Stabilità dell'equilibrio *

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1 Introduzione aa stabiità de equiibrio Stabiità de'equiibrio * I probemi di stabiità de'equiibrio sono di tipo fondamentamente diverso dai probemi di equiibrio, sia in campo eastico, sia in campo easto-pastico. Fig. 1. Eemento essenziae dei probemi di stabiità è 'infuenza deo stato di deformazione suo stato di tensione; in atri termini, quando si tratta un quasiasi atro probema, come ad esempio a determinazione de momento fettente nea trave di figura 1, nea sezione generica avremo: z M = Rz p( z)zdz (1) a indipendentemente da fatto che a trave sia deformata. Tutte e distanze sono cacoate nea configurazione iniziae indeformata; invece, tenendo conto dea deformazione dea trave, tutti i bracci di eva risuterebbero aterati daa deformazione dea trave, come, a rigore, si dovrebbe tenere conto in quanto e caratteristiche di soecitazione sono conseguenti a'appicazione dei carichi e quindi si riferiscono aa configurazione deformata e non a quea iniziae. Però in questi probemi confondere e due configurazioni, e questo è giustificato da osservazione che e deformazioni sono moto piccoe, infinitesime nee nostre usuai ipotesi, inciderà sua determinazione dee caratteristiche di soecitazione in misura trascurabie. Nei probemi usuai dea Scienza dee Costruzioni normamente si prescinde da'infuenza dea deformazione ne vautare o stato di tensione; vi sono però dei casi in cui i trascurare 'infuenza deo stato di deformazione non ha un carattere puramente quantitativo, bensì essenziae ed è proprio questa infuenza che dà significato a probema. A tae situazione compessa appartengono appunto i probemi di stabiità ed atri, sui quai non insistiamo nei quai si vuoe giudicare i tipo di equiibrio; in atri termini, otre a stabiire se i sistema è equiibrato o meno, si vuoe vautare anche come è equiibrato, e precisamente se 'equiibrio è stabie, instabie o * Tratto da: R.F. Badacci, Compementi di Scienza dee Costruzioni, 9, in Probemi di base dee strutture metaiche, Istituto di Scienza dee Costruzioni, Genova, 1969, Tamburini ed. 1

2 Introduzione aa stabiità de equiibrio indifferente. Per esaminare i ato concettuae de probema ci riferiremo a sistemi ad easticità concentrata, in modo da poter svogere 'anaisi necessaria in modo eementare. Instabiità per diramazione Consideriamo come primo esempio a trave incastrata ad un estremo e caricata assiamente di figura in cui si suppone a trave rigida e 'incastro cedevoe easticamente con rigidezza K. Pertanto a trave non si deforma mentre 'incastro permetta una rotazione di tipo eastico, proporzionae a momento reattivo : dove a costante eastica K ha dimensioni [Nm/rad]. M R = Kα () Fig.. Fig. 3. La trave è equiibrata purché a reazione de vincoo sia eguae a carico P. Per vautare che tipo di configurazione di equiibrio si tratti si deve esaminare cosa accade in configurazioni variate, ottenute daa configurazione fondamentae imprimendo una deformazione che, in questo caso, consiste in una rotazione rigida. Consideriamo aora una configurazione diversa da quea fondamentae di una quantità finita α e scriviamo 'equiibrio per questa configurazione variata, figura 3. L'equiibrio aa trasazione verticae non è cambiato e si ha ancora: In seguito aa rotazione α nasce i momento attivo R = P. (3) M A = P sen (4)

3 Introduzione aa stabiità de equiibrio e 'equiibrio sussiste se M R = M A. Questa condizione di equiibrio comporta: Kα P =, (5) sen e quindi a configurazione variata è in equiibrio se P ha i vaore dato da equazione (5). Per discutere a stabiità de equiibrio si diagrammi a funzione P(α), i cui andamento si ricava immediatamente, figura 4. Fig. 4. Si osserva che i vaore P K = K/ è i vaore de carico per α 0, per cui, quando P<P K i momento reattivo M R è sempre maggiore de momento attivo M A. Per un quasiasi vaore di P compreso tra 0 e K/, si imponga aa trave una rotazione che a porti in una configurazione variata diversa da quea iniziae e daa quae a si riascia istantaneamente: a trave ritorna nea posizione iniziae, ovvero, in atri termini, i carichi P inferiori a P K caratterizzano un equiibrio evidentemente stabie. Per carichi P superiori a P K accade che, se una quasiasi perturbazione sposta a trave daa posizione verticae, essa continua a ruotare fino a raggiungere un angoo α per cui s instauri una situazione di equiibrio per M R =M A. Ma queste situazioni, rappresentate dai punti de'asse P a di sopra di P K, caratterizzano configurazioni di equiibrio instabie per a trave diritta, mentre sono di equiibrio stabie per a trave ruotata. Per P = P K 'equiibrio è poi indifferente, cioè sono possibii variazioni infinitesime daa posizione diritta ne rispetto de'equiibrio. I carico P K che segna, aora, i imite tra posizioni di equiibrio stabie e configurazioni di equiibrio instabie per a trave diritta, e prende i nome di carico critico; esso è tipico dea situazione di indifferenza. In P K si dice che 'equiibrio si dirama in quanto esiste a possibiità che sussistano configurazioni diritte instabii e di configurazioni ruotate stabii: i punto P K prende i nome di punto di biforcazione de equiibrio. L'esempio discusso mostra i significato concettuae de carico critico. Se si 3

4 Introduzione aa stabiità de equiibrio considera a trave caricata di punta rimuovendo ipotesi di easticità concentrata e supponendoa distribuita ungo tutto asse, cioè quando si consideri a cassica trave di Euero, a trattazione ordinaria si imita a studiarne i comportamento in corrispondenza de carico critico. Come noto, si ritrova che a trave è in equiibrio sotto i carico critico ed i suoi mutipi quadrupi; tuttavia, i carichi critici superiori a primo corrispondono a situazioni instabii di equiibrio e quindi non hanno significato. In atre paroe, in una trave caricata di punta, i carichi superiori a primo carico critico eueriano non interessano in quanto corrispondenti a situazioni di equiibrio instabie. Fig. 5.a Fig. 5.b Un atro esempio, eguamente sempice ma dai risvoti inaspettati, è queo dea trave appoggiata. Anaogamente a quanto fatto in precedenza, supponiamo a trave rigida e dotata di un appoggio eastico, come indicato in figura 5, e si vogia anche qui vautare, in condizioni di equiibrio, quae tipo di equiibrio sussista. Consideriamo ancora una configurazione ruotata, e scriviamo a condizione di equiibrio aa rotazione. Essendo i momenti attivo e reattivo : M A = P sen (6) M R tae condizione diviene sempicemente : A M R = K sen cos, (7) M = = K cos P, (8) In anaogia con esempio precedente si riporti 'andamento dea funzione P(α) come indicato in figura 6. Si osserva aora che nea configurazione diramata 'equiibrio sussiste per carichi inferiori a queo critico P K = K/, corrispondente a vaore α 0. 4

5 Introduzione aa stabiità de equiibrio Fig.6. Supponiamo di avere raggiunto i carico critico e di fare ruotare a trave: a rotazione porta a trave a di fuori dea sua configurazione originaria e, una vota attivata, continua ad ampiarsi indefinitamente. In atri termini, i momento reattivo diminuisce con α, cioè a'aumentare dea rotazione α si verifica una diminuzione dea reazione de vincoo. Questo tipo d instabiità è indubbiamente più pericooso de precedente, perché qui addirittura, raggiungendo i carico critico 'equiibrio non sussiste più in nessuna configurazione variata. Instabiità senza diramazione Vediamo ora un atro tipo di instabiità, apparentemente più sempice, dove non esiste diramazione. E ciò per mostrare come, nea trattazione dei probemi di stabiità, e soe teorie di biforcazione risutare imitative in quanto conducono ad escudere una casse importante di fenomeni, nei quai si perviene a situazioni di instabiità senza biforcazione de'equiibrio. Prendiamo dunque in esame i probema de'arco a tre cerniere, figura 7. Fig. 7. 5

6 Introduzione aa stabiità de equiibrio A crescere de carico P e aste, compresse, si accorciano finché, per un dato vaore de carico P i sistema scatta verso i basso con vioenza, iberando 'energia di deformazione, accumuata durante a compressione dee aste. Iniziamo a studiare i probema con i metodi usuai dea Scienza dee Costruzioni, e precisamente determiniamo 'abbassamento f dea cerniera superiore con i Teorema dei Lavori Virtuai (i sistema di forze virtuai consiste in una forza esporativa unitaria posta ne punto di cui si chiede o spostamento e nea direzione di queo spostamento. I sistema virtuae, aora, coincide con queo reae a patto di considerare a forza P di vaore unitario). Abbiamo così: S * S P 1 1* f = * 1 =, (9) EA EA sen sen essendo S 1 =1/ senα o sforzo normae nei puntoni generato daa forza verticae unitaria appicata nea cerniera centrae, S o sforzo normae prodotto daa forza P. In definitiva: P f =, (10) EAsen ovvero: P = EA f sen α, (11) Tracciamo a curva P(α): essa avrà un andamento de tipo indicato in figura 8. La reazione (11) non mette in evidenza acun fenomeno nuovo, in quanto dedotta partendo daa configurazione iniziae senza tenere conto de'infuenza dea deformazione ne'anaisi deo stato di tensione, cioè de fatto che e soecitazioni nee aste variano a variare di α. P ( ) Fig. 8. α Ripetiamo dunque a trattazione asciando ad α i suo significato, cioè di parametro cinematico che descrive a configurazione iniziae, ma teniamo conto che esso varia 6

7 Introduzione aa stabiità de equiibrio con a deformazione e indichiamone con ~ α i vaore corrente. La forza normae S nee aste sarà aora data da : S P = sen( ~ α), (1) e si avrà poi: ~ h sen α = ~ f, (13) ( ) dove, indicando con ε i coefficiente di diatazione ineare: Possiamo inotre scrivere che: da cui sviuppando: ~ = ε = 1 ( ε) [ ( 1 ε) ] = a + ( h f ) e in definitiva, sostituendo nea (1), si ottiene:. (14), (15) 1 ε = 1 + f hf, (16) P = S sen ( ~ α) = S h f. (17) + f hf Assumendo per i modeo costitutivo assiae un egame eastico ineare de tipo S = σa = EAε, (18) per sostituzione nea (17) si ottiene: ( h f ) EA 1 P = 1 + f hf. (19) + f hf Questa reazione permette di descrivere interamente i fenomeno, cioè di tracciare a curva P(f) come risuta da grafico di figura 9. 7

8 Introduzione aa stabiità de equiibrio Fig. 9. I carico cresce fino ad un vaore massimo e poi decresce, si annua per f = h, diventa negativo fino a che si annua nuovamente a raggiungimento dea freccia f = h; questa circostanza corrisponde aa situazione in cui e aste, dopo essere passate a di sotto de orizzontae, si sono competamente scaricate (posizione simmetrica inferiore). Ora, per deformare dobbiamo nuovamente aumentare i carico: da questo punto in poi non vi è più instabiità in quanto e aste sono tese e possono aungarsi fino a competo snervamento. Nee strutture reai questa configurazione simmetrica inferiore, nuovamente di equiibrio, difficimente viene raggiunta in quanto intervengono atri fenomeni, come instabiità fesso-torsionae a di fuori de piano de arco, che conducono a coasso dea struttura. Consideriamo più attentamente i ramo di curva tratteggiato: i suoi punti corrispondono a configurazioni di equiibrio instabie. Supponiamo infatti di essere nea posizione A; in essa e aste sono ancora compresse sebbene parziamente scaricate: a configurazione A non può quindi essere stabie ed i sistema tenderà a raggiungere a configurazione B. I vaore critico P k de carico si ottiene infine osservando che in corrispondenza di questo a tangente aa curva P(α) è orizzontae. Daa reazione: si ottiene: 1 a = EA cos( ~ α) α ~ cos dp d ~ cos 3 ( ~ ) α k = a = 0. (0), (1) e sostituendo nea (1) si determina infine i vaore critico de carico: 8

9 Introduzione aa stabiità de equiibrio P k 3 ( ~ α ) = EAsen. () k Gi esempi discussi hanno notevoe importanza per comprendere quae sia 'essenza dei fenomeni d instabiità de'equiibrio eastico nei suoi vari aspetti. Quando ci si riferisca a strutture ad easticità diffusa, cioè a sistemi eastici continui, ci troviamo di fronte a difficotà anaitiche spesso insormontabii: da un punto di vista concettuae, però, non esiste differenza acuna rispetto ai sempici casi sopra esposti. Si osserva che nee strutture reai i probema dea stabiità de equiibrio può intervenire con un materiae che manifesta una risposta non ineare. Ci si riferisce in questo caso a instabiità de equiibrio in fase easto-pastica. Per approfondimenti si faccia riferimento a: A. Brencich, Stabiità de equiibrio easto-pastico, Capitoo 5, e Stabiità dee strutture inteaiate, Capitoo 6 di Anaisi non ineare dee Strutture, a cura di A. Carpinteri, Pitagora, Boogna,

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