-gdl>gdv il sistema è staticamente labile (trave labile, cioè in grado di muoversi);

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1 Meccanica a trave Trave in equilibrio con due vincoli I gradi di libertà per un corpo sul piano sono 3, mentre quelli di un corpo nello spazio sono 6. Consideriamo un sistema di riferimento formato da: asse x con direzione della trave, asse y con direzione della forza, asse z che esce dalla pagina. a+b=, F=100N cerniera carrello Sul piano: se il corpo ha dei vincoli, possiamo avere i seguenti casi (gdl: gradi di libertà; gdv: gradi di vincolo): - gdl=gdv il sistema è staticamente determinato (trave isostatica), e si ha: F x =0 F y =0 M =0 -gdl>gdv il sistema è staticamente labile (trave labile, cioè in grado di muoversi); -gdl<gdv la trave è iperstatica. Consideriamo ora il primo caso, quello di una trave sul piano con due vincoli, ad esempio una cerniera e un carrello alle estremità, come mostrato in figura: se la forza è perpendicolare ad x, siamo nel caso in cui gdl=gdv. Calcoliamo le reazioni vincolari

2 Scegliamo i versi positivi le equazioni sono: F x =0 R Ax =0 la trave non è caricata lungo l'asse x F y =0 R Ay F + R By =0 M =0 F a+ R By =0 e quindi si ottiene: R By = F a R Ay F + F a =0 R Ay =F F a =F ( 1 a ) = F a = F b Caratteristiche delle sollecitazioni - compressione/trazione - taglio (sforzi perpendicolari alla superficie) - momento flettente - torsione (non c'è) Sforzo normale: non c'è, il diagramma di compressione/trazione è: Il diagramma di taglio è: Il grafico del Momento flettente è: Il momento è M f = Fba in A e B il momento flettente è pari a zero; l'effetto di questa forza è la deformazione della trave:

3 Consideriamo adesso questa situazione: in questo caso abbiamo: gdl=gdv=3 e equazioni sono: F x =0 R Ax p=0 R Ax = p F y =0 R Ay F =0 R Ay =F M A =0 M A F =0 M A = F I diagrammi diventano: Sforzo normale (trazione, per convenzione positiva, o compressione, per convenzione negativa) Sforzo di taglio Momento flettente N T p F - +

4 M f F F-F=0 e equazioni di resistenza che si devono usare sono: σ max σ ams ' σ amf σ amf se c'è sollecitazione torcente (asse): σ max = M F W F se c'è sollecitazione torcente/flettente (albero): σ max = M fid W F Se c'è solo torsione: τ max τ ams ' τ amf τ amf τ max = M T W T statica a fatica pulsante (non cambia di segno alla sollecitazione, sinusoide sopra l'asse x) a fatica alternata (cambia di segno alla sollecitazione, sinusoide che taglia l'asse x) W, per le sezioni, viene calcolato con le seguenti formule: - sezione circolare piena: W F = π 32 d 3 a torsione W T = π 16 d 3 - sezione circolare cava: W F = π d 4 4 e d i 32 d e a torsione W T = π 16 d e 4 d i 4 d e

5 Esercizio Si ha una turbina Pelton (un ugello inclinato con un angolo di 30 spruzza acqua e mette in moto la turbina). Il peso della turbina è Q=23544N a spinta idraulica è S i =22563N a potenza sviluppata è P=1911kW n=500 giri/min a lunghezza dell'albero (quello che esce al centro della turbina, che si trova a metà dell'albero) è l=800 mm; coefficiente di sicurezza n s =2 ; carico di rottura materiale scelto R=500 N /mm 2 Determinare il diametro dell'albero d a situazione, schematizzata, è la seguente: a forza risultante R, si calcola con il teorema di Carnot: R= Q 2 +S i 2 +2QS i cos60 =39933N Il momento a flessione è (R è comunque sempre perpendicolare all'albero della turbina): M max = R 2 l =7986,6 Nm 2 'albero è sollecitato a torsione: è la sollecitazione più importante (c'è un momento motore e un momento resistente che si oppone, ne risulta un momento torcente). a potenza è data dal prodotto del momento per la velocità angolare (radianti/secondo):

6 P=M T ω ω= 2 π n 60 = 2 π500 =52,3 rad /sec 60 e quindi il momento vale: M T = ω P =36497,4 Nm Quando c'è sollecitazione di torsione, si calcola un momento flettente ideale: se si ha solo flessione σ max <σ am se si ha solo torsione σ max <τ am se c'è sia flessione che torsione uso il momento flettente ideale M fid = M 2 F +0,75 M 2 T Nm,dove M F =M max =7986,6 Nm Il carico di rottura per il materiale scelto (acciaio 4c-cromo), dalle tabelle, è R=500 N /mm 2 ; calcolo poi la sigma ammissibile a fatica alternata (perché c'è rotazione), che risulta essere un terzo della sigma ammissibile statica: σ amf = 1 3 σ ams a sua volta, la sigma ammissibile statica è: σ ams = R = 500 =250 N /mm2 n s 2 σ amf 83 N /mm 2 a sigma massima si calcola dalla seguente formula: σ max = M fid, dove W W F = π d 3 è il modulo di resistenza: qui compare il diametro d, che è la F 32 misura che dobbiamo ottenere. σ max = M fid π d 32 σ 3 amf da qui ricavo il diametro d: d= 3 32 M fid π σ =158,7 mm amf Questo valore che si è calcolato è il limite minimo per il diametro dell'albero della turbina. Si cerca sul manuale e se si trova tabellato un diametro ad esempio di 160 mm, si prende quello.