oiettivo, i questo cso, è otteere u pprossimzioe di I medite l re di i pluritrpezio ivece di u plurirettgolo. Tle pluritrpezio è dto dll uioe degli trpezi rettgoli costruiti su ogi itervllo [x i,x i+ ] come ell seguete figur. f(x i ) f(x i+ ) x i x i+ Oguo di questi trpezi come se mggiore f(x i+ ), come se miore f(x i ) e come ltezz [ f ( xi+ ) + f ( xi )] x i+ x i =. Ne segue ce l re di ciscu trpezio è dt d Ai = per cui l re del pluritrpezio, ce pprossim I, è Duque, [ f ( xi+ ) + f ( xi )] A i = = [ f ( xi+ ) + f ( xi )]. dx = [ f ( xi+ ) + f ( xi )] è l pprossimzioe ce si ottiee co questo metodo. Osservzioe. Ace i questo cso, l crescere di ovvero l dimiuire del psso, l re clcolt col metodo di trpezi si vvici sempre più ll soluzioe estt. Ioltre si dimostr ce per l errore ssoluto e A, commesso co l utilizzo del metodo dei trpezi, vle l stim
3 Itegrzioe umeric Autore: prof. RUGGIERO Domeico e A M. ( ) M se f è derivile due volte i [,] e l derivt secod è limitt dll costte. Metodo di Cvlieri-Simpso. Nei due metodi precedeti, l itegrle defiito è stto pprossimto medite l re di u plurirettgolo (metodo dei rettgoli) e medite l re di u pluritrpezio (metodo dei trpezi). Ciò equivle, rispettivmete, d u pprossimzioe dell fuzioe itegrd medite u fuzioe costte trtti e medite u fuzioe liere trtti. Nel metodo di Cvlieri-Simpso, oto ce come metodo delle prole, si procede d u pprossimzioe dell fuzioe itegrd medite u prol di equzioe y=x +x+c dove le tre codizioi ecessrie per determire,, c si ottegoo dl pssggio per i puti veti sciss tre odi cosecutivi. Omettimo l dimostrzioe ddo l formul ce pprossim I el cso di u suddivisioe dell itervllo [,] i u umero pri di sottoitervlli: dx = [ f ( x ) f ( x ) + 4 f ( x ) + f ( x4 ) f ( x ) + 4 f ( x ) + f ( x N = ovvero dx f ( x ) + 4 f ( x ) + ( f ( x ) + 4 f ( x )) dove i i + + f ( x ) N = ce è u itero essedo u umero pri. Osservzioe. Al crescere di ovvero l dimiuire del psso, l re clcolt col metodo di Cvlieri-Simpso si vvici sempre più ll soluzioe estt. Ioltre si dimostr ce per l errore ( ) M 4 ssoluto e A, commesso co l utilizzo di questo metodo, vle l stim e A se f è 8 derivile fio ll ordie 4 i [,] co derivt qurt limitt dll costte M. )] 4. Estesioe dei metodi fuzioi di sego quluque. Si f(x) u fuzioe cotiu i [,] di sego quluque i tle itervllo. I questo cso l itegrle defiito e l re del trpezoide, ce el seguito idicimo co A T, o coicidoo i quto l itegrle, su itervlli i cui l fuzioe itegrd è egtiv, ssume sego egtivo. Duque, i geerle risult dx A T e l ugule vle solo se l fuzioe è o egtiv ell itervllo d itegrzioe. Ciò premesso estedimo le formule presette precedetemete l cso i esme. Per quto rigurd il clcolo dell itegrle defiito, le formule cotiuo vlere sez lcu modific i quto, l comprs di vlori egtivi di f elle somme, è quto è lecito ttedersi. Per il clcolo di AT occorre procedere d u modific cmido di sego tutti quei vlori ce compioo co sego egtivo prim di sommrli. A tle scopo è sufficiete predere le qutità d ddiziore i vlore ssoluto. Così fcedo, si :
4 Itegrzioe umeric Autore: prof. RUGGIERO Domeico T = f ( x i T = [ f ( A ) oppure A = f ( ) col Metodo dei rettgoli; T x i A xi+ ) + f ( xi ) ] col Metodo dei trpezi; N ( ) AT = f ( x ) = f ( xi ) 4 f ( xi+ ) f ( x ) N col Metodo = i delle prole, vedo mteuto le stesse ipotesi di suddivisioe dell itervllo d itegrzioe e le stesse otzioi delle sezioi precedeti. 5. Implemetzioe dei metodi. Presetimo qui di seguito u pseudocodific dei metodi esposti ce si prest d u loro implemetzioe co u liguggio di progrmmzioe. Supposto di ver letto d tstier gli estremi, dell itervllo d itegrzioe ed (umero di suddivisioi di [,]), di ver scritto u sottoprogrmm (u fuzioe) ce vluti l espressioe sotto il sego di itegrle i u puto x, si ess f(x) e di ver dicirto due vriili ID ed AT i cui mettere, rispettivmete il vlore dell itegrle defiito e quello dell re del trpezoide, i metodi umerici esposti ci foriscoo i segueti lgoritmi el cso geerle. Metodo dei rettgoli: ( )/; ID ; AT for to do { ID ID+f(+ i); AT AT+ABS(f(+ i)); } ID ID; AT AT; Metodo dei trpezi: ( )/; ID ; AT ; for to do { ID ID+f(+ i)+f(+ (i+)); AT AT+ABS(f(+ i))+abs(f(+ (i+))); } ID ID/; AT AT/; Metodo delle prole: ( )/; ID f()+f()+4 f(+); AT ABS(f())+ABS(f())+ ABS(4 f(+)); for to ( ) div do { ID ID+ f(+ i*)+4 f(+ (*i+)); AT AT+ ABS(f(+ i*))+4 ABS(f(+ (*i+))); } ID ID/; 4
5 Itegrzioe umeric Autore: prof. RUGGIERO Domeico AT AT/; dove i simoli {, } idico, rispettivmete, l iizio e l fie di u locco d istruzioi, ABS() idic u fuzioe ce restituisce il vlore ssoluto di u umero, è il simolo di ssegzioe. Si oti, ioltre, ce tutte le vriili océ il vlore dell fuzioe f soo reli d eccezioe di e del cottore i ce soo degli iteri positivi. Tli metodi possoo essere implemetti ce utilizzdo u foglio elettroico (d esempio Excel). A titolo di esempio, presetimo l implemetzioe di tli metodi per il clcolo dell itegrle I = x dx e dell re A del trpezoide delimitto dl segmeto di estremi, dell sse x, dlle rette x=, x= e dll rco di curv di equzioe y=x. Duque, l fuzioe d cosiderre è f(x)=x ed utilizzimo, el seguito, l otzioe y i i luogo di f(x i ). Le prime celle soo utilizzte per il clcolo del psso vedo scelto =. Successivmete si costruiscoo le coloe ecessrie ll implemetzioe dei metodi utilizzdo u colo comue dei vlori dei odi x i e le ltre coloe ecessrie ll implemetzioe dei metodi: ell prim e ell terz vegoo clcolti, rispettivmete, i vlori ce l fuzioe ssume ei odi ed i vlori ssoluti di questi (d utilizzre per il metodo dei rettgoli), ell terz e ell quit l somm dei vlori ce l fuzioe ssume ell i-esimo odo e el successivo e l somm dei vlori ssoluti (ecessri per il metodo dei trpezi). Le ultime due coloe servoo per l implemetzioe dei metodi delle prole: l colo Per Prole cotiee ell prim ed ultim cell i vlori dell fuzioe i e rispettivmete metre le ltre celle cotegoo, ltertivmete, y i e 4y i+ ; l colo per pr. e cotiee i vlori ssoluti. Sommdo opportumete i vlori così clcolti i ccordo co gli lgoritmi precedetemete esposti e moltiplicdo tli qutità per, /, /4 rispettivmete, si ottegoo le pprossimzioi di I, A co i tre metodi. Tli pprossimzioi soo riportte dopo le telle e l soluzioe estt. = - = = =,5 x i y i y i+ +y i y i y i+ + y i Per Prole per pr ,6 8 4, ,85-6,65 -,446 6,65,4465-5,65 5,65 -,7-4,9-8, ,9 8, ,86 9,86 -,55 -,7875-6,467875,7875 6, ,8955 4,8955 -,4 -,744-4,6975,744 4,6975-5,488 5,488 -,5 -,955 -,845,955,845-7,85 7,85 -, -, -,8875,,8875 -,66,66 -,95 -, ,6975,85775,6975 -,495,495 -,8 -,5 -,78665,5, ,4,4 -,65 -,7465 -,9965,7465,9965 -,985,985 -,5 -,5 -,67875,5, ,5,5 -,5 -,4875 -,5875,4875,5875 -,75,75 -, -,8 -,85,8,85 -,6,6 -,5 -,5,875,5,5 -,5,5,,,665,,665,,,5,565,7965,565,7965,65,65 5
6 Itegrzioe umeric Autore: prof. RUGGIERO Domeico,4,64,75,64,75,8,8,55,6675,5975,6675,5975,6655,6655,7,4,9575,4,9575,686,686,85,645,645,645,645,4565,4565 I=-5/4= -,75 Rettgoli I= -4,449 Trpezi I= -,7669 Prole I= -,75 Are= 4,5 (=7/4) Are [R] 4,85 Are [T] 4,78 Are [P] 4,55 6
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