Punti di massimo e di minimo

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Punti di massimo e di minimo"

Irma Negro
6 anni fa
Visualizzazioni

1 Punti di massimo e di minimo Massimo assoluto o minimo assoluto DEFINIZIONE Si dice massimo (minimo) assoluto di una funzione f il più grande (piccolo) dei valori che essa assume. mag

2 Si dice che una funzione ha in un massimo locale (o relativo ) in se appartiene al dominio di D di f, e inoltre in un intorno di. Ha invece un minimo locale (o relativo ) in se è interno al dominio D di f, e inoltre in un intorno di. I punti di massimo e minimo relativo vengono anche detti punti estremanti, e i valori assunti dalla funzione in questi punti estremi della funzione. mag

3 Condizione necessaria Se f(x) è derivabile, affinchè un punto sia di massimo o di minimo locale deve essere: f'(x)=0 I punti in cui si annulla la derivata prima si dicono punti stazionari o punti critici. Si studia il segno della derivata prima, studiando la disequazione f'(x)>0 Il calcolo della derivata prima serve per determinare gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce, individuando quindi gli eventuali i punti di massimo o di minimo. I punti di massimo sono quelli f'(x i )=0 mentre f'(x)>0 a sinistra di x i e f'(x)<0 a destra; I punti di minimo sono quelli f'(x i )=0 con f'(x)<0 a sinistra di x i e,f'(x)>0 a destra. Invece se la derivata nell'intorno di tali punti non cambia di segno, questi non sono nè di massimo nè di minimo. mag

Secondo metodo per determinare i punti di massimo e minimo relativi (metodo delle derivate successive) Se f(x) è derivabile, affinchè un punto sia di massimo o di minimo locale deve essere: f'(x)=0

Il calcolo della derivata seconda serve per determinare gli intervalli in cui la curva è concava o convessa: se f''(x i )>0 allora la concavità sarà rivolta verso l'alto perciò il punto è di minimo ;

4 Secondo metodo per determinare i punti di massimo e minimo relativi (metodo delle derivate successive) Se f(x) è derivabile, affinchè un punto sia di massimo o di minimo locale deve essere: f'(x)=0 Si sostituiscono i punti x i che annullano la derivata prima f'(x), nella derivata seconda e si guarda il segno che questa assume. Il calcolo della derivata seconda serve per determinare gli intervalli in cui la curva è concava o convessa: se f''(x i )>0 allora la concavità sarà rivolta verso l'alto perciò il punto è di minimo ; se f''(x i )<0 allora la concavità sarà rivolta verso il basso perciò il punto è di massimo; se f''(x i )=0 allora non possiamo concludere nulla. Si prosegue quindi a derivare fino ad ottenere una derivata non nulla, se la derivata è pari (ordine n di derivazione pari) se ne valuta il segno: allora è un punto di minimo altrimenti di massimo se la derivata è dispari è un punto di flesso (a tangente orizzontale) mag

5 Flesso Un punto di flesso per una curva o funzione è un punto in cui si manifesta un cambiamento di curvatura o di convessità. Metodo risolutivo Per verificare analiticamente se una funzione possiede punti di flesso, si ricercano innanzitutto i valori di per i quali la derivata seconda si annulla: La condizione che è necessaria ma non sufficiente a garantire l'esistenza di un flesso in, perché la derivata seconda potrebbe non cambiare segno. Quindi si prosegue nell'analisi verificando che la derivata seconda cambi segno. Questo accade precisamente quando la prima derivata non nulla calcolata nel punto successiva alla seconda è una derivata dispari. mag

Teorema di Lagrange Data una funzione f(x) definita nell'intervallo che va dal punto a al punto b, come nell'immagine, sufficientemente "liscia", cioè tale che essa è continua e ogni suo punto ha una

6 Teorema di Lagrange Data una funzione f(x) definita nell'intervallo che va dal punto a al punto b, come nell'immagine, sufficientemente "liscia", cioè tale che essa è continua e ogni suo punto ha una tangente, e tracciamo la retta secante il grafico che passa per i punti (a, f(a)) e (b, f(b)), gli estremi di f(x) nell'intervallo considerato (in arancione). Ora se spostiamo idealmente questa retta verso il basso, sempre mantenendola parallela con la stessa pendenza, notiamo che essa andrà a coincidere con la retta in verde, tangente alla curva nel punto (c, f(c)): il teorema di Lagrange afferma che sotto le ipotesi di regolarità enunciate esiste almeno un punto di ascissa c, come nell'esempio, tale che la tangente in quel punto ha la stessa pendenza del segmento congiungente i punti estremi del grafico. Sia f(x) una funzione continua in punto c contenuto in (a, b) per cui: e derivabile in (a, b), allora esiste un mag

7 Sitografia mag

Documenti analoghi

Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 41 1 Derivata