POLITECNICO DI MILANO Scuola di Ingegneria Industriale Fondamenti di Fisica Sperimentale, a.a I Appello, 10 luglio 2013

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1 POLITECNICO DI MILNO Scuola di Ingegneria Industriale Fondamenti di Fisica Sperimentale, a.a. 0-3 I ppello, 0 luglio 03 Giustificare le risposte e scrivere in modo chiaro e leggibile. Sostituire i valori numerici solo alla fine, dopo aver ricavato le espressioni letterali. Indicare nome e cognome (in stampatello) e matricola su ogni foglio.. una particella puntiforme di massa m è applicata una forza F = α u x + β u y, dove u x è il versore dell asse orizzontale x, u y è il versore dell asse verticale y, mentre α e β sono costanti. a) Si dica se la forza è conservativa e, in caso di risposta affermativa, se ne calcoli l energia potenziale E p in funzione della posizione della particella. Supponendo che all istante t = 0 la particella si trovi in quiete nell origine del sistema di riferimento, calcolare in funzione del tempo b) la quantità di moto p della particella, c) il suo momento angolare L rispetto all origine.. Il grafico a fianco fa riferimento al laboratorio di Meccanica e riporta l ampiezza delle oscillazioni forzate del carrello sottoposto all azione di una biella in funzione della pulsazione ω di quest ultima. Il carrello è fissato alla biella e alla guida con due molle identiche con costante elastica k = 3 N/m. a) Determinare l ampiezza delle oscillazioni del carrello, la sua velocità massima e la sua accelerazione massima per ω = 4.5 rad/s. b) Determinare il valore della massa M del carrello. c) Tracciare i grafici quantitativi della posizione, della velocità e dell accelerazione del carrello in funzione del tempo per ω = 4.5 rad/s. 3. Una mole di gas perfetto monoatomico all equilibrio è posta in un contenitore chiuso da un pistone adiabatico di massa trascurabile e superficie S che può scorrere senza attrito (pressione esterna p 0 ). Le pareti laterali del contenitore sono anch esse adiabatiche, mentre la base è a contatto termico con un serbatoio termico a temperatura T 0. Improvvisamente una massa m viene appoggiata sul pistone. a) Si dica, giustificando la risposta, se la trasformazione è reversibile. b) Si ricavi l espressione del volume del gas una volta raggiunto nuovamente l equilibrio. c) Si calcoli il lavoro compiuto durante la trasformazione, specificando se è compiuto dal sistema sull ambiente o viceversa. d) Si determini il calore scambiato durante la trasformazione, specificando se è ceduto o assorbito dal sistema. 4. Si considerino due condensatori di capacità C = 7 µf e C = µf. I due condensatori vengono collegati in serie e il sistema viene collegato a un generatore che dà una d.d.p. V 0 = 50 V. a) Calcolare la capacità equivalente del sistema così formato. b) Calcolare la carica elettrica sulle armature di ciascun condensatore e l energia elettrostatica immagazzinata nell intero sistema. I due condensatori vengono poi scollegati dal sistema e, senza scaricarli, vengono posti in parallelo collegando tra loro le armature con carica positiva e tra loro le armature con carica negativa (aiutarsi con un disegno se necessario). Il sistema rimane isolato. c) Calcolare la capacità equivalente del sistema così formato. d) Calcolare, in questa nuova configurazione, la carica elettrica sulle armature di ciascun condensatore e l energia elettrostatica immagazzinata nell intero sistema.

2 Esercizio a) La forza è conservativa, infatti L ( αu x + βu y ) dr = αdx + βdy = α( x x ) + β ( y y ) = il valore dell energia potenziale è quindi pari a: E p = (α x + β y) + c. Il valore della costante c viene fissato scegliendo il punto in cui E p = 0. Per esempio, scegliendo E p = 0 nell origine del sistema di riferimento, si ottiene c = 0. b) La quantità di moto si ottiene risolvendo l equazione differenziale dalla quale si ottiene F = dp/dt, p = Ft + p(t = 0) = αt u x + βt u y. c) Il moto della particella è rettilineo uniformemente accelerato. La traiettoria della particella è una retta che passa per l origine. Ne consegue che la forza che agisce sulla particella e la sua posizione sono vettori paralleli e quindi L = r p = 0.

3 Esercizio a) Le due molle identiche collegate al carrello si comportano come un unica molla di costante elastica doppia. Detta k la costante elastica della singola molla, si ricava che la pulsazione ω 0 delle oscillazioni libere del carrello è (se lo smorzamento è piccolo): ω 0 Il grafico mostra il fenomeno della risonanza. La curva che indica l andamento dell ampiezza delle oscillazioni in funzione della pulsazione della forzante presenta uno stretto massimo, a conferma del fatto che lo smorzamento del carrello è piccolo. Dal grafico si ottiene che la pulsazione di risonanza ω r è pari a ω r = 4 rad/s. Sapendo che in un oscillatore forzato, se lo smorzamento è piccolo, la frequenza di risonanza corrisponde alla frequenza delle oscillazioni libere, si ottiene: k. m k ω 0 ω r m = = 375 g. ω r b) In un oscillatore forzato, a transitorio esaurito la posizione x in funzione del tempo (legge oraria) è data da (prendendo come origine di x la posizione di equilibrio dell oscillatore): x(t) = (ω) cos(ω t + ϕ). Il grafico di (ω) è riportato nel testo dell esercizio in funzione della pulsazione della forzante ω. Dal grafico si ricava quindi che l ampiezza delle oscillazioni è pari a: (4.5 rad/s) = 4 cm = 0.04 m; Derivando x(t) in funzione del tempo si ricavano velocità v x (t) ed accelerazione a x (t): d x v x (t) = = ω (ω) sin(ω t + ϕ); dt d x a x (t) = = ω (ω) cos(ω t + ϕ). dt Da queste due equazioni si ricavano i valori della velocità massima v max e dell accelerazione massima a max : v max = ω (ω) = 0.8 m/s. a max = ω (ω) = 0.8 m/s; c) Si vedano qui sotto i grafici quantitativi di posizione, velocità ed accelerazione (si è arbitrariamente scelta un origine dell asse dei tempi per cui ϕ = 0).

4 Si ricordi che il periodo T dell oscillazione è pari a T = π/ω. Esercizio 3 a) Poiché la trasformazione evolve a partire da una variazione finita e istantanea della pressione esterna, essa passa attraverso stati fuori equilibrio e dunque risulta irreversibile. b) ll equilibrio la pressione esterna (eguagliata da quella interna per via della presenza del pistone) vale p = mg/s + p 0, mentre la temperatura è fissata a T 0 dal serbatoio termico. Per l equazione di stato dei gas perfetti il volume finale risulta dunque V nrt = p nrt0 = mg p0 + S. c) Il lavoro compiuto contro la pressione esterna (costante) risulta L = p (V V 0 ) < 0, ed è dunque compiuto dall ambiente sul sistema. d) Poiché la temperatura iniziale e finale coincidono si ha, per un gas perfetto, U = 0, da cui, per il primo principio della termodinamica, Q = L < 0. Il calore è dunque ceduto dal sistema al serbatoio.

5 Esercizio 4 a) La capacità equivalente per il collegamento parallelo è data da: C eq = C + C 4.8 µf. b) La carica sui due condensatori è la stessa (collegamento serie) e vale mentre l energia immagazzinata E p è pari a Q = Q = C eq V 0 = 4 µc, E p = Ceq V mj; c) La nuova capacità equivalente (collegamento in parallelo) vale C eq = C + C = 8 µf. d) La carica totale sui due condensatori vale Q tot = Q = 48 µc e quindi la tensione ai capi del parallelo risulta pari a V = Q tot / C eq 3.8 V. La carica totale si distribuisce sui due condensatori nel seguente modo: L energia immagazzinata Q = C V 66.4 µc; Q = C V 6.6 µc. E p nei condensatori collegati in parallelo vale E = Q V p tot 5.09 mj.

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