Metodologie Quantitative

Transcript

1 Metodologie Quantitative Concetti statistici di base II M Q Marco Perugini Milano-Bicocca 1

2 Laboratorio Iscrizione/Scelta Turno Laboratorio Metodologie Quantitative Turno 1: Lunedì pomeriggio Turno 2: Mercoledì pomeriggio Turno 3: Lunedì pomeriggio Il numero massimo di studenti è di 30 per ogni turno. Quando? Dal 12 ottobre alle fino al 16 ottobre alle Dove? Sul sito elearning ( alla voce Laboratorio Metodologie/Modulo Quantitativo, Attività Iscrizione/Scelta Turno Laboratorio Quantitativo 2 I

3 Programma Odierno Errore standard, intervallo di confidenza Correlazione, rappresentazione delle varianze 3

4 Media E il punto di equilibrio di una distribuzione di dati (=punto tale per cui le posizioni più piccole bilanciano quelle più grandi), coincide con il valore atteso e, se la distribuzione è normale, è anche il valore più probabile, cioè la speranza matematica. X N X i 4

5 Varianza e deviazione standard Indicano la dispersione attorno alla media s 2 ( X X ) 2 i N N X 2 X 2 s s 2 5

6 Errore di misura Praticamente in ogni forma di misurazione, all aumentare dei casi osservati, diminuisce l errore Proiezioni votazioni politiche: aumentare delle sezioni scrutinate, diminuisce la forbice (l errore) Costruzione questionario personalità o atteggiamento: all aumentare del numero di item (domande), diminuisce l errore di misura. Controllo Qualità prodotti: all aumentare dei prodotti testati, aumenta la precisione della stima della percentuale di difetti 6

7 Errore e variabilità L errore di stima non dipende solamente dalla numerosità, ma anche dalla variabilità del carattere osservato (la varianza della variabile oggetto di studio) Se tutti rispondono allo stesso modo, basta chiedere ad una sola persona! Quanto maggiore è la variabilità, tanto maggiore è la necessità di osservazioni (casi, risposte) L errore di stima lega il campione alla popolazione 7

8 Voti Errore e variabilità Assumiamo che quasi tutti gli studenti abbiano una media dei voti di Media= Varianza= V o t i 8

9 Voti Errore e variabilità Quasi tutti i campioni possibili, anche se piccoli, daranno valori necessariamente vicini alla media vera (26.5) 0.9 Campione 1 Media= V o t i Media campionaria 9

10 Voti Errore e variabilità Assumiamo ora che vi sia grossa variabilità tra gli studenti 0.12 Media= Varianza= V o t i 10

11 Voti Errore e variabilità I campioni, soprattutto se piccoli, possono scostarsi anche molto dalla media, creando molto errore 0.12 Campione 1 Media= V o t i Media popolazione 11

12 Errore Errore e variabilità L errore aumenta all aumentare della variabilità del carattere osservato Campione n=100 Media= varianza 12

13 L errore standard Quando facciamo una stima di un parametro facciamo un errore di stima. L ampiezza di questo errore è stimata attraverso l errore standard. Errore standard S 2 Varianza ES n Numerosità 13

14 L errore standard Definizione: L errore standard è la deviazione standard della distribuzione campionaria di una statistica. L errore standard indica l ampiezza attesa dell errore commesso nel utilizzare un campione (con numerosità e variabilità date) per stimare una caratteristica della popolazione Aumenta con l aumentare della varianza della variabile Diminuisce con l aumentare della numerosità 14

15 Errore medio Errore L errore standard ES Aumenta all aumentare della varianza S n 2 Diminuisce all aumentare della numerosità varianza Numerosita' 15

16 L errore standard: conseguenze Se il carattere stimato ha poca variabilità, campioni piccoli possono dare buone stime (se i voti sono tutti uguali, basta saperne uno) Se il carattere stimato ha molta variabilità, campioni grandi sono necessari (se i voti variano molto, se ne devono conoscere molti) 16

17 Numerosità e tipi di fenomeni studiati Un conseguenza importante di questo principio è che tanto più generale (uguale per tutti) è il fenomeno studiato, tanto meno casi servono (e viceversa) Fenomeni più generali: Fenomeni neurologici Fenomeni chimici Studi di morfologia del cervello Studi di funzionalità Fenomeni più idiosincratici: Opinioni Risposte comportamentali a stimoli complessi Atteggiamenti 17

18 Intervallo di confidenza (IC) Il parametro campionario stimato (es. media) non coincide con il valore nella popolazione. Es. Vogliamo sapere quanti libri legge mediamente uno studente/studentessa della Bicocca all anno. Intervistiamo N = 100 studenti. Distribuzione delle risposte nel campione: M = 5 libri; DS = 4 Questa è una stima nel campione (n=100) del valore nella popolazione (tutti i studenti) Se intervistassimo altri 100 studenti, i valori che otterremmo sarebbero un po diversi L intervallo di confidenza è un intervallo di valori plausibili per quel parametro (ad es., media) nella popolazione (ad es., studenti Bicocca). 18

19 Intervallo di confidenza (IC) Errore standard 19

20 Intervallo di confidenza (IC) 20

21 Intervallo di confidenza (IC) Il livello di confidenza (es. 95%) indica il grado di fiducia che abbiamo che il nostro IC includa il parametro. Come si calcola l'ic? L'IC viene calcolato a partire dall'es. Semplificando, 95% IC è pari a circa parametro statistico +/- 2 ES. M = 5 libri; DS = 4 ES = o =0.4 Ampiezza: 2 x ES = % IC = [4.2, 5.8] Possiamo affermare, con una probabilità del 95% (livello di fiducia), che l'intervallo di valori compresi tra 4.2 e 5.8 contiene la media del nr di libri letti. 21

22 Intervallo di confidenza (IC) L IC è molto importante per capire i risultati ottenuti e cattura il concetto di accuratezza nella stima del parametro. Es: i) Spot pubblicitario A per un prodotto (ad es., sapone) ii) Spot pubblicitario B. Efficacia riscontrata (Differenza valutazione prima-dopo, due N= 100): A: M = , DS = 15, p <.05 B: M = , DS = 10, p <.05 Quale dei due spot è più efficace? Non è ovvio che sia A A: 95% CI: [ 0.16, 6.04] B: 95% CI: [ 0.54, 4.46] 22

23 Correlazione E un indice statistico che misura l associazione fra due variabili Misura come le due variabili si muovono assieme, ossia come correlano Viene espresso come un valore che varia fra 1 e 1 23

24 Correlazione 24

25 Test 2 Correlazione positiva Test 1 25

26 Test 2 Correlazione negativa Test 1 26

27 Test 2 Correlazione nulla Test 1 27

28 Il coefficiente r Il coefficiente r indica il grado di covariazione standardizzato tra due variabili r( v, x) cov( v, x) ds( v)* ds( x) Covarianza v e x Deviazioni standard v x M M I I G G E E C C A Media A -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 Media 28

29 Covarianza La covarianza indica quanto ad uno scostamento dalla media di v corrisponde uno scostamento dalla media di x (in media) Cov( v, x) n i 1 ( v i M v n )*( x i M x ) Covarianza v x v x M I G E C A Media M I G E C A Media 29

30 Perché standardizziamo? La covarianza non è un buon indice di associazione, in quanto non è facilmente interpretabile Es. La covarianza tra il reddito (misurato in migliaia di euro) e l età (misurata in anni) e Es. La covarianza tra il reddito e la probabilita di essere laureato e 3021 Quale variabile e più associata al reddito?! La covarianza non e facilmente interpretabile perché dipende dalla scala di misura delle variabili (decimi, millesimi, migliaia, Euro, centimetri, etc.) Necessitiamo dunque di un indice che non dipenda dalla scala di misura delle variabili 30

31 Eliminare l unità di misura (standardizzare) L unità di misura di una variabile si elimina standardizzando la variabile Standardizzare serve per ridurre ogni variabile ad una stessa metrica Variabile originale Media di v Punteggio standardizzato per ogni soggetto (caso) z iv v i M s v v d s i v Scarto di v Deviazione standard di v ad 1 Le variabili standardizzate hanno tutte media uguale a 0 e varianza uguale 31

32 Z(v) Correlazione: rappresentazione La correlazione indica quanta variabilità ci aspettiamo in una variabile al variare dell altra Legge di relazione r=0.78 zˆ r v. 78 ^ xv z x ,0 2,0 1,0 0,0-1,0-2,0.78 Se x z varia di 1 rispetto alla media, prediciamo che il soggetto abbia.78 in v z Notiamo che 1 è la deviazione -4,0-2,0 0,0 2,0 4,0 1 Z(x) standard di x z -3,0-4,0 32

33 Formule della correlazione 33

34 Correlazione: Interpretazione Il coefficiente di correlazione varia tra -1 e 1 r = 1 indica che le variabili sono perfettamente proporzionali (sono uguali al netto dell unità di misura) r = -1 indica che le variabili sono perfettamente inversamente proporzionali Il coefficiente di correlazione è positivo quando c è concordanza tra gli scarti (+ con + e con -) è negativo quando c è disconcordanza tra gli scarti (+ con - e - con +) è pressoché nullo (quasi zero) quando le variabili non sono associate linearmente (per alcuni casi c è concordanza, per altri discordanza) 34

35 Correlazione: Interpretazione a1 e a2 sono praticamente indipendenti a3 e a4 sono fortemente associate a1 a2 a3 a4 Correlazione di Pearson Sig. (2-c ode) N Correlazione di Pearson Sig. (2-c ode) N Correlazione di Pearson Sig. (2-c ode) N Correlazione di Pearson Sig. (2-c ode) N Correlazi oni a1 a2 a3 a * **.231* ** 1.588** *.231*.588** *. La correlazione è signif icativ a al livello 0,05 (2-code). **. La correlazione è signif icativ a al livello 0,01 (2-code) a2 e a4 sono debolmente associate 35

36 Interpretazione r Corr. Relazione Molto bassa Quasi inesistente Bassa/ moderata Apprezzabile Notevole Considerevole Molto Alta Intensa Altissima Molto intensa 36

37 Correlazione è lineare Se i dati non sono lineari il coeff. di correlazione non è adatto a spiegare il legame. Le variabili potrebbero essere associate ma la loro associazione potrebbe non essere affatto lineare Il coefficiente di correlazioni perciò non la rifletterebbe 4 r=0 3 r=1 r=

38 amichevole La media e la correlazione sono indipendenti! 10 Loquace Amichevole S1 6 3 S2 7 5 S3 8 6 S4 9 7 S5 5 4 S6 1 0 S7 2 1 S8 3 2 S9 4 3 S Media Diff. media Series1 Correlazione ( r ) Media 3 2 Series loquace 1 0 Loquace Amichevole 38

39 amichevole La media e la correlazione sono indipendenti! Loquace Amichevole S1 6 7 S2 7 4 S3 8 2 S4 9 8 S5 5 2 S6 1 8 S7 2 7 S8 3 5 S9 4 5 S Media Diff. media 0 Correlazione ( r ) Series1 4 Media 3 Series loquace Loquace Amichevole 39

40 Rappresentazione varianze La varianza di una variabile può essere rappresentata mediante un diagramma di Venn Maggiore è la varianza, più grande è il cerchio Varianza di X Varianza di v X V 40

41 Varianza condivisa Se due variabili condividono della varianza, cioè se covariano, le loro varianza saranno sovrapposte Varianza di X Varianza di V X V Varianza condivisa 41

42 Varianza condivisa Il quadrato della correlazione, R 2, ci indica la percentuale (proporzione) di varianza condivisa dalle due variabili Questa è la varianza della parte di v z associata a x z Variabili standardizzate Le varianze sono uguali e uguali ad 1 x z 2 s condivisa v z Varianza condivisa 42

43 Varianza condivisa Per capire quanto forte è l associazione possiamo elevare al quadrato la correlazione e interpretarla come varianza condivisa Legame forte r=0.70 r*r=0.49 Legame debole r=0.10 r*r=0.01 R x z v z R x z vz Le variabili condividono circa il 50% della variabilità Le variabili condividono circa il 1% della variabilità 43

44 Varianza condivisa Per capire quanto forte è l associazione (lineare) possiamo elevare al quadrato la correlazione e interpretarla come varianza condivisa Legame perfetto r=1 r*r=1 Indipendenza r=0 r*r=0 R 2 1 vx z R 2 0 x z v z Le variabili condividono il 100% della variabilità Le variabili condividono lo 0% della variabilità 44